美式期权定价的一种新方法：动态切比雪夫方法

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英文标题：
《A new approach for American option pricing: The Dynamic Chebyshev method》
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作者：
Kathrin Glau, Mirco Mahlstedt, Christian P\\\"otz
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a new method to price American options based on Chebyshev interpolation. In each step of a dynamic programming time-stepping we approximate the value function with Chebyshev polynomials. The key advantage of this approach is that it allows to shift the model-dependent computations into an offline phase prior to the time-stepping. In the offline part a family of generalised (conditional) moments is computed by an appropriate numerical technique such as a Monte Carlo, PDE or Fourier transform based method. Thanks to this methodological flexibility the approach applies to a large variety of models. Online, the backward induction is solved on a discrete Chebyshev grid, and no (conditional) expectations need to be computed. For each time step the method delivers a closed form approximation of the price function along with the options\' delta and gamma. Moreover, the same family of (conditional) moments yield multiple outputs including the option prices for different strikes, maturities and different payoff profiles. We provide a theoretical error analysis and find conditions that imply explicit error bounds for a variety of stock price models. Numerical experiments confirm the fast convergence of prices and sensitivities. An empirical investigation of accuracy and runtime also shows an efficiency gain compared with the least-square Monte-Carlo method introduced by Longstaff and Schwartz (2001).
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中文摘要：
介绍了一种基于切比雪夫插值的美式期权定价方法。在动态规划时间步长的每一步中，我们用切比雪夫多项式来近似值函数。这种方法的主要优点是，它允许在时间步进之前将依赖于模型的计算转换为脱机阶段。在离线部分，通过适当的数值技术（如蒙特卡罗、偏微分方程或基于傅立叶变换的方法）计算一系列广义（条件）矩。由于这种方法的灵活性，该方法适用于各种各样的模型。在线情况下，反向归纳法在离散切比雪夫网格上求解，无需计算（条件）期望值。对于每个时间步，该方法提供价格函数的闭合形式近似值以及期权的delta和gamma。此外，同一系列（条件）矩会产生多个输出，包括不同行使、到期日和不同支付模式的期权价格。我们提供了一个理论误差分析，并找到了暗示各种股票价格模型显式误差界的条件。数值实验证实了价格和灵敏度的快速收敛性。与Longstaff和Schwartz（2001）提出的最小二乘蒙特卡罗方法相比，精度和运行时间的实证研究也显示了效率的提高。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_new_approach_for_American_option_pricing:_The_Dynamic_Chebyshev_method.pdf (719.79 KB)

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关键词：美式期权 切比雪夫 期权定价 新方法 Expectations

美式期权定价的新方法：动态切比雪夫方法Kathrin Glau1,2，Mirco Mahlstedt2，*, Christian P¨otz1,2，*伦敦玛丽女王大学、德国慕尼黑英国技术大学2018年6月15日摘要我们介绍了一种基于切比雪文插值的美式期权定价新方法。在动态编程时间步进的每一步中，我们用切比雪夫多项式逼近值函数。这种方法的主要优点是，它允许将依赖于模型的计算先转移到时间步进阶段，然后再转移到时间步进阶段。在o形函数部分，通过适当的数值技术（如蒙特卡罗、偏微分方程或基于傅立叶变换的方法）计算广义（条件）矩族。由于这种方法的灵活性，该方法适用于各种各样的模型。在线上，反向归纳法在一个具体的切比雪夫网格上求解，无需计算（条件）期望。对于每个时间步，该方法提供价格函数的闭合形式近似值以及期权的delta和gamma。此外，同一系列（有条件的）矩具有多个输出，包括不同行使、到期和不同支付的期权价格。我们提供了一个理论误差分析和发现条件，暗示了各种股票价格模型的显式误差界。数值实验证实了价格和敏感性的快速收敛性。

准确度和运行时间的实证研究也表明，与Longsta off和Schwartz（2001）引入的最小二乘蒙特卡罗方法相比，该方法具有更高的效率。美国期权定价、复杂性降低、动态规划、多项式插值2010 MSC 91G60、41A101简介对于金融机构来说，一项具有挑战性的任务是计算股票期权等大型衍生品组合的价格和敏感性。通常，股权期权具有提前行权的特点，d可以在任何时候行权，直至到期（美国类型），也可以在一组预先确定的行权日期行权（百慕大类型）。在lackof显式解中，已经开发了不同的数值方法来处理*作者感谢毕马威风险管理卓越中心的支持。这个问题。Brennan and Schwartz（1977）提出了Black-Scholes模型中计算美式看跌期权价格的第一个算法。在这种方法中，等式中的相关部分差异通过有限差异方案解决。自那时以来，已经积累了大量文献，进一步发展了PDE ap方法，包括跳跃模型的方法s（Levendoski（2004），Hilber等人（2013）），二维扩展（Haentjens和Inthout（2015）），以及与复杂性降低技术的组合（Haasdonk等人（2013））。除了基于PDE的方法外，还引入了多种其他方法，其中许多方法可追溯到通过动态编程原理解决最优停止问题的方法，参见Peskir和Shiryaev（2006）。对于基于傅立叶的解决方案，werefer to Lord et al.（2008），Fang和Oosterlee（2009）。

基于模拟的方法非常重要，这一组最突出的代表是Longstaff和Schwartz（2001）的最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法，我们参考Glasserman（2003）对不同蒙特卡罗方法的概述。与模拟相比，傅立叶和偏微分方程方法通常效率很高，但是，它们对模型的变化，尤其是维度的变化不太灵活。为了协调PDE和Fourier逼近的优点与蒙特卡罗模拟的灵活性，我们提出了一种新方法。我们考虑一个动态的p程序设计时间步进。设Xt为基本马尔可夫过程，值函数VT由以下公式给出：VT（x）=g（x）VT（x）=f（g（t，x），E[VT+1（Xt+1）| Xt=x]）。时间步长t<t+1<…<T和支付函数g。计算挑战是计算所有时间步T和所有状态x的E[Vt+1（Xt+1）| Xt=x]，其中Vt+1依赖于所有之前的时间步。为了解决这个问题，我们用切比雪夫多项式插值来逼近每个时间步的值函数。因此，我们将值函数表示为Cheby-shev多项式的有限和[Vt+1（Xt+1）| Xt=x]≈Xct+1jE[Tj（Xt+1）| Xt=x]（1.1）切比雪夫多项式的选择是由切比雪夫插值的有希望的特性推动的，例如：系数向量（ct+1j）j=0，。。。，Nis明确表示为切比雪夫网格点xk处值Vt（xk）的线性组合。为此，需要在切比雪夫网格点x=xkonly处求解方程（1.1）解析函数插值的指数收敛性和微分函数的多项式收敛性取决于阶数插值可以以数值稳定的方式实现。单个时间步的连续值计算与欧式期权的定价一致。

Gass等人（2018）提出了其切比雪夫多项式插值方法，该方法显示出了巨大的前景，并且针对大量模型和期权类型建立了指数收敛性。此外，用切比雪夫多项式逼近值函数已经证明对经济学中的最优控制问题是有益的，见Judd（1998）和Cai and Judd（2013）。我们的美式期权定价方法的关键优势在于，它收集了广义条件矩Γj，k=E[Tj（Xt+1）| Xt=xk]中所有依赖于模型的ent计算。如果没有闭合形式的解，则可以在时间步进之前将其计算转移到oin e阶段。根据未建立的模型，可以选择合适的数值技术，如蒙特卡罗、PDE和Fourier变换方法，这表明了该方法的高度灵活性。一旦计算了广义条件矩Γj，kare，则在离散Chebyshev网格上求解反向归纳。这避免了在时间步进过程中对条件期望的任何计算。对于每个时间步骤，该方法提供价格函数x 7的闭合形式近似→PctjTj（x）以及选项的delta和gamma。由于广义条件矩族Γj，kar与值函数无关，因此它们可用于生成多个输出，包括不同走向、成熟度和不同产品的期权价格。该方法的结构也有利于预测未来风险的计算，这是计算CVA的计算瓶颈，如Glau等人（2018）所述。松脂素在线分解将模型和支付分离，产生模块设计。我们利用这种结构进行彻底的错误分析，并找到暗示显式错误界限的条件。

它们通过将切比雪夫插值、时间步进和o峈ine计算分解为分离来反映模块性。在光滑条件下，导出了渐近收敛性。我们使用Black-Scholes模型、Merton\'sjump扩散模型和恒定方差弹性（CEV）模型作为局部波动模型的代表进行了数值实验。因此，为了计算广义条件矩，我们使用了不同的技术，即基于傅立叶变换和蒙特卡罗模拟的数值积分。数值实验证实了期权价格及其delta和gamma的快速收敛。与LSM的综合比较揭示了新方法的潜在效率增益，尤其是当同一基础上的多个期权定价时。本文的其余部分组织如下。我们在第2节中介绍了问题设置和新方法，并在第3节中提供了错误分析。第4节讨论了实现的一般特征，第5节介绍了数值实验。第6节是文章的结尾，随后是一个附录，证明了主要结果。2动态规划问题的切比雪夫方法首先，我们将Bellman-Wald方程作为动态规划的一种特殊形式。其次，我们为切比雪夫插值提供了必要的符号。然后，我们将介绍这种新方法及其在美国期权定价中的应用。2.1最佳停车和动态编程let X=（Xt）0≤t型≤t状态空间定义在过滤概率空间上的马尔可夫过程(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。设g:[0，T]×Rd-→ R是带E的连续函数sup0≤t型≤T | g（T，Xt）|< ∞.

ThenV（t，x）：=支持≤τ≤TE[g（τ，Xτ）| Xt=X]表示所有（t，X）∈ [0，T]×rD所有停车时间τ，见Peskir和Shiryaev（2006）中的（2.2.2′）。在离散时间内，最优停车问题可以用动态规划来解决。即，时间步进t=t<…<tn=T最佳停车问题的解可以通过反向感应vt（x）=g（T，x）Vtu（x）=max来计算g（tu，x），E[Vtu+1（Xtu+1）| Xtu=x].注意，n是指t和t之间的时间步数。为方便起见，我们在每个时间步用下标T表示值函数，直接参考时间步tu。有关离散时间最优控制问题的详细概述，请参考Peskir和Shiryaev（2006）。2.2切比雪夫多项式插值Trefethen（2013）中详细描述的单变量切比雪夫多项式插值对多变量情况进行了基于张量的扩展，参见Sauter和Schwab（2010）。通常，切比雪夫插值是针对[-1，1]Ddomain。对于任意超矩形X=[X，X]×。×[xD，xD]，我们引入了线性变换τX：[-1，1]D→ 由τX（zi）=xi+0.5（xi）定义的X分量-xi）（1- zi）。（2.1）LetN：=（N，…，ND）含Ni∈ 对于i=1，D、 我们定义了索引集j：={j∈ ND：1≤ 冀≤ NDI=1，d} 。为z定义切比雪夫多项式∈ [-1，1]和j∈ J byTj（z）=DYi=1Tji（zi），Tji（zi）=cos（ji·acos（zi）），X上的第J个切比雪夫多项式为pj（X）=Tj（τ-1X（x））1X（x）。C hebyshev点由zk=（zk，…，zkD），zki=cos给出π基尼对于ki=0，Niand i=1，D、 通过xk=τX（zk）转换切比雪夫点。

函数f:X的切比雪夫插值→ qdi=1（Ni+1）和的R可以写成chebyshev多项式in（f）（x）=Xj的和∈JcjTj（τ-1X（x））=Xj∈Jcjpj（x）代表x∈ X（2.2），系数CJ为j∈ Jcj公司=DYi=1{0<ji<Ni}NiXk公司∈J′f（xk）Tj（zk）（2.3），其中p′表示如果ki=0或ki=Ni，总和乘以1/2。2.3动态切比雪夫方法在本节中，我们提出了一种利用切比雪夫多项式插值通过反向导来解决动态规划问题的新方法。定义2.1。我们考虑一个动态规划问题（DPP），其值函数vt（x）=g（T，x）（2.4）Vtu（x）=fg（tu，x），E[Vtu+1（Xtu+1）| Xtu=x],（2.5）式中，t=t<…<tn=T和f:R×R→ R是Lipschitz连续且Lf为常数。在初始时间T=tn时，我们对函数g（T，x）应用Cheby-shev插值，即x∈ 十、 VT（X）=g（T，X）≈Xj公司∈Jcj（T）pj（x）=：bVT（x）在第一步tn-1，E[g（tn，Xtn）| Xtn的推导-1=x]替换为[Pjcj（tn）pj（Xtn）| Xtn-1=x]屈服vtn-1（x）=fg（tn-1，x），E[Vtn（Xtn）| Xtn-1=x]≈ fg（tn-1，x），EhXj∈Jcj（tn）pj（Xtn）Xtn公司-1=xi= fg（tn-1，x），Xj∈Jcj（tn）Ehpj（Xtn）Xtn公司-1=xi.在时间步tn-1值函数Vtn-1只需在特定的切比雪夫节点进行评估。因此，用xk=（xk，…，xkD）表示切比雪夫节点，有助于计算vtn-1（xk）≈ fg（tn-1，xk），Xj∈Jcj（tn）Ehpj（Xtn）Xtn公司-1=xki=:bVtn公司-1（xk）。（2.6）（bVtn）的线性变换-1（xk））k∈j根据确定切比雪夫插值bVTN的（2.3）得出切比雪夫系数-1=Pjcj（tn-1） pj。我们迭代地应用这个过程，如算法1中详细描述的那样。随机部分收集在切比雪夫节点条件下的切比雪夫多项式的期望中，即Γj，k（tu）=e[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]。此外，如果采用等距时间步进，计算可以进一步简化。

如果对于基本随机过程Γj，k（tu）=E[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]=E[pj（Xt）| Xt=xk]=：Γj，k（2.7），对于u=0，n-1，只需计算一个时间步的条件期望，即SEE算法2。一个人可以预先计算这些条件期望，因此，该方法允许在线/在线数据合成。算法1动态切比雪夫算法要求：N∈ ND，X=[X，X]×。×[xD，xD]，0=t，tn=T1：确定索引集J和节点xk=（xk，…，xkD）2：预计算步骤：3：对于所有J，k∈ J和所有tu，u=0，n- 14： 计算Γj，k（tu）=E[pj（Xtu+1）| Xtu=xk]5：时间T6：bVT（xk）=g（T，xk），k∈ J、 派生7：cj（T）=DN（J）Pk∈J′\'bVT（xk）Tj（zk）8：获得切比雪夫插值bVT（x）=Pj∈VT（x）9的Jcj（T）pj（x）：从tu+1开始的迭代时间步进→ tu，u=n- 1.110：给定Vtu+1（x）=Pj的C hebyshev插值∈Jcj（tu+1）pj（x）11:vtu（xk），k的推导∈ 节点12处的J:bVtu（xk）=f（g（tu，xk），Pj∈Jcj（tu+1）Γj，k（tu））13：推导cj（tu）=DN（j）Pk∈J′\'bVtu（xk）Tj（zk）14：获得切比雪夫插值bVtu（x）=Pj∈Vtt（x）15的Jcj（tu）pj（x）：导出t=016时的解：bV（x）=pj∈Jcj（0）pj（x）算法2简化的动态切比雪夫算法要求：时间步长0=t，tn=T，带t：=tu- tu公司-11： 将算法1中的第2-4行替换为：2：预计算步骤：3：计算Γj，k=E[pj（Xt） | X=xk]对于所有j，k∈ J3误差分析在本节中，我们分析算法1的误差，即εtu：=maxx∈X | Vtu（X）-bVtu（x）|。（3.1）tu处出现两个不同的误差源，切比雪夫插值的经典插值误差和节点处的畸变误差。后者来源于以下事实：值Bvtu（xk）是Vtu（xk）的近似值。极化误差的行为取决于值函数的规律性。在这里，我们假设值函数的解析性。

这一概念可以扩展到其他情况，如假设差异性或分段分析性。后者在Mahlstedt（2017年，第5.3节）的初步形式中进行了讨论，并在后续文件中进行了进一步研究。因此，我们需要切比雪夫插值的收敛结果，该插值在节点处包含畸变误差。首先，我们介绍所需的符号。A伯恩斯坦椭圆B([-1, 1], ) 具有 > 1被定义为复合p车道中的开放区域，该区域由一个焦点为±1且半长轴和半长轴长度总和为. 我们定义了Bernstein椭圆B（X，) 使用parametervector围绕超矩形X ∈ (1, ∞)DasB（X，) := B（[x，x]，) × . . . ×B（[xD，xD]，D） 带B（[x，x]，) := τ[x，x]o B类([-1, 1], ), x的位置∈ 我们有变换τ[x，x]R（十）:=x+x-x个1.- R（十）和τ[x，x]I（十）:=x个-x个I（x） 其中设置B([-1, 1], i） 对于i=1，…，是否为Bernstein椭圆，D、 提案3.1。让X x 7→ f（x）是一个实值f函数，它是一个广义Bernstein椭圆B（x）的解析推广，) 对于 ∈ (1, ∞)Dwithsupx∈B（X，)|f（x）|≤ b、 假设畸变值fε（xk）=f（xk）+ε（xk）和ε（xk）|≤ε在所有节点xk处。Thenmaxx∈十、f（x）- IN（fε）（x）≤ εint(, N、 D，B）+ε∧N，带εint(, N、 D，B）：=2D+1·B·DXi=1-2NiiDYj=11- -2j（3.2）和Lebesgue常数∧N≤QDi=1πlog（Ni+1）+1.证据利用插值算子的线性，我们得到了fε的Chebyshevinterpolation，fε（xk）=f（xk）+ε（xk），即IN（fε）（x）=IN（f）（x）+IN（ε）（x）。（ε）中基于张量的多元切比雪夫插值可以写成拉格朗日f ormIN（ε）（x）=Xj∈Jε（xj）λJ（x），λJ（x）=DYi=1lji（τ-1[xi，xi]（xi））其中lji（z）=Qk6=jiz-zkzji公司-zkis是ji-拉格朗日多项式。