非局域扩散与量子Black-Scholes方程：建模

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英文标题：
《Nonlocal Diffusions and The Quantum Black-Scholes Equation: Modelling
  the Market Fear Factor》
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作者：
Will Hicks
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we establish a link between quantum stochastic processes, and nonlocal diffusions. We demonstrate how the non-commutative Black-Scholes equation of Accardi & Boukas (Luigi Accardi, Andreas Boukas, \'The Quantum Black-Scholes Equation\', Jun 2007, available at arXiv:0706.1300v1) can be written in integral form. This enables the application of the Monte-Carlo methods adapted to McKean stochastic differential equations (H. P. McKean, \'A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations\', Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 56(6):1907-1911, 1966) for the simulation of solutions. We show how unitary transformations can be applied to classical Black-Scholes systems to introduce novel quantum effects. These have a simple economic interpretation as a market `fear factor\', whereby recent market turbulence causes an increase in volatility going forward, that is not linked to either the local volatility function or an additional stochastic variable. Lastly, we extend this system to 2 variables, and consider Quantum models for bid-offer spread dynamics.
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中文摘要：
在本文中，我们建立了量子随机过程与非局域扩散之间的联系。我们演示了如何将Accardi&Boukas的非交换Black-Scholes方程（Luigi Accardi，Andreas Boukas，“量子Black-Scholes方程”，2007年6月，arXiv:0706.1300v1上提供）写成积分形式。这使得适用于McKean随机微分方程（H.P.McKean，“一类与非线性抛物方程相关的马尔可夫过程”，美国自然科学院学报，56（6）：1907-19111966）的蒙特卡罗方法能够应用于解的模拟。我们展示了如何将幺正变换应用于经典Black-Scholes系统以引入新的量子效应。这些因素有一个简单的经济学解释，即市场“恐惧因素”，即最近的市场动荡导致未来波动性增加，这与局部波动性函数或其他随机变量无关。最后，我们将该系统推广到2个变量，并考虑了买卖价差动力学的量子模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Nonlocal_Diffusions_and_The_Quantum_Black-Scholes_Equation:_Modelling_the_Market.pdf (752.79 KB)

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关键词：SCHOLES choles Black Holes lack

非局部差异和QuantumBlack-Scholes方程：市场恐惧因素建模。威尔·希克斯* *2018年6月28日摘要在本文中，我们建立了量子随机过程与非局部差异之间的联系。我们证明了如何将Accardi&Boukas（cf【1】）的非交换Black-Scholes方程写成积分形式。这使得能够应用适用于McKean随机微分方程（cf【16】）的蒙特卡罗方法来模拟解。我们展示了如何将酉变换应用于经典Black-Scholes系统以引入新的量子效应。这些都有一个简单的经济学解释，即市场“恐惧因素”，即最近的市场动荡导致未来波动性增加，这与局部波动性函数或其他随机变量无关。最后，我们将该系统扩展到2个变量，并考虑出价-出价扩散动力学的量子模型。关键词-量子Black-Scholes，Hudson Parthasarathy量子随机微积分，非局部微分，McKean随机微分方程，粒子方法1简介经典Black-Scholes方程和量子力学之间的联系以及量子形式主义在数学金融中的应用已被几位作者研究过。例如：[1]-[5]、[9]-[12]、[15]、[17]-[21]。特别是，Segal和Segal在[21]中提出了在Hilbert空间上使用自伴算子对衍生品价格建模的方法。在本文中，作者指出，在现实世界中，市场是在不完全信息的情况下运行的，不同的可观测数据，如基础价格和期权delta，通常不是同时可观测的。这一事实使得Black-Scholes框架的非交换扩展成为一个自然的步骤。

这个* *42 Cranes Park Avenue，Surbiton，KT5 8BP，United KingdomEmail：whicks7940@googlemail.comauthors指出这种方法解决了经典Black-Scholes模型的一些局限性，例如低估了极端事件的概率，即所谓的“厚尾”。从这个意义上讲，非交换量子模型提供了一种捕获复杂市场动态的替代方法，无需添加新的随机变量。在[1]中，Accardi和Boukas基于Hudson Parthasarathy微积分推导出了量子Black-Scholes方程的一般形式（参见[13]），并证明了作用于市场状态的交换酉时间发展算子会导致经典Black-Scholes系统。此外，他们给出了控制时间发展算子的量子随机微分方程，并证明了酉变换如何导致非交换性。推导了一个非交换量子Black-Scholes偏微分方程的例子，尽管作者在抽象的环境中工作，没有讨论金融市场的特定酉变换和希尔伯特空间表示。因此，这项工作的一个目标是使用Accardi-Boukas框架来了解如何使用不同的幺正变换来变换经典Black-Scholes方程，并了解量子效应是如何变得明显的。然后，我们继续探索该方法在竞价差动态建模中的一个示例应用。当前工作的最终目标是确定合适的蒙特卡罗方法，用于模拟解。在第2节中，我们概述了[1]中对量子Black-Scholes方程一般形式的Accardi-Boukas推导。

以“接近经典”的Black-Scholes世界为目标，我们推导出了小平移和旋转产生的偏微分方程的具体形式。这又涉及到将Accardi-Boukasequation方程扩展到具有多个基础变量的系统。我们继续讨论如何将这种方法应用于投标报价动态建模。在第3节中，我们展示了这如何与Luczka、H¨anggi和Gadomski在【14】中讨论的非局部扩散过程相联系。在这里，微分算子的影响通过卷积和“模糊”函数展开。非局部福克普朗克方程的Kramers-Moyal展开式允许我们导出“近经典”量子系统的模糊函数矩。这种方法允许使用McKean SDEs（参考文献[16]）自然地可视化系统的量子效应。然后，Guyon和Henry Labord\'ere在[8]中开发的蒙特卡罗方法可以适用于解决方案的模拟。第4节讨论了这一点，在这里我们展示了数字结果，并展示了通过对系统进行小的转换，仓促过程现在如何通过返回更高的波动性来应对市场低迷。即使存在单一静态Black-Scholes型波动率，也可以观察到这种影响。2量子Black-Scholes方程在本节中，我们遵循Accardi&Boukas在[1]中给出的符号。当前市场由希尔伯特空间中的一个向量H表示，该向量包含关于市场在瞬间状态的所有相关信息。证券的可交易价格由自伴随算子onH:X表示，X的谱表示可能的价格。设L[R+；H]表示从正实轴（时间）到希尔伯特空间H的函数。

然后，可交易证券的随机行为可以用H的张量积和玻色子Fock空间H来建模Γ（L[R+；H]）。我们称之为“市场空间”。返回当前价格的运算符变为X一、 其中，我表示标识运算符。X的时间开发 I对未来的模拟是：jt（X）=U*德克萨斯州 IUtH通过引入随机波动来承载市场的初始状态和Utacts，这些随机波动将空状态填充到：Γ（L[R+；H]）。Hudson和Parthasarathy在[13]中推导出UTI的函数公式，并由以下公式给出：dUt=-iH+L*Ldt+L*SdAt公司- LdA+t+1.- Sd∧t！UtdA+t，dAt，d∧t表示量子随机微积分的标准创建、湮灭和泊松算子。H、 S和L也在市场空间上运行，具有S幺正和H自伴。Hudson Parthasarathy演算的乘法规则如下（参见[13]）：-dA+td∧tdAtdtdA+t0 0 0d∧tdA+td∧t0 0dAtdt dAt0 0dt 0 0 0 0 0 0首先要注意的是，对于s6=1，存在一个非零泊松项，时间展开算子是非交换的。接下来要注意的是，当S=1时，泊松项消失。该模型可以使用伊藤演算来代替更通用的哈德逊-部分哈撒拉蒂（Hudson-Parthasarathy）框架来编写。维纳过程DWT可以使用：dAt+dA+t.Let VT=jT（X- K） +，表示最终到期时的期权价格过程T，K是通过乘以行使得出的运算符。此外，对于vt=jt（X- K） +假设以下展开式：Vt=F（t，x）=Pn，kan，K（t- t） n（x- x） Hudson Parthasarathy乘法规则可应用于该展开式，给出了Vt的量子随机微分方程，该方程与经典Black-Scholes推导中常用的Ito展开式相对应。

通过假设一个人可以通过持有基础资产和arisk自由计价资产来构建对冲投资组合，Accardi&Boukas能够利用任何投资组合都必须自我融资的假设推导出量子Black-Scholes方程的一般形式。[1]中的命题1给出了完整的量子BlackScholes方程：a1,0（t，jt（X））+a0,1（t，jt（X））jt（θ）+∞Xk=2a0，k（t，jt（X））jt（αλk-2α+）=atjt（θ）+Vtr-atjt（X）r（1）这里，Atr表示持有标的资产，由边界条件给出：P∞k=1a0，k（t，jt（X））jt（λk-1α+）=atjt（α+）P∞k=1a0，k（t，jt（X））jt（αλk-1） =atjt（α）P∞k=1a0，k（t，jt（X））jt（λk）=atjt（λ），θ，α和λ由以下公式得出：α=[L*, 十] S，λ=S*XS型- 十、 θ=i【H，X】-{L*LX+XL*升+2升*四十} 。在这种情况下，产生边界条件是因为当泊松项：d∧非零时，与伊藤演算不同，伊藤演算可以忽略阶数大于2的展开项，高阶项仍然包含非消失贡献。2.1转换股票价格的自然希尔伯特空间（如富时指数价格）为：H=L[R]。在这种情况下，我们只能使用翻译：T: f（x）→ f（x- ε） 这里，对于平移不变的Lebesgue度量u：hTεf | Tεgi=RRf（x- ε） g（x- ε） du=RRf（x）g（x）du=hf |在这种情况下，giSo S是幺正的。因此，通过ε转换，我们得到：λ=T-εXTεf（x）-Xf（x）=T-εxf（x-ε)-xf（x）=（x+ε）f（x）-xf（x）=εf（x），所以我们有λ=ε，很明显，在[1]中给出的例子与ε=1的平移有关。遵循[1]命题3的关键步骤，并将其插入方程1中，我们得到该系统的以下量子Black-Scholes偏微分方程：引理2.1。设u（t，x）表示上述系统中，在小平移ε下，利率为的导数收缩在t时的价格。

然后量子Black-Scholes方程变成：u（t，x）t=rxu（t，x）x个- u（t，x）r+∞Xk=2εk-2k！ku（t，x）xkg（x）（2）证明。证明遵循了[1]命题3中Accardi&Boukas概述的相同步骤，但有一些小的修改。当ε=0时，最后一项消失，方程恢复为经典的Black-Scholes方程。我们在第4.2.2节中研究了非零ε旋转对一维市场空间的影响：L[R]，Lebesgue不变平移，是唯一可用的酉变换。然而，金融市场的真实现状包含比单一价格更丰富的信息，通过增加市场空间的维度，我们引入了更广泛的酉变换，可以引入非交换性。例如，让x表示富时指数的中间价，以及 出价差价的一半，以便（x+) 代表最优惠的价格和（x- ) 最佳投标价格。现在市场由Hilbertspace表示：H=L[R]，除了平移之外，我们还可以应用旋转。我们作出了简化假设，即市场参与者可以交易中间价：x（例如在一天结束的拍卖过程中），并且市场具有充足的流动性，使参与者能够作为做市商（接收出价差价）或对冲者（交叉出价差价），从而交易出价差价：. 因此，我们做出以下假设：假设2.2。对于任何衍生支付V（xT，T） ，我们可以构造一个边缘投资组合，并可以按照[1]中的基本方法推导量子BlackScholes方程。现在我们有了单独的创造、湮灭和泊松算子，对于x和; dAx，dA等

通过假设出价与股票价格不相关，可以使用乘法表（【13】、定理4.5）将这些组合起来。这对应于假设2.3：假设2.3。dAxd∧= dA公司d∧x=d∧xd∧= d∧d∧x=dAxdA+=dA公司dA+x=d∧xdA+= d∧dA+x=0。最后，我们假设我们可以像以前一样扩展衍生品支付：假设2.4。Vt=F（t，x，) =Pn、k、lan、l、k（t- t） n（x- x） k级( - )lWe现在可以推导出相关的量子Black-Scholes方程：命题2.5。设H=L[R]，设X 1和  1在市场空间操作：H Γ（L[R+；H]），分别返还中间价和可交易证券的出价。此外，让[1]中的符号和上述假设适用。然后，这种情况下的量子Black-Scholes方程由以下公式给出：a1,0,0（t，jt（X），jt()) + a0,1,0（t，jt（X），jt())jt（θx）+a0,0,1（t，jt（x），jt())jt（θ)+∞Xk=2a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（αxλk-2xα+x）+∞Xl=2a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（αλl-2.α+)= ax，tjt（θx）+a,tjt（θ) + 录像机- ax，tjt（X）r- 一,tjt公司()r（3），其中对于jt（X）：∞Xk=1a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（λk-1xα+x）=ax，tjt（α+x）∞Xk=1a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（αxλk-1x）=ax，tjt（αx）∞Xk=1a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（λkx）=ax，tjt（λx）（4）和jt():∞Xl=1a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（λl-1.α+) = 一,tjt（α+)∞Xl=1a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（αλl-1.) = 一,tjt（α)∞Xl=1a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（λl) = 一,tjt（λ)（5） 证明。

首先，X的时间发展算子方程 1，和  1生态：dUx，t=-iH+L*xLx公司dt+L*xSdAx- LxdA+x+1.- Sd∧xdU,t=-iH+L*Ldt+L*SdA公司- LdA++1.- Sd∧然后，将Hudson Parthasarathy乘法规则应用于假设2.4中给出的展开式，得到：dVt=a1,0,0（t，jt（x），jt()) + a0,1,0（t，jt（x），jt())jt（θx）+a0,0,1（t，jt（x），jt())jt（θ)+∞Xk=2a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（αxλk-2xα+x）+∞Xl=2a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（αλl-2.α+)dt公司+a0,1,0（t，jt（X），jt())jt（αx）+∞Xk=2a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（αxλk-1x）dAx公司+a0,0,1（t，jt（X），jt())jt（α) +∞Xl=2a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（αλk-1.)dA公司+a0,1,0（t，jt（X），jt())jt（α+x）+∞Xk=2a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（λk-1xα+x）dA+x+a0,0,1（t，jt（X），jt())jt（α+) +∞Xl=2a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（λk-1.α+)dA+（6） 其中θx，θ由以下公式得出：θx=i【H，x】-L*xLxX+XL*xLx公司- 2升*xXLx型θ= i[H，] -L*L + L*L- 2升*Lαx，α由以下公式得出：αx=[L*x、 x]Sα= [L*, ]砂最终λx，λ由λx=S给出*XS型- Xλ= S*S- 根据假设2.2，我们可以形成我们现在使用的对冲投资组合：Vt=ax，tjt（X）+a,tjt公司() + btβ，无风险计价资产β。dVt=ax，tdjt（X）+a,tdjt公司() + btβrdt使用酉时间展开运算符 x我们有：dVt=ax，tjt（α+x）dA+x+jt（λx）d∧x+jt（αx）dAx+一,t型jt（α+)dA++ jt（λ)d∧+ jt（α)dA公司+jt（θx）+（Vt- ax，tjt（X）- 一,tjt公司())rdt（7）将方程（6）和（7）之间的风险项相等，得到ax，tand a上的边界条件（4）和（5）,t。

类似地，将dt项等效，得到该系统的量子Black-Scholes方程：方程（3）。现在，让fx，以H表示向量，并应用旋转矩阵：S=cos（φ）-sin（φ）sin（φ）cos（φ）我们有：Sfx，= fcos（φ）x- sin（φ）, cos（φ） + sin（φ）xXSf=xfcos（φ）x- sin（φ）, cos（φ） + sin（φ）xS*XSf公司=cos（φ）x+sin（φ）f（x，)所以，我们得到λx=cos（φ）- 1.x+sin（φ）, λ=cos（φ）- 1. - sin（φ）x.最后，将其插入方程（3）中，我们得到了系统的Black-Scholes方程（遵循[1]中的符号）：命题2.6。设u（t，x，) 表示上述系统中在旋转φ下的衍生合约在时间t的价格，以及利率。然后量子Black-Scholes方程变成：u（t，x，)t=rxu（t，x，)x+ru（t，x，)- u（t，x，)r+∞Xk=2（（cos（φ））- 1） x+sin（φ）)k-2k！ku（t，x，)xkg（x，)+∞Xl=2（（cos（φ））- 1) - sin（φ）x）l-2l！lu（t，x，)lg（x，)（8） 证明。我们假设操作符Lx，L*x、 L, L*涉及x中多项式的乘法，, 因此与λx，λ通勤. 因此，从边界条件我们得到：P∞k=1a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（λk-1x）=ax，tP∞l=1a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（λl-1.) = 一,t将其分为3个给定值：a1,0,0（t，jt（X），jt()) + a0,1,0（t，jt（X），jt())jt（X）r+a0,0,1（t，jt（X），jt())jt公司()r+∞Xk=2a0，k，0（t，jt（X），jt())jt（λk-2x（αxα*x个- λx（θx- xr）））+∞Xl=2a0,0，l（t，jt（X），jt())jt（λl-2.(αα*- λ(θ- r） ））=Vtr（9）正在写入g（x，) = jt（αxα*x个- λx（θx- xr）），g（x，) = jt（αα*- λ(θ- r） ）和a0、k、0（t、jt（X）、jt()) =kku公司xk、a0、0、l（t、jt（X）、jt()) =我！lu公司l、 我们已经给出了结果。对于小的旋转，我们有cos（φ）=1-ε+o（ε），sin（φ）=ε+o（ε）。将其插入方程（8），我们得到了一个新的偏微分方程，其中k的第k次偏导数的系数≥ 3.关于毒物，, 正确到o（ε2（k-2)).