最优幂和对数效用的均值方差效率

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英文标题：
《Mean-Variance Efficiency of Optimal Power and Logarithmic Utility
  Portfolios》
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作者：
Taras Bodnar, Dmytro Ivasiuk, Nestor Parolya and Wofgang Schmid
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We derive new results related to the portfolio choice problem for power and logarithmic utilities. Assuming that the portfolio returns follow an approximate log-normal distribution, the closed-form expressions of the optimal portfolio weights are obtained for both utility functions. Moreover, we prove that both optimal portfolios belong to the set of mean-variance feasible portfolios and establish necessary and sufficient conditions such that they are mean-variance efficient. Furthermore, an application to the stock market is presented and the behavior of the optimal portfolio is discussed for different values of the relative risk aversion coefficient. It turns out that the assumption of log-normality does not seem to be a strong restriction.
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中文摘要：
我们得到了有关幂和对数效用的投资组合选择问题的新结果。假设投资组合收益服从近似对数正态分布，得到了两个效用函数的最优投资组合权重的闭式表达式。此外，我们证明了这两个最优投资组合都属于均值-方差可行投资组合集，并建立了均值-方差有效的充要条件。此外，本文还给出了一个在股票市场上的应用，并讨论了相对风险厌恶系数不同值下最优投资组合的行为。事实证明，对数正态性假设似乎不是一个很强的限制。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Mean-Variance_Efficiency_of_Optimal_Power_and_Logarithmic_Utility_Portfolios.pdf (2.01 MB)

2022-6-10 05:09:30 上传

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关键词：均值方差 Quantitative Mathematical distribution Optimization

最优功率和对数效用的均值方差效率PortfoliosTaras Bodnara、Dmytro Ivasiukb、Nestor Parolyac、，*, 和沃尔夫冈·施密德（Wolfgang Schmidba）、斯德哥尔摩大学数学系、瑞典统计系、法兰克福维亚德里纳欧洲大学（Oder）、荷兰代尔夫特理工大学德国应用数学研究所（GermanycDelft Institute of Applied Mathematics），我们得出了与电力和对数公用事业投资组合选择问题相关的新结果。假设投资组合收益服从近似对数正态分布，得到了两个效用函数的最优投资组合权重的闭式表达式。此外，我们证明了这两个最优投资组合都属于均值-方差可行投资组合集，并建立了它们是均值-方差有效的必要条件和充分条件。此外，还介绍了一个在股票市场上的应用，并讨论了在相对风险厌恶系数的不同值下最优投资组合的行为。事实证明，对数正态性的假设似乎并不是一个很强的限制。关键词：最优投资组合选择；电力公司；对数正态分布；均值-方差分析；对数效用。1引言最优投资组合选择理论始于马科维茨（1952）的开创性贡献。马科维茨用方差来衡量投资组合回报的风险。他建议选择投资组合权重的方式是，在给定的*通讯作者：Nestor Parolya。电子邮件：n。parolya@tudelft.nl.expected投资组合回报。所有这些所谓的有效投资组合都位于有效前沿，即均值-方差空间中的抛物线。与此同时，还提出了许多关于投资组合选择的进一步建议。

广泛采用的方法是基于投资者效用函数的最大化，即投资者选择效用达到最大可能值的投资组合（Pennacchi，2008；Eltonet al.，2009）。默顿和萨缪尔森（1974）的均值-方差方法与预期效用最大化完全一致（见Dybvig和Ingersoll，1982）。该结果在没有对收益施加任何分配假设的情况下有效。类似地，二次效用在非常一般的条件下提供了一个闭式解（Bodnar等人，2015a）。然而，有许多其他方法可以选择效用函数，例如幂和指数效用函数。在这些情况下，如果没有关于回收过程分布的信息，就无法从解决方案中得出封闭结果（Bodnar等人，2015b）。本文的重点在于幂函数和对数效用函数。如果W表示投资者的财富，则电力利用率由U（W）=1给出-γW1-γ, γ > 0, γ 6= 1. 如果γ收敛到一，则得到对数效用u（W）=对数W作为功率效用的极限。数量γ等于电力公司（CRRA）恒定的相对风险规避。这意味着任何财富水平的投资者都将持有相同数量的风险资产（Brandt，2009；Campbell和Viceira，2002）。这是一个非常重要的属性，从经济角度来看，这使得该效用函数非常有吸引力。为了确定电力公司的最优投资组合，文献Grauer和Hakanson（1987）中提出了几个数值程序；封面（1991年）。导出了预期效用最大的一阶条件，并使用泰勒级数展开将预期效用转换为矩的线性组合（Brandtet al.，2005）。

然而，文献中没有可用的解析解，主要采用数值方法（Brandt，2009）。另一种可能性是利用收益可预测性的分布假设（Barberis，2000），并将其与数值程序相结合（Brandt and Santa Clara，2006；Lynch and Tan，2010）。多年前，使用对数正态分布来建模资产或投资组合回报已经很流行。在Elton和Gruber（1974）中，假设对数正态分布的portfolioreturns，导出了有效集定理。他们提出了一种确定有效投资组合的算法。Hakansson（1971）在关于多期均值方差分析的论文中描述了最优投资组合选择的一种极限方法。Merton和Samuelson（1974）详细讨论了对数正态方法，并得出结论，应非常谨慎地应用对数正态方法。在本文中，我们考虑了在投资组合总收益近似对数正态分布的假设下，寻找幂和对数效用的最优投资组合的问题。对于这两个效用函数，得到了最优投资组合权重的解析表达式。此外，我们还说明了期望功率效用最大化意义下的最优投资组合和期望对数效用最大化的最优投资组合均为均值方差有效的条件。本文中用作投资组合收益模型的对数正态分布具有几个很好的性质。如果投资组合的总回报遵循对数正态分布，那么可以直接确定其高阶矩。

此外，如果平均值和标准偏差的比率较大（类似于夏普比率），则对数正态分布接近正态分布（分析结果如本文所示）。例如，当投资组合均值有界且投资组合方差很小时，就是这种情况。在应用中，资产回报率在大多数情况下变化范围高达±15%。因此，相应的gross返回Rj=1+rjtake值接近1。因此，总体投资组合平均值接近1，而投资组合方差通常很小。这意味着在这种情况下，它的行为类似于正态分布。此外，假设对数正态分布的投资组合回报率，其连续复合回报率似乎是正态分布的，反之亦然。还值得注意的是，文献中经常使用正态性消费，即为了对资产回报路径建模，采用了具有正态分布误差项的VaR过程（Bodnar et al.（2015a，b）；Brandt等人（2005年）；Brandt和Santa Clara（2006年）；Brandt（2009））。论文的其余部分结构如下。第2节和第3节描述了优化问题，并介绍和讨论了本文中使用的假设。我们的主要发现见第4节。在Orem 1中，我们推导出了使期望功率效用最大化的最优投资组合权重的显式公式，并讨论了其性质。特别是，我们在定理2中导出了该投资组合均值方差有效的条件，并证明了当相对风险规避收敛到整数时，它收敛到夏普比率最大的投资组合。在第4.2节中，给出了期望对数效用最大化意义下最优组合的分析结果：定理3给出了其权重的闭式表达式，而定理4证明了其均值方差效率。

第5节显示了实证研究的结果。在这里，我们研究基于德国股票市场指数中包含的股票的投资组合。我们检查财富的对数正态性假设是否完全满足，以及定理1中提出的条件是否完全满足。事实证明，这些假设是合理的，并且对我们研究中的投资组合基本上是满意的。此外，我们还将具有最优权重的投资组合与其他投资组合策略进行了比较，表明了新方法的优势。2对数正态近似的动机让我们定义两个随机变量X~ N（u，σ）和Y~ ln N（lnu，σu）。很容易看出，所讨论分布的前两个矩考虑σ/u是否小，即（Y）=elnu+σ2u≈ u和V ar（Y）=e2 lnu+σu（eσu-1) ≈ σ为σ/u→ 实际上，接下来我们证明如果σ/u→ 0和u>0，则Y的分布接近X的分布。为了确定近似值的准确性，我们考虑了两个分布函数的差异，即ψ（X）=Φx个- uσ- Φln x- lnμσ/u. （1） 引理1（对数正态近似）。设u>0，则对于ψ（x）definedin（1）holdsupx∈R |ψ（x）|=Oσuasσ/u→ 0。（2）因此，正态分布函数和对数正态分布函数之间的差异以σ/u的速度非常快地逼近零→ 0

因此，σ/u越小，我们得到的近似值就越好。0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.30 2 4 6 8 10N（1，0.042）lnN（0，0.042）0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1 1.2 1.30 2 4 6 10 12N（1，0.032）lnN（0，0.032）图1：正态密度和对数正态密度的相似性。考虑到最大化问题涉及投资组合总回报，众所周知，在实践中，资产回报接近于零，因此人们预计投资组合总回报将在1左右波动。因此，考虑到资产收益是正态分布的，amean接近于零，方差很小，我们得到了正态分布的grossportfolio收益，平均值约为1，方差很小。同时，电力效用定义在非负域上，因此，自然会假设预期投资组合总回报为正，而投资组合标准偏差较小。这就是为什么，正如所示，对数正态分布可以很好地代表正态分布的投资组合回报。作为一个示例，图1描述了u和σ的几种组合的正态分布和对数正态分布的密度函数的相同行为。3使用效用函数的投资组合选择在本节中，我们给出了本文中使用的一些符号和基本假设，并讨论了幂效用函数的投资组合选择问题。假设一个投资组合由k个风险资产组成。设ridenote为一个时期内第i项资产的相对价格变化，并设r=（r，…，rk）为收益向量。数量ω表示投入第i项资产的相对金额。然后，对于组合权重的向量ω=（ω，ω，…，ωk），ω1=1，其中1是一个一的向量。期末的投资组合回报率等于ωr。

如果W在期初表示投资者的财富，则期末的财富表示为W=Wωr+1= WωR，其中R=R+1。R的平均向量及其协方差矩阵由E（R）=u和V ar（R）=∑表示，其中∑假设为正定义。如何构造最优投资组合，即如何选择最优投资组合权重，文献中提出了许多方法。Markowitz（1952）提出了投资组合选择的均值-方差原则。我们的想法是选择投资组合权重，使投资组合收益的给定值的投资组合方差最小。另一种尝试是基于效用函数。例如，Dybvigand Ingersoll（1982）对此进行了详细描述。通过在投资期结束时最大化财富W的预期效用U（·），获得最佳权重，其由ω给出*= arg max{ω：ω1=1}E[U（W）]。（3） 有许多选择效用函数U（·）的可能性（见Pennacchi，2008）。在二次效用的情况下，（3）的解是均值-方差有效的，即在某些条件下，它与马科维茨的优化问题一致（见Bodnar等人，2013）。文献中考虑的其他公用设施功能包括HARA、CARA和theSAHARA公用设施（见Pennacchi，2008；Chen等人，2011）。本文研究了幂效用函数asU（W）=W1下的最优投资组合问题-γ1 - γ, γ > 0, γ 6= 1. （4） 它是唯一一个相对风险厌恶度恒定的效用函数（参见Pennacchi，2008），等于γ。当γ收敛到1时，对数效用是幂效用的极限情况，它由u（W）=log W给出。

（5） 幂效用函数和对数效用函数在实际中都有广泛的应用。为了计算预期效用，有必要对投资组合回报的分布进行说明。关于如何建立股票回报模型，文献中已有许多建议。Bachelier（1900）建议对资产回报使用正态分布，而Fama（1965）和Mittnik and Rachev（1993）建议使用稳定分布。关于各种提案的概述见Jondeau等人（2007）。在这里，我们选择了一种略有不同的方式。根据第2节的讨论，我们假设投资者在投资期结束时的投资组合回报可以很好地近似于对数正态分布，其特征是两个参数α∈ IR和β>0。我们brie Flywrite Z~ ln N Nα, β表示随机变量Z为对数正态分布。它认为Z~ ln N Nα, β当且仅当ln Z~ Nα, β密度为f（z；α，β）=z√2πβexp(-（ln z- α） 2β），z>0，否则为0。这种分布有一个很好的性质，即它的矩可以很容易地由（Zτ）=exp导出ατ +βτ, τ ∈ R、 （6）对数正态分布已被几位作者应用于金融领域（见McDonald（1996），Limpert等人（2001））。如果假设投资组合回报率为对数正态分布，则其连续复合收益率为正态分布，反之亦然。

此外，这样做隐含着财富为正的假设。4最优投资组合选择问题的闭式解在本节中，我们给出了幂效用和对数效用的最优投资组合权重的解析表达式。假设投资期末投资组合总收益ωR近似对数正态分布，即ωR~ ln N Nα, β, 我们得到（见附录引理2）α=ln X-ln（V+X）和β=ln1+VX,其中x=E（ωR）=ωu，V=V ar（ωR）=ω∑ω（7）是预期收益和投资组合与权重ω的方差。现在，我们准备好阐述我们的主要假设，这正好符合对数正态近似。假定（A1）对于任何ω√VX公司→ 例如，如果投资组合总回报有界且资产范围较大，即k→ ∞, 然后，如果资产收益率的协方差矩阵∑在增加维度k时表现良好（其最大特征值统一在k中），则很容易检查许多经典投资组合，如全局最小方差投资组合和等权重投资组合是否符合假设（A1）。因此，可以预期对数正态近似在大维度投资组合的情况下工作得更好。在下文中，我们还使用了效率常数集，即唯一确定效率前沿位置的三个量，即作为平均方差空间中马科维茨优化问题的解获得的最优投资组合集。它们由（Bodnar和Schmid，2009）RGMV=给出-1uΣ-1，VGMV=∑-1，s=uQu（8），Q=∑-1.-Σ-1Σ-1Σ-1.