债务人-债权人关系网络的演变

上述假设基于P2P借贷的性质，我们的假设与Moore等人的假设不同。3债务人-债权人关系网络的演变（2006年），即在每个时间单位中添加一个节点，删除r个节点。在每个时间单位中，都有r-1节点添加到债务人-贷方关系和rc -k添加到债务人-债权人关系网络的边。在时间单位之后，添加到债务人-债权人关系网络的节点数为n*=(r- 1)t, 添加到债务人-债权人关系网络的新边缘数量为m*= (rc -k)t、 新增节点的平均次数为k*:k*=**= 2()()= 2.（3） 让k*=k, 然后获取k=（4） 如果r = 1，添加的节点数等于删除的节点数，借贷关系网络的规模是恒定的，并且存在k= c.为了研究新借款人或贷款人如何选择其他贷款人或借款人进行投资或借款。允许π表示给定边连接到k度的任何节点的总概率，因为每条边必须连接到一个节点，这也立即意味着πis（Moore，2006）：∑πp= 1.（5） 根据Moore et al.（2006）在时间t给出的方法，债务人-债权人关系网络中有n个节点。度数为k的节点数为np.这个数字的下一个时间单位是(n+r- 1)p.  该数量的变化受节点添加和删除的影响。如果阶数为k-1的节点连接到具有c边的添加节点，则阶数为k的节点数将增加cπp.

如果阶数为k的节点连接到addednode，则阶数为k的节点数将减少cπp. 简言之，当在债务人-债权人关系网络中引入r个新节点时，节点数量随kis度的变化：rδ+ rcπp- rcπp（6） 式（6）中，δ定义为：δ= 1.k = c0,k ≠ c（7） 另一方面，如果从债务人-债权人关系网络中移除节点，则移除节点的度为k+1的邻居的度将更改为k，具有度的节点数将增加(k+ 1)p, 将移除的k度节点的邻域度改为k-1，k度节点数减少kp.  如果移除节点的次数为k，则具有k次的节点数将减少p. 简言之，节点数随k度的变化为(k+ 1)p- kp- p（8） 最后，根据等式。（6） 和（8），度为k的节点数的演化由以下速率方程控制：(n +r- 1)p= np+ rδ+ rcπp- rcπp+(k+ 1)p- kp- p（9） 设置p= p, 式（9）等于：0=rδ+ rcπp- p（r+rcπ+ k） +（k+1）p（10） 然后等式（10）的两侧乘以z:0 = rδz+ rcπpz- p（r+rcπ+ k）z+（k+1）pz（11） 计算公式（11）的总和k(k = 0,1,2,···,∞):0 = rδ∑z+ rc∑πpz-∑p（r）+rcπ+ k)z+∑p(k+1)z（12） 让我们表示p和πp如下所示：f（z）=∑πpz(13)g（z）=∑pz（14） 替换公式。（13） 和（14）转化为等式（12），然后得到：0=rZ+ 钢筋混凝土f(z)(z- 1)- rg（z）- (z -1)（15） “优先连接”机制意味着一个节点与其他节点的连接与其程度成比例（Barabási和Albert，1999）。这一机制与市场波动的马太效应是一致的。

例如，一个新增加的贷款人可能更愿意向那些由于其良好的信用评级而成功从其他人那里借钱的借款人贷款，而一个新增加的贷款人可能从那些向许多借款人贷款的贷款人那里获得贷款。然后假设一条附加边连接到一个度为k的节点的概率与k成正比，然后设置π=Ak  带常数A。∑πp=∑Akp= A∑kp= 1.A  =∑kp=kπ= Ak =kkf（z）=∑pz=∑kpz=∑kpz=（16） 将公式（16）代入公式（15），然后得到：(1 - z)（钢筋混凝土- 1) + rg（z）-= rz（17） 替换k=进入公式（17），然后得到：-()()g（z）=()()（18） 如果r=1，这意味着债务人-债权人关系网络是一个规模不变的网络。我们没有讨论这个特别的问题，因为摩尔等人（2006）讨论过这个问题，它与实际的P2P借贷市场不一致。如果r≠ 1，式（18）为常微分方程，式（18）的通解为g(z)= Be∫()()+ e∫()()∫()(())e∫()()dz         （19） 整合因素之一是：∫()()dz =∫[-)]dz =ln||||（20） 如果r>1，α=< 1，然后得到[α，z]中的特殊解：g(z)=×∫()()()dt                                （21）设置：u =α- t1.- αt = α - (1 - α)u并替换u  和t转换为等式。

（21），然后获取：g(z)=×∫(())(())(())()()-(1 - α)dug(z)=2.r1 + rz -α1.- z× (α-(1 -α)u)(1- α)(1 + u)uu1 + udug(z)=×∫(())()dug(z)=2.r1 + ra -z1.- z× (α- (1 - α)u)(1 - α)uu1 + udu设置：γ=3r-1.r-1然后获取：g(z)=×∫(())()du                                  （22）Moore et al.（2006）讨论了等式（22）的精确解，并且度分布是指数γ的幂律：p~(γ - 1)k∫e()xdx =()()k（23）式（23）中，Γ(γ)=∫exdx   是Γ-作用在极限内r → ∞, 借贷关系网络是一种幂律行为p~k具有优先依恋。3 P2P借阅案例3.1数据人人贷的描述。com已经迅速成长为中国最大的P2P借贷市场之一。2018年2月，人人台。com提供了超过78亿美元的贷款。我们的数据集是从2010年10月到2014年12月在人人台网站上发布的列表样本，但不包括那些尚未获得资金的贷款发放。图4显示了截至2010年10月31日的债务-债权人关系网络。黄色节点代表贷款人，蓝色节点代表借款人，红色节点代表贷款发放的借款人是其他贷款的贷款人。节点中的编号是人人台参与者的唯一标识。通用域名格式。

因为我们关注的是债权人和债权人之间存在的关系，为了便于研究，我们忽略了谁是借款人或WWW的问题。仁仁泰。共同贷款人。截至2014年12月31日，债务-债权人关系网络中有151759个节点和3716699个边缘。图5中的数据显示了债务-债权人关系网络中的节点数，图6中的数据显示了债务-债权人关系网络中的边数。图7中的数据显示了添加的节点数和数据inFig。8显示添加的边数。图5～图8显示，自2013年以来，债权关系网指数呈现出明显的增长趋势，这是由于2013年以来P2P借贷市场在中国迅速扩张所致。假设是在给定时间内债务-债权人关系网络中具有k度的节点的实际分数。根据p~k, 背景k=,   然后ln= -γlnk                                                        （24）根据上述方程和每天的实际度分布数据，可以用OLS方法计算幂律度分布的指数γ（见图11）。图11中的数据显示，2013年，节点数量代表借款人或债权人迅速增加，但有明显的增长趋势。但2014年，幂律γ指数并没有迅速增加，节点数量却迅速增加。然后，图9中的数据显示幂律度分布的指数γ可能大约在1.84-1.93范围内。

表1中的数据显示了幂律γ指数的简单汇总统计数据。图9和图10中的数据显示了由于到期贷款而删除的节点和边的数量。图11中的数据显示了整个网络的度数和每天添加节点的平均度数。结果表明，整个网络的平均度约为40。从表3可以看出，2013年整个网络的平均度小于2012年整个网络的平均度，因为2013年节点的增长率小于边缘的增长率，而2012年节点的增长率大于边缘的增长率（表2）。更多的新增节点并不对应更多的新增边，这意味着虽然P2P借贷市场中的参与者越来越多，但每个参与者的借贷活动可能会被打垮。图4:10月债务债权人关系网络图。5： 债务人-债权人关系网络中的顶点数Fig。6： 债务人-债权人关系中的边数fig。11： 幂律度分布指数图。12： 债务人-债权人关系网络的平均程度图。7： indebtorcreditor关系网络中的添加节点数图。8： 债务人-债权人关系网络中增加的边缘数量图。9： indebtorcreditor关系网络中删除的节点数图。10： deletedgesindebtorcreditor关系稳定1幂律年最小最大平均St的指数。

dev2010 0.0648 0.9296 0.7900 0.12492011 0.8935 1.3369 1.1730 0.10572012 1.3151 1.5144 1.3842 0.04782013 1.4994 1.8848 1.7503 0.10912014 1.8427 1.9269 1.8759 0.0219表2节点数和边数日期节点数增长率2010/12/31 151 1048----2011/12/31 3483 45348 2306%4327.10%2012/12/31 11850236115 340.22%520.67%2013/12/31 59330 1137474 500.68%481.75%2014/12/31 151759 3716699 255.79%326.75%表3网络年最小最大平均标准偏差平均程度2010年1.00 14.26 9.80 3.21762011 11.68 27.78 19.59 4.28012 24.76 44.65 37.94 6.326712013 32.33 39.83 35.07 2 10792014 38.34 49.04 43.67 3.09853.2影响因素幂律指数虽然有很多文献研究网络的幂律分布程度，但对影响幂律指数的因素关注甚少。参考式（24），已知γ与ln相关(n).  除此之外，我们认为贷款的性质对γ有一定的影响。例如，放款人优先提供利率较高或风险较低的贷款，因此，高回报或低风险的贷款发放将吸引更多放款人向他们贷款。换言之，高回报或低风险的贷款发放可能会导致债权人-债务人关系的更多优势。为了测试贷款的性质是否影响幂律指数，图11中的数据用γ表示是受抚养人。13： 贷款的平均期限。14： 贷款平均利率可变，平均利率表示为R和平均项表示为M分别为独立变量。

图13中的数据为M, 图14中的数据为R.  ln公司(n)是控制变量，并且n是每天的节点数。最后，模型是：γ= c+ αR+ βM+  φln(n)+ ε（25）最后，我们的样本数量为1353个，日期为2010年10月12日至2014年12月31日。由于P2P借贷平台的网络上有时没有新的贷款来源，这导致R和M在那些日子里等于0，所以我们不选择那些R和M等于0。表4给出了我们样本的汇总统计数据，表5给出了我们样本的皮尔逊相关性。表4 variablesvariableMean MedianMaximum MinimumStd的汇总统计。开发人员。γ1.491.421.930.060.32n28367.87  955738207.59R0.13550.13060.2340.090.018M15.359.6观察次数：1353表5变量皮尔逊相关系数γRnMγ1R-0.5357551.000000n0.767023-0.3864821.000000M0.832488-0.3193280.7815821.000000最后通过OLS方法估算公式（25），得到：γ*= 0.368-0.701R+ 0.0074M+ 0.124ln(n)(26)(-5.962)***(25.894)***(80.566)***式（25）中，系数R表明幂律指数与利率呈负相关。给定k度，系数R结果表明，利率越高，幂律指数越低k更大，k表示债务人具有K借贷关系的概率。换言之，贷款人优先选择发放贷款利率较高的借款人。的系数M结果表明，幂律指数与贷款期限呈正相关，即贷款期限越长，幂律指数越高k更小。换言之，贷款人优先选择提供较短贷款期限的借款人。

总之，这些结果符合2P贷款市场的风险特征，如较高的违约风险导致贷款人要求更高的回报，较高的不确定性导致贷款人选择短期投资。4结论本文研究了P2P借贷市场的借贷关系网络。根据贷款属性，例如必须存在债务人必须偿还本金和利息的日期，并且在债务人这样做之后，债务人-债权人关系将得到清理。此外，考虑到新的借贷协议不断产生新的债务人-债权人关系，债务人-债权人关系网络随着节点的添加和删除而发展。总之，这些实际的借贷活动为演化网络的理论模型提供了一个案例。考虑贷款属性，基于与Moore et al.（2006）不同的假设，Yet得出了相同的结论，即增加和删除节点的进化网络的度分布满足优先连接下的幂律分布。在我们的案例中，实证研究的结果在幂律分布上是一致的，并且度分布的幂律指数γ可能在1.84～1.93之间。另一方面，正如摩尔等人所说。（2006）发表了评论，尽管理论模型生成的幂律指数似乎与我们案例中的结果不一致。有充分的理由相信，如果出现净增长网络，那么债务人-债权人关系网络就是无标度网络。此外，我们还研究了除了节点数之外，还有哪些因素影响幂律指数。

我们发现利率和期限对幂律分布的指数都有显著影响。利率与幂律指数呈负相关，期限与幂律指数呈正相关。这个结果很有意义，因为以前对网络的大多数研究都不关心什么因素会影响幂律指数。致谢本研究由国家自然科学基金资助（项目编号：71571030）。参考文献【1】F.Allen，D.Gale，《金融传染》。《政治经济学杂志》，第108期，第1-33页（2000年）。[2] X.Freixas、B.M.Parigi和J.-C.Roche，《系统风险、银行间关系和中央银行的流动性规定》。《货币、信贷和银行杂志》32611-638（2000年）。[3] Y.Leitner，《金融网络：传染、承诺和私营部门救助》。《金融杂志》602925-2953（2005）。[4] P.E.Mistrulli，《评估银行间市场的金融传染：最大熵与观察到的银行间借贷模式》。《银行与金融杂志》351114-1127（2011）。[5] S.Lenzu，G.Tedeschi，《不同银行间网络拓扑的系统性风险》。《物理与统计力学及其应用》3914331-4341（2012）。[6] N.Paltalidis、D.Gounopoulos、R.Kizys和Y.Koutelidakis，《欧洲金融网络系统风险和传染的传播渠道》。《银行与金融杂志》61（S1），S36–S52（2015）。[7] P.Glasserman，H.P.Young，金融网络中的传染可能性有多大？。《银行与金融杂志》第50期，第383-399页（2015年）。[8] C.P.Georg，《银行间网络结构对传染和共同冲击的影响》。《银行与金融杂志》372216-2228（2013）。[9] T。