风险度量的强Fatou性质

自Xna以来。s--→ 0，我们可以找到一个子序列（Xnk），使得P（| Xnk |≥k）≤k、 风险测度7Then Z{| Xnk的强FATOU性质|≥k}-→ 概率为0，以Z为主∈ 五十、 支配收敛定理暗示Z1{| Xnk|≥k}=Z{| Xnk|≥k}-→ 0.接下来是E【XnkZ】≤EXnkZ1{| Xnk |<k}+EXnkZ1{| Xnk|≥k}≤Xnk{| Xnk |<k}kZk+kXnkkZ1{| Xnk|≥k}≤kkZk+MZ1{| Xnk|≥k}-→ 这一矛盾完成了证明。（2） lm上的扩展泛函ρ可能不具有强Fatou性质。在L上设置ρ（X）=E[X]∞和ρ（X）=L上的E[X]。显然，ρ具有强Fatouproperty，ρ是ρ在具有theFatou性质的lth上唯一的凸、定律不变的扩张。但ρ不具有强Fatou性质。事实上，考虑到无项性，取可测集（An）的递减序列，使得P（An）=n∈ N、 设置Xn=-N1每n∈ N、 那么，对于所有N，kXnk=1∈ N、 Xna。s--→ 0，但lim infnE[Xn]=-1<0=E[0]。显然，定理6以及推论5的证明在很大程度上依赖于命题2和命题4。以下问题是这两个命题可能改进的自然方向。对r.i.空间X上第二个问题的肯定回答意味着X上具有Fatou性质的定律不变泛函为σ（X，L∞) 下半连续。这两个问题在Orlicz空间中都有肯定的答案；见【13】。问题8。（1） 命题2是否适用于范数闭集？（2） 命题4（2）是否支持（E[X |πn]）的阶收敛，而不假设X具有阶连续范数？现在我们来研究强Fatou性质、Fatou性质和σ（X，L）之间的关系∞) 下半连续性。回想一下，X中的顺序收敛意味着Land中的顺序收敛，因此σ（X，L∞)-汇聚

因此，对于任何函数ρ：X→ (-∞, ∞],如果是σ（X，L∞) 下半连续，则具有Fatou性质。特别地，对于任意拟凸，定律不变泛函ρ：X→ (-∞, ∞], 以下暗示成立：强大的法头地产==> σ（X，L∞) 下半连续性==> 法头地产。第一个蕴涵的相反，尽管并非普遍成立（参见示例7（2）），但可以在没有ρ定律不变性的情况下，在X上的附加但温和的条件下建立，这本质上只排除了Lamong所有经典空间。我们说X有属性(*) iflimP（A）→0k1Ak*= 命题A.3表明，不等于L的所有Orlicz空间和具有有序连续范数的所有r.i.空间都满足了它。特别是，不等于L的所有Orlicz心都满足了它，因为它们是具有有序连续范数的r.i.空间。提案9。假设X满足属性(*). 设ρ：X→ (-∞, ∞] beσ（X，L∞)下部半连续。那么ρ具有很强的Fatou性质。8 S.CHEN、N.GAO和F.XANTHOSProof。假设（Xn）是X中的范数有界序列，a.s-收敛到X∈ 十、根据命题A.4，其如下所示E[新西兰]- E【XZ】≤ kZk公司∞E[| Xn- X |]-→ 0，对于任何Z∈ L∞. 因此Xnσ（X，L∞)------→ 十、 和σ（X，L∞) ρ的下半连续性意味着ρ（X）≤ lim infnρ（Xn）。因此，ρ具有很强的Fatou性质。备注10。设X是具有性质的r.i.空间(*). 那么，对于任何函数ρ：L→(-∞, ∞] 利用Fatou性质，ρ对X的限制为σ（X，L∞) 下半连续，因此具有很强的Fatou性质。这一事实结合定理6揭示了X上具有强Fatou性质的凸律不变风险测度与L上具有Fatou性质的凸律不变风险测度之间存在一一对应关系。如果没有定律不变性，第二个蕴涵的逆就失败了（参见示例7（1））。

在法律不变性之下，这个问题仍然对我们开放（参见下面的问题8和示例12）。当nx有序连续范数时，我们证明所有的反向蕴涵都成立。提案11。假设X有阶连续范数且X 6=L。设ρ：X→(-∞, ∞] 是一个拟凸，定律不变的泛函。以下是等价的：（1）ρ具有强Fatou性质。（2） ρ是σ（X，L∞) 下部半连续。（3） ρ具有Fatou性质。证据根据命题A.3，X具有属性(*), 因此（1）<==> (2). 需要证明（3）==>(2). 假设ρ具有Fatou性质。选择任意m∈ R和put C={ρ≤ m} 。当序闭时，C是范数闭的（参见[18，引理3.11]）。我们证明了C是σ（X，L∞)-关闭取任意网络（Xα） C和X∈ X使得Xασ（X，L∞)------→ 十、 在定理6的证明中，E[X |π]∈ C表示任意π∈ Π. 因此，根据命题4，X∈ C、 这证明了Cisσ（X，L∞)-关闭自m起∈ R是任意的，ρ是σ（X，L∞) 下部半连续。我们研究Orlicz空间和Orlicz心上的拟凸、定律不变泛函。例12。设ρ：X→ (-∞, ∞] 是一个拟凸，定律不变的泛函。（1） 设X是一个不等于L的Orlicz空间LΦ。如[17，定理2.4]所示，ρ具有强Fatou性质，当且仅当它是σ（LΦ，Hψ）下半连续的。此外，[13，定理1.1]表明ρ是σ（LΦ，Hψ）下半连续的，如果且仅如果，它是σ（LΦ，Lψ）（分别是σ（LΦ，L∞)) 下半连续，当且仅当，它具有Fatou性质。强Fatou性质与σ（LΦ，L）的等价性∞) Lowersemicontinuous也来自定理6和命题9。（2） 设X是一个不等于L的Orlicz心HΦ。根据命题11，ρ具有强Fatou性质，当且仅当它是σ（LΦ，L∞) 下半连续，如果且仅如果，它具有Fatou性质。

因为HΦ有阶连续范数和（HΦ）*= Lψ，theFatou性质等价于范数下半连续性，从而等价于σ（HΦ，Lψ）下半连续性。自L起∞ Hψ Lψ，这些性质等价于σ（HΦ，Hψ）下半连续性。（注意，在没有定律不变性的情况下，强Fatou性质可能并不意味着σ（HΦ，Hψ）下半连续性（见[14]）。风险措施9的强大法头属性让我们考虑一下预期的缺口。对于α∈ （0，1），通过VaRα（X）=inf确定α级的风险价值m级∈ R:P（X+m<0）≤ α, 十、∈ 五十、 对于α∈ （0，1），确定α水平上的预期缺口是α（X）=αZαVarβ（X）dβ，X∈ 五十、 示例13。EShas是L上的Fatou属性，但不是强Fatou属性（参见示例7）。然而，当α∈ （0，1），预期差额在任何r.i.空间上都具有强大的Fatou属性。事实上，它在L上具有超Fatou性质。我们包括了完整性的证明。固定任意ε∈ (0, 1 - α). 根据Egorov定理，存在一个可测集B和n∈ N使得p（B）<ε和| Xn- 对于所有n，bc上的X |<ε≥ n、 选择任意β∈ （0，α），取任意n≥ n、 设m：=Varβ（Xn），m′：=m+ε。它从{X+m′<0}开始 （{X+m′<0}∩ （B）∪ （{X+m′<0}∩ {Xn<X+ε}） B∪ {Xn+m<0}P（X+m′<0）≤ P（B）+P（Xn+m<0）≤ ε+β，因此，Varβ+ε（X）≤ m′=Varβ（Xn）+ε。因为这适用于任何β∈ （0，α）和任意n≥ n、 （0，α）上β的积分意味着αRα+εεVarβ（X）dβ=αRαVarβ+ε（X）dβ≤αRαVarβ（Xn）dβ+ε=所有n的ESα（Xn）+ε≥ n、 接收超过n的数量≥ n、 我们有αZα+εVarβ（X）dβ≤ infn公司≥nESα（Xn）+ε≤ lim影响α（Xn）+ε。现在，由于Varo（X）∈ L（0，1），让ε→ 0，我们有ESα（X）≤ lim infnESα（Xn）。Inf卷积设X是概率空间上的函数空间。给定泛函ρi:X→ (-∞, ∞],i=1，d、 其inf卷积定义为di=1ρi（X）=infndXi=1ρi（Xi）：Xi∈ X，i=1。

，d，dxi=1Xi=Xo，X∈ 十、如果在每X处达到最大值，则称为精确∈ 十、可以很容易地从定义中检查inf卷积如果每个ρiis是凸的，则di=1ρiis是凸的；如果某些ρiis是S-加的（分别是单调的），则di=1ρiis是S-加的（分别是单调的）。回想一下，函数ρ：X→ (-∞, ∞] 是单调的，如果ρ（X）≤ ρ（Y）每当X，Y∈ X满足X≥ Y使用ρ（X）=infm级∈ R：X+毫秒∈ {ρ ≤ 0}, 我们可以看到拟凸S-可加泛函是凸的。因此，我们在本节中陈述了凸泛函的结果。在风险度量理论框架内对inf卷积的研究始于[3]。许多文献研究了律不变泛函的Inf卷积，例如，参见[1，9，10，19，21，23]及其参考文献。特别地，[10，定理2.5]断言Lp（1）上凸、现金加性、定律不变泛函的inf卷积≤ p≤ ∞) arenorm下半连续的，或等价的，具有Fatou性质，是精确的和定律不变量的，并且具有Fatou性质。下面的命题将这个结果推广到r.i.空间。10 S.CHEN、N.GAO和F.黄磷酸化14。设X是非原子概率空间上的r.i.空间，ρi:X→(-∞, ∞], i=1，d、 是凸的、现金可加的、具有强Fatouproperty的律不变函数。然后di=1ρi:X→ (-∞, ∞] 是凸的、现金可加的、律不变的、精确的，并且具有强Fatou性质。此外，对于每个X∈ X存在不断增加的fu nc关系FI:R→ R、 i=1，d、 每x的Pdi=1fi（x）=x∈ R和di=1ρi（X）=dXi=1ρi（fi（X））。证据通过归纳，我们可以假设d=2。根据定理6，每个ρ延伸到一个泛函ρi:L→ (-∞, ∞] 这是凸的、现金相加的、定律不变的和| |·| |下半连续的。Letρρ： L→ (-∞, ∞] 是ρ和ρ的inf卷积。

很明显，ρρ（X）≤ ρρ（X）对于任意X∈ 十、现在，选择任意X∈ 十、根据【10，定理2.5】，存在递增函数f，f:R→ r每个x的f（x）+f（x）=x∈ R和ρρ（X）=ρ（f（X））+ρ（f（X））。由于ρ，ρ是现金相加的，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设f（0）=f（0）=0。我们很容易看出fand fare 1-Lipschitz的功能，因此| fi（X）|≤ |X |对于i=1，2。因为X是L的一个更理想的，所以我们得到了fi（X）∈ X表示i=1，2。因此，ρρ（X）=ρ（f（X））+ρ（f（X））=ρ（f（X））+ρ（f（X））≥ ρρ（X）。因此ρρ（X）=ρ（f（X））+ρ（f（X））=ρρ（X），意味着ρρ是精确的，ρρ扩展ρρ. 根据【10，定理2.5】，ρρ、 因此ρρ、 是定律不变的。在剩余物中显示ρρ具有强Fatou性质。选择任意m∈ R、 考虑子级集C：={X∈ X：ρρ（X）≤ m} 。设（Xn）是C中a.s-收敛到X的范数有界序列∈ 十、必须显示X∈ C、 通过上述精确解，我们可以找到Yn，Zn∈ X，Xn=Yn+Zn，| Yn |≤ |Xn |，| Zn |≤ |Xn |，和ρρ（Xn）=ρ（Yn）+ρ（Zn）。注意，（Yn），（Zn）是X中的范数有界序列。两次应用命题A.1（2），我们可以找到严格递增（nj）和两个随机变量Y，Z∈ Lsuch thatkPkj=1Ynja。s--→ Y和kpkj=1Znja。s--→ Z、 自| kPkj=1Ynj |≤kPkj=1 | Xnj | a.s。--→|X |，我们得到| Y |≤ |X |，所以Y∈ 十、类似地，我们有Z∈ 十、还要注意，y+Z=X，（kPkj=1Ynj）和（kPkj=1Znj）都是X中的范数有界序列。因此，应用ρi的强Fatou性质和凸性，我们得到ρρ（X）≤ρ（Y）+ρ（Z）≤ lim infkρkkXj=1Ynj+ lim infkρkkXj=1Znj≤ lim infkPkj=1ρ（Ynj）k+lim infkPkj=1ρ（Znj）k≤ lim信息Pkj=1ρ（Ynj）k+Pkj=1ρ（Znj）k= lim信息Pkj=1ρρ（Xnj）k≤ m、 这证明了X∈ 并完成命题的证明。

现在我们来研究凸S-加函数的inf卷积的（超）Fatou性质，这些凸S-加函数具有正的剩余不变性。此类泛函系统地具有风险测度11的强FATOU性质，在[15]中进行了研究。特别是，[15，定理29]断言，对于此类泛函，Fatou性质和superFatou性质是一致的。设X是固定概率空间上的函数空间。A组A X是剩余不变量if-十、-∈ A每当X时∈ A、 如果Y是单调的∈ A无论何时Y≥ 十、 Y型∈ X和X∈ A、 根据[15，命题2]，集合A 当且仅当A=X时，X是剩余不变单调的+- D代表一些D 在X+中为实心的X+，即Y∈ D每当0≤ Y≤ 某些X的X∈ D、 此外，A（分别为凸）阶闭当且仅当D（分别为凸）阶闭（参见[15，推论3和命题5]）。引理15。设X是固定概率空间上的函数空间。（1） 设D是凸的，X+的阶闭集，它们在X+中是实心的。然后D+不凸，在X中阶闭，在X+中为实。（2） 设A和A在X中为凸集、阶闭集、剩余不变集和单调集。然后A+Ais在X上是凸的、阶闭的、剩余变量的和单调的。证据显然，D+不凸。通过Rieszdecomposition性质（[2，定理1.13]），也很容易检查X+中的D+非固体。假设（Xn） D+D和X∈ X满意号-→ X中的X。我们想展示X∈ D+D.写入Xn=Yn+Zn，其中Yn∈ Dand锌∈ D、 取X∈ X+使0≤ Xn公司≤ XF适用于所有n∈ N、 然后0≤ Yn公司≤ Xand0≤ 锌≤ xf对于所有n.两次应用命题A.1（1），我们发现严格递增（nj）和两个随机变量Y，Z∈ Lsuch thatkPkj=1Ynja。s--→ Y和kpkj=1Znja。s--→ Z、 很明显，Y+Z=X和0≤ Y、 Z≤ 十、 意味着Y，Z∈ 十、自0起≤kPkj=1Ynj≤ Xfor allk∈ N、 我们有kpkj=1Ynjo-→ Y，从而通过D，Y的凸性和阶闭性∈ D、 类似地，Z∈ D

因此X∈ D+D。这证明D+Dis顺序是闭合的。对于（2），写入Ai=X+- Di，i=1，2，如引理之前所述。然后A+A=X+-D+X+-D=X+-（D+D）。通过（1），我们可以看到A+是所需的属性。设0<S∈ 十、已知（且易于检验）ρ是S-可加的当且仅当{ρ≤ m} ={ρ≤ 0} - 每米毫秒∈ R，如果ρ是S-加和单调的，那么ρ是服从正性的剩余不变当且仅当{ρ≤ 0}是剩余不变量（[15，命题28]）。提案16。设X是概率空间上的函数空间，0<S∈ X和ρi:X→(-∞, ∞], i=1，d、 是凸、单调、S-加性泛函，是服从正性的剩余不变量，具有（超）Fatou性质。如果di=1ρi（X）>-∞ 对于每个X∈ X，那么di=1ρiis凸、单调、S-加性、精确和盈余不变量服从正性，并具有（超）Fatou性质。证据在不丧失一般性的情况下，假设d=2。如本节开头所述，ρρ是凸的、单调的和S-可加的。自{ρi≤ 0}，i=1，2，是凸的，阶闭的，单调的，剩余不变的。根据引理15，{ρ≤0} + {ρ≤ 0}也是顺序闭合的，并且是剩余不变的。我们声称{ρ≤ 0} + {ρ≤ 0} = {ρρ≤ 0}.“包含内容”” 是清楚的。对于反向包含，取任意X∈ X使得ρρ（X）≤ 0、如果ρρ（X）<0，则存在Y，Z∈ X使得X=Y+Z，ρ（Y）+ρ（Z）<0。取ε>0，设置Y′=Y+（ρ（Y）+ε）S和Z′=Z- （ρ（Y）+ε）S。然后ρ（Y′）=-ε<0且ρ（Z′）=ρ（Y）+ρ（Z）+ε。我们可以取足够小的ε，使ρ（Z′）也小于0。12 S.CHEN、N.GAO和F.XANTHOSThen X=Y′+Z′∈ {ρ≤ 0} + {ρ≤ 0}. 如果ρρ（X）=0，则ρρX+nS=-n<0，因此X+nS∈ {ρ≤ 0} + {ρ≤ 0}对于任意n∈ N、 自X+nSo以来-→ 十、 它遵循X∈ {ρ≤ 0} + {ρ≤ 0}按后一个集合的顺序关闭。这证明了这一说法。

因此，{ρρ≤ 0}是阶闭的，剩余不变，因此ρρ是受正性约束的剩余不变量，通过命题和引理15之前的备注，具有Fatou性质，因此具有super-Fatou性质。最后，我们证明ρρ是精确的。选择任意X∈ 十、如果ρρ（X）=∞, 没有什么可以证明的。因此假设ρρ（X）∈ R、 由于ρ是S-加性的，我们可以假设ρρ（X）=0。然后是X∈ {ρ≤ 0} + {ρ≤ 0}.用Xi写入X=X+X∈ {ρi≤ 0}，即ρi（Xi）≤ 0，对于i=1，2。因此0=ρρ（X）≤ ρ（X）+ρ（X）≤ 因此，ρ（X）+ρ（X）=0。附录A.函数空间我们收集了一些关于函数空间的基本概念和事实，特别是重排不变空间。固定概率空间(Ohm, F、 P）。上方的函数空间(Ohm, F、 P）是L的序理想：=L(Ohm, F、 P），即如果X∈ X和Y是一个随机变量，因此| Y |≤ |X |然后Y∈ 十、函数空间X上的线性泛函φ称为阶连续ifφ（Xn）→ Xno时为0-→ 0英寸X。X上所有阶连续线性泛函的集合称为X的阶连续对偶，用X表示~n、 对于每个φ∈ 十、~n、 存在Y∈ l使E[| XY |]<∞ 对于所有X∈ X和φ（X）=E【XY】，X∈ 十、（A.1）事实上，Y是唯一确定在X的支撑上的。反之亦然，即每年∈ l使E[| XY |]<∞ 对于所有X∈ X决定一些φ∈ 十、~nvia（A.1）。我们确认X~nas是一个功能空间。对于Banach函数空间X(Ohm, F、 P），即赋予完整范数的函数空间，使得kXk≤ kY k无论何时X，Y∈ X和| X |≤ |Y |，众所周知，X~nis是Banach函数空间本身（参见[24，定理2.6.4]），X~n 十、*,其中X*是X和X的范数对偶~n=X*当且仅当X有序连续范数。回想一下，如果kXnk-→ Xno时为0-→ 0英寸X。

对于随机变量Y∈ 十、~nwe将其范数表示为X bykY k上的线性泛函*= 啜饮E[XY]：X∈ X，kXk≤ 1..科姆洛斯定理的以下版本非常有用。提案A.1。设（Xn）为函数空间X中的随机变量序列。然后，存在一个随机变量X（不一定在X中）和（Xn）的子序列（Xnk），因此，如果满足以下任一条件，则（Xnk）的所有子序列的算术平均值几乎肯定会收敛到X：（1）存在X∈ l如此| Xn |≤ XF适用于所有n∈ N、 （2）X是Banach函数空间，（Xn）是范数有界的。证据对于（1），将du=1+XdP。那么u是(Ohm, F） 与P等价。由于（Xn）在L（u）中显然是范数有界的，因此期望的结果来自于Komlos的L（u）定理。对于（2），让0≤ Y∈ 十、~nbe，每X∈ X在{Y>0}之外消失，直至风险度量13null集的强FATOU性质（参见[16，定理5.19]）。放置du=Y+1{Y≤0}Y+1dP。那么u是(Ohm, F） 并且等于P。此外，supnkXnkL（u）≤ 仰卧面[| Xn | Y]≤ kY k公司*supnkXnk<∞.同样，期望的结果来自L（u）的Komlos定理。对于附录的其余部分，我们假设(Ohm, F、 P）是非原子的。设X是上的重排不变（r.i.）空间(Ohm, F、 P），即Banach函数空间X 6={0}，这样X∈ 每当X是一个随机变量，其分布与X的某个成员相同时。两个人。i、 空间X和Y，我们写X 如果X的每个成员都属于Y，我们写X=或者说如果X和Y的成员相同，那么它们是相等的。根据[4，推论6.7，p.78]，我认为∞ 十、 五十、 （A.2）存在两个常数C，C>0，使得kxk≤ CkXk公司∞十、∈ L∞和kXk≤ CkXk公司十、∈ 十、（A.3）对于t∈ （0，1），设ДX（t）=k1ek，其中E∈ F和P（E）=t。它被称为X的基本函数。