美式期权定价的一种新方法：动态切比雪夫方法

在本节中，我们将动态切比雪夫方法与Longsta off和Schwartz（2001）的最小二乘蒙特卡罗方法在sof精度和运行时间方面进行比较。5.3.1 Black-Scholes模型作为第一个基准，我们使用Black-Scholes模型，利率r=0.03，波动率σ=0.25。在这里，我们看一个完整的期权价格表，它的到期日和行使权各不相同。我们在byT提供的一个月和四年之间选择12种不同的到期日∈ {1/12、2/12、3/12、6/12、9/12、1、15/12、18/12、2、30/12、3、4}和罢工平均分布在当前股票价格的80%和120%之间=100（按5%的步骤）。我们假设每年有504个时间步（即行使权利）。我们比较了动态切比雪夫方法和最小二乘蒙特卡罗方法。我们对越来越多的蒙特卡罗路径运行这两种方法∈ {2500, 5000, 10000, 20000, 40000, 80000} .（5.2）DC方法的收敛性取决于节点数N和蒙特卡罗路径数M。为了获得最佳收敛行为，需要在这些因素之间找到合理的关系。对于以下实验，我们将切比雪夫节点的数量固定为N=√√M、 图5.2显示了N=400和dM=80000的价格面和误差面。以COS法为基准估计误差。最大误差小于4* 10-2在整个选项表面上。在图5.3中，日志错误显示为两种方法的日志运行时的函数。左图比较了总运行时，右图比较了在线运行时。对于动态切比雪夫方法，总运行时间包括在线阶段和在线阶段。o’s阶段包括模拟基础资产流程X的一个时间步t对于N+1起始值X=xk，计算条件期望值E[pj（Xt） | X=xk]对于j，k=0，N

onlin e阶段是针对所有罢工和到期的美式期权的实际定价。类似地，最小二乘蒙特卡罗方法的总运行时间包括蒙特卡罗路径的模拟（oêine阶段）和通过反向归纳法对期权进行定价（在线阶段）。我们观察到，动态切比雪夫方法在较低的运行时间内达到了相同的精度。例如，使用动态切比雪夫方法，在0.5s的总运行时间内，最大误差达到0.1，而LSM方法需要98s。这意味着，对于相同的精度，动态切比雪夫方法几乎落后200倍。对于在线阶段的实际定价，效率的提高甚至更高。我们观察到，动态切比雪夫方法在总运行时间和纯在线运行时间方面优于L east Square Monte Carlo方法。此外，我们还观察到，对于动态切比雪夫方法，将计算分解为一个在线阶段和一个在线阶段的性能增益要高得多。对于站姿，在上面的示例中，当LSM需要95秒时，动态切比雪夫方法的在线运行时间为0.05秒，这是1900倍以上的系数。动态切比雪夫方法的主要优点是，一旦计算出条件期望值，它们就可以用来为整个期权表面定价。纯定价，即在线阶段，效率很高。此外，只需模拟一个时间步而不是完整路径。我们通过改变-0.01-0.0050.0050.010.015的数量来研究这一效率增益。图5.2：BlackScholes模型中动态切比雪夫方法的价格面和相应误差。条件期望值用蒙特卡罗方法计算-1 0 1 2 3-2.5-2-1.5-1-0.5-1 0 1 2 3-2.5-2-1.5-1-0.5图5.3：总/在线运行时间与精度的对数-对数图。

动态切比雪夫方法和最小二乘蒙特卡罗算法的比较。选项和时间步数（行使权利）。图5.4将DC方法的总运行时间与LSM方法的总运行时间进行了比较，得出选项数量增加，时间步数增加的结果。正如预期的那样，我们可以从经验上证实，动态切比雪夫方法的效率收益随着期权数量和行权数量的增加而增加。在这两种情况下，DC方法的运行时间几乎保持不变，而LSM方法的运行时间近似线性增加。0 10 20 30 40 50 600 200 400 600 800 1000图5.4：增加选项数（左）和增加时间步数（右）的DC和LSM方法的总运行时间。5.3.2 CEV模型接下来，我们将恒定方差弹性（CEV）模型用于基础股票价格过程。我们执行与上一节相同的实验。CEV模型中的参数，如（5.1）所示，如下σ=0.25，r=0.03，β=1.5。同样，我们通过计算期权价格曲面的价格，比较了动态C-hebyshev方法和LSM方法。我们对K、T和n使用相同的参数规格。我们对越来越多的蒙特卡罗模拟M和n运行这两种方法=√√M、 图5.5显示了N=400和M=80000的价格面和误差面。使用基于Nelson和Ramaswamy（1990）的CEV模型的二叉树实现来计算误差-10-8-6-4-3-2图5.5:CEV模型中动态切比雪夫方法的价格面和相应误差。条件期望值用蒙特卡罗方法计算。在图5.6中，日志错误显示为两种方法的日志运行时的函数。左图比较了总运行时间，右图比较了在线运行时间。

再次，我们观察到，对于相同的精度，动态切比雪夫方法速度更快，并且它更适合于在线分解。例如，DC方法的总运行时间是3.5s，而LSM需要136s，以r每个精度低于0.03s。对于联机运行时，此输出性能为1到122s-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5-2.5-2.5-1-0.5图5.6：总/在线运行时间与精度的对数-对数图。动态切比雪夫方法和最小二乘蒙特卡罗算法的比较。我们进一步调查了这一效率增益，并考察了不同数量的期权和时间步（行使权利）的绩效。与上一节类似，图5.7将DC方法的总运行时间与LSM方法的总运行时间进行了比较，以获得越来越多的选项和时间步长。在这两种情况下，DC方法的运行时间几乎保持不变，而LSM方法的运行时间近似线性增加。这一观察结果与前一节中Black-Scholes模型的发现一致。0 10 20 30 40 50 600 200 400 600 800 1000图5.7：增加选项数（左）和增加时间步数（右）的DC和LSM方法的总运行时间。6结论与展望我们引入了一种新的方法，通过使用切比雪夫多项式逼近价值函数，通过反向归纳对美式期权进行定价。因此，将每个时间步中值函数的条件期望的计算简化为多项式的条件期望的计算。推荐的方法将期权的定价分为依赖于模型的部分（条件期望的计算）和独立于基础模型的给定支付的纯价格。

第一步，即计算切比雪夫多项式的条件期望，是该方法的所谓o峈ine阶段。该方法的设计具有所有定性优势：o如果条件期望设置一次，我们可以将其用于许多不同选项的定价。因此，在线步骤中的实际定价变得非常简单和快速。o在预计算步骤中，可以将该方法与不同的技术相结合，如傅立叶方法和蒙特卡罗模拟。因此，该方法可以应用于各种模型中建议的方法非常通用和灵活，因此不限于美式期权的定价。它可以用来解决一大类最优停车问题我们得到了期权价格的闭合形式近似值，作为每个时间步股票价格的函数。该近似值可用于计算期权的灵敏度δ和γ，无需额外成本。这适用于所有模型和支付文件，即使在o freu inephase中需要蒙特卡罗该方法易于实现和维护。预计算步骤非常适合并行化以加速该方法。我们研究了该方法的理论误差行为，并引入了显式误差界。我们特别强调了该方法与蒙特卡罗模拟的结合。数值实验证明，该方法适用于美式期权的定价。将该方法与Longstaff和Schwartz（2001）提出的最小二乘蒙特卡罗方法进行了详细比较，证实了该方法的高效性。特别是，当对大量期权定价时，例如整个期权价格表。在这种情况下，动态Cheby-shev方法非常适合于在线分解。

一旦计算出条件期望值，它们就可以用来为具有不同成熟度和行使权的期权定价。除了效率增益外，价格函数的闭合形式近似也是一个显著的优势，因为它允许我们计算灵敏度。自从L on gsta ff和Schwartz（2001）介绍了他们的方法以来，引入了不同的修改。要么提高效率，要么解决敏感性问题。例如，Jain和Oosterlee（2015）的模拟算法在效率方面与LSM相当，但能够在无额外成本的情况下计算希腊人。此外，开发了双重方法以获得期权价格的上界，见Rogers（2002）和Belomestny et al.（2018）。在分析性假设下提出的方法误差分析是在分段分析性和（分段）差异性情况下进一步理论研究的起点。前者允许严格涵盖美国期权定价问题，初步版本见Mahlstedt（2017）。该方法的定性优点可用于多种应用。Glau等人（2018年）利用闭合形式近似值，有效计算早期锻炼选项的预期暴露，作为CVA计算的一个步骤。此外，该方法还可用于定价不同的期权，如障碍期权、摆动期权或多元美国期权。定理3.3Proof的证明。考虑定义2.1中定义的DPP，即我们有一个Lipschitz连续函数| f（x，y）- f（x，y）|≤ Lf（| x- x |+| y- y |）。假设正则性假设3.2和截断误差（truncationerror，TR）假设成立。然后我们必须区分确定性案例（GM）和随机案例（GM*). 在第一种情况下，可以忽略误差范围内的期望值。

首先，我们应用命题3.1。在时间点T，无随机部分，无失真错误。因此，maxx∈XEh | VT（x）-bVT（x）| i=maxx∈X | VT（X）-bVT（x）|≤ εint(tn、N、D、Mtn）。为了便于记法，我们将从已知的书写εjint=εint(tj、N、D、Mtj）。我们获取tumaxx的错误信息∈XEh | Vtu（x）-bVtu（x）| i≤ εuint+∧NF（f，tu）（A.1），最大变形误差f（f，tu）=maxk∈JEh | Vtu（xk）-bVtu（xk）| i.请注意，无论是（GM）还是（GM*) 保持VTU+1条件期望的近似误差，即[bVtu+1（xUT+1）| xT=xk]=Γktu（bVtu+1）≈bΓktu（bVtu+1）。f产量的Lipschitz连续性Vtu（xk）-bVtu（xk）=fg（tu，xk），Γktu（Vtu+1）-fg（tu，xk），bΓktu（bVtu+1）≤ Lf公司g（tu，xk）- g（tu，xk）+Γktu（Vtu+1）-bΓktu（bVtu+1）= Lf公司Γktu（Vtu+1）-bΓktu（bVtu+1）≤ Lf公司Γktu（Vtu+1X）- Γktu（bVtu+1）+Γktu（Vtu+1RD\\X）+Γktu（bVtu+1）-bΓktu（bVtu+1）.接下来，我们考虑三个错误项中每一项的期望值。就我们获得的第一期而言Γktu（Vtu+1X）- Γktu（bVtu+1）i=EhE[Vtu+1（Xtu+1）1X-bVtu+1（xT+1）| xT=xk]我≤ maxx公司∈XEh | Vtu+1（x）-bVtu+1（x）| i=εtu+1，对于第二项，我们有Γktu（Vtu+1RD\\X）我≤ E[εtr]=εtr。对于最后一项，我们必须区分两种情况。如果我们假设（GM）成立，那么运营商的标准是IELDΓktu（bVtu+1）-bΓktu（bVtu+1）=Γktu-bΓktubVtu+1≤Γktu-bΓktuop公司bVtu+1∞≤δbVtu+1∞.接下来，我们考虑第二种情况，并假设（GM*) 持有。那我们有了Γktu（bVtu+1）-bΓktu（bVtu+1）我≤Γktu-bΓktuop公司bVtu+1∞≤ δ（M）bVtu+1∞.因此，在任何一种情况下，以下界限保持不变Γktu（bVtu+1）-bΓktu（bVtu+1）我≤ εgmmaxx∈如果假设（gm）成立且εgm=δ，则XEh | bVtu+1（x）| iεgm=δ（M） 如果假设（GM*)持有。

我们需要切比雪夫近似Maxx的最大值的上界∈XEh | bVtu+1（x）| i≤ maxx公司∈XEh | bVtu+1（x）- Vtu+1（x）| i+maxx∈X | Vtu+1（X）|≤ εtu+1+Vu+1，Vu+1：=最大值∈X | Vtu+1（X）|。因此，误差界（A.1）变为εtu≤ εuint+∧NLf（1+εgm）εtu+1+εtr+εgmVu+1.通过归纳，我们现在显示（3.5）。对于u=n，我们有εtn≤ 因此，εnintand（3.5）对u=n成立。我们假设对于n，u+1方程（3.5）成立。对于误差εtu，我们得到εtu≤ εuint+∧NLf（1+εgm）εtu+1+εtr+εgmVu+1≤ εuint+∧NLf（1+εgm）nXj=u+1Cj-（u+1）εjint+∧NLfnXj=u+2Cj-（u+2）（εtr+εgmVj）+ εtr+εgmVu+1= εuint+CnXj=u+1Cj-（u+1）εjint+∧NLfCnXj=u+2Cj-（u+2）（εtr+εgmVj）+εtr+εgmVu+1= εuint+nXj=u+1Cj-uεjint+∧NLfnXj=u+2Cj-（u+1）（εtr+εgmVj）+εtr+εgmVu+1=nXj=uCj-uεjint+λNLfnXj=u+1Cj-（u+1）（εtr+εgmVj），这是我们的索赔。参考Belomestny，D.、S.H¨afner和M.Urusov（2018）。基于回归的嵌套蒙特卡罗方法的复杂性推导。暹罗金融数学杂志9（2），665–689。Black，F.和M.Scholes（1973年）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》81（3）。Brennan，M.J.and d.E.S.Schwartz（1977年）。美国看跌期权的估值。《金融杂志》2（32），449–462。Cai，Y.和K.L。贾德（2013）。保形动态规划。运筹学数学方法77（3），407–421。Dominguez，V.、I.Gr ah am和V.Smyshlyaev（2011年）。高振荡积分的Filon–Clenshaw–Curtis规则的稳定性和误差估计。IMA数值分析杂志31（4），1253–1280。Driscoll、T.A.、N.Hale和L。N、 Trefethen（2014）。Chebfun指南。Fang，F.和C.W.Oosterlee（2009）。通过傅里叶余弦级数展开对早期行使和离散障碍期权进行定价。数字数学114（1），27。Gass，M.、K.Glau、M.Mahlstedt和M.Mair（2018年）。C hebyshevinterpolation用于参数期权定价。

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