混合随机波动模型下期权价格的计算

此外，尽管有限差分法很容易实现，但计算效率高于Malliavin微积分。因为交易者需要贪婪来对冲，所以他们必须尽快计算出来。因此，在希腊人的计算中，使用Mallaivin演算优于有限差分法，因为一旦得到公式，它们就可以用于所有类型的期权，并且计算时间比有限差分法短。简要回顾Malliavin计算定义A.1。设F=F（W（h），W（hn））∈ S，H=L（[0，T]，B，u）。然后是竞争对手D:S 7→ L(Ohm F的×[0，T]）由df=nXi=1定义xif公司W（h），W（hn）嗨，哪里fxi是f对其第i个变量的偏导数。提案A.2（主要规则）。（16中的命题1.2.3）假设F=（F，…，Fn）是一个随机向量，其se分量属于S，D1,2和函数ν：Rn7的闭包→ R是一个具有有界部分导数的连续可微函数。然后Д（F）∈ D1,2和dtД（F）=nXi=1xiД（F）DtFi=Д（F），DF,几乎可以肯定t∈ [0，T]。证据如果函数Д是光滑的，则可以通过链式法则进行分类分析来获得证明。否则，必须对函数进行软化。为了软化ν，可以使用ρ（x）=ρnρ（x），其中ρ（x）=cex-1和c是一个选定的系数，使积分Rrnρ（x）dx=1，以获得平滑近似值Д* ρ.考虑到fnf的光滑近似，可以得到* ρ（Fn）7→ ^1（F）formin，n 7→ ∞ 在空间L中。

基于Malliavin演算的混合随机波动率模型下期权希腊的导数算子D计算DД（F）-nXi=1xiД（F）DFni≤DД（F）- D^1* ρ（F）+D^1* ρ（F）-nXi=1xiД* ρ（Fn）D Fni+nXi=1xiД* ρ（Fn）D Fni-nXi公司^1（F）DFi7.→ 引理A.3。假设序列Fn∈ D1,2在空间L中与F重合(Ohm, F、 P）令人满意的仰卧位[kDF kH]<∞. 然后，F∈ D1、2和DFN在L中与DF呈弱连接(Ohm ×[0，T]）。命题的推广。下面给出了不一定可微的函数。提案A.4。（16中的命题1.2.4）给定满足正常数K的函数∈ R^1（x）- ^1（y）≤ K | x- y |，x，y∈ Rnand F∈ D1,2。然后Д（F）∈ D1,2存在一个n维随机向量∈ Rn，| G |<K这样的^1（F）=nXi=1GiDFi。证据使用与命题证明A中定义的相同的molli fierρ。2，一个人可以获得* ρ收敛到Д。序列D（Д* ρ）（F）在空间L中有界(Ohm ×[0，T]）。这是因为|(φ * ρ)| ≤ K表示一些大型。来自Lemma。3，Д（F）∈ D1,2和Malliavin导数D（Д* ρ）（F）7→ D（Д（F））在弱意义上。另一方面(φ * ρ）（F）弱ly收敛于向量∈ Rn，| G |<K。因此，可以取弱极限inD（Д* ρ）（F）=nXi=1xiД（F）DFi（25）引导我们得出结果定义A.5（Skorohod积分）。考虑u∈ L（[0，T]×Ohm). 然后，u∈ Dom（δ）if对于所有F∈ D1,2和E“ZTDtF utdt#≤ ckF kL公司(Ohm),式中，c是取决于u的常数，δ（u）=ZTutδWt164 B。Yilmazis是L的一个元素(Ohm), 对偶公式为：E“ZTDtF utdt#=EFδ（u）, F∈ D1,2。命题A.6（按部件公式积分）。假设F∈ D1,2，F h∈ h的Dom（δ）∈ H、 那么δ（F H）=F W（H）- hDF，hiH。此外，如果F=1 a.s.，δ（h）=W（h）。备注A.7。

请注意，特别是，如果H=L（[0，T]，B，u），其中u是可测Bo rel空间（[0，T]，B）上的无σ测度，则命题a。6 tu rnstoZTF htδWt=FZThtδWt-ZTDtF htdt。备注A.8。Skorohod积分的域也包含L（[0，T]×中的自适应随机过程Ohm). 当被积函数被调整时，则Skorohodintegral与It^ointegral一致（见【16】），即δ（h）=ZThtdWt，ztf htdWt=FZThtdWt-ZTDtF htdt，用于F∈ D1、2和E【RT（F ht）dt】<∞.提案A.9。（Pro位置1.3.8 in【16】）让u∈ L1,2=D1,2（L（T））是满足E[RTu（s，ω）ds]<∞ 对于所有0≤ s≤ T假设DTU∈ 所有0的Dom（δ）≤ t型≤ T和E[RT（δ（Dtu））dt]<∞. 那么，δ（u）∈ D1、2和DTδ（u）= u（t，ω）+ZTDtu（s，ω）dWs。此外，如果u（t，ω）是属于L（[0，t]×的适应过程Ohm), thenDtZTu（s，ω）dWs！=u（t，ω）+zttdttu（s，ω）dWs。备注A.10。假设F是一个d-d维随机列向量，utis ad×d矩阵过程。然后Remark2.4转化为δ（F h）=F*ZThtdWt公司-ZTT r（DtF）htdt，矩阵过程的It^o积分是列向量[5]。通过Malliavin演算计算混合随机波动率模型下的期权价格参考文献165【1】Alòs，E.，Ewald，C-O、 ：heston波动率的Malliavin可微性及其在期权定价中的应用。应用程序中的高级。概率。40（1），144–162（2008）MR2411818.10.1239/aap/1208358890【2】Bavouzet，M.P.，Messaoud，M.：使用泵型市场模型中的Malliavin微积分计算希腊人。电子J、 概率。11，10–276300（2006）MR2217817【3】Benhamou，E.：智能蒙特卡罗：使用Malliavin演算的各种技巧。QuantitativeFinance 2（5），329–336（2002）MR1937315。10.1088/1469-7688/2/5/301【4】Bimit，J.M.：大偏差和Malliavin微积分。

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