混合随机波动模型下期权价格的计算

YilmazNow，是时候提醒读者注意在[4，7]中介绍的著名的Birit-Elworthy-Liformu la了。提案2.7。假设方程（4）中的函数β和a在有界条件下连续可微，扩散矩阵a满足一致椭圆度条件（5）。此外，期权支付函数Φ是平方可积的，并且与有界导数连续可微。现在，考虑定义2.5中给出的价格过程，到期日T<∞, 然后p（x）= Ee-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）π, （12） 在哪里, 和π分别表示梯度和Malliavin权重。这里，π=ZTα（t）一-1（Xt）YtdWt，（13），其中α∈ Γn和Ytis是第一个变化过程。2.1期权DeltaDelta的计算是对其价格相对于初始标的资产价格变化的衡量，它确定了套期保值比率。它可以使用命题2.8进行计算。提案2.8。补充函数β和a均如方程（4）所示。此外，它们是具有有界导数的连续可微函数，扩散矩阵是一致椭圆条件（5）。现在，考虑一个具有支付Φ的选项，这是一个具有有界导数的连续可微函数。然后，具有价格函数（11）的期权的Delta为 = EΦ（Xt，…，Xtn）兆瓦, （14） 在哪里Mw是Delta的Maliavin重量MW=e-RTrtdtSTZTσ（Vt）dWt-ρuZTσ（Vt）dWt+ρu- ρuuZTσ（Vt）dWt！。证据

使用扩散矩阵aa的逆-1（Xt）=Stσ（Vt）0 0-ρuStσ（Vt）uv（Vt）ρu-ρuuStσ（Vt）-uuv（Vt）ug（rt）,一个obta ins一-1（Xt）Yt=年初至今σ（Vt）-ρYtuStσ（Vt）（ρu-ρu）Ytuσ（Vt）StYtStσ（Vt）-ρYtuStσ（Vt）+Ytuv（Vt）（ρu-ρu）YtStσ（Vt）u-uYtuv（Vt）YtStσ（Vt）-ρYtuStσ（Vt）（ρu-ρu）YtuStσ（Vt）+Ytug（rt）.基于Malliavin演算的混合随机波动率模型下期权价格的计算153命题2.7的immed ia te结论，特别选择α（t）=t，由下式给出MW=e-RTrtdtTZTYtStσ（Vt）dWt-ZTρYtuStσ（Vt）dWt+ZT（ρu- ρu）YtuStσ（Vt）dWt！。在这里，人们可以选择α（t）=中欧，期权在到期时的价格为d，因此ti=t。然后，使用Remark2.4，可以轻松获得最终结果。正如上面的公式所示，期权价格的梯度表示为p（x）=(pSp五、pr）, 哪里 表示转置。解决方案的第一行对应于期权的增量。其余两行分别对应初始波动率和初始利率的价格变化。因此，根据这一结果，我们可以提出以下两点意见。备注2.9（VegaVt）。n选项对其初始可用性的敏感性为vegavt=EΦ（Xt，…，Xtn）VegaVtMW,其中VEGAVTMW=e-RTrtdtZTYtStσ（Vt）dWt+ZT-ρYtuStσ（Vt）+Ytuv（Vt）dWt+ZT（ρu- ρu）Ytuσ（Vt）-uYtuv（Vt）dWt！。备注2.10（Rhort）。n期权对初始利率的敏感性为短=EΦ（Xt，…，Xtn）RhortMW,其中RhortMW=e-RTrtdtZTYtStσ（Vt）dWt-ZTρYtuStσ（Vt）dWt+ZT（ρu- ρu）YtuStσ（Vt）+Ytug（rt）dWt！。2.2 Rho的计算Rho的计算不像Deltas的计算那样简单，因为利率既不是常数，也不是确定性的。

因此，与其直接区分期权价格与利率的关系，不如考虑在漂移项中加入扰动项，然后尝试观察扰动对期权的影响。在这里，有必要澄清什么是经过调整的价格，以观察价格相对于提货期变化的变化。154 B.YilmazAs在【11，5】中，研究引入了扰动过程ss（Xt）t∈[0，T]如下：dXT=βXt+ γXtdt+aXtdWt，X=X，（15），其中是一个小标量，γ：[0，T]×R7→ 这是一种无限的乐趣。此外，β和a满足上述正则性条件。要解释dr ift和价格中结构性变化的影响，应按照以下定义扰乱价格过程。定义2.11。假设X是（15）fort中给出的SDE系统的解∈ [0，T]和Φ是具有有界导数的二阶连续可微函数。然后，扰动价格过程p（x）由p（x）=E给出e-RTrtdtΦXt，Xtn|F. （16） 现在可以方便地提出以下命题，以显示选项对点=0中参数的敏感性。提案2.12。假设β，a是具有有界导数的连续可微函数，且a满足一致椭圆性条件（5）。对于具有有界导数Φ，7的任意平方可积连续可微函数-→ p（x）在任何x上都是可微的∈ 兰德公司p（x）|=0=EΦXt，Xtne-RTrtdt |=0+ E“E-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）ZTα（t）一-1（Xt）γ（Xt）dWt |=0#。证据参见[11]中的证明。提案2.13。假设β和a是具有有界导数的连续可微函数。

此外，a满足一致椭圆条件（5），平方可积期权支付函数Φ是一个具有有界导数的连续可微函数。那么，选项的ρisRho=EΦ（Xt，…，Xtn）RhoMW, （17） 式中，rhOMW=e-RTrtdtTZTdWtσ（Vt）-ρuZTdWtσ（Vt）+ρu- ρuuZTdWtσ（Vt）- T证据Rho衡量利率变化对期权价格的影响。在Proposition2.12中，扰动主要有三个来源：风险漂移项、波动率和利率过程。函数γ（Xt）可以选择为这三种酸的任意组合。由于这项研究是在调查利率对期权价格的影响，它应该通过Malliavin演算155（St，0，0）在混合随机波动率模型下计算期权价格的γ（Xt）=扰动原始漂移. 在这种情况下，γ是有界函数，因为t∈ [0，T]是一个持续时间有限的贸易经济体。请注意，动力学是在风险中性概率测度和扰动下给出的。因此，折扣过程变为e-RT（RT+）dt。第一个应该找到一-1（Xt）γ（Xt）=σ（Vt），-ρuσ（Vt），ρu- ρuuuσ（Vt）.然后，通过将上述方程插入期望项中，得到Ho=E“E-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）TZTdWtσ（Vt）-ρuZTdWtσ（Vt）+ρu- ρuuZTdWtσ（Vt）#- ET e公司-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）.也可以通过γ的特殊选择来计算其他参数对期权的影响。例如，作为命题2.13的直接结果，可以给出以下两个重新标记。备注2.14。假设命题2.13中的假设s成立，股票价格从具有随机利率的赫斯顿模型演变而来。那么，如果γ（Xt）=（0，κ，0）, 一个是期权价格对κ的敏感性。备注2.15。

假设命题2.13中的假设成立，利率假设遵循Vasicek利率模型。那么，如果γ（Xt）=（0，0，a）,一是得到了“反转速度”参数对期权价格的影响。2.3织女星的计算对于织女星的计算，要定义一个新的扰动过程，如在计算Rho，bu t时，在这种情况下，扰动将发生在扩散项中。然而，最后，有必要计算Skorohod积分。因此，命题A的结果。将使用6。本节中的批准基于【5，11】中使用的方法。首先，假设受干扰的资产价格过程dxt=βXtdt公司+一Xt+  γXtdWt，X=X，（18）其中，是一个小标量，γ是一个具有有界导数的3×3矩阵值连续可微函数。此外，βa和（a+γ）满足上述正则性条件。这里有必要引入一个关于的变化过程，它是Xtwi对参数，Zt的导数=Xt，dZt=β′XtZtdt+Xi=1a′iXt+ γ′iXtZtdWit+γXtdWt，（19）Z=03×3。这里，γ′ide表示第i列的导数。156 B.Yilmaz为了避免退化，R中平方可积函数的集合Γn=（Γα∈ L[0，T]:Ztiti公司-1α（t）dt=1，i=1，n） ，定义见【11】。下面的命题说明了在点=0时，期权价格对点的敏感性。提案2.16。假设a满足非形椭圆度条件（5），对于Bti=Y-1tiZti=Y-1tiZ=0ti，i=1，n、 重新存在a-1（X）Y B∈ Dom（δ）。然后，对于任意平方可积期权支付函数Φ，具有连续可微且有界导数，p（x）|=0=Ee-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）δ一-1（X.）Y.～B。持有。式中，▄Bt=nXi=1▄α（t）（Bti- Bti公司-1） 1{t∈[技术信息-1，ti）}，对于t=0和▄α∈Γn。

此外，如果B是Malliavin可微的，则根据RemarkA计算Skoroho二积分。10，它是δ一-1（X.）Y.～B。=nXi=1（B提兹提提-1α（t）一-1（Xt）Yt载重吨-Ztiti公司-1α（t）t r（DtBti）a-1（Xt）Ytdt公司-Ztiti公司-1α（t）一-1（Xt）YtBti-1.dWt）。证据可以在[5]中找到证据。提案2.17。考虑三维SDE（4）及其扰动过程ss（18）。假设β和a是具有有界导数的连续可微函数，并且a满足一致椭圆度条件（5）。然后，具有平方可积支付函数Φ的期权的Vegao，其连续可微于有界导数，isVegaP=EΦ（Xt，…，Xtn）VegaMW, （20） 式中，VegaMWis是Vega的马利维蛋白重量，VEGAMw=e-RTrsdsnXi=1ti- ti公司-1(Wti公司- Wti公司-1.-Ztiti公司-1σ（Vt）dt！×Ztiti-1σ（Vt）dWt-ρuZtiti-1σ（Vt）dWt+ρu- ρuuZtiti-1σ（Vt）dWt！-Ztiti公司-1σ（Vt）dt）。通过Malliavin演算157Proof计算混合随机波动率模型下的期权希腊。首先，通过用γ扰动原始扩散矩阵X获得扰动过程，其中选择γ（Xt）=St0 00 0 00 0 0.然后，利用vt和rtt不依赖于St的事实，可以推断变化过程Zthas为消失分量；因此，在Z=0时，组件zt和zt几乎肯定为零。然后，如命题2.16所示，确定向量Bti=Y-1tiZti=Y-1tiZ=0ti，i=1，n表示ti∈ [0，T]。给你，Y-1吨=Yti公司-YtiYtiYti-ytiytiyti0 0Yti,andZti公司=Zti公司.然后，将这两个方程代入Bti，得到一个Bti=ZtiYti公司. （21）另一方面，从方程式（19）可知，Ztisatis具有以下动力学dZtdZtdZt=rt0 St0 u′（Vt）00 0 f′（rt）Zt公司dt公司+σ（Vt）Stσ′（Vt）00ρv′（Vt）00 0ρg′（rt）Zt公司载重吨+0 0 0 0 0uv′（Vt）0 0ug′（rt）Zt公司载重吨+0 0 0 0 0 0 0 0ug′（rt）Zt公司载重吨+St0 00 0 00 0 0dWt，158 B。

Yilmazfor t公司∈ [0，T]。通过此设置，可以写入zti=rtiZtidt+σ（Vti）ZtidWti+StidWti。使用It^o公式，可以很容易地确定解决方案为Zti=StiWti-Ztiσ（Vs）ds！。因此，使用方程式（21）和Remar k 2.4，一个hasBti=Sti（Wti-Rtiσ（Vs）ds）Yti=SWti-Ztiσ（Vs）ds！，对于ti∈ [0，T]。根据命题2.16，Skorohod积分δ（a-1（X）YB）有待计算。因此，B·是Malliavin可微的，其Malliavin可微性为S（1，0，0）-ZtiDtσ（Vs）ds！，=S（1，0，0）-Ztiσ′（Vs）DtVsds！=S（1，0，0）-Ztiσ′（Vs）ρv（Vt）YsYt，uv（Vt）YsYt，0ds！。然后，获得traceT r（DtBti）a-1（Xt）Yt=σ（Vt）。因此，通过选择▄α=ti-ti公司-1,δ一-1（X）YB=nXi=1ti- ti公司-1(Wti公司- Wti公司-1.-Ztiti公司-1σ（Vt）dt！×Ztiti-1σ（Vt）dWt-ρuZtiti-1σ（Vt）dWt+ρu- ρuuZtiti-1σ（Vt）dWt！-Ztiti公司-1σ（Vt）dt）。备注2.18。如果期权收益仅取决于到期日T，则VEGAP=EΦ（XT）VegaMW,混合随机波动率模型下期权价格的Malliavin演算159，其中Vegamw=e-RTrsdsT（重量-ZTσ（Vt）dt！×ZTσ（Vt）dWt-ρuZTσ（Vt）dWt+ρu- ρuuZTσ（Vt）dWt！-ZTσ（Vt）dt）。3数字说明本节专门介绍希腊的欧洲看涨期权的数字说明，该看涨期权具有执行价格K和期权支付函数Φ=max{ST- K、 0}，其中Sti是在成熟度T<∞.还值得强调的是，欧洲看涨期权有一个Lipschitz支付函数，它属于用L表示的局部可积函数空间∞具有有界紧支撑的共有限可微函数，其中c是R的任意紧集，在L中是稠密的。因此，存在一系列函数Φn C∞C收敛到主支付函数Φ∈ 五十、 seeA。4.

因此，可以将前一节中介绍的公式应用于欧式期权。第2节中介绍的公式适用于一般情况，因为SDEs（1）–（3）中的函数是用闭合形式给出的。因此，通过SDEs（1）–（3）中引入的函数s的特殊选择，可以找到所有随机波动率模型的希腊人。在本研究中，这些函数是根据著名的具有随机利率的赫斯顿随机波动率模型（即Vasicek模型）选择的，用于模拟目的。在这些特殊选择下，SDE（1）–（3）变为DST=rtSt+StpVtdWt，（22）dVt=κ（θ- Vt）dt+σpVtρdWt+udWt, （23）drt=a（b- rt）dt+kρdWt+udWt+udWt, （24）其中初始值分别为S、Vand r。这里，假设系数κ、θ、σ、a、b和k都是正数。在此设置下，（4）中的函数β和a是连续可微的，并且满足Lipschitz条件。此外，a满足均匀椭圆度条件（5）。这些假设足以计算BSM框架中的希腊人。然而，在赫斯顿随机波动率模型框架中需要更多的假设，因为平方根函数是不可微的，并且不是全局Lipschitz。Heston随机波动率模型的Novikov条件，κθ≥ σ、 保证波动过程始终是积极的。因此，假设诺维科夫条件满足，初始波动率为正。此外，公元前160年，伊尔马兹菲格。1、采用Malliavin演算和全变量有限差分法的SHV模型中欧式看涨期权的Delta在[1，10]的研究中，证明了Heston随机波动率模型在Novikov条件下是Malliavin可微的。

在本文的其余部分，假设Heston随机波动率模型满足Novikov条件，并且它是Alliavin可微的。3.1图在数值应用中，模型参数设置如下：ρ=-0.8，ρ=0.5，ρ=0.02，K=100，S=100，V=0.04，R=0.02，κ=2，θ=0.04，b=0.08，a=0.02 K=0.002 R=0.05σ=0.04 T=1。模拟的数量，即路径的数量，被设置为10000，尽管我们的近似收敛性很好，即使它被设置为仅250。最后，考虑到一年中的交易天数，分类步骤的数量设定为252。在成功完成前一节中的计算后，本研究使用上述给定值对欧洲看涨期权的Gre eks Delta、Rho和Vega进行了模拟。图1、2和3允许比较所有变量中的有限差分法和样本大小上的Malliavin演算。这两种方法的计算Delta、Rho和Vega值都非常稳定且相当好，即使对于少量MC模拟也是如此。此外，如果模拟次数增加，每种方法的希腊值会变得更稳定。因此，应该增加这两种方法的模拟次数，以便对希腊人有更准确的价值。4结论在本研究中，出于计算目的，方程（1）、（2）和（）中考虑了一个非常通用的模型框架，并通过Malliavin演算161Fig给出了混合随机波动率模型下期权希腊计算的公式和详细证明。2、采用Malliavin演算和全变量有限差分法的SHV模型中欧式看涨期权的Rho图。3.

在随机混合波动率模型的假设下，推导出了SHV模型中欧洲看涨期权的Vega以及所有变量中的Malliavin演算和有限差分法。与许多其他研究一样，希腊语是作为两项乘积的期望获得的：一个支付函数和一个称为Malliavin权重的权重，该权重独立于支付函数。该结果表明，Malliavin演算在计算希腊语时的效率并不取决于支付函数的类型。在计算中，假设支付函数是连续可微的。然而，在数学金融的情况下，支付函数不是全局可微的，因此最好提及本文给出的显式ex162 B.Yilmaz表达式很容易扩展到不连续可微的支付函数。因此，一旦获得了一个选项的公式，就可以通过只更改支付函数，对所有类型的选项使用相同的公式。此外，通过将必要的函数替换为希腊文公式，可以获得各种模型的希腊文，并且这些公式可以很容易地适应工程师在实际计算希腊文s时的特殊需要。作为结果的应用，本文还通过假设利率从Vasicek模型演化而来，检验了Heston随机波动率模型的一个特例。为了比较结果，在所有变量中，用有限差分法计算这些G值。据观察，使用Malliavin演算得到的公式产生的结果比Vega和Rho的有限差分法需要的模拟次数少。