作为Dirichlet问题广义解的出口问题

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英文标题：
《Exit problem as the generalized solution of Dirichlet problem》
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作者：
Yuecai Han, Qingshuo Song, Gu Wang
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper investigates sufficient conditions for a Feynman-Kac functional up to an exit time to be the generalized viscosity solution of a Dirichlet problem. The key ingredient is to find out the continuity of exit operator under Skorokhod topology, which reveals the intrinsic connection between overfitting Dirichlet boundary and fine topology. As an application, we establish the sub and supersolutions for a class of non-stationary HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman) equations with fractional Laplacian operator via Feynman-Kac functionals associated to $\\alpha$-stable processes, which help verify the solvability of the original HJB equation.
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中文摘要：
本文研究了一个费曼-卡茨泛函在一个出口时间内是Dirichlet问题广义粘性解的充分条件。关键在于找出Skorokhod拓扑下出口算子的连续性，揭示了过拟合Dirichlet边界与精细拓扑之间的内在联系。作为应用，我们通过与$\\α$-稳定过程相关的Feynman-Kac泛函，建立了一类具有分数拉普拉斯算子的非平稳HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程的子解和上解，这有助于验证原HJB方程的可解性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Dirichlet Rich dir let Mathematical

出口问题作为DirichletproblemsYuecai Han的广义解，*宋庆硕，+谷旺2019年1月8日摘要本文研究了在退出时间前Feynman-Kac泛函是Dirichlet问题广义粘性解的充分条件。关键在于找出Skorokhod拓扑下出口算子的连续性，这揭示了过拟合Dirichlet边界和精细拓扑之间的内在联系。作为应用，我们通过与α-稳定过程相关的Feyn-man-Kac泛函建立了一类具有分数拉普拉斯算子的非平稳HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程的子解和上解，这有助于验证原HJB方程的可解性。随机控制问题，HJB方程，Dirichlet-bou-ndary，广义粘性解，α-稳定过程，分数拉普拉斯算子，精细拓扑。*吉林大学数学学院。hanyc@jlu.edu.cn.+伍斯特理工学院数学科学系和香港城市大学数学系。qsong@wpi.edu.伍斯特理工学院数学科学系。gwang2@wpi.edu.1本文研究了一个Dirichlet偏微分方程（PDE）g ivenby的可解性-Lu（x）+λu（x）- l（x） =0 on O，u=g on Oc，（1）其中L是与某个Feller半群{Pt:t关联的最小生成元≥ 0}和Ois是RDF中某个正整数d的连通有界开集（有关详细信息，请参见下面的假设1）。

我们将采用“验证”方法，并通过Feynman-Kac泛函给出的关联随机表示v（x）：=Ex“Zζe来表征（1）的解-λsl（Xs）ds+e-λζg（Xζ）#，（2），其中X是带生成器L的C\'adl\'ag Feller，由X表示~ 五十、 ζ是域'o闭合的退出时间，由ζ=τ'o（X）表示。与伐木工艺相关的发电机L的范围涵盖了许多著名的操作员。例如，梯度操作符 对应于匀速运动，即拉普拉斯运动 对应于布朗运动，分数拉普拉斯运动-(-)α/2对应于对称的α-稳定过程，上述算子的任何线性组合都对应于一个Feller过程。由于运算器的这种多功能性，椭圆或抛物线偏微分方程及其与相应随机表示的相互作用的研究具有广泛的应用范围，并与数学以外的其他学科有许多成功的联系。例如，在数学金融中，衍生品定价的一般方法是通过所谓的鞅方法（见[22]）来解决一个有序的问题。在这个方向上，最著名和实用的工具是费曼-卡克公式（见[23]第8章）。然而，由于潜在随机过程的次边界行为，连接PDE和随机表示的严格验证通常是一项困难的任务。在拉普拉斯算子的情况下，r=, [9] （第4.4节和第4.7节）表明，（2）s olves（1）的费曼-卡茨函数v。

L是一个二阶微分算子，因此几乎可以肯定是连续的X~ 五十、 Feynman-Kac泛函与Dirichlet问题之间的关系在[4、15、16、18、21、19]及其参考文献中进行了讨论。如果L是与L'evy跳跃差异相对应的非loca L操作符，这在金融建模的最新发展中已成为普遍现象，请参见【10，13，2 4】，r和路径X的不连续性~ L给研究边界行为带来了额外的困难（见[5，17，29，34]）。据我们所知，现有文献中尚未对费曼-卡茨泛函是Dirichlet偏微分方程的解，甚至是广义粘度解（如本文所讨论）的验证进行过深入的跳变研究。一些密切相关的文献，如一维非平稳问题的文献[11]和多维平稳问题的文献[3]，提供了以下部分答案：（2）的v是（1）的（强的，因此是广义的）粘度，如果边界上的所有点O定期（见第2.4节中的定期定义）。然而，这一有效条件并不总是满足的，一个简单的例子be low（见第2.1节，=0）提供了费曼-卡茨泛函的显式计算，它不是（强）粘度解，而只是广义粘度解。在这篇论文中，我们重点讨论了（2）的v是（1）的广义解的有效条件，结果表明，这比强粘性解的有效条件更为复杂（详见定理5）。接下来，在第2节中，我们将介绍（强）粘度解和广义粘度解的精确设置、定义以及主要结果。为了避免不必要的混淆，我们强调“强”v.s。

根据v粘性解的边界行为，“广义”与v粘性解的i类不同，参见定义2和3，在本文中，我们只关注广义粘性解。第3节分析了一类Dirichlet问题广义粘性解存在的充分条件，证明了主要定理。作为本文动机的一部分，（1）的可解性研究也与一类非线性偏微分方程的可解性密切相关，例如Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。在广义解的意义上，解决HJB方程的主要现有分析方法之一是比较原理（CP）和Perron方法（PM）的结合（见[12]和[2]，以及其中的参考文献）。这种方法在存在上解和下解的假设下成功地建立了唯一的可解性。换句话说，它将非线性偏微分方程的可解性问题简化为一类（1）型线性偏微分方程的可解性问题。然而，对后者的回答并不是微不足道的，而是针对[12]中的一般情况4.6提出了一个可行的问题。在第4节中，通过应用本文的主要结果（Theo-rem 5），我们可以证明一类线性方程的可解性，该方程作为分数拉普拉斯算子非线性方程的子解和上解，并帮助建立后者的解的存在性。最后，我们做了一个简要的总结，并将一些技术成果归为附属品。2问题设置和定义在本节中，我们从定义适当的过滤开始，在此过滤条件下，（2）中的v可以被描述为随机退出问题。

然后，我们正式定义了Dirichlet问题的广义粘性解，并陈述了本文的主要结果——vof（2）是（1）广义粘性解的充分条件，这将在下一节中得到证明。为了激励对广义d解的分析，我们首先提供了一个Dirichlet问题的例子，对于该问题，相关的Feynman-Kac泛函不是它的解，而是一个广义解。2.1示例为便于说明，请考虑（1）的Dirichlet问题，使用以下简化设置，参数化为≥ 0:O=（0，1），l ≡ 1，Lu=u′+u′，λ=1，g≡ 0。（3）然后，（1）成为第二阶常微分方程（ODE）-u′型-u′+u- （0，1）上的1=0，x上的u（x）=0≥ 1和x≤ 0。（4）如果>0，则存在唯一的C（O）∩ C（(R)O）溶液U（x）=1+（1- eλ）eλx+（eλ- 1） eλxeλ- eλ，（5），其中λ=√1 + 2- 1，a和λ=-√1 + 2- 1.另一种可能的分类是“经典”v.s.“粘度”或“弱”溶液的平滑度。显式解决方案由云计算平台CoCalc实现的SageMath代码获得，seehttps://github.com/songqsh/181023PubExit .如果=0，则PDE（4）没有解。然而，如果去掉施加到0的边界条件，则PDE（4）具有唯一解u（x）=-e-1+x+1。另一方面，从概率的角度来看：让^Ohm,^F，^P，{英尺：t≥ 0}是一个满足标准布朗运动W通常条件的过滤概率空间，X是一个由xt=X+t+Wt定义的随机过程，其中生成器在L以上。形式（2）的相应Feynman-Kac泛函isv（x）：=^E“ZζE-十二烷基硫酸钠X=X#（6），其中ζ是域'O闭合后的退出时间，可以明确计算其分布，E是P下的表达式。

注意o如果>0，则（6）的v与（5）重合，并且是（1）的唯一解。o如果=0，则v（x）=-e-1+x+1不是（4）的解，因为它确实满足x=0时的边界条件。然而，如果=0且施加在点0上的边界条件被放弃，则与新ODE的解相同，称为原始方程（4）的广义解。在本文中，我们研究了关联的Feynman-Kac是上述一般意义上Dirichlet偏微分方程解的充分条件（通过放宽bo-undary条件）。如下所示，根据定义3.2.2 SetupLet，vis广义粘度解为（4）Ohm = Ddbe从[0]开始的C\'adl\'ag函数的空间，∞) 使用Skorokhod公制do进行RDO。X是坐标映射过程，即Xt（ω）=ω（t），ω ∈ Ohm.表示由X asFt=σ{Xs:s产生的自然过滤≤ t} ，则，t型≥ 0，F=σ（Xs：0≤ s<∞}.表示为Cm（Rd）和Cm，α（Rd）Rd上的函数空间，具有连续和局部的α-H¨oldercontinuo us导数，分别达到mthorder，其在整数处消失，对于Cm（Rd），如果m=0，上标将被删除。设{Pt:t≥ 0}是C（Rd）上的Feller半群（参见[27]的第III.2.1节）。P（Rd）是Rd上概率测度的集合，byDaniell-Kolmogorov定理和标准路径正则化，对于任何ν∈ P（Rd），存在概率测度Pνon(Ohm, F） 其转移函数与给定的Feller半群{Pt:t相同≥ 0}和初始分布X~ ν（见[28]第III.7节）。表示为在Pν下对ν的期望∈ P（Rd），对于狄拉克测度δx和x，Ex=Eδx∈ Rd.我们对本文其余部分做了以下假设，但没有进一步提及：假设1。1.

{Pt:t≥ 0}是一个Feller半群，其极小生成元L满足C∞（Rd） D（L），其中D（L）是L的域；2. (Ohm, F、 {Xt:t≥ 0}，{Pν：ν∈ P（Rd）}）是与费勒半群{Pt，t}相关联的费勒过程的规范设置≥ 0}，由X表示~ L3.O是Rd中的连通有界开集；4.g和l Lipschitz连续函数是否在单位内消失。5. λ > 0.给定Rd中的Borel集B和样本路径ω∈ Dd，将出口时间τB（ω）和出口点∏B（ω）定义为：τB（ω）=inf{t>0，ωt/∈ B} ，πB（ω）=ω（τB（ω））=XτB（ω）（ω），ω ∈ Dd，（7）并且为了便于注释，表示ζ：=τ'O，π：=π'O和ζ：=τO，π：=πO。（8）通常，τBis不需要n Ft停止时间，因为设置{τB≤ t}∈ 英尺+=∩s> 自然过滤并不总是正确连续的，即Ft+6=Ft。因此，我们根据以下观察结果修改了自然过滤：自然过滤不依赖于任何概率-f仅包含确定性事件，因此F6=F0+。但它们的差异仅仅是那些“几乎确定的事件”。例如，如果我们关注路径空间上的正则维纳测度，那么Blumenthal 0-1定律意味着∈ F0+\\F仅在概率为1或0时出现。这促使我们通过将“几乎确定性”集合移动到过去的信息集合，即t=0时的σ-代数，来重新调整自然过滤。定义1。对于每个ν∈ P（Rd），表示为{Fνt:t≥ 0}自然过滤的Pν-完成，即Fνt=σ（Ft，Nν），其中Nν是所有Pν-空集的集合。

设Ft=Tν∈P（Rd）Fνt每个≥ 0.在上述定义中，我们通过操纵可忽略集来采用通常的增广，并将通常几乎确定的集（关于所有概率度量inP（Rd））移动到F，而不改变任何F-可测量随机变量F的Ex[F | Ft]值。此外，Feller财产主张，（a）过滤{Ft:t≥ 0}（als o{Fνt:t≥ 0}foreachν）是右连续的，（b）Blumenthal的0-1定律成立，（c）τBis是Ft停止时间（首次出现theo-rem，见命题III.2.10和定理III.2.15和定理III.2.17）。最后但并非最不重要的一点是，s-trong-Markov属性适用于过滤{Ft:t≥ 0}（见[27]的定理III.3.1）。在本文的其余部分，我们将使用过滤{Ft:t≥ 0}以上定义，则随机退出问题中（2）的v可以写成v（x）：=Ex[F]，其中F:Dd7→ R isF（ω）=Zζ（ω）e-λsl（ωs）ds+e-λζ（ω）go Π(ω), ω ∈ Dd.最后，回顾2.1中的简化设置，其中关联过程X定义为过滤概率空间中布朗运动的函数^Ohm,^F，^P，{英尺：t≥ 0}. 要查看此设置与上述坐标映射过程定义之间的等效性，对于第2.1节中的X，可以首先在空间dda上归纳出与初始分布ν相关的一系列概率Pν∈ P（Rd），即Pν（A）=^P（X∈ A | X~ ν） 对于任何Borel集合A∈ Dd.坐标映射的分布与X的分布相同（见[28]第II.28节）。然后从自然过滤开始{Ft:t≥ 在坐标映射的0}中，一个人可以生成{Fνt:t的族≥ 0}，带ν∈ P（Rd）和{Ft:t≥ 0}如上定义1所述。2.3 Dirichlet问题和粘度解在本节中，我们给出了广义d粘度解的定义。

为了简单起见，表示为（φ，x）=-Lφ（x）+λφ（x）- l（x） ，（9）和（1）beco mesG（u，x）=0，在O上，在Oc上，u=g。（10） 请注意，Dirichlet边界数据g被赋予整个Oc。原因是，如果发电机是非局部的，那么Xζ可能会落在Oc中的任何地方，而G的定义使得（u，X）的情况发生变化∈ C∞（Rd）×Rd，值G（u，x）定义良好。为了将（10）的定义推广到域为O的可能非光滑函数，我们在u的place中使用了以下测试函数：1。对于给定的u∈ U SC（(R)O）和x∈\'O，超测试函数的空间isJ+（u，x）={φ∈ C∞（Rd），s.t.φ≥ （uI O+gI Oc）*φ（x）=u（x）}。2、对于给定的u∈ LSC（(R)O）和x∈\'O，子测试函数的空间O为j-（u，x）={φ∈ C∞（Rd），s.t.φ≤ （uI O+gI Oc）*φ（x）=u（x）}。我们说函数u∈ U SC（(R)O）在x∈如果下列不等式适用于所有φ∈ J+（u，x），G（φ，x）≤ 0。（11）类似地，函数u∈ LSC（(R)O）在x∈如果下列不等式适用于所有φ∈ J-（u，x），G（φ，x）≥ 0。（12）在下文中，我们定义了（1）的（强）粘度。请注意，它不需要任何点x的粘度特性∈ O、 然而，在x∈ O将受益于后面介绍的广义粘度解决方案的定义。定义2。1、u∈ USC（(R)O）是（1）的粘度亚溶液，如果（a）u满足每个x的粘度亚溶液性质∈ O和（b）u（x）≤ g（x）在每个x处∈ O、 2。u∈ LSC（(R)O）是（1）的粘度上解，如果（a）u满足每个x的粘度上解性质∈ O和（b）u（x）≥ g（x）在每个x处∈ O、 3。