非局域扩散与量子Black-Scholes方程：建模

这种小旋转的形式更符合我们在第3节中应用的方法。u（t，x，)t=rxu（t，x，)x+ru（t，x，)- u（t，x，)r+∞Xk=2（ε - （ε/2）x）k-2k！ku（t，x，)xkg（x，)+∞Xl=2(-εx- (ε/2))l-2l！lu（t，x，)lg（x，)（10） 与方程（2）的情况一样，这减少到2个不相关随机变量的经典Black-Scholes（在这种情况下，价格：x，出价价差：)当ε=0时。对于经典案例，当使用衍生工具定价模型时，在某些方面没有必要增加出价差价。对于以收盘价为基础的衍生品合约，通常可以在日终拍卖过程中以收盘价每日对冲。对于许多交易台来说，这在实践中可能是不够的，涉及出价差价的条款将从模型中删除。在量子情况下，对方程（8）和（10）的检验表明，我们预计出价差价动态和价格动态之间存在干扰。对于小的旋转，这些方程是奇异的偏微分方程，我们期望大多数区域的行为接近经典行为。然而，当高阶导数项较大时，量子干涉可能很重要。我们将在第3节和第4.3节非局部微分中对此进行更多讨论。在本节中，我们推导出与量子Black-Scholes方程相关的福克-普朗克方程：（2）和（10）。我们展示了如何使用Kramers-Moyal展开式以积分形式编写这些函数（参见示例[7]）。这使我们能够将上一节中的量子Black-Scholes模型与非局部差异联系起来（例如，参见Luczka、H¨anggi和Gadomski的论文：[14]）。在本节中，我们假设利率为零，以帮助在不改变关键动态的情况下澄清符号。

福克-普朗克方程的积分形式如下：p（t，x，)t型=x个Z∞-∞Z∞-∞H（yx，y|x，)g（x，)p（x- yx， - y, t）dyxdy公司+Z∞-∞Z∞-∞H（yx，y|x，)g（x，)p（x- yx， - y, t）dyxdy公司（11） 函数H（yx，y|x，) 具有“模糊”扩散算子影响的效果。如果H（yx，y|x，) 是Dirac delta函数，扩散算子像往常一样局部化，相关的Fokker-Planck方程简化为与经典Black-Scholes方程相关的标准Kolmogorov正演方程。我们从方程式（2）和（10）的以下一般形式开始：u（t，x，)t=g（x，)∞Xk=2f（x，, ε） k级-2k！ku（t，x，)xk+g（x，)∞Xl=2f（x，, ε） l-2l！lu（t，x，)l（12）提案3.1。与方程（12）相关的福克-普朗克方程（r=0）由下式给出：p（t，x，)t型=∞Xk=2(-1） kk！kg（x，)f（x，, ε） k级-2p（t，x，)xk公司+∞Xl=2(-1） ll！lg（x，)f（x，, ε） l-2p（t，x，)l（13）证明。对于衍生支付h（x，), 在零利率的情况下，风险中性度量Q的价格如下：u（xt，t、 t）=等式h（xT，T）=RRh（yx，y)p（yx，y|x，, t） dyxdy公司式中p（yx，y|x，, t） 表示在时间t观察到的变量的风险中性概率密度，以时间t的值为条件。h（x，) 代表T处的衍生支付。然后我们将右侧积分写成：RRg（yx，y)p（yx，y|x，, t） dyxdy公司=RtRRLh（yx，y)p（yx，y|x，, s） dyxdy公司DSL代表操作员：Lh（x，) =g（x，)P∞k=2f（x，,ε） k级-2k！kxk+g（x，)P∞l=2f（x，,ε） l-2l！llh（x，)福克-普朗克方程由伴随算子L给出*. 因此，自：RtRRLh（yx，y)p（yx，y|x，, s） dyxdy公司ds=RtRRh（yx，y)L*p（yx，y|x，, s） dyxdy公司如果我们将方程（12）以一定的阶数截断为导数：N，则结果通过N次积分得到。

从更高和更高的角度出发，我们可以匹配任意顺序的导数项，结果如下。现在的目标是将方程（13）写成（11）的形式。为此，我们可以遵循矩匹配算法。我们使用以下展开式：g（x，)p（x- yx， - y, t） =P∞i、 j=0(-1） （i+j）（i+j）！yixyjdi+j（g（x，)p（x，))dxid将其代入式（11）中，得出：p（t，x，)t型=x个∞Xi，j=0(-1） （i+j）（i+j）！i+j（g（x，)p（x，))xijZ公司∞-∞Z∞-∞H（yx，y|x，)yixyjdyxdy公司+∞Xi，j=0(-1） （i+j）（i+j）！i+j（g（x，)p（x，))xijZ公司∞-∞Z∞-∞H（yx，y|x，)yixyjdyxdy公司（14） 现在通过将导数的系数与x和,在方程（14）和（13）之间，可以计算“模糊”函数H（yx，y）的力矩|x，). 对于平移情况，g（x，) = 0，概率密度仅为x的函数。3.1力矩匹配：平移情况在第2.1节的平移情况下，由于方程式（2）中每个微分项的系数是一个常数乘以g（x），“模糊”函数H（y）的力矩将不取决于x。方程式（14）变为：p（t，x）t型=∞Xj=0(-1） （j）j！d（j+2）（g（x）p（x））dx（j+2）Z∞-∞H（y）yjdy（15） 类似地，与方程式（2）相关的福克-普朗克（r=0）由以下公式给出：p（t，x）t型=∞Xk=2(-1） kεk-2k！k（g（x）p（t，x））xk（16）现在，“模糊”函数的矩可以通过直接等于方程（15）和（16）：命题3.2来匹配。让HirePresente表示与第2.1节中描述的平移情况相关的福克·普朗克方程（13）的H（y）的ithmoment。然后，Hi由：Hi=2给出(-ε） i（i+1）（i+2）证明。Hifollows（对于i≥ 0）通过将以下系数相等：（i+2）x（i+2），介于方程（15）和（16）之间。我们发现，在这种情况下，H（y）是一个归一化函数，当ε趋于零时，它趋于Diracfunction，对于ε=0，我们得到了经典的二阶福克-普朗克方程。

这将在第4.3.2节力矩匹配：旋转情况中进一步讨论。在第2.2节的旋转情况中，每个微分项不等式（13）的系数是x和的函数. 因此，我们要求“模糊”函数的矩也是x的函数，并且: H（yx，y|e). 一旦我们计算了微分项的系数，我们就可以使用这些来形成H（yx，y）力矩的齐次二阶微分方程|e).在这种情况下，从方程式（13）我们得到：f（x，) = ε - （ε/2）x和f（x，) =-εx- (ε/2). 因此，与方程（10）相关的福克-普朗克方程（r=0）由下式得出：p（t，x，)t型=∞Xk=2k！k（ε/2）x- εk-2g（x，)p（t，x，)xk公司+∞Xl=2l！lεx+（ε/2）l-2g（x，)p（t，x，)l（17）“模糊”函数的矩之后，现在将等式（14）和（17）之间的微分项的系数相等。提案3.3。其中，“模糊”函数的时刻：H（yx，y|x，)由以下公式给出：aix=R∞-∞R∞-∞H（yx，y|x，)yixdyxdyaj公司=R∞-∞R∞-∞H（yx，y|x，)yj公司dyxdy公司和a，ax，a假设为：a=1，ax，a= 0然后是更高的时刻，对于n≥ 2:(-1） 南安-2x+2n一-1台x+n（n- 1)anx公司xn=（（ε/2）x- ε)n-2n（n- 1)(1 - （ε/2））（n-1)(18)(-1） 南安-2.+ 2n个一-1.+ n（n- 1)一n=((ε/2) + εx）n-2n（n- 1)(1 - （ε/2））（n-1） （19）证明。

我们首先计算n（g（x，)p（x，))xn来自方程式（17）。二阶系数由以下公式得出：Pi≥2（一）-2)!（ε/2）i-2（i）i=圆周率≥0（ε/2）i=2（1-（ε/2））类似地，三阶系数由以下公式得出：Pi≥3（一）-2)!（ε/2）（i）-2） （i）（（ε/2）x-ε)我=（（ε/2）x-ε)3.圆周率≥0（i+1）（ε/2）i=（（ε/2）x-ε)3.(1-（ε/2））通常，n阶系数由以下公式得出：Pi≥n（i）-2)!（ε/2）（i）-2） （in）（（ε/2）x-ε)n-2i！（n）-2)!=（（ε/2）x-ε)（n）-2） n！圆周率≥0（i+1）（i+2）。。。（i+n- 2） （ε/2）最终总和可通过微分（n）计算得出- 2） 次数，在有限和1/（1）内- v） ，其中v=（ε/2）。因此，n的系数≥ 2由以下公式得出：（（ε/2）x- ε)n-2n（n- 1)(1 - （ε/2））（n-1)n（g（x，)p（x，))xn（20）遵循类似逻辑 我们有系数：（（ε/2） + εx）n-2n（n- 1)(1 - （ε/2））（n-1)n（g（x，)p（x，))n（21）这些系数现在可用于计算H（yx，y）矩的二阶非齐次微分方程|x，). 我们从扩展/x、 以及/在等式（14）中。因为，我们从第2.2节中假设， 方程（14）可以写成：p（t，x，)t型=∞Xi=0(-1） （i）我！i（g（x，)p（x，))xiaixx个+i+2（g（x，)p（x，))xi+2aix+2i+1（g（x，)p（x，))xi+1aixx+∞Xj=0(-1） （j）j！j（g（x，)p（x，))jaj公司+j+2（g（x，)p（x，))jaj公司+2.j+1（g（x，)p（x，))j+1aj公司!（22）系数n（g（x，)p（x，))方程式（22）中的xN现在由下式得出：一x（g（x，)p（x，))对于n=0(斧头x+2一x）（g（x，)p（x，))xfor n=1，且：(-1） 南安-2x+2n一-1台x+n（n- 1)anx公司xn！n（g（x，)p（x，))xn（23）表示n≥ 2、同样，对于 我们有：(-1） 南安-2.+ 2n个一-1.+ n（n- 1)一nn（g（x，)p（x，))n（24）我们现在假设H是一个正态概率分布，对于x和. Ie，一x=0、ax=0和a= 这些假设确保方程（17）两侧的系数n=0，1等于零。

该命题后面是等式（20）/（23）和（21）/（24）。4蒙特卡罗方法与数值模拟在本节中，我们简要概述了McKean随机微分方程，然后介绍了Guyon和Henry Labord\'ere：[8]一书中讨论的粒子方法如何用于模拟。然后，我们继续讨论上述bid-o-ffer模型的当前数值结果，特别强调理解量子效应如何通过应用于经典Black-Scholes系统的小变换变得明显。4.1 McKean随机微分方程[16]中介绍了一个非线性随机微分方程，并参考了SDE，其中漂移和波动系数取决于随机过程的潜在概率定律。下面是文献[8]中的符号：dXt=b（t，Xt，Pt）dt+σ（t，Xt，Pt）dwt这些与非线性福克-普朗克方程相关：pt=Xi，j（σi（t，x，Pt）σj（t，x，Pt）p（t，x））xixj公司-xi（bi（t，x，Pt））xi（25）在这种情况下，我们可以用这种形式写出方程式（11）。

对于r=0，b（t，x，, Pt）=b（t，x，, Pt）=0和σ（t，x，, Pt）=sg（x，)Ep公司H（x-yx，-y|x，)p（x，,t）,σ（t，x，, Pt）=sg（x，)Ep公司H（x-yx，-y|x，)p（x，,t）.因此，我们可以通过首先计算函数H（x）来模拟方程（11）的解-yx，-y) 使用矩匹配算法，然后模拟以下McKean SDE，使用不相关的维纳过程dW，dW:dx=sg（x，)p（x，, t） Ep（y）H（x- yx， - y|x，)dWd文件 =sg（x，)p（x，, t） Ep（y）H（x- y,  - y|x，)dW（26）上述SDE的模拟依赖于Guyon和Henry Labord\'ere的书《非线性期权定价》第10章和第11章中概述的粒子方法（参见[8]）。每条路径（xi，i） 现在与其他路径交互：（xj，j） 在模拟过程中，j 6=i，该方法的收敛依赖于所谓的混沌特性的传播。该条款规定：定义4.1。对于所有函数φ（x，, t）∈ C（R）：NNXj=1φ（xj，j） N个→∞----→ZRφ（x，, t） p（x，, t） dxd公司 （27）在我们的例子中，SDE（26）是一个McKean-Vlasov过程，我们有Guyon、Henry Labord\'ere（cf:[8]定理10.3）和Sznitman（cf:[22]），混沌的传播特性。4.2粒子方法第一步是离散SDE：（26），如下所示：dxi=NXj=1H（xj- xij- i） P（xj，j） P（xi，i） g（xi，（一）0.5dW1，内径我=NXj=1H（xj- xij- i） P（xj，j） P（xi，i） g（xi，（一）0.5dW2，i（28），其中P（xj，j） 表示适当离散化的概率函数。然后，算法进行如下操作：1。求解“模糊”函数H（x）的矩- yx， - y|x，)使用命题3.2和3.3.2。选择一个参数化分布以近似H（x- yx， - y|x，),并使用计算的力矩确定参数。例如，近似H（x- yx， - y|x，) 作为一元/二元正态分布。3.

使用H（0，0 | x，), 对于启动位置x，.4、每次模拟后，将模拟路径分配到离散概率桶中：P（xj，j） ，对于路径j=1到N。5、从tk出发-1到tktimestop，使用（28）H（x）的值-yx，-y|x，), 以及tk处的离散铲斗-1.6. 重复步骤4和5，直到最终成熟：tF。4.3对市场恐惧因素进行建模我们可以从（28）中看到，较小的转换将导致方差缩放因子：PNj=1H（xj- xij- i） P（xj，j） P（xi，i） 这将有助于减少位于“钟形曲线”中间的路径的波动性，因为这些点的概率定律具有负曲率-概率质量通过“模糊”函数扩散到较低的概率点。类似地，在曲率为正的概率密度曲线的极值处，概率质量扩散到净概率较高的区域。从本质上讲，市场对最近极端事件的记忆将导致下一个时间步的更高市场波动性。这种影响不同于在局部波动率模型中观察到的负偏斜（例如Dupire的工作：cf[6]），也不同于随机波动率模型（例如Heston：[11]），因为波动率的增加与概率分布尾部最近的随机移动有关，而不是与随机波动率的水平或价格的静态函数有关，还有时间。为了突出差异，在方程式（28）给出的过程中，可以考虑定期重新平衡过程。例如，可以将无条件概率替换为以前一步为条件的概率。

这样，波动性的水平将完全取决于近期价格历史的“记忆”，而不是市场价格的绝对水平或额外的随机变量。市场对大幅波动的反应是恐惧因素加重。通过再平衡对此类过程建模的研究将涉及计算条件概率的先进技术，我们将把详细研究推迟到未来的工作中。4.4数值结果在本节中，我们模拟了第2.1节和第3.1节中描述的单因素过程。在这种情况下，我们使用命题3.2：N（ε，ε）中的矩，使用正态分布近似H（y）。非零的第一时刻将导致“市场恐惧因素”效应的上升/下降趋势。从本质上讲，通过引入负面XD方向的翻译，我们可以在模型中引入负面“恐惧”。下面的图1和图2说明了两步蒙特卡罗过程的结果，其中g（x）=0.01x，起始值：x=1，100K蒙特卡罗路径和500个离散概率桶。散点图显示了横轴上第一个时间步和纵轴上第二个时间步的比例回报幅度：图1：ε=0，横轴表示第一个时间步的比例回报，纵轴表示第二个时间步。图2：ε=0.02的结果，横轴表示第一个时间步的比例回程，纵轴表示第二个时间步。图1显示了ε=0的结果。这是一个经典的Black-Scholes系统，第一和第二时间步的大小和方向之间没有相关性。图2显示了ε=0.02的比例回报（蓝色），覆盖在ε=0结果的顶部（橙色）。在第一步较小的路径上，第二步的波动性降低。

对于具有较大正第一步的路径，第二步波动率略有增加，对于具有较大负第一步的路径，第二步波动率显著增加。因此，市场价格的下跌将“恐惧”引入了这些途径。最终图表显示了50个一天时间步后模拟值自然对数的概率分布。非零平移会导致分布的自然偏斜。图3：50个一天时间段后最终价格的自然对数分布。100K条蒙特卡罗路径和500个离散概率桶。5结论在本文中，我们展示了如何使用酉变换来模拟Accardi&Boukas的量子Black-Scholes系统中的新量子效应（参见[1]）。我们展示了如何使用非局部微分对这些量子随机过程进行建模，并使用Guyon和HenryLabord\'ere在[8]中概述的粒子方法进行模拟。通过引入bid-o-offer-spread参数，并将Accardi-Boukasframework扩展到2个变量，我们展示了除了平移之外，如何应用旋转。因此，当前市场中包含的信息的更丰富表示将导致可以使用的更广泛的酉变换。在第4节中，使用蒙特卡罗模拟，我们说明了如何将转换引入一维模型，从而导致偏态分布，其中最近的市场下跌导致未来的波动性增加。因此，市场对最近的重大举措仍记忆犹新。在[6]中，Dupire展示了如何将局部波动率校准为当前的vanillaoption微笑。这使得蒙特卡罗模拟与当前市场期权价格完全一致。