最优幂和对数效用的均值方差效率

图中显示，定理1中得出的策略获得了预期的最佳结果。此外，作为推论2结果的另一个可视化结果，我们发现，当相对风险厌恶系数增加时，夏普比率投资组合的效用几乎与定理1中的衍生工具一致。最后，观察到等权（朴素）投资组合的表现非常糟糕。6附录引理1的证明。很容易看出ψ（u）=0，点u是其最小值。实际上，让我们考虑一个与u不同的点，并将其定义为x=au，a>0，a 6=1。然后它保持ψ（x）=Φau- uσ- Φln au- lnμσ/u= Φ一- 1σ/u- Φln aσ/u> Φ一- 1σ/u- Φ一- 1σ/u= 现在我们考虑ψ（x）的上界xψ（x）=√2πσe-（十）-u)2σ-x个√2πσ/ue-（ln x-lnu）2σ/u=0（28）或xu- 1.= lnxu+2σulnxu。（29）表示y=lnxu我们发现（ey- 1） =y+2σuy.（30）可以看出方程（30）有三个根（在这种情况下绘图很有帮助）：一个根大于零，第二个根小于零，并且已经检查过y=0。还值得注意的是，只要ψ（·）是一个连续可微分函数，ψ（x）→ x为0→ ±∞, 非零极值点是局部和全局最大值。对于y<0，表达式（ey-1） 小于yy年-1.如果y<-2σu表示y+2σuy>y+2σu, 因此，解决方案属于区间1.-σu-qσu+1，-2σu可以推导出（30）的左侧等于零，然后求解方程yy年-1.=y+2σu对于负根。如果y>0，则保持（ey-1)>1+y- 1.和y+2σuy<y+σu可以得出另一个极值位于0和2σu之间。

因此，我们有两个极值点SL=e1的区间-σu-rσu+1，e-2σu!和l=1，eσu, 所以ψ（x）可以有界，如下所示。supx公司∈R |ψ（x）|≤ supx公司∈接收-μσZln x-lnμσ/u√2π| e-t | dt≤ supx公司∈接收-μσZln x-lnμσ/u√2πdt=√2πsupx∈Rxu- 1.- lnxuσ/u=√2πsupxu∈l∪lxu- 1.- lnxuσ/u=√最大2πe1级-σu-rσu+1- 2+σu+qσu+1σu；eσu- 1.- 2σuσu.现在取极限σ/u→ 0我们获得支持∈R |ψ（x）|=Oσu, （31）其中，最后一个等式源自以下事实：ex=1+x+O（x）asx→ 引理2。假设投资期末的投资组合收益率ωR为对数正态分布，即ωR~ ln N（α，β）。删除：=EωR= ωu，（32）V：=V arωR= ωΣω.那么β=lnVE+1α=lnE（V+E）。引理2的证明。在使用（6）时，我们得到ωR= eα+β，（33）V arωR= e2α+β（eβ- 1).将（32）代入（33）并求解这两个关于α和β的方程，得到引理的陈述。定理1的证明。对于幂效用函数，我们得到thatE[U（W）]=W1-γ1 - γexpα(1 -γ) +β(1 - γ)=W1级-γ1 - γexp“（1- γ） lnE（V+E）+（1- γ） lnV+EE#=W1-γ1 - γexp(1 - γ） ln E+（γ- γ） ln（V+E）=W1级-γ1 - γexp(1 - γ） lnωu+（γ- γ） ln公司ωΣω + (ωu).（34）为了最大化预期效用，我们需要在侧条件ω1=1下，在γ<1的指数（34）中找到表达式的最大值，或在γ>1的指数中找到表达式的最小值。在这两种情况下，使用拉格朗日插值法，拉格朗日函数由（1）给出- γ） lnωu+（γ- γ） ln公司ωΣω + (ωu)+ λ(ω1 - 1). （35）偏导导致ωL=（1- γ)uωu+ (γ- γ)Σω + (ωu)uωΣω + (ωu)+ λ1 = 0, (36)λL=ω1- 1 = 0. （37）LetX：=ωu，Y：=ω∑ω+（ωu）。（38）然后，（36）乘以ω得到λ=γ- 1.

此外，将（36）乘以|∑-1/1Σ-11和1∑-1/1Σ-11并使用以下等式∑-1=VGMV，∑-1uΣ-1=RGMV，和|∑-1uΣ-1=RGMV+sVGMVwith RGMV，VGMV，and s如（8）所示，我们得到-（γ+1）RGMV+sVGMVX+γX（VGMV+RGMV+sVGMV）Y+RGMV=0，（39）-（γ+1）RGMVX+γVGMV+XRGMVY+1=0。（40）接下来，我们将（39）乘以RGMV，将（40）乘以RGMV+sVGMV，然后从第二个方程中减去第一个方程，得到γXRGMV- RGMV- sVGMVY=s（41），因此γY=sXRGMV- RGMV- sVGMV。（42）将（42）替换为（40）导致-（γ+1）RGMVX+s（VGMV+XRGMV）XRGMV- RGMV- sVGMV+1=0或相当于（1+s）X- （γ+2）RGMVX+（γ+1）（RGMV+sVGMV）=0（43）二次方程（43）的根由x±=（γ+2）RGMV±√D2（1+s），（44），其中D=（γ+2）RGMV- 4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）。最后，从（42）和（44）中，我们得到±=γs（X±RGMV- RGMV- sVGMV）。（45）此外，方程（44）表明，二次方程有一个解ifand仅当D≥ 0，相当于（11）。实际上，取D（γ）相对于γ的导数，并将其设置为0 1 getsD（γ）=2（γ+2）RGMV- 4（1+s）（RGMV+sVGMV）=0，溶液γ*=2（1+s）（RGMV+sVGMV）RGMV- 2=2秒1+（1+s）VGMVRGMV.可以很容易地检查D（γ*) 为负，因此，γ*不能是保证（43）解存在的γ的最小可能值。另一方面，D（γ）的二阶导数为正，这表明γ*是抛物线D（γ）的全局最小点。现在由D（0）<0得出，γ>0的最小可能值应该是方程D（γ）=0的正解，这正是（11）中给出的γmin。进一步，在（36）中插入X和Y的两个解，我们得到了可能的最优投资组合权重的两个方程。

由于拉格朗日乘子法仅为最优性无训练问题提供了必要条件，我们必须更详细地分析临界点，以检查是否存在最大值或最小值。对于（X+，Y+）和（X），我们考虑（34）的右侧-, Y-) 并证明所有γ≥ γminandγ6=1 thatL（γ，X-, Y-) > L（γ，X+，Y+）（46），因此，在（X）处达到最大值-, Y-).在γ>1的情况下，（46）等于（1- γ） ln X++（γ- γ） 年+- (1 - γ） ln X-+(γ- γ） 年-= (1 - γ） lnX+X-+(γ- γ） lnY+Y-> 0or（1+γ）lnX-X++γlnY+Y-> 0（47）类似地，对于0<γ<1，我们得到（1- γ） ln X++（γ- γ） 年+- (1 - γ） ln X-+(γ- γ） 年-= (1 - γ） lnX+X-+(γ- γ） lnY+Y-< 0与（47）一致。因此，为了证明（46），有必要证明（47）对于γ>γminsuch，γ6=1。或者，等价地，我们必须证明，对于所有γ>γmin，下列不等式成立-γ+1γlnX+X-+lnY+Y-> 0。（48）首先，我们证明（48）左侧函数对γ的导数为正。它认为γ-γ+1γlnX+X-+lnY+Y-=γlnX+X--γ+1γX-X个+γX+X-+Y-Y型+γY+Y-,现在我们计算γX+X-和γY+Y-.

它保持不变γX+X-=γ（γ+2）RGMV+√D（γ+2）RGMV-√D=RGMV+γ√D（γ+2）RGMV-√D（γ+2）RGMV-√D-RGMV-γ√D（γ+2）RGMV+√D（γ+2）RGMV-√D= 2（γ+2）RGMVγ√D- RGMV√D（γ+2）RGMV-√D= 2RGMV√D（γ+2）γD- D（γ+2）RGMV-√D=RGMV√D4γ（1+s）RGMV+sVGMV（γ+2）RGMV-√D=γγ+1RGMV√D（γ+2）RGMV+√D（γ+2）RGMV-√D=γγ+1RGMV√DX+X-, （49）式中，倒数第二个等式从（1+s）（RGMV+sVGMV）=（γ+2）RGMV得出-D4（1+γ）。为了得到Y+Y的导数-我们首先注意到Y+Y-=（（γ+2）RGMV+√D） RGMV- 2（1+s）（RGMV+sVGMV）（（γ+2）RGMV-√D） RGMV- 2（1+s）（RGMV+sVGMV）=（γ+2）RGMV+√DγRGMV+√D（γ+2）RGMV-√DγRGMV-√D=X个+γRGMV+√D十、-γRGMV-√D.因此，取Y+Y的导数-导致γY+Y-=γRGMV+√DγRGMV-√DγX+X-+X+X-γγRGMV+√DγRGMV-√D=γRGMV+√DγRGMV-√Dγγ+1RGMV√DX+X-+X+X-γRGMV+√DγRGMV-√D=γγ+1RGMV√DY+Y-+X+X-γγRGMV+√DγRGMV-√D因此，我们只需要计算γγRGMV+√DγRGMV-√D. 它保持不变γγRGMV+√DγRGMV-√D=RGMV+γ√DγRGMV-√DγRGMV-√D-RGMV-γ√DγRGMV+√DγRGMV-√D= 2γRGMVγ√D- RGMV√DγRGMV-√D= 2RGMV√DγγD- DγRGMV-√D=γ+2γ+1RGMV√DγRGMV+√DγRGMV-√D、 这立即意味着γY+Y-=γγ+1RGMV√DY+Y-+γ+2γ+1RGMV√DY+Y-= 2RGMV√DY+Y-.综上所述，γ>γminγ-γ+1γlnX+X-+lnY+Y-=γlnX+X-> 因此，（48）中左侧的函数是γ的单调递增函数，因此在γ=γmin时达到其最小值。因此，计算（48）中γ=γminwe getlnX点的函数值-X个+-γ2（γ+1）lnY-Y型+γ=γmin=ln（γ+2）RGMV-√D（γ+2）RGMV+√Dγ=γmin=0，因为当γ=γmin时，D=0。因此，不等式（48）适用于所有γ>γminand，因此，在（X）处达到最大值-, Y-)推论1的证明。

它认为ω*= Σ-1.-1+（γ+1）uXYγ- Xu= ωGMV-Yγ+VGMVΣ-11 +（γ+1）YXγ- 十、Σ-1u，其中使用（42）时，我们得到γ+VGMV=XRGMV- RGMV- SVGMV+VGMV=X- RGMVsRGMVand（γ+1）YXγ- X=γ+1XXRGMV- RGMV- SVGMV- X=（γ+1）RGMVX- （γ+1）（RGMV- sVGMV）- XsXs=X- RGMVXXs=X- RGMVs，其中第三行从（43）开始。因此，ω*= ωGMV-十、- RGMVsRGMV∑-11+X- RGMVs∑-1u=ωGMV+X- RGMVsQu，定理2的证明。第一部分，即γ≥ γmin明显遵循条件（11）。对于使用（15）的第二个，我们首先观察到d=（γ+2）RGMV- 4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）=(γ + 2)- 4（γ+1）（1+s）RGMV- 4（γ+1）（1+s）sVGMV=(γ - 2s）- 4s（1+s）RGMV- 4（γ+1）（1+s）sVGMV=（γ-2s）RGMV- 4（1+s）s（RGMV+（γ+1）VGMV）≥ 0。（50）接下来，为了证明（19）中的第二个不等式，我们只需找出哪种情况x- RGMV>0。（51）在上述等式（51）中，从（13）插入X，我们得到（γ- 2s）RGMV-√D2（1+s）>0。（52）由于（50），我们有（γ- 2s）RGMV≥ D和γ一起≥γmin>2s和（52）表示（51）满足要求<==> RGMV>0。推论2的证明。为了证明推论，我们只需计算以下limitlimγ→∞（（γ+2）RGMV-√D） =limγ→∞（γ+2）RGMV- D（γ+2）RGMV+√D=limγ→∞4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）（γ+2）RGMV+√D=2（1+s）（RGMV+sVGMV）RGMV。现在，推论1的应用导致了tolimγ→∞ω*= ωGMV+limγ→∞十、- RGMVsQu=ωGMV+RGMV+sVGMV- RGMVsRGMVQu=ωGMV+VGMVRGMVQu=∑-1uΣ-1u.推论3的证明。使用（14）和（43），使预期电力效用最大化的最优投资组合的方差为v=Y- X=γsXRGMV- RGMV- sVGMV-γ+2s+1XRGMV+γ+1s+1RGMV+sVGMV=γ - 2ss（1+s）XRGMV-γ - ss（1+s）RGMV+sVGMV,这是非负的当且仅当ifX≥γ - s（γ- 2s）RGMVRGMV+sVGMV>RGMVRGMV+sVGMV=uΣ-1uΣ-1u.推论4的证明。

使用（10），使预期电力效用最大化的最优投资组合的方差为v=s（X- RGMV）+VGMV。接下来，我们证明了X对γ的偏导数是负的，这使得X和V减少了γ。十、γ=2（1+s）RGMV-2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMV√D=4DRGMV-2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMV4（1+s）√Dh公司√DRGMV+2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMVi=16（1+s）RGMV+sVGMVRGMV- 16（1+s）RGMV+sVGMV4（1+s）√Dh公司√DRGMV+2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMV我=RGMV+sVGMVRGMV- （1+s）RGMV+sVGMV√Dh公司√DRGMV+2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMVi<0。定理3的证明。对于对数效用函数，它用引理2成立，即e[U（W）]=ln W+2 lnωu-自然对数ωΣω + (ωu). （53）为了在约束ω1=1下最大化期望的对数效用（53），使用拉格朗日乘子方法和由n W+2 lnωu给出的拉格朗日函数-自然对数ωΣω + (ωu)+ λ (ω1 - 1). （54）偏导数收益率ωL=2uωu-Σω + (ωu)uωΣω + (ωu)+ λ1 = 0, (55)λL=ω1- 1 = 0. （56）（55）乘以ω得到λ=-1、使用（38）中X和Y的定义，并将（55）乘以|∑-1/1Σ-11和∑-1/1Σ-11，我们得到RGMV+sVGMVX-X（VGMV+RGMV+sVGMV）Y- RGMV=0，（57）RGMVX-VGMV+XRGMVY- 1 = 0. （58）方程组（57）和（58）是定理1证明中给出的（39）和（40）的部分情况，对应于γ=1。因此，其解由x±=3RGMV±给出√D2（1+s）和Y±=X±RGMV- RGMVs- VGMV，（59），其中D=9RGMV- 8（1+s）（RGMV+sVGMV）。最后，对于D>0或等效地，对于γmin≤ 1我们得到了L（X-, Y-) - L（X+，Y+）=2 ln X--年-- 2 lnX++Lny+=2 lnX-X++lnY+Y-> 因此，（X-, Y-) 最大化期望的对数效用。定理4的证明。定理4的证明源自定理2的证明，γ=1。参考Bachelier，L.（1900）。这是一个很好的例子。Gauthier Villars。Barberis，N.（2000年）。

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