混合随机波动模型下期权价格的计算

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英文标题：
《Computation of option greeks under hybrid stochastic volatility models
  via Malliavin calculus》
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作者：
Bilgi Yilmaz
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This study introduces computation of option sensitivities (Greeks) using the Malliavin calculus under the assumption that the underlying asset and interest rate both evolve from a stochastic volatility model and a stochastic interest rate model, respectively. Therefore, it integrates the recent developments in the Malliavin calculus for the computation of Greeks: Delta, Vega, and Rho and it extends the method slightly. The main results show that Malliavin calculus allows a running Monte Carlo (MC) algorithm to present numerical implementations and to illustrate its effectiveness. The main advantage of this method is that once the algorithms are constructed, they can be used for numerous types of option, even if their payoff functions are not differentiable.
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中文摘要：
本研究引入了在基础资产和利率分别从随机波动率模型和随机利率模型演变而来的假设下，使用Malliavin演算计算期权敏感性（希腊语）。因此，它整合了马利雅文微积分在希腊计算中的最新发展：Delta、Vega和Rho，并略微扩展了该方法。主要结果表明，Malliavin演算允许运行的蒙特卡罗（MC）算法呈现数值实现并说明其有效性。这种方法的主要优点是，一旦构建了算法，它们就可以用于多种类型的期权，即使它们的支付函数是不可微的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Computation_of_option_greeks_under_hybrid_stochastic_volatility_models_via_Malli.pdf (401.91 KB)

2022-6-10 04:08:56 上传

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关键词：波动模型 Quantitative Differential Applications respectively

现代随机：理论与应用5（2）（2018）145–165https://doi.org/10.15559/18-VMSTA100Computation通过Malliavin calculusBilgi YilmazMETU，中东技术大学应用数学研究所，6800安卡拉，在混合随机波动率模型下的希腊期权，Turkeyybilgi@metu.edu.tr（B.Yilmaz）收到日期：2017年5月2日，修订日期：2018年2月26日，接受日期：2018年3月30日，在线发布日期：2018年4月24日摘要本研究介绍了在假设基础资产和利率分别从随机波动率模型和随机利率模型演变而来的情况下，使用Malliavin演算计算期权敏感性（希腊）。因此，它整合了马利雅文微积分在希腊计算中的最新发展：Delta、Vega和Rho，并略微扩展了该方法。主要结果表明，Malliavincalculus允许运行的蒙特卡罗（MC）算法呈现数值实现并说明其有效性。这种方法的主要优点是，一旦构造了算法，它们就可以用于多种类型的期权，即使它们的支付函数是不可微的。Malliavin微积分、Bisit–Elworthy–Li公式、希腊人的计算、混合随机波动率模型1介绍金融、期权定价是交易管理的主要问题。然而，一旦期权结算，其价格就不会保持不变。相反，它在生存期间遵循动态路径。因此，市场参与者应通过控制期权价格的变化来保护自己免受意外价格变化的影响。价格风险及其管理总是与希腊不可分割地联系在一起，希腊是期权价格的衍生产品，其对应的是某些不稳定的参数。

希腊人收集的信息用于衡量基于特定风险因素的意外期权价格变化。从这一点出发，提交给VTeX/现代随机：理论和应用<2018年6月18日>www.vmsta。org146 B.Yilmazview，希腊人通常用来构建一个适用的投资组合，以保护主要投资组合免受与某些风险因素相关的一些可能变化的影响。因此，Gre e ks的计算比获得期权的价格更为重要[13]，它已成为数学金融的一个基础研究领域。在此，值得强调的是，基础资产价格的变化是一个非常重要的风险因素，实际上会影响期权价格。因此，在其他希腊人中，Delta是确定基础资产和期权余额的一个重要指标，它衡量了基础资产价格单位变化的期权价格变化，这是一个收益率。在过去二十年中，人们越来越关注混合动力产品的准确定价，这种定价是基于不同类别的混合动力资产的组合。鉴于杂交产品的最新发展，很难忽视基础资产演变的希腊人的计算。因此，本研究考虑了随机波动率模型的扩展，即混合随机波动率（HSV）模型。在这些模型中，利率从一个随机过程演变而来，而不是从一个恒常变量演变而来——一个确定性函数，从而形成一个更灵活的多因素随机波动率（SV）模型。然而，在这些假设下，格力ks的计算变得很复杂。

这是因为这些建议的模型没有明确的分布，或者因为在大多数情况下，期权收益是不可微的。因此，在希腊人计算这类基础资产时，似然法和路径法并不合适。另一方面，可以使用有限差分法，因为它依赖于导数的近似值，作为自变量小区间内因变量的变化，并且可以使用一组小的差分运算符来编写。然而，对于不连续的期权支付函数来说，这是计算上的昂贵和问题。在这方面，希腊人在混合产品中的共同计算不像在Black-Scholes mod e l（BSM）中那样简单。继开创性的研究[11，12]之后，在Malliavin微积分的背景下，分部积分公式已被视为希腊人计算的主要工具之一。从那时起，在这个研究领域发表了大量的文献，包括一些数字应用。在这些研究中，大多数都假设市场动态遵循BSM假设。然而，最近，在SV模型[3、9、15]和跳跃扩散型模型[2、5、6]的假设下，人们对希腊人的计算越来越感兴趣。Malliavin微积分理论在理论家和实践者中都很有吸引力，主要有三个原因。首先，它允许研究人员推导出明确的权值来设计有效的MC算法。其次，它要求p a yoff函数没有任何可微性条件（与路径法不同），也不要求标的资产的概率密度函数（与似然法不同）。

第三，与其他方法相比，它更灵活，因为布朗运动的不同扰动产生不同的权重，这导致了对挑选方差较小的权重的先验兴趣。因此，它可以用于所有类型的期权，无论它们具有连续或不连续的支付函数。本研究的主要目标是在HSV模型动力学下引入一个通过Malliavin演算计算希腊人的表达式，然后通过Malliavin演算147和M C算法计算混合随机波动率模型下的期权希腊人，以获得与希腊人对应的期望值及其差分。该研究通过在所有变量中将结果与有限差分法进行比较，显示了其准确性。本研究的创新之处在于，在eMalliavin微积分的背景下，使用技术和理论结果提供适用的公式。为了推导出希腊人的一般公式，首先，HSV模型的定义使研究人员能够使用Malliavin微积分中的基本工具，即部分积分和高斯空间上的Bisit-Elworthy-Li公式，获得所有类型混合模型的广义希腊人。主要结果表明，Malliavin演算将希腊人作为期权支付函数和称为Malliavinweight的独立权重函数的产物。此外，数值示例表明，在所有变量中，Malliavin微积分方法的计算成本小于有限差分方法的共同计算成本。本文由四个部分组成。第二节介绍了HSV模型和扰动价格过程的一般公式。然后，它给出了扩展现有理论的主要结果。

在第3节中，推导了具有随机利率的赫斯顿随机波动率模型的公式，即Vasicek模型。此外，在本节中，还提供了欧洲所有选项的Delta、Rho和Vega的数字插图，以验证效率，并与有限差分法在所有变量中的结果进行比较。最后，第四部分是结论。2广义Greek的计算考虑固定过滤概率空间(Ohm, F、 英尺∈[0，T]，Q），为便于计算，它足够容纳三维布朗运动。注意，在该表示中，由三个独立的标准布朗运动（i=1、2、3和Q）生成的FTI过滤是风险中性概率度量。通过研究，假设标的资产价格来自SDE系统DST=rtStdt+Stσ（Vt）dZt，（1）dVt=u（Vt）dt+v（Vt）dZt，（2）drt=f（rt）dt+g（rt）dZt，（3）其中（Zt）它∈[0，T]\'s是相关系数ρij的相关布朗运动∈ (-1，1）对于i，j=1，2，3。这些相关布朗运动也可以由三个独立布朗运动（Wt）的组合来表示∈[0，T]如dZt=dWt，dZt=ρdWt+udWt，dZt=ρdWt+udWt+udWt，其中参数为148 B。Yilmazu=q1- ρ, u=ρ- ρρu，u=p1- ρ- ρ- ρ+ 2ρρρu.通过研究，假设相关系数ρij的选择方式为u为实数。解决方案St、Vt和RT分别代表初始值S、V和r的基础资产、波动性和利率过程。这里，假设σ、u、v、f和g是连续可微函数，其有界导数至少为二阶。

此外，σ、v和g被认为是自适应的，并且在域中的任何地方都不等于零。现在，假设等式（1）、（2）和（3）中给出的SDE可以合并到三维SDE系统中，它表示为dxt=β（Xt）dt+a（Xt）dWt，（4）X=X，其中，Xt=StVtrt公司, β（Xt）=rtStu（Vt）f（rt）,安达（Xt）=Stσ（Vt）0ρv（Vt）uv（Vt）0ρg（rt）ug（rt）ug（rt）,x个=SVr公司, Wt公司=WTWTWTWT.注意，Xt是一个马尔可夫过程，而（Wt）t∈[0，T]是一个三维标准布朗运动。在这种表示中，可以方便地假设β和a都是至少两个具有有界导数的连续可微函数，并且适合于进行计算。此外，为了确保方程（4）存在唯一的强解，假设β和a都满足Lipschitz和多项式增长条件。在这些假设下，该研究还保证了Xtisa-Markov过程，该解的轨迹几乎可以肯定地连续可微于爆炸时间之前的所有t。此外，为了得到合适的解，还应确保扩散矩阵a满足均匀椭圆条件[15]，a（x）ζa（x）ζ≥ kζk，对于任何x，ζ∈ R、 （5）在此，值得强调的是，如果满足ui、jan和函数σ、v、g的条件，则扩散矩阵a满足均匀椭圆条件。通过Malliavin演算149计算混合随机波动率模型下的期权价格这意味着a是一个正定义矩阵，其特征值大于一个小的正整数∈ R、 因此，a是可逆矩阵，其逆矩阵是有界的。

这个条件还意味着对于任何有界函数γ：[0，T]×R7→R、 a-1γ是有界的，此外，（a-1γ）（Xt）位于希尔伯特空间L（[0，T]×中Ohm) [11].（Xt）t的第一个变化过程∈[0，T]，它是（Xt）T的导数∈[0，T]相对于其初始值x，在计算气体中起着重要作用。因此，这项研究提醒了人们对第一个变化过程的定义。定义2.1（第一次变更过程）。设Xt为等式（4）给出的过程。然后，该过程的第一个变量由dyt=β′（Xt）Ytdt+Xi=1a′i（Xt）YtdWit，（6）Y=13×3定义，其中β′和a′i分别是β的雅可比矩阵和矩阵a相对于x的第i列向量。这里，13×3是R的单位矩阵，Yt=DxXt。注意，假设βa和a是至少两次连续可微的有界导数函数。此外，扩散矩阵a满足均匀椭圆度条件（5），并且X具有连续的变换。现在，为了研究的完整性，是时候引入下面的引理了。引理2.2。If（年初至今-1sa）∈ L（[0，T]×Ohm) 对于所有s，t∈ [0，T]，那么Xtis Malliavin可微性和Xt的Malliavin导数可以写为如下DsXt=YtY-1sa（Xs）1s≤t、 s≥ 0，a.s.（7）可以按照以下命题计算第一个变化过程的成分。提案2.3。让第X和第t个变量处理YT∈ [0，T]分别由方程（4）和（6）定义。然后，Yijt=0，Yt=0 a.s.如果i>j fori，j=1，2，3。此外，Yt、Yt和Y对t有以下解决方案∈ [0，T]Yt=expZt卢比-σ（Vs）ds+Ztσ（Vs）dZs！，（8） Yt=expZtu′（Vs）-v′（Vs）ds+Ztv′（Vs）dZs！，（9） Yt=expZtf′（rs）-g′（rs）ds+Ztg′（rs）dZs！。（10） 此外，yt和YtsatisfydYt=rtYtdt+σ（Vt）Yt+Stσ′（Vt）YtdWt，dYt=rtYt+StYtdt+σ（Vt）YtdWt，初始值Y=Y=0.150 B。YilmazProof。

为了找到满足Y的SDEs系统条目，首先计算i=1、2、3时扩散矩阵a的β雅可比矩阵和第i列向量ai。这些是β′（x，x，x）=x0 x0 u′（x）00 0 f′（x）,a′（x，x，x）=σ（x）xσ′（x）00ρv′（x）00 0ρg′（x）,a′（x，x，x）=0 0 0 0 0uv′（x）0 0ug′（x）,a′（x，x，x）=0 0 0 0 0 0 0 0ug′（x）.通过将这些方程插入方程（6），可以得到第一个变化过程动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态=rtYt+StYtrtYt+StYtrtYt+StYtu′（Vt）Ytu′（Vt）Ytu′（Vt）Ytf′（rt）Ytf′（rt）Ytf′（rt）Ytdt公司+σ（Vt）Yt+Stσ′（Vt）Ytσ（Vt）Yt+Stσ′（Vt）Ytσ′（Vt）Yt+Stσ′（Vt）Ytρv′（Vt）Ytρv′（Vt）Ytρv′（Vt）Ytρg′（rt）Ytρg′（rt）Yt g′（rt）Ytρg′（rt）Yt载重吨+0 0 0 0uv′（Vt）Ytuv′（Vt）Ytuv′（Vt）Ytug′（rt）Ytug′（rt）Ytug′（rt）Yt载重吨+0 0 0 0 0ug′（rt）Ytug′（rt）Ytug′（rt）YtdWt，单位矩阵的初始值在R中。然后，通过应用It^o演算，可以很容易地推断出，如果i的i>j，j=1，2，3，则Yijt=0 a.s。此外，对于t∈ [0，T]dYt=rtYtdt+σ（Vt）YtdZt，通过Malliavin演算计算混合随机波动率模型下的期权希腊，151dYt=u′（Vt）Ytdt+v′（Vt）YtdZt，dYt=f′（rt）Ytdt+g′（rt）YtdZt，初始值Y=Y=Y=1。备注2.4。作为等式（8）的直接结论，Yt可以用资产价格来表示，即Yt=SSt，a.s。对于计算曲线，考虑具有有限时间范围的连续时间贸易经济体是很方便的∈ [0，T]。假设该经济体中的不确定性由固定的过滤概率空间理想化(Ohm, F、 英尺∈[0，T]，Q），并且信息根据过滤（Ft）T演变∈[0，T]由（Wt）T生成∈[0，T]。此外，考虑这个市场中的一个期权，它有一个平方可积的p支付函数，用Φ=Φ（Xt，…）表示。

，Xtn），其中Φ是与有界导数连续可微的支付函数。换句话说，由于E[Φ（Xt，…，Xtn）]<∞ [8].现在，根据研究【5，9】，期权价格p在时间t=0，到期日t<∞ 传统上，根据σ-代数描述的现有信息，有条件地计算为到期贴现收益的预期值。现在，可以在以下定义中定义价格过程。定义2.5。具有基础x和支付函数Φ的期权的价格p（x）由p（x）=E定义e-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）| F, （11） 式中，0=t，tn=T是有限时间范围的划分[0，T]，p（x）表示今天期权的公平价格。即，在本研究中，E[.]是风险中性概率下的期望值。请注意，Gre eks计算的目的是区分与模式l参数相关的期权价格p。备注2.6。在Gree ks的计算中，基本假设期权支付函数Φ与有界导数可连续微分。然而，在真正的市场中，它们通常并不顺利。在这种情况下，如果标的资产的法则是绝对连续的，并且期权支付函数Φ，isLipschitz，则可以通过命题A推导出希腊人的显式Malliavin权重。在希腊人通过Malliavin ca lc ulus进行的计算中，得到了一个独立于期权支付函数的权重函数。为了获得有效的计算结果，必须保证Malliavin权重不会以概率1退化。因此，[11]证明了平方可积函数集Γn=（α∈ L[0，T];Ztiα（t）dt=1，i=1，n） ，在R中，以避免简并。这里，ti是[0，T]中给定的时间值。公元前152年。