风险度量的强Fatou性质

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英文标题：
《The strong Fatou property of risk measures》
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作者：
Shengzhong Chen, Niushan Gao, Foivos Xanthos
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we explore several Fatou-type properties of risk measures. The paper continues to reveal that the strong Fatou property, which was introduced in [17], seems to be most suitable to ensure nice dual representations of risk measures. Our main result asserts that every quasiconvex law-invariant functional on a rearrangement invariant space $\\mathcal{X}$ with the strong Fatou property is $\\sigma(\\mathcal{X},L^\\infty)$ lower semicontinuous and that the converse is true on a wide range of rearrangement invariant spaces. We also study inf-convolutions of law-invariant or surplus-invariant risk measures that preserve the (strong) Fatou property.
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中文摘要：
在本文中，我们探讨了几种Fatou型风险测度的性质。本文继续揭示，在[17]中引入的强Fatou属性似乎最适合确保风险度量的良好双重表示。我们的主要结果表明，重排不变空间$\\数学{X}$上具有强Fatou性质的每一个拟凸律不变泛函都是$\\ sigma（\\数学{X}，L^ \\ infty）$下半连续的，在广泛的重排不变空间上反之亦然。我们还研究了保持（强）Fatou性质的律不变或剩余不变风险测度的inf卷积。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：风险度量 fat 风险度 Quantitative Presentation

风险度量的强FATOU属性Shengzhong CHEN、NIUSHAN GAO和FOIVOS XANTHOSAbstract。在本文中，我们探讨了几种Fatou型风险测度的性质。论文继续揭示，在[17]中引入的强Fatou属性似乎最适合确保风险度量的良好双重表示。我们的主要结果是，重排不变空间X上具有强Fatou性质的每一个拟凸律不变泛函都是σ（X，L∞) 下半连续，在重排不变空间的全范围上反之亦然。我们还研究了保持（强）Fatou性质的律不变量剩余不变风险测度的inf卷积。在风险度量公理化理论的早期阶段，模型空间X通常被认为是Lp空间。在风险建模中越来越多地使用重尾分布导致了X的更一般选择，如Orlicz空间、Orlicz心脏和其他重排不变空间（参见[5、6、12、13、14、15、17、21、22、25]）。在这些模型空间中，当没有人处理优化问题时，凸对偶技术是可取的，并且只要涉及的风险度量允许可处理的对偶表示，凸对偶技术就可用。当X=Lp时，如果风险措施具有Fatou属性，则可以确保这一点。然而，当X是一般的Orlicz-spaceLΦ时，Fatou属性不再保证可处理的对偶表示（[14]）。为了克服这一障碍，本文的最后两位作者在[17]中引入了strongFatou属性，这是Orlicz空间框架中正确的连续性调整。

本文继续研究了法头型房地产的风险度量，并强调了法头型房地产的重要性。在本文中，我们研究的模型空间X是可执行概率空间上的函数空间(Ohm, F、 P），即L的阶理想：=L(Ohm, F、 P）。Orlicz空间，包括Lp（1≤ p≤ ∞), 是典型的功能空间。我们参考附录中的一些符号和factson函数空间，特别是重排不变（r.i.）空间。像往常一样，我们不区分几乎肯定相等的两个随机变量。所有泛函ρ：X→ (-∞, ∞] 本文中考虑的是适当的，即不完全相同∞,除非另有说明。ρ：X→ (-∞, ∞] 如果ρ（λX+（1）是凸的- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）对于任意X，Y∈ X和λ∈ [0，1]，如果子级集{ρ≤ m} ：={X∈X：ρ（X）≤ m} 每m是凸的∈ R、 对于固定非零正向量S∈ 如果ρ（X+mS）=ρ（X），则为ρisS加法- m表示任意X∈ X和m∈ R、 如果S=1Ohm我们说ρ是现金加法。当ρ（X）=ρ（Y）时，ρ是定律不变的∈ X同一日期：2018年5月15日。2010年数学学科分类。91G80、46E30、46A20。关键词和短语。Fatou性质，强Fatou性质，超Fatou性质，对偶表示，律不变风险测度，剩余不变风险测度，inf卷积。作者感谢NSERC的财政支持。当ρ（X）=ρ时，2 S.CHEN、N.GAO和F.XANTHOSdistribution是盈余不变的(-十、-) 对于每X∈ 如果ρ（X）=ρ，则X是服从正性的剩余不变量(-十、-) 对于每X∈ 使得ρ（X）>0。对于X上的局部凸拓扑τ，ρ：X→ (-∞, ∞] 如果{ρ，则τ下半连续≤ λ} 对于每个λ是τ-闭合的∈ R、 显然，τ越粗，τ下半连续性越强。

著名的Fechel-Moreau对偶断言，凸泛函ρ：X→ (-∞, ∞]τ下半连续当且仅当它通过拓扑对偶（X，τ）允许对偶表示*. 我们说ρ：X→ (-∞ , ∞] 如果ρ（X），则具有（1）Fatou性质≤ lim infnρ（Xn）无论何时（Xn） X和X∈ X满足X否-→X中的X，即Xna。s--→ X和| Xn |≤ X对于某些X∈ X和所有n∈ N、 （2）ρ（X）时的超Fatou性质≤ lim infnρ（Xn）无论何时（Xn） X和X∈ X令人满意的X NA。s--→ 十、 （3）如果X带有范数和ρ（X），则为强Fatou性质≤ lim infnρ（Xn）无论何时（Xn） X和X∈ X满足Xna。s--→ X和（Xn）是范数有界的。很明显，强Fatou属性是这三种Fatou类型属性中的中间属性，强于Fatou属性，弱于超级Fatou属性。很明显，L上的强Fatou性质和Fatou性质是一致的∞. 此外，众所周知，Fatou性质通常强于范数下半连续性，但当底层模型空间X具有阶连续范数时，Fatou性质与范数下半连续性重合。自[7]以来，人们就知道L上的拟凸泛函ρ∞isσ（L∞, 五十） LowerSemic连续的当且仅当它具有Fatou性质。当ρ是附加律不变时，证明了ρ具有Fatou性质当且仅当它是范数下半连续（[20]），当且仅当它是σ（L∞, L∞) 下半连续（[11]）。最近，文献[14]证明了具有Fatou性质的Orlicz空间LΦ上的凸泛函可能不满足σ（LΦ，Lψ）下半连续性，其中ψ是Φ的共轭函数。然而，[17]表明拟凸函数ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 具有强Fatou性质当且仅当σ（LΦ，Hψ）下半连续，其中Hψ是Lψ的中心。

当ρ是额外的法律不变性时，[13]表明ρ的强Fatou性质与Fatou性质和σ（LΦ，Lψ）（分别为σ（LΦ，Hψ），σ（LΦ，L∞)) 下半连续性，但一般来说，不规范下半连续性。此外，如果拟凸泛函ρ：X→ (-∞, ∞ ] issurplus不变量或是盈余不变量，在某些0<S的情况下服从正性和S-加性∈ X，如【15】所示，ρ的强Fatou性质等价于Fatou性质和超级Fatou性质，在X=LΦ的情况下，它们都等价于σ（LΦ，Lψ）（分别为σ（LΦ，Hψ），σ（LΦ，L∞)) 低半连续性。本文的主要结果是：anr上的任何拟凸、律不变泛函ρ。i、 具有强Fatou性质的空间X是σ（X，L∞) 下半连续（定理6）。我们还研究了强Fatou性质σ（X，L）之间的关系∞) 下半连续性和Fatou性质。我们证明了拟凸律不变量泛函ρ的强Fatou性质“几乎”等价于σ（X，L∞) 下半连续性（命题9）和如果X具有阶连续范数且不等于L，则拟凸律不变泛函ρ的强Fatou性质等价于σ（X，L∞) 下半连续性和Fatou性质（命题11）。在第三节中，我们研究了inf卷积的Fatou型性质。通常，inf卷积不会保留（强）Fatou属性（参见，例如，[8]）。在[10]中，证明了Fatou性质是由inf卷积保持的。Lp上凸的、现金加性的、律不变的泛函的风险测度3的强Fatou性质。在命题14中，我们将此结果推广到r.i.空间上的强Fatou性质。

在命题16中，我们得到了凸泛函的inf卷积的一个类似结果，即S-加性和剩余不变主语拓扑性。2、定律不变泛函在本节中，我们假设X是固定非原子概率空间上的r.i.空间(Ohm, F、 P）。关于函数空间的符号和事实，请参阅附录。写出π表示Ohm 其成员具有非零概率，并为所有此类π的集合写入∏。用σ（π）表示由π生成的有限σ-子代数，并写出E[X |π]：=E[X |σ（π）]。对于所有X∈ X和π∈ π，我们有E[X |π]∈ L∞ X乘以（A.2），此外，乘以[4，定理4.8，p.61]，E[X |π]≤ kXk。（2.1）我们的主要结果断言，拟凸律不变风险测度的强Fatou性质意味着σ（X，L∞) 下半连续性。为此，我们需要建立一些初步的技术成果。首先，回想一下以下有用的结果，它包含在[26，引理1.3]的证明的步骤2中。引理1（[26]）。让X∈ L∞, ε>0和π∈ Π. 然后，存在X，XN公司∈ L∞其分布与X相同，且满足NNXi=1Xi- E[X |π]∞≤ ε.A序列（Xn） X被称为有序收敛于X∈ X，写为Xno-→ 十、 如果Xna。s--→ X存在X∈ X使得| Xn |≤ XF适用于所有n∈ N、 我们说一个子集C 如果X包含序列中带项的所有序限，则X在X中是orderclosed。显然，函数ρ：X→ (-∞, ∞] 具有Fatou属性当且仅当子级集{ρ≤ m} 是否每m关闭一次订单∈ R、 且具有强Fatou性质当且仅当每个子级集{ρ≤ m} 包含范数有界序列及其项的a.s.-极限。集合C是定律不变的∈ C每当X∈ C和X，Y具有相同的分布。

同样清楚的是，函数ρ是定律不变的当且仅当每个子级集{ρ≤ m} 是定律不变的。提案2。设C是X上的一个凸、阶闭、律不变集。那么，E[X |π]∈ 任何X的C∈ C和任意π∈ Π.证据让X∈ C、 π={B，…，Bk}∈ π和fix n∈ N、 设置An={| X |≤ n} 。考虑非经济概率空间（An，F | An，P | An），其中F | An：={B∈ F：B An}和P | An:F | An→ [0，1]由P | An（B）定义：=P（B | An）。将引理1应用于X | ana和分区{B∩ 一黑色∩ 状态空间An的}，我们得到X′n，1，X′n，Nn∈ L∞（An，F | An，P | An）使得X′n，jh的分布与X | anf的分布相同≤ j≤ Nnand公司kXi=1E | AnX | An | Bi∩ 一Bi公司∩一-NnNnXj=1X′n，j≤nP | An-a.s.on An、4 s.CHEN、N.GAO和F.Xanthosos，其中E | Ande注意到了P | An下的期望。直接计算表明，E | AnX | An | Bi∩一= E[X | Bi∩ An]适用于所有1≤ 我≤ k、 在Acn上设置X′n，j=0。然后kXi=1E[X | Bi∩ An]1Bi∩一-NnNnXj=1X′n，j≤南安≤不-→ 0英寸X。（2.2）设置δ=min1≤我≤kP（Bi）。自↑ Ohm, 存在n个∈ N使得P（Bi∩ An）≥ 所有1的δ≤ 我≤ k和n≥ n、 因此，对于所有1≤ 我≤ k和n≥ nE[X | Bi∩ An]1Bi∩一- E[X | Bi]1Bi≤（E[X | Bi∩ An]- E[X | Bi]）1Bi∩一+E[X | Bi]（1Bi- 1Bi∩An）≤E[X1Bi∩An]P（Bi）- E[X1Bi]P（Bi∩ An）P（Bi∩ An）P（Bi））1+E[| X |]2δBi∩Acn公司≤（E[X1Bi∩An]- E[X1Bi]）P（Bi）+E[X1Bi]（P（Bi）- P（Bi∩ An））2δ1+E[| X |]2δBi∩Acn公司≤E[| X | 1Bi∩Acn]+E[| X |]P（Bi∩ Acn）2δ1+E[| X |]2δBi∩Acn。因此，对于n≥ nkXi=1E[X | Bi∩ An]1Bi∩一- E[X |π]≤E[| X | 1Acn]+E[| X |]P（Acn）2δ1+E[| X |]2δAcn。自E[| X | 1Acn]-→ 0，P（Acn）-→ 0和1Acno-→ 0，我们有kXi=1E[X | Bi∩ An]1Bi∩一- E[X |π]o-→ 0英寸X。（2.3）设置Xn，j=X′n，j+x1acn为1≤ j≤ Nn。那么，Xn，jh与X的分布相同，因此，Xn，j∈ C根据法律不变性。Thusnnnnj=1Xn，j∈ C的凸性。

请注意NnNnXj=1Xn，j-NnNnXj=1X′n，j= |X | 1Acno-→ 0英寸X。（2.4）结合（2.2）-（2.4），我们有NnNnXj=1Xn，j- E[X |π]o-→ 0英寸X。这就是证明的结论，因为C是顺序闭的。接下来的初步结果涉及条件期望的收敛性。专家们对它们都很熟悉。为了方便读者，我们提供了命题4的证明。引理3。对于任何X∈ L∞ε>0时，存在π∈ π使得kE[X |π]- Xk公司∞< ε.提案4。让X∈ 十、以下内容保持不变。（1） 存在一个序列（πn） π使得E[X |πn]a.s。-→ 十、 风险测度5（2）的强FATOU性质假设X具有序连续范数。存在一个序列（πn） π使得ke[X |πn]- Xk公司→ 0和E[X |πn]a.s。-→ 十、 证明。首先假设X具有顺序连续范数。自X1{| X |>n}o-→ 0，它遵循kx1{| X |>n}k-→ 因此，对于任何n∈ N、 存在mn∈ N因此X1{| X |>mn}≤n、 自L起∞连续嵌入X（见（A.3）），通过应用引理3，我们得到πn∈ ∏如此E[X1{| X|≤mn}|πn]- X1{| X|≤mn}≤n、 另请注意，根据（2.1）EX1{| X |>mn}|πn≤ kX1{| X |>mn}k≤n、 因此，可以得出如下结论：E[X |πn]- 十、=EX1{| X |>mn}|πn+ E[X1{| X|≤mn}|πn]- X1{| X|≤mn}- X1{| X |>mn}≤n-→ 由于X连续嵌入到L中（见（A.3）），kE[X |πn]- Xk公司-→ 对于子序列（πnk），我们有E[X |πnk]a.s。-→ 十、 将（πn）替换为（πnk），这证明了（2）。（1） 然后再次指出X 土地申请（2）至L。命题2和命题4暗示了以下有趣的结果，即准凸、定律不变泛函可能在L上“局部化”∞.推论5。设ρ，ρ：X→ (-∞, ∞] 是两个拟凸、律不变泛函，它们要么具有强Fatou性质，要么是σ（X，L∞) 下部半连续。如果ρ和ρ在L上重合∞, 那么ρ=ρ。证据修复任意X∈ 十、

通过将命题4应用于L，我们可以找到一个序列（πn） πE[X |πn]-→ X在L-范数中，几乎可以肯定。那么，很明显，E[X |πn]σ（X，L∞)------→ 十、 因此，如果ρ是σ（X，L∞) 下半连续，我们有ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（E[X |πn]）。或者，如果ρ具有强Fatou性质，则supnE[X |πn]≤ kXk再次表示ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（E[X |πn]）。另一方面，集合C=Y∈ X：ρ（Y）≤ ρ（X）是凸的，律不变的，且明确包含X。如果ρ具有强Fatou性质，因此具有Fatou性质，则C同序闭。如果ρ是σ（X，L∞) 下半连续，那么C是σ（X，L∞)-闭合的，因此也是无序闭合的，因为X中的有序收敛意味着L中的有序收敛（由于X 五十） ，这又意味着σ（X，L∞) 汇聚因此，根据命题2，我们得到了E[X |πn]∈ C前端n∈ N、 所以thatlim supn→∞ρ（E[X |πn]）≤ ρ（X）。6 S.CHEN、N.GAO和F.Xantosit得出ρ（X）=limnρ（E[X |πN]）。（2.5）同样的结论也适用于ρ。自E[X |πn]∈ L∞对于每n∈ N、ρ和ρ在L上重合∞, 我们得出结论，ρ（X）=ρ（X）。我们现在准备介绍我们的主要结果。定理6。设ρ：X→ (-∞ , ∞] 具有强Fatou性质的拟凸、定律不变泛函。那么ρ是σ（X，L∞) 下部半连续。如果ρ是另外凸的，则它唯一地扩展到具有Fatou性质的Lw上的凸、定律不变泛函。扩展还保留了现金可加性。证据选择任意m∈ R和put C={ρ≤ m} 。然后C关闭订单。我们证明了Cisσ（X，L∞)-关闭取任意网络（Xα） C和X∈ X使得Xασ（X，L∞)------→ 十、 ThenE[XαB]-→ E[X1B]表示任何B∈ F、 因此，对于任何π={B，…，Bk}∈ π，E[Xα|π]=kXi=1EXαBiP（Bi）Bi-→kXi=1EX1BiP（Bi）Bi=E[X |π]，在L中∞-标准

因此，我们可以取可数个（αn），这样E[Xαn |π]- E[X |π]≤不-→ 0英寸X。自E[Xα|π]∈ 对于命题2中的所有α，C的阶闭合性意味着E[X |π]∈ C、 由此得出ρ（E[X |π]）≤ m表示任意π∈ Π. 现在根据命题4，我们可以取（πn） πE[X |πn]a.s。--→ 十、 自supn起E[X |πn]≤ kXk<∞, ρ的强Fatou性质意味着ρ（X）≤ lim infnρ（E[X |πn]）≤ m、 所以X∈ C、 这证明了C是σ（X，L∞)-关闭自m起∈ R是任意的，ρ是σ（X，L∞) 下部半连续。现在，假设ρ是凸的。很明显ρ| L∞是凸的和律不变的，并且具有强Fatou性质。（2.5）意味着它也是适当的。因此，根据【11，定理2.2】，ρ| L∞允许唯一的凸、定律不变的扩张ρ：L→ (-∞, ∞] 这是范数lowersemicontinuous，因此是σ（L，L∞) 下半连续且具有Fatou性质。放置ρ*=ρ| X.因为ρ和ρ*都是σ（X，L∞) 下半连续且在L上重合∞, ρ = ρ*通过推论5，使得ρ延伸ρ。如果ρ| L∞是现金加法，那么ρ也是现金加法。示例7。（1） 如果没有定律不变性，强Fatou性质可能并不意味着σ（X，L∞)下半连续性。考虑X=L。取Z∈ L\\L∞, 把ρ（X）=E[XZ]换成X∈ 五十、 作为线性，ρ是σ（L，L∞) 下半连续，当且仅当，它是σ（L，L∞) 连续，当且仅当，Z∈ L∞根据【2，定理3.16】。因此Z/∈ L∞意味着ρ不是σ（L，L∞) 下部半连续。然而，ρ具有很强的fatoupproperty。的确，让（Xn）  土地X∈ Lbe，使M：=supnkXnk<∞和Xna。s--→ 十、 我们证明ρ（Xn）=E[XnZ]-→ E【XZ】=ρ（X）。用Xn替换Xn- 十、 我们可以假设X=0。否则，假设E[XnZ]6→ 0、绕过子序列，我们可以假设| E[XnZ]|≥ 对于某些δ>0和alln∈ N