美式期权定价的一种新方法：动态切比雪夫方法

这个yieldsmaxx∈X | IN（ε）（X）|=最大值∈十、Xj公司∈Jε（xj）λJ（x）≤εmaxx∈XXj公司∈J |λJ（x）|=：ε∧N。项∧是（多元）切比雪夫节点的勒贝格常数，由∧N=maxx给出∈XXj公司∈Jλj（x）= maxx公司∈XXj公司∈JDYi=1l季（xi）=DYi=1maxxi∈[xi，xi]NiXji=0l冀τ-1[xi，xi]（xi）.自maxxi以来∈[xi，xi]PNiji=0|lji（τ-1[xi，xi]（xi））|=最大值∈[-1,1]PNiji=0|lji（z）|=∧Ni，这是u元切比雪夫插值的勒贝格常数，我们得到∧N=QDi=1∧Ni。根据Trefethen（2013，定理15.2），我们得到了一元Chebyshev插值∧N≤πlog（N+1）+1，因此∧N≤DYi=1πlog（Ni+1）+1.（3.3）对于畸变切比雪夫插值保持不变f（x）- IN（fε）（x）≤ |f（x）- IN（f）（x）+ |IN（ε）（x）.因此，该命题直接来自（3.3）和Sauter and Schwab（2010）。我们利用这个结果来研究动态切比雪夫方法的误差。首先，我们介绍以下假设。假设3.2。我们假设X x 7→ Vtu（x）是一个实值函数，它对广义Bernstein椭圆B（x）有一个解析扩展，tu）带tu公司∈ (1, ∞)丹苏px∈B（X，tu）| Vtu（x）|≤ B如果u=1，n、 命题3.5提供了过程X以及保证假设3.2的函数f和G的条件。在此假设下，我们可以应用命题3.1来获得动态切比雪夫方法在每个时间步的误差界。由于vtude的值依赖于Vtu+1的条件期望，因此该错误界具有递归结构。最终时间步长的插值误差为异常形式（3.2）。在任何其他时间步，通过VTU（xk）近似n节点处的函数值，产生额外的失真误差≈ fg（tu，xk），Xj∈Jcj（tu+1）E[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]=bVtu（xk）开始发挥作用。命题3.1得出εtu：=maxx∈X | Vtu（X）-bVtu（x）|≤ εint(tu，N，D，Btu）+∧NFtu，其中Ftu：=maxj∈J | Vtu（xj）-bVtu（xj）|。

术语ftude取决于函数fan和上一时间步tu+1的插值误差。此外，还有两个额外的误差源会影响误差范围。如果广义矩E没有闭式解，则数值技术（如数值求积或蒙特卡罗方法）会引入额外的误差。前者是典型的决定论和有界的，而后者是随机的。为了在下面的错误分析中包含此错误，我们引入了一些额外的符号。条件期望可以看作是一个线性算子，它在所有连续函数C（RD）的向量s空间上运行，并且具有有限的L∞-标准Γktu:C（RD）→ R随Γktu（f）：=E[f（Xtu+1）| Xtu=xk]。定义所有D变量多项式的子空间PN（X）：=span{pj，j∈ J} 配备L∞-标准我们假设算子Γktuis由线性算子atorbΓktu逼近：PN（X）→ R在PN（X）上，完全满足以下两个条件之一。对于所有u=0，n近似值是确定性的，误差以常数δ| |Γktu为界-bΓktu | | op：=支持∈PN | | p | |=1Γktu（p）-bΓktu（p）≤δ  k∈ J（GM）或近似是随机的，使用基本过程的M个样本，多项式p可能具有随机系数。在这种情况下，我们假设错误界为| |Γktu-bΓktu | | op：=支持∈PN | | p||∞=1EhΓktu（p）-bΓktu（p）我≤ δ（M）k∈ J（总经理*)标准| | p||∞= maxx公司∈XE[| p（x）|]。为了考虑Vtu（x）的随机性，我们用εtu+1:=maxx替换（3.1）∈XEh公司Vtu（x）-bVtu（x）i、 （3.4）注意，在确定性情况下（3.1）和（3.4）是一致的。此外，通过限制紧凑的插值域X，引入了截断误差。

我们假设该集合外的值函数的条件期望以常量[Vtu+1（Xtu+1）1RD\\X | Xtu=xk]为界≤ εtr.（tr）以下定理为动态切比雪夫方法提供了一个误差界。定理3.3。让DPP如定义2.1所示。假设正则性假设3.2成立，截断误差（TR）有界。那么我们有εtu≤nXj=uCj-uεjint+λNLfnXj=u+1Cj-（u+1）（εtr+εgmVj）（3.5），如果假设（gm）成立且εgm=δ，则εgm=δ（M） 如果假设（GM*)保持且C=∧NLf（1+εgm），Vj=maxx∈X | Vtj（X）|和εjint=εint(tj、N、D、Btj）。证据该定理的证明见附录。以下推论提供了误差界（3.5）的简化版本，将其分解为三个不同的误差源（插值误差εint、截断误差εtran和广义矩εgm的数值计算误差）。推论3.4。设设置如定理3.3所示。则误差以εtu为界≤εint(, N、 D，B）+εtr+εgmVCn+1-u（3.6），其中C=max{2，C}，= 最小1≤u≤ntu，B=最大值1≤u≤nBtu，V=最大值≤j≤内华达州。此外，如果εtr=0，Lf=1，N=Ni，i=1，D误差范围可以进一步简化。低于（GM*) δ（M）≤ c类/√M、 c>0 yi eldsεtu≤ c-Nlog（N）D N+~clog（N）D nM-0.5.对于某些常数▄c，▄c>0。在（GM）术语M下-0.5由δ代替。证据假设C>2并使用几何级数，误差界（3.5）中的第一项可以写成nxj=uCj-uεjint≤εintnXj=uCj-u=εintn-uXk=0Ck=εint1.- Cn+1-u1级- C≤εintCn+1-u、 式中，εint=maxjεjint=maxjεint(tj、N、D、Btj）≤ εint(, N、 D，B）用于 = 最小1≤u≤nuandB=最大值1≤u≤nBtu。对于C≤ 2总和以εintn+1为界-u、 类似地，我们获得误差界（3.5）中的第二项，β=（εtr+εgmVj）∧NLfnXj=u+1Cj-（u+1）βj≤ ∧NLfβn-（u+1）Xk=0Ck≤ ∧NLfβCn-u≤ βCn+1-uwhereβ=maxjβj。

此外，我们使用∧NLf≤ ∧NLf（1+εgm）=最后一步中的C。因此，我们得到以下误差界（3.5）εtu≤ （εint+β）~Cn+1-u型=εint(, N、 D，B）+εtr+εgmVCn+1-u、 式中，C=max{2，C}和v=maxjVj，表示s（3.6）。此外，使用误差界的定义（3.2）和N=Ni，i=1，D我们得出结论，εint(, N、 D、B）≤ c-对于常数c>0。对于切比雪夫插值的Lebesgue常数，存在一个常数c>0，使得∧N≤DYi=1πlog（N+1）+1≤DYi=1π+ 1日志（N）≤ 堵塞（N）D.Under（GM*), δ（M）≤ c类/√M、 当εtr=0，Lf=1εtu时，c>0产量≤εint(, N、 D，B）+εtr+εgmV∧NLf（1+εgm）n+1-u≤c-N+cV M-0.5堵塞（N）D（1+cM-0.5)n≤ c-Nlog（N）D N+~clog（N）D nM-0.5，对于N，这个收敛到零→ ∞ 如果√M>log（N）D N。如果（GM）保持不变，我们有εGM=δ和M项-0.5替换为δ。以下命题提供了值函数对某些广义Bernstein椭圆和假设3.2hold进行分析扩展的条件。提案3.5。考虑（2.4）和（2.5）中定义的具有等距时间步进且g（t，x）=g（x）的DPP。设X=（Xt）0≤t型≤t是一个具有静态增量的马尔可夫过程。假设ehη，·ig（·）∈ 对于某些η，L（RD）∈ Rd和g是广义Bernstein椭圆B（X，g） 。此外，假设f:R×R→ R对C有一个解析扩展。如果（i）特征函数φxof X对于everyx，twith X=X在L（RD）中∈ 十、 （ii）对于每个z∈ RDX映射7→ ^1x（z- iη）对B（X，^1）且存在常数α∈ （1，2）和c，c>0，使SUPX∈B（X，Д）|Дx（z）|≤ 总工程师-所有z的c | z |α∈ RD，然后是值函数x 7→ DPP的Vtu（x）具有对B（x）的分析扩展，)具有 = g、 证明。在T处，值函数x 7→ VT（x）是解析的，因为VT（x）=g（x），GHA是假设的解析扩展。此外，ehη，·ig（·）∈ 对于某些η，L（RD）∈ RD。

我们假设ehη，·iVtu+1（·）∈ L（RD）和Vtu+1具有分析扩展toB（X，). 然后函数X 7→ Vtu（x）=fg（x），E[Vtu+1（Xtu+1）| Xtu=x]如果x 7，则为分析型→ E[Vtu+1（xT+1）| xT=x]=E[Vtu+1（Xxt） ]h作为分析扩展。从Gasset al.（2018，条件3.1）中，我们获得了条件（A1）-（A4），其函数形式为（p，p）7→ E[fp（Xp）]是分析的。在我们的例子中，我们只有p参数p=x，所以Xp=Xxt、 自η、·iVtu+1（·）起，满足条件（A1）∈ L（RD）和（A2）我们必须验证| bVtu+1(-z-iη）|≤ cec | z |对于常数c，c>0|bVtu+1(-z- iη）|=ZRDeihy，-z-iηiVtu+1dy≤ZRD | e-ihy，zi|ehy，ηiVtu+1（y）dy公司≤ ||ehη，·iVtu+1（·）| |土地因此（A2）持有。其余条件（A3）-（A4）等同于我们的条件（i）-（ii），Gass等人（2018，定理3.2）得出x 7的解析性→E[Vtu+1（Xxt） ]在Bernstein椭圆B（X，φ). 因此，x 7→ Vtu（x）是解析函数的组合，因此在解析性B（x，φ) ∩ B（X，g） =B（X，) 具有 = 最小值{g、，φ}.还有待证明ehη，·iVtu（·）∈ L（右）。这里，Lipschitz连续性off产生| | ehη，·iVtu（·）| | L1≤ Lf公司||ehη，·ig（·）| L1+| ehη，·iVtu+1（·）| L< ∞.通常，离散时间问题（2.4）和（2.5）是连续时间问题的近似值，因此，我们对n的误差行为感兴趣→ ∞.备注3.6。假设设置为推论3.4。此外，假设εtr=εgm=0。如果我们让N和N进入单位，我们必须确保误差界趋于零。我们使用εint(, N、 D、B）≤ C-对于常数C>0且n=miniNi。

关于n和n之间关系的下列条件保证了convergencen<log()CD·Nlog（λN）+log（Lf）+1.4动态切比雪夫方法的实现方面在这一节中，我们讨论了几种计算包含模型相关部分的广义矩（2.7）的方法。此外，在准备数值实验时，我们将动态切比雪夫方法用于美国看跌期权的定价。4.1广义矩的推导通常，问题是如何推导广义矩（2.7）。在这里，我们提出了四种不同的方法，并说明了一维案例X=[X，X]中的所有方法。对于多维域，可以得到类似的公式。概率密度函数对于E的推导[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]，让随机变量Xtu+1 | Xtu=xkbe的密度函数为fu，k（x）。然后，通过求解一个积分E[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]=ZxxTj（τ），可以导出条件期望-1[x，x]（y））fu，k（y）dyusing pj（y）=Tj（τ-1X（y））1X（y）。这种方法更加直观，易于实现。傅里叶变换假设过程X具有平稳增量，且X的特征函数为它明确可用。我们应用Parseval的恒等式，见Rudin（1973），并使用傅里叶变换[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]=Z∞-∞pj（x+xk）F（dx）=2πZ∞-∞cpxkj（ξ）Д(-ξ） dξ，其中pxkj（x）=pj（x+xk）。利用τ[x，x]的定义，我们可以借助切比雪夫多项式Tj（y）来表示pxkj（x）的fourier变换。

这个值[pj（xt+1）| xt=xk]=2πe-iξxkeiξ（x-x个-x） x个- xZ公司∞-∞bTj公司x个- xξφ(-ξ） dξ。（4.1）Dominguez等人（2011）提出的切比雪夫多项式Btjare的傅立叶变换，作者还提供了一个Matlab实现。截断矩在这种方法中，我们使用每个一维切比雪夫多项式可以表示为单项式之和，即Tj（x）=jXl=0alxl，j∈ N、 系数al，l=0，j、 使用chebfun functionpoly（），s ee Driscoll et al.（2014）可以很容易地导出。那么，E[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]=E[Tj（τ-1X（Xtu+1））1X（Xtu+1）| Xtu=xk]=jXl=0alE[（τ-1X（Xtu+1））lX（Xtu+1）| Xtu=xk]由于τXis是线性的，因此广义力矩的计算已简化为推导截断力矩。蒙特卡罗模拟最后，特别是在给定概率密度函数或基础过程的非特征函数的情况下，蒙特卡罗模拟是一个合适的选择。对于每个节点，xkone simu将NMCpaths Xitu+1 of Xtu+1，起始值Xtu=xk。然后，这些模拟可用于近似Γtu，tu+1（pj）（xk）=E[pj（xu+1）| xu=xk]≈NMCNMCXi=1pj（Xitu+1），每j∈ J、 有关SDEs和variancereduction技术的蒙特卡罗模拟概述，请参阅Glasserman（2003）。4.2美式看跌期权在数值部分，我们使用动态切比雪夫方法对美式看跌期权进行定价。假设资产模型的形式为St=eXt，则DPP变为SVT（x）=（K- ex）+Vtu（x）=maxn（K- ex）+，e-r（tu+1-tu）E[Vtu+1（Xtu+1）| Xtu=x]o。通常，对未部署进程Xtu的支持是R，并且限制域toX会引入一个扩展错误。我们通过利用支付函数的渐近行为来减少这种错误。如果Xtu低于练习边界，则该选项的练习值为K-我们为Xtu<x开发的extu。

函数x 7→ x的V从上方调零→ ∞ 因此，对于足够大的x，在x>x时截断为零是正确的。因此，我们介绍了动态切比雪夫方法的以下修改：Vtu+1（x）=Vtu+1（x）1{x<x}+Vtu+1（x）1{x∈X}+Vtu+1（X）1{X>X}≈ （K）-ex）1{x<x}+bVtu+1（x）1{x∈X}和thusE[Vtu+1（Xtu+1）| Xtu=xk]≈ E[（K- eXtu+1）1{Xtu+1<x}| Xtu=xk]+NXj=0cj（tu+1）Γj，对于x小且x足够大的x，k（tu）。可以预先计算E[（K-eXtu+1）1{Xtu+1<x}| Xtu=xk]。我们强调，对于其他支付工具，如数字、黄油期货期权或任何其他不同认沽期权组合，可以找到减少截断误差的类似修改。此外，我们还修改了第一时间步骤。我们没有在tn=T时用切比雪夫多项式来近似支付，而是使用欧佩恩期权的价格来计算tn处的连续值-1、在这种情况下，Payoff的扭结被“平滑”，收敛得到改善。期权的灵敏度Delta和Gamma可通过计算s 7的一阶或二阶导数来计算→bV（log（S））=Xj∈Jcj（t）pj（log（S））。因此，Delta和Gamma表示为切比雪夫多项式的导数之和。特别是，它们的推导没有任何额外的计算成本。5数值实验在这一部分中，我们使用动态切比雪夫方法对M er-ican看跌期权进行定价，并对该方法的收敛性进行了数值研究。此外，我们将该方法与Longstaff和Schwartz（2001）的最小二乘蒙特卡罗方法进行了比较。5.1股票价格模型为了进行收敛性分析，我们使用了三种不同的股票价格模型。Black-Scholes模型：在Black和Scholes（1973）的经典模型中，股票价格过程由SDEdSt=rStdt+σSTDWT建模，其中r是无风险利率，σ>0是波动率。

在这个模型中，log返回Xt=log（St）是正态分布的，对于X的双截断矩[Xm[a，b]（X）]~ N（u，σ）显式公式可用。Kan和Robotti（2017）给出了（多元）截断矩的结果，并提供了Matlab实现。默顿跳跃扩散模型：默顿（1976）引入的跳跃扩散模型将跳跃添加到经典的Black-Scholes模型中。对于St=SEXT，日志返回XT，根据N（α，β）的正常分布跳跃大小，跟随波动率σ的跳跃差异，并增加跳跃，达到速率λ>0。Xt的特征函数由ν（z）=exp给出t型ibz公司-σz+λeizα-βz- 1.风险中性漂移b=r-σ- λeα+β- 1..恒定方差弹性模型：Schroder（1989）中所述的恒定方差弹性模型（CEV）是一种基于随机过程的局部波动性模型，对于β>0的情况，其t=rStdt+σSβ/2tdwtf。（5.1）因此股票波动率σS（β-2） /2t取决于库存大米的当前水平。对于特殊情况β=2，该模型与Black-Scholes模型一致。然而，从市场数据来看，aβ通常小于2。CEV模型是一个既没有概率密度，也没有封闭形式的特征函数的模型。5.2收敛性分析在本节中，我们研究动态切比雪夫方法的收敛性。我们在Black-Scholes和Merton跳跃扩散模型中对美国看跌期权以及期权的Delta和Gamma进行定价，我们可以使用Fan g和Oosterlee（2009）的科斯方法作为基准。

COS方法基于密度函数的傅里叶余弦表达式，为L'evy模型类提供快速准确的结果。对于实验，我们使用Black-ScholesmodelK=100，r=0.03，σ=0.25，T=1中的以下参数集，对于Merton跳跃微分模型k=100，r=0.03，α=-0.5，β=0.4，σ=0.25，λ=0.4，我们使用32个时间步。对于这两种模型，广义矩都是通过（4.1）中所述的傅立叶方法计算的。我们在ξ处截断积分≤ 250并使用Clenshaw Curtis和500个节点进行数值积分。对于切比雪夫多项式的傅立叶变换，使用Dominguez等人（2011）的实现。Werun动态切比雪夫方法用于越来越多的切比雪夫节点n=50，100，750.然后，期权价格及其敏感性delta和gammaare在不同值的网格上计算，这些值依次分布在罢工K的60%和140%之间。将所得价格和Gr EEK作为基准进行比较，并计算网格上的最大误差。在此，我们使用von Sydow等人（2015）中提供的实现。图5.1显示了Black-Scholes模型（左侧）和Merton模型（右侧）的误差衰减。我们发现该方法收敛，误差小于10-N=300个切比雪夫节点达到3。实验证明，该方法可用于美式看跌期权。0 250 500 750-6-5-4-3-2-10 250 500 750-6-5-4-3-2-1图5.1：BS模型（左）和默顿模型（右）中的误差衰减价格动态切比雪夫。利用Fourier变换计算了切比雪夫多项式的条件期望。5.3动态切比雪夫和蒙特卡洛·卡洛索迄今为止，我们实证研究了期权价格及其衍生工具方法的误差衰减。