作为Dirichlet问题广义解的出口问题

u∈ C（(R)O）是（1）的粘度溶液，如果它同时是粘度亚溶液和粘度上溶液。回顾上述设置（3），（6）的关联随机表示v是方程（1）的粘度（实际上是经典）解，如果>0。由于边界v（0）>0的损失，不再是=0。下一步是广义粘度解的定义，如[2]所述。f∈ U SC（\'O）表示f在\'O中是上半连续的，f∈ LSC（(R)O）指-f∈ U SC（(R)O）。此外，f*andf公司*分别是f的USC和LSC信封。IA（·）是集合A的指标函数。定义3。1、u∈ USC（(R)O）是（1）的广义粘度亚分辨率，前提是（a）u满足每个x的粘度亚分辨率特性∈ O和（b）边界最小值的u满意度{-Lφ（x）+λφ（x）- l（x） ，u（x）- g（x）}≤ 0, x个∈ O和φ ∈ J+（u，x）。2、u∈ LSC（(R)O）是（1）的广义粘度上解，如果（a）u满足每个x的粘度上解性质y∈ O和（b）boun darymax的满意度{-Lφ（x）+λφ（x）- l（x） ，u（x）- g（x）}≥ 0, x个∈ O和φ ∈ J-（u，x）。3、u∈ C（(R)O）是（1）的广义粘度解，如果它同时是粘度下解和上解。2.4主要结果主要目的是确定保证（2）的v是（1）的广义粘度解的有效条件，结果总结在下面的定理5中。作为准备，我们简要回顾了关于规则点的一些基本定义，以及诱导的细线拓扑图（更多详情请参见[9]第3.4节）。定义4。当且仅当ifPx（τBc=0）=1时，称点x为集合B的正则点（相对于L）。允许O=x个∈ O:x是“Oc”的常规值,和O=O \\O、 2。对于任何集合B，B的所有正则点集合由品牌B表示*= B∪ 布里斯托称之为B。

如果B=B，则A集合B完全闭合*, 据说Bcis非常开放。所有内部开放集合的集合生成了精细拓扑。根据上述定义，如果x对于‘Oc’不是正则的，那么Px（τ’O=0）<1，这意味着由于Blumenthal 0-1定律，Px（τ’O=0）=0。此外，由于进程X具有正确的连续路径，并且O是开放的se t，因此任何点X∈\'Ocis常规用于\'O和任意点x∈ O不适用于“Oc”。因此，\'Oc，r，所有正则点的集合为\'Oc，satis\'Oc\'Oc，r=\'Oc，* Oc。因此O=(R)O∩\'\'Oc，*和O=\'O \\\'Oc，*.定理5。如果存在八个小时O使Px^Π ∈\'\'N= 0表示所有x∈那么（2）的v是（1）的广义粘度解。此外O {x∈ O：v=g}：=Γout。在下一节证明定理5之前，以下是一些直接的应用。第4节提供了定理5在非平稳问题上的进一步应用。根据定理5，有效条件与X（^ζ）的分布密切相关，X从O的退出点O是“Ocwith re sp ect toL”的规则值，例如，L=-(-)α/2与α≥ 1、那么O=O和O=. 因此，可以简单地取N= 作为O=, 这完全符合定理5的条件，因为ex（^τ）不属于空集N。此外，v（x）=g（x），对于每x∈ O=O、 它包含了[3]的结果：的邻域O是开集N∈ Rd以便O N、 定义Γout依赖于函数g，应表示为Γout[g]，除非出现歧义，否则本文其余部分省略参数g。推论6。如果每x∈ O为'Oc，则（2）的v为（1）的强粘度溶液。例如，在设置（3）中，如果>0，则O=O={0，1}，v是推论6的强解。

如果=0，则px是由匀速运动X（t）=X+t引起的概率。因此O={0}和O={1}。N=(-1/2，1/2），则说明了OREM5中的假设以及通用解决方案。3广义粘性解的存在性本节致力于定理5的证明。作为第一步，我们证明了广义粘性解的性质要求对边界点，无论是边界条件，还是粘性解的性质都是成立的。3.1失去边界条件的点集在第2.1节中，如果（3）的设置为=0，则由于x=0时边界的损失，粘性解不是（1）的粘性解。一种方法是，通过检查x=0时的粘度溶液性质，实际上可以直接验证基因化溶液是否符合定义3（其他点[0,1]的参数是直接向前的）：1。超级测试函数的空间满足J+（v，0） {φ ∈ C∞（R） ：φ（0）=v（0）=1- e-1, φ′(0) ≥ v′（0+）=-e-1}.因此，根据（11），V在x=0时具有亚分辨率特性，因此，定义不平等3（1）ho lds；2、子测验函数空间J-（v，0）是一个空集，因为v（0）>0和（vI'O）*（0）=0，并且它自动暗示其在x=0时的上解属性。上述论点表明，尽管V在x=0时破坏了边界条件，但根据x=0时的定义（11）-（12），V满足粘度溶液特性。下一个命题概括了上述观察结果：广义解应满足每个边界点的粘性解性质或边界条件。提案7。A函数u∈ C（(R)O）是（1）的广义粘度解，当且仅当usatis在每个x上的粘度解性质∈“O”输出。证据通过检查定义3，可以提高效率。

必要时，如果u是一般粘度溶液，则根据定义3，它满足everyx的粘度溶液特性∈ O、 对于x∈ O out，如果u（x）<g（x），则自u∈ U SC（(R)O）和J+（U，x）=, 它隐含了x的粘性子解性质∈ LSC（(R)O）和thereforemax{-Lφ（x）+λφ（x）- l（x） ，u（x）- g（x）}≥ 每φ0∈ J-（u，x），这意味着粘性上解性质是满足的。u（x）>g（x）的情况允许类似的论点。关于（2）的v是否是（1）的广义粘性解，这个问题现在可以分为以下两个子问题，下面几节将提供答案：1。v o f是否满足命题7中的条件？如果是，v在何处与其边界相交？i、 e.什么是Γout？3.2充分条件-通常，假设1不能保证命题7中的条件，因此（2）的v可能不是（1）的广义解，如下面的示例10所示。在本小节中，引理8和12指出了一个有效条件：oζ：Dd7→ R和∏：Dd7→ rd几乎肯定是连续的，在px下请注意，通过在测试函数上使用伊藤公式，域的内点x满足粘度解的性质，因为（2）的v是连续的。接下来，引理8表明，只要x是精细拓扑中“O”的内点，相同的陈述就成立，即x对于“Oc”不是正则的。引理8。如果v∈ C（(R)O），则（2）的v是（1）的广义粘度解，其中有Γout O、 证明。我们分别讨论了内点和边界点（回想一下G（φ，x）=-Lφ（x）+λφ（x）- l（x） ）。1、v的内部粘度溶液特性。首先，定义任意x∈ O、 我们显示v满足粘度上解性质，即（φ，x）≥ 0，每φ∈ J-（v，x）。

（13） 相反，对于某些φ，a sume G（φ，x）<0∈ J-（v，x）。通过x 7的连续性→ G（φ，x），对于任何>0的情况，存在δ>0，使得sup | y-x |<δG（φ，y）<- /2. （14） 因为X是一个C\'adl\'ag过程，而X∈ O，Px（ζ>0）=1。利用X的强马尔可夫性，我们可以将函数v重写为，对于任何停止时间h∈ （0，ζ），v（x）=Exhe-λhv（Xh）+Zhe-λsl（Xs）dsi，其中，fa ct为φ∈ J-（v，x），表示φ（x）≥ Exhe公司-λhφ（Xh）+Zhe-λsl（Xs）dsi。此外，关于φgivesEx[e]的Dynkin公式-λhφ（Xh）]=φ（x）+ExhZhe-λs（Lφ（Xs）- λφ（Xs））dsi。把这两个等式加起来，就等于-λsG（φ，Xs）dsi≥ 然后取h=inf{t>0:X（t）/∈\'Bδ（x）}∧ ζ、 式中，br（x）表示半径R以x为圆心的开放球。由于在Px下h几乎肯定大于0，因此它与（14）相矛盾，并隐含了x的上解性质。内部亚解性质可以类似地获得。如果x=02，则参数x将在本文的其余部分中删除。v的广义边界条件。对于任何x∈ O、 根据Blumenthal 0-1定律，Px（ζ=0）=1或Px（ζ>0）=1。如果Px（ζ=0）=1，则v（x）=g（x）通过其定义（2），因此Γout Oholds。另一方面，如果Px（ζ>0）=1，那么我们将检查其粘度特性。对于粘性上解性质，假设（14）适用于某些φ∈ J-（v，x）。由于Px（ζ>0）=1，我们可以遵循与上述内部粘度解性质完全相同的论点，以找到一个矛盾，这正好证明了超解性质。可以用类似的方法获得亚分辨率特性。备注9。从广义解的定义来看，Γout可以被视为解的一部分。因此，对于未知Γout的表征，似乎不满足于” 代替“=”作为定理5和引理8中的结论。

然而，注意到左手侧Γ不依赖于边值g，而右手侧g的Ois不变量。更精确地说，附录A。1表明在一些温和的条件下，∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]=O、 在引理8中，v到边界的连续性条件通常可能不成立。下一个例子是（2）中的v是圆盘连续的，即使在域的内部也是如此。示例10。考虑一个关于O=(-1，1）×（0，1），Lu（x）=xu（x）+2xxu（x），λ=1和l ≡ 1，克≡ 0。（15）然后，PDE（1）变为-xu（x）- 2倍xu（x）+u（x）- 1=0，在O上，u（x）=0，在Oc上。事实上，流程X~ 初始值x=（x，x）t为以下确定性参数表示，X1t=x+t，X2t=x- x+X1t。因此，寿命ζ也是一个确定性数字，取决于其初始状态x，其将表示为ζx:ζx=-x+p1- x+x，x∈ O： ={x≥ x}∩\'O，1- x、 x个∈ O： ={x<x，x>0}∩\'\'O，-x个-p-x+x，x∈ O： ={x<x，x<0}∩\'O.The ma ping x 7→ ζxis在曲线上的每一点不连续O∩ O、 （2）的v也是如此，可以重写为v（x）=Zζxe-sds=1- e-ζx。在本例中，O={（x，x）：x=1，0≤ x个≤ 1}∪{（x，x）：x=1，0≤ x个≤ 1}∪{（x，x）：x=0，-1.≤ x<0}，和O=O \\O不开放，与O。例10和引理8引导我们研究函数v连续性的充分条件，下一个引理表明它取决于ζ和∏的连续性。定义11。对于给定的函数φ：Dd7→ rm对于某个正整数m，1。φ在ω处是连续的∈ Dd，如果limn→∞ζ（ωn）=ζ（ω），带limn→∞do（ωn，ω）=0.2。表示为Cφ={ω∈ Dd：φ在ω}上是连续的，ω是φ的连续集。

对于Dd的σ-代数上的给定概率Q，如果Q（Cφ）=1，则φ在Q下几乎肯定是连续的。注意，如果φ是Borel可测映射，那么Cφ是Dd中设置的孔l。示例10意味着Cζ可以是Dd的适当子集，因此ζ可能并非处处连续。Lemmabelow指出，对于v在x处的连续性，它表明集合Cζ和C∏足够大，因此tζ和∏在Px下几乎是连续的，即Px（Cζ∩ C∏）=1。引理12。让x∈\'O.如果ζ：Dd7→ R和∏：Dd7→ Rdare在斯科罗霍德地形中是连续的，最确定的是在Px下，（2）的v在x处相对于O是连续的，即lim∈y→xv（y）=v（x）。证据如果 y→ x、 然后py根据[20]的定理17.25弱收敛到px。根据连续映射定理（文献[7]中的定理2.7），结合F的一致有界性，v在xif处是连续的，F在Px下几乎肯定是连续的，即对于F的连续集cff:Dd7，Px（CF）=1→ R、 然后证明Cζ∩ C∏ CF.将F重写为F=F+F，其中F（ω）=Zζ（ω）e-λsl（ωs）ds，F（ω）=e-λζ（ω）go Π(ω).如果ζ和∏在同一ω上连续，则可以直接看到Fis在给定ω上连续。对于F，考虑任意序列ωn→ 斯科罗霍德度量中的ω，以及ζ和∏在ω处是连续的|F（ωn）- F（ω）|可近似为| F（ωn）- F（ω）|≤ KZζ（ω）∧ζ（ωn）e-λs |ωn（s）- ω（s）| ds+K |ζ（ωn）- ζ(ω)|,≤ KZ公司∞e-λs |ωn（s）- ω（s）| I（0，ζ（ω）∧ζ（ωn））（s）ds+K |ζ（ωn）- ζ（ω）|，：=K·T erm1n+K·T erm2n，（16），其中K=maxx6=y|l（十）-l（y） x个-y |+最大值O|l（x） |是一个与n无关的常数，T erm1n=R∞e-λs |ωn（s）-ω（s）| I（0，ζ（ω）∧ζ（ωn））（s）ds和T erm2n=|ζ（ωn）- ζ(ω)|. 观察oωn→ 斯科罗霍德度量中的ω表示ζ（ωn）→ ζ（ω），由于ζ的连续性。

因此，T erm2变为零，n变为单位ωn→ 斯科罗霍德度量中的ω意味着ωn（t）→ 所有t的ω（t）ho lds∈ Cω，w这里Cω是函数ω的连续集：[0，∞) 7.→ Rd（见第124页，共[7]）。因为映射ω：t 7有许多不连续→ 对于任意C\'adl\'ag路径ω，limn→∞|ωn（t）- ω（t）|=0在Lebesg ue度量中几乎无处不在。因此，T er m 1n |ωn（s）中的被积函数- ω（s）| I（0，ζ（ω）∧ζ（ωn））（s）收敛到zero为n→ ∞ 几乎所有的s在Lebesgue度量中。支配收敛定理及其由2 ma x | O | x |确定的一致边界s表明，T erm1n在n趋于完整时收敛到ze ro。因此，（16）右侧的每个项都变为零，并且是统一有界的。因此，极限o f | f（ωn）- F（ω）|也是零，F在ω处连续。3.3有效条件-引理8和12引导我们研究ζ和∏的连续性，但情况并非总是如此，如例10所示。命题15中本节的主要结果表明/∈ O、 ζ和∏在Px下是连续的，即v是（1）的广义解，如果以下条件成立（x∈ O和定理5的证明在第3.4节（C）中讨论：X几乎同时从O和'O退出；注意，在示例10中违反了条件（C）：对于（x，x）∈\'\'O∩\'O，x=x，x<0。因此，ζ（O的退出时间）为-x+p1- x+x，而^ζ（O的退出时间）为-x+p-x+x。为了处理，我们引入以下概念。对于路径ω∈ Dd，表示ω-作为ω的C\'agl\'ad版本：ω-= ω、 和ω-t=lims↑t型-ωsfor t>0，关联的退出时间操作符：τ-B（ω）=inf{t>0，ω-t型/∈ B} 。（17） 如果ω是连续的，那么ω=ω-和τB（ω）=τ-B（ω）。然而，我们不能随意地期望τ带τ之间存在质量差，甚至不相等-Bin general，如fo llowing示例所示。示例13。

设B=（0，3）和a C\'adl\'ag路径ωt=| t- 1 |+I[0,1）（t）。τB（ω）=1<τ-B（ω）=4。另一方面，对于另一条C\'adl\'ag路径ωt=1- tI[0,1）（t），τB（ω）=∞ > τ-B（ω）=1。讨论寿命ζ的连续性，定义ζ-(ω) = τ-O（ω）。（18） 根据定义，以下不等式成立，max{ζ（ω），ζ-(ω)} ≤ ζ(ω), ω ∈ Dd.（19）此外，尽管示例13表明≥ ζ-nor^ζ≤ ζ-通常是正确的。有趣的是，对于C\'adl\'ag Feller过程X，不等式ζ-≥^ζ几乎肯定在Px下成立。提案14。对于任何x∈“”O，以下标识有效：Pxω-(ζ-) ∈ O、 ω-(ζ-) 6= ω(ζ-)= 0和Px^ζ ≤ ζ-≤ ζ= 1.证明。Letζ-(ω) = ζ-（ω） 如果ω-(ζ-) ∈ O、 事实上不然。然后，ζ-是英尺--停车时间，因此可预测停车时间。如果ω在ζ处不连续-, 然后ζ-是由于跳跃byMeyer定理（见[26]中的定理III.4]），完全无法达到的停止时间。根据[26]的定理III.3，几乎可以肯定的是，可预测的停车时间集与完全无法到达的停车时间集没有重叠。因此，Pxω-(ζ-) 6= ω(ζ-); ζ(ω) < ∞= 0，相当于Px（ω-(ζ-) ∈ O、 ω-(ζ-) 6= ω(ζ-)) =所以每当ω-(ζ-) ∈ O、 ω（ζ-) = ω-(ζ-) ∈ O几乎可以肯定，因此^ζ≤ ζ-副定义，即Px^ζ ≤ ζ-|ω-(ζ-) ∈ O= 1、另一方面，如果ω-(ζ-) /∈ O、 然后通过ω的左连续性-, ω-(ζ-) ∈ O、 在这种情况下，ζ处必须有跳跃-, 存在一个序列tn↓ ζ-当n到单位时，例如thatω-（tn）∈ Ocfor every n.通过ω，ω（ζ）的右连续性-) = 画→∞ω-（tn）∈ 由于Oc的封闭性。因此，^ζ≤ ζ-每当ω-(ζ-) ∈ O、 和其他forePx^ζ ≤ ζ-|ω-(ζ-) ∈ O= 1、由于Px（{ω-(ζ-) ∈ O}∪ {ω-(ζ-) ∈ O} ）=1，像素^ζ ≤ ζ-= 1、其他不等式ζ-≤ ζ通过定义n保持不变。接下来，如果ζ和∏从x开始，我们建立了几乎确定的连续性/∈ O、 提案15。

如果x∈ 研发部\\O和Px（^ζ=ζ）=1，那么在Px下，ζ和∏几乎肯定是连续的。证据如果x∈\'Oc，然后是初始状态为x满足sζ（ω）的任意ω≡ 0和∏（ω）≡ x是常量映射。ζ和∏均在ω处与其初始x连续∈\'\'摄氏度。如果x∈ O、 对[3]定理3.1和命题2.4的证明稍加修改意味着，映射ζ：Dd7→ R和∏：Dd7→ Rdare b oth连续于任意ω∈ Γ := {ω : ω(0) ∈ O}∩ Γ\\Γ在斯科罗霍德地形中，其中Γ={ω：ζ-=^ζ=ζ}和Γ={ω：ω-(ζ-) ∈ O、 ω-(ζ-) 6=ω(ζ-)}. 命题14和条件Px（^ζ=ζ）=1意味着Px（Γ）=1，Px（Γ）=0。因此，Px（Γ）=1，对于这种情况，我们得出ζ和∏几乎存在连续性。最后，如果x∈ O、 使用与定理3.1和命题2.4完全相同的方法，我们知道映射ζ：Dd7→ R和∏：Dd7→ Rd均在任意ω处连续∈ Γ := {ω : ω(0) ∈ O、 斯科罗霍德拓扑中的^ζ=ζ=0}。由于x对于'Oc是正则的，Px（Γ）=1，我们得出了这种情况下ζ和∏的几乎确定的连续性。3.4有效条件-IIIFor x∈ O、 下面的示例表明，Px（^ζ=ζ）=1不能保证Px下ζ和∏几乎可靠的连续性。示例16。考虑O=（0，1）和Xt=t。换句话说，P（ω）=1表示ω（t）=t。然后，0∈ O和P（^ζ=ζ=1）=1。特别是，回想一下（8）中对^ζ的定义，^ζ=1而不是^ζ=0，因为它被定义为命中时间inf{t>0：…}而不是进入时间inf{t≥ 0 : ...}.然而，路径序列{ωn}n≥1ωn（t）=n-1.- 2t，t∈ [0，n-1） ，t，t≥ n-1，为了避免歧义，当P（B）=0时，设P（A | B）=1。满足限度→∞do（ωn，ω）=0，而limn→∞ζ（ωn）→ 0 6=ζ（ω），以及P{ω}>0。因此，ζ在P中几乎肯定不连续。备注17。