最优幂和对数效用的均值方差效率

（9） 这里，rgmv表示全局最小方差（GMV）投资组合（方差最小的投资组合）的预期投资组合回报，vgmv表示其方差，s表示效率边界的斜率参数，该边界是由（X）给出的抛物线的上部- RGMV）=s（V- VGMV）。（10） 整个抛物线在文献中被称为一组可行的最优投资组合。4.1电力效用的解析解在定理1中，我们给出了电力效用函数的最优投资组合问题的闭式解，即（4）中给出的（3）的u（·）的解。定理1。假设（A1）成立。如果γ≥ γmin=2s+2s（1+s）VGMVRGMV+ss（1+s）1+sVGMVRGMV1+（1+s）VGMVRGMV!, （11） 然后，利用（4）中的功率利用函数U（·）对优化问题（3）的解由ω给出*= Σ-1.-1+（γ+1）uXYγ- Xu（12） x=（γ+2）RGMV-√D2（1+s），（13）Y=γs（XRGMV- RGMV- sVGMV，（14）D=（γ+2）RGMV- 4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）。（15） 此外，如果γ=γminthen D=0和（13）简单toX=（γmin+2）RGMV2（1+s）。定理1的证明见附录。备注1。定理1揭示了一个非常重要的事实：幂效用函数的解并不总是存在的。实际上，为了保证存在，我们需要γ≥ γmin，这意味着存在最小风险规避水平γmin>0，因此对于所有γ≥ γmin具有幂效用函数的优化问题（3）的解存在且唯一。通过定理1的证明，我们可以证明这个条件等价于更具技术性的条件，即D≥ 0表示所有γ>0。使预期电力效用最大化的最优投资组合的预期收益为X，而其方差等于V=Y-十、 此外，优化问题（3）的最大值由max{ω：ω1=1}E[U（W）]=W1给出-γ1 - γexp(1 - γ） ln X+（γ- γ） 年.

（16） 值得注意的是，在期望幂效用函数最大化的意义上，最优投资组合位于可行投资组合集合上的任何相对风险规避系数γ上，即抛物线（10）。该结果被表述为推论1，并在附录中提供了证明。推论1。在定理1的假设下，它认为ω*= ωGMV+X- RGMVsQu（17），其中ωGMV=∑-1Σ-1，（18）是全球最小方差投资组合的权重；rgmv和s在（8）和（9）中给出；X是最佳投资组合的预期回报，该投资组合最大化了（13）中提供的预期电力效用。最优投资组合权重的表达式（17）与作为马科维茨投资组合选择问题解决方案获得的权重公式一致。此外，推论1的结果用于推导相对风险规避系数γ的条件，从而确保获得的投资组合（17）位于抛物线（10）的上部，因此，使预期幂效用函数最大化的最优投资组合是均值方差有效的。定理2总结了这一发现，并将证明移至附录。定理2。在定理1的条件下，期望幂效用函数最大化意义下的最优投资组合是均值方差有效的当且仅当γ≥ γminand RGMV>0。（19） 定理2的结果为马科维茨的猜想提供了严格的数学证明，即均值-方差分析为效用优化问题提供了一个很好的代理，从某种意义上说，它精确地近似于其解（参见Levy and Markowitz（1979））；Markowitz（2014））。这一结果也与Grauer（1986）的结论一致。

在幂效用函数的情况下，推论1表明，两种方法都会导致相同的最优投资组合集，而定理2则更进一步，并给出了通过最大化期望幂效用获得的最优投资组合的均值方差效率所满足的条件。值得注意的是，在最大化预期电力效用的意义上，最优投资组合永远不会与全局最小方差投资组合（GMV）重合。这个观察结果来自这样一个事实：如果X=RGMV，那么从定理1我们得到y=γs（XRGMV- RGMV- sVGMV）=-γVGMV<0，什么是不可能的，因为Y=E（ωR）≥ 推论2中给出了最优投资组合在最大化期望功率效用意义下的另一个有趣性质。在这里，我们证明了当γ→ ∞.推论2。假设满足定理2的假设。如果γ趋于一致，则最大化预期功率效用的最优投资组合收敛到夏普比率投资组合，权重为ω*=Σ-1uΣ-1u. （20） 备注2。请注意，（20）中给出的夏普比率投资组合与经典投资组合略有不同，因为平均向量u不等于资产回报预期值E（r），而是等于E（r）=E（r）+1。这意味着一个非常有趣的事实，即虽然预期的电力公用事业投资组合不能完全等于GMV投资组合，但在某些情况下，它们彼此非常接近。事实上，如果E（r）接近于零，则（20）中给出的权重接近（18）中的GMV组合。

这是很自然的，因为GMV投资组合在均值方差框架中扮演着风险最小的投资组合的角色。其次，推论3证明了在期望幂效用函数最大化的意义下，最优投资组合的期望收益并不小于夏普比率投资组合的期望收益。推论3。假设满足定理2的假设且RGMV>0。那么，使预期电力效用最大化的最优投资组合的预期收益大于或等于夏普比率投资组合的预期收益，即X≥uΣ-1uΣ-1u. （21）另一个有趣的说法与相对风险厌恶系数有关。可以很自然地得出结论，如果γ增加（意味着风险较小的投资者），我们可以预期投资组合回报的方差会减少。因此，我们在推论4中给出了所描述的事实。此外，我们还发现，预期投资组合回报率也会下降。推论4。假设满足定理2的假设且RGMV>0。然后，期望收益和使期望电力效用最大化的最优投资组合的方差是γ的递减函数。4.2对数效用的解析解在定理3中，我们针对（5）中给出的对数效用给出了优化问题（3）的闭式解。定理的证明在附录中给出。定理3。假设（A1）成立。

如果γ最小值≤ 1，（22）其中γ在（11）中定义，则优化问题（3）的解与（5）中的对数效用函数U（·）相同，由ω给出*= Σ-1小时-1+2uXY- Xui（23），X=3RGMV-√D2（1+s）和Y=XRGMV- RGMVs- VGMV，（24）D=9RGMV- 8（1+s）（RGMV+sVGMV）。最优投资组合在最大化意义下的预期收益预期对数效用为X，其方差由V=Y给出-十、 利用定理1的结果，我们还得到了由maxω给出的对数效用的优化问题（3）的最大值*E[U（W）]=ln W+2 ln X-ln Y.（25）对数效用函数获得的权重表达式是为功率效用函数导出的最优投资组合权重的特例，对应于γ=1。这一发现并不奇怪，因为对数效用函数是幂效用函数的极限情况，当γ→ 尽管无法定义γ=1的电力效用，仅考虑其极限行为，但定理1中给出的权重公式不再是这种情况，只要满足与定理3（22）一致的条件（11），也可以计算γ=1的权重公式。定理1和3中给出的结果的另一个重要应用是，在最大化预期对数效用函数的意义上，最优投资组合的权重也可以以马科维茨投资组合的形式表示，类似于幂效用函数的权重表达式，它们由ω给出*= ωGMV+X- RGMVsQu（26），X如（24）所示，即最大化预期对数效用函数的最佳投资组合也位于抛物线（10）上。最后，定理4给出了该投资组合是均值方差有效的条件，即它位于抛物线的上部。定理4。

在定理1的条件下，期望对数效用最大化意义下的最优投资组合是均值方差有效的当且仅当γmin≤ 1和RGMV>0。（27）5实证研究本节的目的是展示如何将上述结果应用于实践。我们还将详细分析所需的假设是否在实践中得到了充分满足。我们的实证研究基于德国股票指数（DAX）中的股票。我们从DAX中选择17只股票（ADS、ALV、BAYN、BMW、CBK、DAI、DBK、DPW、DTE、HEI、IFX、LHA、LIN、SAP、SIE、TKA、VOW3），并研究其在2014年9月21日至2017年9月17日期间的行为。我们的分析基于每周回报。因此，我们对每种股票进行了157次观察。基于这17只股票，我们通过随机抽样k构建了许多投资组合∈ {4，…，14}资产。因此，对于每个k，不同资产集的数量等于k. 从每一个这样的集合中，我们确定了期望幂（对数）效用最大化意义上的最优投资组合。通过样本平均向量和样本协方差矩阵估计每个组合的参数u和∑。此外，在不丧失一般性的情况下，我们设定W=1.5.1验证模型假设和理论条件。定理1和3的结果是在某些假设下获得的。下面我们将分析这些条件对于基础数据集是否合理。首先，我们验证了对数正态分布投资组合收益的假设。

为了检验对数正态性假设，我们将Shapiro-Wilk检验应用于最优投资组合的对数回报，这些投资组合使所选资产集的预期幂效用函数最大化。在表1中，为投资组合中的多个资产k和相对风险规避系数γ的多个值提供了p值的25%分位数。我们再次提醒，对于每个固定k，考虑中的最佳投资组合数量为k. 表1显示，超过75%的p值总是远远大于测试的可能名义水平，例如在我们的案例中为5%。因此，在所有考虑的案例中，至少有75%的情况下，不能拒绝在最大化预期电力效用的意义上，最优投资组合的回报是对数正态分布的无效假设。例如，选择k=12和γ=5，我们得到75%的p值大于0.26。此外，随着资产数量的增加，p值也单调增加。因此，这就得出结论，对数正态性假设在许多实际情况下似乎是合理的。接下来，我们分析定理1的条件（11）是否在所考虑的应用中得到充分满足。我们的结果总结在图2（上图）中。这里，当条件{γ时，所有考虑案例的百分比表示投资组合中资产数量k和相对风险规避γ的几个值≥ γmin}未填满。垂直虚线表示每个资产数量k的γmin（k）值。我们观察到，随着k的减少和γ的增加，这种情况几乎总是可以满足的，不适当情况的数量为零。

例如如果γ>γmin（k），则所有考虑的资产的γ<γmin（k）相对风险规避γ2 3 4 5 6 7 8 9 104 0.07 0.09 0.10 0.10 0.11 0.12 0.13 0.13 0.145 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.15 0.166 0.12 0.14 0.13 0.14 0.14 0.15 0.17 0.177 0.13 0.17 0.16 0.15 0.16 0.17 0.17 0.188 0.14 0.20 0.18 0.16 0.16 0.17 0.17 0.17 0.179 0.140.23 0.21 0.18 0.17 0.17 0.16 0.1610.15 0.25 0.24 0.21 0.19 0.17 0.16 0.1611 0.15 0.28 0.27 0.23 0.20 0.18 0.16 0.15 0.1512 0.16 0.30 0.29 0.26 0.22 0.20 0.17 0.15 0.1513 0.19 0.32 0.31 0.29 0.25 0.21 0.18 0.16 0.16 0.1514 0.23 0.34 0.33 0.31 0.25 0.21 0.17 0.16表1:k的k值和γ值的几个组合的对数正态性检验p值的25%分位数∈ {4, 5, . . . , 14}. 这与第1项的理论发现一致。此外，由于γmin（k）总是小于1，我们可以根据定理3得出结论，对数投资组合的解也存在。因此，条件（11）对于小型或大型投资组合以及相对较大的风险规避系数值都是现实的，同时，如果γ接近零，则最大化预期功率效用的最优投资组合存在的概率很小。最后，我们分析了定理2中所述的使期望功率效用最大化的最优投资组合的均值方差有效性的条件。结果如下图2所示。这里我们按照上述定理1的相同方式进行。（19）中的第二个表达式提供了经典的均值-方差效率，即GMV投资组合的累积预期投资组合回报，即RGMV=∑-1uΣ-1=Σ-1E（r）∑-1+1必须始终为正。

我们可以观察到，相关结果与图2的上半部分相同，这意味着对于所考虑的数据集，（19）的第一个表达式似乎比第二个表达式具有更强的限制。0.0 0.2 0.4 0.6 0.80 20 40 60 80 100相对风险规避系数，事件的γ相对频率{γ<γmin}γmin（4）γmin（7）γmin（14）4资产14资产0.0 0.2 0.4 0.6 0.80 20 40 60 80 100相对风险规避系数，事件的γ相对频率{γ<γmin}或{RGMV<0}γmin（4）γmin（7）γmin（14）4资产14资产图2：条件γ≥ γminof Theorem1（上文）和定理2（下文）的条件（19）未被充分绘制为若干资产k的γ函数∈ {4, 5, ..., 14}.有效前沿，k=4方差，σ2均值，u0.00 0.04 0.06 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普有效前沿，k=7方差，σ2均值，u0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普有效前沿，k=10方差，σ2均值，u0.00 0.02 0.04 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普有效前沿，k=14方差，σ2平均值，u0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普图3：γ的最佳投资组合∈ {1，2，5}和位于有效前沿的夏普比率组合，用于许多资产k∈ {4, 7, 10, 14}.5.2在有效边界上最大化预期功率效用函数的最优投资组合的位置图3所示实证研究的另一部分与最优投资组合的位置有关。如（13）和（14）所示，最优投资组合的平均值和方差取决于三个参数：u、∑、γ。

可以估计平均向量和协方差矩阵，在我们的示例中，我们考虑了四个可能的资产数量k∈ {4, 7, 10, 14}.我们按照字母顺序选择前k个资产。然后，我们为每个资产组合建立有效边界，在这里我们添加γ的最佳投资组合的位置∈ {1，2，5}和夏普比率投资组合。正如推论4中所证明的那样，随着风险厌恶系数的增加，我们得到方差和均值的减少，最优投资组合倾向于夏普比率投资组合，如推论2所示。此外，我们还收到投资组合回报的均值和方差的增加，投资组合中的资产数量越多。0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.0400.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=1Fn（x）锐化最佳-0.995-0.990-0.985-0.9800.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=2Fn（x）锐化最佳-0.248-0.246-0.244-0.2420.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=5Fn（x）锐化最佳-0.045-0.040-0.035-0.0300.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=50Fn（x）锐化最优图4：k=9资产的几种组合策略（朴素投资组合、夏普投资组合、最大化预期电力效用意义上的最优投资组合）的电力效用的经验分布函数。5.3几种投资组合策略的比较最后，我们比较了几种投资组合策略的电力效用。我们研究了等权的朴素投资组合、Sharperatio投资组合和定理1中导出的最优投资组合。请注意，GMV投资组合被排除在研究之外，因为它将接近所考虑数据集的夏普比率投资组合（见备注2）。图4中给出了由k=9资产组成的投资组合和各种γ值的所考虑方法中每种方法获得的电力效用的经验分布函数。