风险度量的强Fatou性质

设Xbbe为L的范数闭包∞在X中，让Xa，称为心脏或X的有序连续部分，是所有X的集合∈ X使kX1Ank→ 0每当↓ . 可以看到X∈ Xbi FF公司（| X |- n1）+= 由此可知，XB本身就是一个r.i.空间。引理A.2。（1） 如果限制→0+ДX（t）>0，则X=L∞和Xa={0}。（2） 限制→0+ДX（t）=0 i ff Xa=Xb。在这种情况下，Xbis顺序连续。证据（1） 假设δ：=极限→0+ДX（t）>0。然后是k1Ek≥ 任意E的δ∈ F，P（E）>0。Pickany X∈ 十、必须显示X∈ L∞. 如果不是，则P（{| X |>M}）>0表示任何M>0。从| X | M开始≥ 1{| X |>M}即kXk≥ Mδ。让M→ ∞, 我们遇到了矛盾。（2） is【4，Thm 5.5，第67页】。自X起~nis也是一个r.i.空间（[4，命题4.2，p.59]），L∞ 十、~n 拉斯韦尔。引理A.2（1）应用于X~nimplies该属性(*) X等于X~n6=L∞.提案A.3。假设X 6=L。还假设X具有顺序连续范数，或者它包含所有范数有界、递增、正序列的a.s.-极限，其中包含项。那么X具有属性(*).证据假设X fails属性(*). 然后如上所述，X~n=L∞. 根据BanachIsomorphism定理，存在一个常数C＞0，使得k∞≤ CkY k公司*引用[4]时需要小心，因为所有的Banach函数空间X都假定满足X∈ X和kXk=su pnkXnk，当X是范数有界、递增、正序列的a.s.极限时，X中的项为X。我们不假设这一条件，本文引用的结果也不依赖于这一条件。14 S.CHEN、N.GAO和F.Anthanosfor every Y∈ 十、~n、 我们声称存在C>0这样的Kxk≤ CkXk（A.4）每X∈ 十、确实，如果X有阶连续范数，那么X~n=X*.

因此对于everyX∈ X，kXk=supY∈十、*,kY k公司*≤1E[XY]≤ 苏比∈L∞,kY k公司∞≤CE[| XY |]=CkXk。如果X包含所有具有项inX的范数有界、递增正序列的a.s-极限，则由[24，命题2.4.19（i）和引理2.4.20]得出，存在一个常数r>0，使得kxk≤ r供应∈十、~n、 kY k公司*≤1E[XY]≤ r供应∈L∞,kY k公司∞≤CE[| XY |]=rCkXk。这证明了这一说法。现在X是r.i.也会产生常数C>0，这样kxk≥ CkXk（A.5），每X∈ 十、结合（A.4）和（A.5），我们可以很容易地检查X在L中是范数闭的。因为X是包含L的陆的序理想∞, 因此X=L。提案A.4。如果X具有属性(*), 然后E【Xn】→ 对于a.s.收敛到0的每个范数有界序列inX，为0。证据Let（Xn） X应使M：=supnkXk<∞ 和Xna。s--→ 0、假设E[Xn]6→ 通过传递到子序列，我们可以假设| E[Xn]|≥ δ对于某些δ>0和所有n∈ N、 自Xna以来。s--→ 0，我们可以找到一个子序列，使得P（| Xnk |≥k）≤k、 然后| E[Xnk]|≤EXnk{| Xnk |<k}+EXnk{| Xnk|≥k}≤kP公司|Xnk |<k+ kXnkk公司{| Xnk|≥k}*≤k+M{| Xnk|≥k}*-→ 这一矛盾得出了证明的结论。我们注意到，命题A.4的相反情况也成立。参考文献[1]Acciaio，B：《关于保护Fatou财产的inf卷积的简短说明》，《金融年鉴》，5281–287（2009）。[2] Aliprantis，C.D.，Burkinshaw，O.：正运算符。第119卷。施普林格科学与商业媒体。(2006).[3] Barrieu，P.，El Karoui，N.：《风险度量和最优风险转移的卷积》，金融与随机，9（2），269–298（2005）。[4] Bennett，C.，Sharpley，R.：算子插值。第129卷。学术出版社。(1988).[5] Biagini，S.，ˇCern\'y，A.《预期效用最大化中的凸对偶和Orlicz空间》，预印本：arXiv:1711.09121（2017）[6]Biagini，S。

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