作为Dirichlet问题广义解的出口问题

示例16意味着对于x∈ O、 ζ在Px下几乎不一定是连续的，我们需要寻求v连续的其他有效条件。在下面的讨论中，我们的想法是考虑一个更大的域O 命题15适用的O，我们假设O的正则性结构，它保证Px（ζ=τ′O）=1，因此v（x）=v（x）表示allx∈事实证明，这是除了假设1之外的唯一假设，主要定理成立。作为准备，请定义移位运算符θt:Dd7→ Ddasθtω（s）=ω（t+s），s≥ 0。这意味着（Xso θt）（ω）=Xs（θtω）=θtω（s）=ω（t+s）=Xt+s（ω）。提案18。如果h∈ [0，^ζ（ω）]，然后是ζoθh（ω）=ζ（ω）- h表示所有ω∈ Dd.证明。根据θ，ζ的定义o θh（ω）=inf{t>0：ω（t+h）/∈\'O}=inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}- h、 因此，必须证明inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}=inf{t>0：ω（t）/∈\'\'O}。观察ω（t）∈ O对于所有t∈ [0，h）由于h≤^ζ. 因此，1。ifω（h）∈\'O，然后inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}=inf{t>0：ω（t）/∈“O}定义为“in-fim”；2、如果ω（h）/∈\'O，然后inf{t>0：ω（t）/∈\'O}=h。另一方面，inf{t′>h：ω（t′）/∈\'\'O}=hbyω的右连续性。引理19。让x∈\'O.如果Px^Π ∈\'\'Oc，*= 1，然后是Px^ζ = ζ= 1.证明。根据命题18，ζ=^ζ+ζo θ^ζ. 此外，如果X^ζ∈\'\'Oc，*, 然后PX（^ζ）（ζ=0）=1。因此，sinc e Px（X（^ζ）∈\'\'Oc，*) = 1，像素ζ =^ζ= 二甲苯ζ o θ^ζ= 0= ExhPX（^ζ）（ζ=0）i=1。提案20。假设存在一个邻域NofO使Px^Π ∈\'\'N= allx为0∈\'O.设O=N∪O、 并相应地定义ζ=τ′O，^ζ=τO，π=X（ζ），^∏=X（ζ）。那么，对于所有x∈(R)OPxΠ =^Π = Π=^Π, ζ =^ζ = ζ=^ζ= 1和ζ和∏在Px下几乎肯定是连续的。证据自'O O\'\'O O、 Px^ζ ≤ ζ ≤^ζ≤ ζ= 1.（20）我们首先表明Px^ζ = ζ= 1.

自Px（^∏）起∈\'\'N）=0和Px（^∏°∈ O） =0由于X的右连续性，后者可以重写为asPx^Π ∈\'\'Oc\'\'N+ 二甲苯^Π ∈ O \\ \\N= 1.因此，有必要讨论以下两种情况：o如果ω∈n^∏∈“Oc”否，则自“Oc”N起\'Oc，^ζ（ω）=ζ（ω）。o如果ω∈n^∏∈ 否，那么从O相对于打开O、 存在r>0这样的Br（^∏（ω））∩\'\'N=. 此外，由于^∏（ω）∈ O\'\'Oc，*, 引理19表示存在序列hn↓ 0，当n变为单位时，ω（^ζ+hn）/∈\'O表示所有n，以及ω，ω的右连续性^ζ+hn∈ Br公司^Π(ω)\\\'O=Br（ω）\\\'O和limn→∞ω^ζ+hn=^Π (ω) .因此，^ζ（ω）=ζ（ω）也成立。那么上述两种情况用（20）表示tPx^ζ = ζ =^ζ= ζ= 1，并且Px（^∏=π=π=π=^∏）=1也成立。最后，在x上应用ing命题15∈\'\'O关于扩展域O.自x∈ O O（注意，Px^Π ∈\'\'N= 0），orx∈“”O \\O O、 （ζ，π）在Px中几乎肯定是连续的。通过将以上所有结果汇总在一起，我们可以提供（2）中的随机表示v=E[F]是（1）的广义粘性解的充分条件下的主要结果，如第2.4节的理论5所述。证据（定理5）如命题n 20中所述，我们将域O展开为O，并设置相应的算子ζ,^ζ, Π,^Π. 考虑（2）形式的O相关值函数vin，即v（x）：=Ex“Zζe-λsl（Xs）ds+e-λζg（π）#，则v=v on'O，因为PxΠ =^Π = Π=^Π, ζ =^ζ = ζ=^ζ= 命题20还意味着（ζ，π）对于所有x在px下是连续的∈因此，由于引理12，vis在O中是连续的，v也是连续的。最后，引理8得出了主要结果。备注21。注意，在定义（2）中的v时，我们采用了随机时间ζ=τ\'O，而不是可能的替代选择^ζ=τOor？ζ（ω）=inf{t≥ 0：ωt/∈ O} 。

这三个都是停止时间，主要区别可以总结为：’ζ是进入Oc的时间，而^ζ和ζ分别是到达OCA和‘Oc’的时间。根据定理5的证明，在所作的假设下，命题20告诉我们pxζ =^ζ, Π =^Π= 1.x个∈“Oalways保持不变。因此，如果我们用随机时间ζ分别替换为（2）中的^ζ和ζ的费曼-卡茨泛函表示为^v和'v，那么v=O上的^v。因此，定理5仍然使用v替换为^v，没有额外的作用。采用ζ的主要原因是为了方便演示。另一方面，如果v被“v”代替，则定理5不再成立。事实上，在定理5的相同假设下，Pxζ =^ζ =ζ, Π =^Π =Π= 1，因此v=^v=(R)v，但仅适用于x∈ O∪ O、 例如，考虑第2.1节中给出的=0的随机exitexample。v（x）=^v（x）=v（x）是一个直接的计算，x个∈ （0，1），whilev（0）=^v（0）=1- e-16=(R)v（0）=0。接下来是Theorem5的即时结果，它为我们准备好了下一节讨论的非平稳问题。推论22。设O是一个形式为O=（0，1）×a的圆柱集，对于某些开集a。如果（1）’Ac，*= Ac相对于X-1： =（X，…，Xd）；（2）Xis是一个从属过程，那么（2）的v是（1）的广义粘度解，其中有Γout {1} ×A.证明。因为X是Feller，所以X和X-1是Feller和\'Oc，*=\'O \\（{0}×A）。应用定理5，我们可以取N=∪x个∈AN（x），其中N（x）是N（x）给定的（0，x）的邻域=-ρx，ρx×Bρx（x），ρx=距离（x，（A）∧ 1.4非平稳问题的应用在本节中，我们应用定理5中的主要结果来求解两个分数拉普拉斯算子的非平稳方程，一个是线性方程，另一个是非线性方程。

给定状态空间O，其非平稳（抛物线）域QT及其非平稳边界PQT：=（0，T）×O，PQT：=（0，T）×Rd\\QT。给定算子G（u，T，x），非平稳问题的粘性解（u，T，x）=0，在QT上，在PQT上，u=0。（21）的定义与固定问题的定义3类似：定义23。1、给定u∈ U SC（(R)QT）和（t，x）∈\'\'QT，超测试函数的空间isJ+（u，t，x）={φ∈ C∞（Rd+1），s.t.φ≥ （uI？QT）*φ（t，x）=u（t，x）}。如果G（φ，t，x）满足（t，x）下的粘度特性≤ 0，用于φ ∈ J+（u，t，x）。2、给定u∈ LSC（(R)QT）和（t，x）∈(R)QT，子测试函数的空间为，J-（u，t，x）={φ∈ C∞（Rd+1），s.t.φ≤ （uI？QT）*φ（t，x）=u（t，x）}。如果G（φ，t，x），则满足（t，x）处的粘度上解性质≥ 0，用于φ ∈ J-（u、t、x）。3、函数u∈ C（(R)QT）是（21）的粘度溶液，如果（i）u在每个（t，x）处同时满足粘度下解和上解性质∈ QT；（ii）u≡ PQT为0∩ QT。我们感兴趣的非线性方程是-tu公司- |xu |γ+(-x） QT时α/2u+1=0，PQT时u=0。（22）其中，对于函数φon（t，x）∈ R×Rd，分数拉普拉斯算子(-x） α/2φ（t，x）=(-)α/2φ（t，·）（x），对于x上的函数|φ∈ Rd，-(-)α/2￠φ（x）=CdZRd \\{0}[￠φ（x+y）-φ（x）- y·Dφ（x）IB（y）]dy | y | D+α，具有一些归一化常数Cd和分数拉普拉斯算子α的指数∈ (0, 2).这种形式的方程自然出现在许多应用中。如果γ=1，则（22）成为HJBequation，其中-|xu |=infb∈B（B·）xu）（见[12]，及其在随机控制问题中的重要作用见[16、25、32、33]）；如果γ>1，则（22）变为确定性KPZ方程（见[1]）。

它也可以被视为HJB方程，因为-|xu |γ=infb∈研发部(-b·xu+L（b）），L（b）=支持∈Rd（p·b- H（p））是函数H（p）=p |γ的勒让德变换（见[14]第3.3节）。4.1线性方程为了分析（22）的可解性，首先考虑一个更一般形式的线性方程tu+b·徐- |σ|α(-x） α/2u+l = QT为0，PQT为u=0。（23）其中b是Lipschitz连续向量场Rd7→ Rd称为漂移，σ是Rd×Rd中的常数称为波动率，l是Lipschitz连续函数Rd+17→ R、 定义相关随机过程X asdXt=b（Xt）dt+σdJt，（24），其中J是某些α的各向同性α稳定过程∈ （0，2）及其生成三元组（参见[30]或[6]中的Levy过程的概念）A=0，ν（dy）=y | d+αdy，b=0。（24）存在唯一的强解，X是Feller过程。它有一个C\'adl\'a g版本，其生成器L满足其域D（L） C（Rd）。尤其是r，如果φ∈ C（Rd），则L与下列积分微分算子一致，Lφ（x）=b（x）·φ（x）- |σ|α(-)α/2φ（x）。（25）通过Lxu（t，x）=Lu（t，·）（x）将Lφ（x）明显扩展到部分算子Lxφ（t，x），PDE（23）变为tu+Lxu+l = QT为0，PQT为u=0。接下来，我们通过平稳偏微分方程的解及其相关的随机过程来求解上述非平稳偏微分方程：如果（23）在QT中有一个光滑解u，那么变量y的变化=（t，x）∈ 给定常数λ>0时，Rd+1，w（y）=eλtu（t，x）（26）意味着w满足域Rd+1的平稳y方程，-Lw（y）+λw（y）- l（y） QT上=0，PQT上w（y）=0∩ QT，（27），其中Lw（y）=(tu+Lxu）（t，x），l（y） =eλtl（y，y-1） 和y-1=[y，…，yd+1]是一个d维列向量，除第一个标量y外，向量y的元素均为d维列向量。

特别地，它是Rd+1值Markov过程s7的生成元→ 对于（24）的X，Ys=（t+s，Xt+s），它遵循以下动力学：Ys=b（Ys）dt+σdJt，Y：=Y=（t，Xt），（28），其中b（Y）=b（t，x）和σ=1×dIdσ、 利用d×d单位矩阵IdA和d维零行向量01×d，可以应用Theo rem5来检查与随机过程（28）相关的Feynman Ka c泛函是否是平稳PDE（27）的广义vis-costity解。此外，在附加正则性条件下，我们在下文中表明，广义粘性解与定义意义上的粘性解一致23。作为准备，我们定义了外锥条件。定义24。对于y∈ Rd \\{0}和θ∈ （0，π），定义圆锥C（y，θ），方向为y，孔径为θasC（y，θ）={x∈ Rd:x·y>| x |·······y···cosθ}。用Br表示截锥Cr（y，θ），即Cr（y，θ）=C（y，θ）∩ Br。O满足Cr（x）（vx，θx）的外部条件，如果存在r（x）：Rd→ R+，vx：R→ Rd \\{0}，θx:Rd→ （0，π），使得对于每个x∈ O、 与其相关的截短外锥x+Cr（x）（vx，θx） Oc。推论25。设b为Lipschitz，σ为常数，O为满足外锥条件的有界开集。如果（b，σ）满足以下条件之一（A1）-（A3），（A1）|σ|>0和α≥ 1.（A2）|σ|>0和b≡ 0;（A3）b（x）·对于所有x，vx>0∈ O、 然后由v（t，x）=Et，xhZζ定义的函数vde∧Ttl（s，Xs）dsi（29）是（23）的粘度解，其中ζ定义为X in（24）的寿命τO（X）。证据

对于w（t，x）=eλtv（t，x）和r=s- t、 w（t，x）=eλtEt，xhZζ∧Ttl（s，Xs）dsi=eλtEt，xhZζ∧T-t型l（r+t，Xr+t）dri。当Ys=（t+s，Xt+s）为d+1维过程，ζ为状态空间QT中Y的寿命时，Y遵循（28）的动力学，初始状态Y=（t，Xt），ζ满足度ζ：=τQT（Y）=ζ∧ T- t、 因此，w可以用Y表示：w（t，x）=eλtEt，xhZζl（年）dri。由于Y（r）=t+r，进一步替换l（y） =eλtl（y） 导线束（t，x）=Et，xhZζe-λreλ（t+r）l（Yr）dri=EyhZζe-λrl（年）dri。由于O满足外锥条件，且其中一个条件（A1）-（A3）成立，第A.2节的命题28表明O为'Oc的规则值。根据推论22，w是（27）的广义粘度解，如果t=t或x，w（t，x）=0∈ Oc。根据定义23，refore为f（23）的粘度溶液。4.2非平稳非线性方程返回到非线性方程（22），-tu公司- |xu |γ+(-x） α/2u+1=0，QT时；u=0，在PQT上。作为一个起点，我们回顾了关于其可解性的以下结果（另请参见[2，12]），在本节的其余部分将其称为（CP+PM）：o（CP+PM）假设比较原则成立，Perron的方法有效。如果存在子解和上解，则（22）是唯一可解的。为了集中讨论费曼-卡茨泛函作为广义粘度解的应用，我们将不追求（CP+pm）的有效性，并将其视为在讨论中理所当然的。下一个命题表明，我们关于上述线性方程（23）的结果有助于建立（22）的半解，作为（CP+PM）论证的准备。提案26。设O是满足外锥条件的有界开集。如果γ≥ 1和α∈ （0，2），当存在（22）的粘度上下解时。证据第一个u=0是上解。

另一方面，推论25证实了随机表示vof（29）与X~ -(-x） α/2是-tu+(-x） α/2u+1=0，在QT上：=（0，T）×B；u=0，在PQT上：=（0，T）×Rd\\QT。通过|xu |γ，vis也是（22）的粘度亚溶液。本文给出了定理5中（2）的v是（1）的广义v正解的充分条件。据我们所知，这是验证Feynman-Kac函数作为跳跃扩散中Dirichlet问题的广义粘度解的第一个结果。我们还提供了一个例子10，其中定理5中的假设不成立，费曼Ka c泛函不连续。为了不分散读者对主旨的注意力，我们对g有着更为严格的假设（假设1），l, 和λ。然而，这些条件可以适当放宽一些温和的可积性条件。虽然定理5的证明主要是概率性的，但它为具有Dirichlet边界的积分微分方程的广义v粘性解的存在性提供了另一种构造性证明，它可以与comparisonprinciple和Perron方法一起用于非线性方程的可解性。换言之，定理5与概率正则性（如命题28）一起，产生了关于Dirichlet问题可解性的纯分析结果。作为一个应用，我们考虑了柱面域QT=（0，T）×O上的Rd+1值过程（参见Corolla ry25）。如果Xis在时间上匀速运动（即dX（t）=dt）a和X-1=（X。

，Xd+1）是一个Rd值过程，每个点O正则，则相应的FeynmanKac泛函很容易验证为平稳问题的广义粘度解（27）。此外，如果用从属过程代替匀速运动Xb，则可以类似地验证定理5的假设。需要检查相关随机控制问题（或非线性Feynma-nKac泛函）的值是否与由半解和Perron方法构造的（22）的解一致。另一方面，放宽λ>0的假设可能会导致gaugetheory的扩展（见[8]和[31]）。这两个都是我们未来工作的有趣话题。附录A。1从v in（2）和Γout={x的定义中表征Γout∈ O：v=g}，Γout依赖于函数g viav，我们在本节中显式地将其写为Γout[g]。引理27。如果Px（ζ<∞) = 那么每x取1∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]=O、 证明。引理8意味着∩g∈C0,1（Rd，R）Γout[克] O、 另一方面，对于任何x∈ O、 takeg（x）=e-|x个-x | klk∞/λ + 11 - p（x），其中p（x）=Ex[e-λζ]. 自x起∈ O、 Px（ζ>0）>0，Px（ζ<∞) = 1按消耗，p（x）∈ （0，1）和g是C0,1（Rd）中定义良好的严格正函数。此外，（2）v:v（x）<1+k的yieldsan估计值lk∞λ+kgk∞p（x）=1+klk∞λ+klk∞/λ + 11 - p（x）p（x）（30）=klk∞/λ + 11 - p（x）=g（x）。（31）因此v（x）6=g（x）和x/∈ ∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]。通过x的任意性∈ O、，∩g∈C0,1（Rd）Γout[克]=O、 A.2外锥条件下的正则性在本节中，我们证明了推论25中使用的正则性条件，即满足dxt=b（Xt）dt+σdJt的微分X。提案2 8。设b为Lipschitz，σ为常数，O为满足Cr（x）（vx，θx）外锥条件的有界开集。此外，假设（b，σ）满足（A1）-（A3）的条件之一。

那么，任意x∈ 相对于进程（24）的集合Ocis正则，即Oc=\'Oc，r=\'Oc，*.证据通过采样路径的右连续性，(R)Oc\'Oc，兰特O∩\'Oc，r=. 因此，必须验证O\'\'Oc，r.Fix x x∈ O、 设Y=X·vx是（24）的过程X在指向外锥方向的单位向量vx上的投影。然后，Y的表示形式为：yt=^b（Xt）dt+^σd^Jt，Y=x·vx，其中^b（x）=b（x）·vx，^σ=| v′xσ|，并且^J是各向同性的一维α稳定过程，其生成三元组a=0，ν（dz）=z | 1+αdz，b=0。要知道^J确实是一个α-稳定过程，请注意JisE的特征函数[exp{iu·J}]=e-c | u |α，u∈ Rd，对于一些规范化常数c。因此，^JisE[exp{iu·J}]=E[exp{iuvx·J}]=E的特征函数-c | uvx |α=e-c | u |α，u∈ R、 因此，^J是一个α稳定过程。通过外锥条件的定义，开放线段（y，y+rx）相对于过程y的y=x·vx的规律性可以暗示‘ocx’相对于过程x的规律性。此外，由于采样路径的正确连续性，这相当于检查y相对于半直线（y，∞), i、 e.Py公司τ(-∞,y] （y）=0= 1.o如果|σ|>0和α≥ 1，然后考虑^Yt=y- supx公司∈\'O | b（x）| t+^σ^Jt。注意，^Yt≤ Yt，但^Y是C型过程，由[30]和Py（τ(-∞,y] （^y）=0）=1。因此，Py（τ(-∞,y] （y）=0）=1。o如果|σ|>0 a和b≡ 0，那么X只是一个各向同性的Levy过程，而Pyτ(-∞,y] （y）=0= 1.o如果^b（x）=b（x）·vx>0，则定义h：=inf{t≥ 0：^b（Xt）<^b（x）}。由于t 7的右连续性→^b（Xt），h几乎肯定大于0 Px。考虑^Yt=y+^b（x）t+^σ^Jt，然后考虑Yt≥^Yton（0，h）。此外，根据[30]的定理47.5，^Y是^B（x）>0的B型过程，Pyτ(-∞,y] （^Yt）=0= 1、refore，Pyτ(-∞,y] （y）=0= 参考文献【1】B.Abdellaoui和I.Peral。