风险资产为A时投资的破产问题

很容易看出，对于所有α>0，ψ^R（α）=-a^Rα+σ^Rα+γE（E-αY）- 1..在破产问题11Now上，可以证明（参见例如[37]）方程ψR（α）=0具有唯一的非零解，当且仅当ψR不是从属项且ψ（0+）<0时，在一些反转微分和期望算子的附加条件下，该方程等价于αR>γe（Y）（在精算理论中，它对应于“安全载荷条件”）。在这种情况下，β∞是该方程的唯一非零实解。上界在这一节中，我们证明了定理1。我们从一些初步结果开始。引理1。对于所有T>0，我们有以下内容。（a） 如果0<α<2，则E（Jα/2T）<∞ 意味着E（IαT）<∞ andE（JT（α））<∞.（b） 如果α≥ 2，E（JT（α））<∞ 意味着E（IαT）<∞ E（Jα/2T）<∞.证据首先注意，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到，对于所有T>0，它=ZTE（R）-1sds≤√T中兴通讯（R）-2sds1/2=√TpJT。所以，E（IαT）≤ Tα/2E（Jα/2T），对于所有α>0。现在，如果0<α<2，我们有α>1，根据H¨older的不等式jt（α）=ZTE（R）-α-sds≤ T（2-α)/2中兴通讯（R）-2sdsα/2=T（2-α） /2Jα/2T。这些不等式产生（a）。现在，如果α≥ 2，我们要么得到得到期望结果的α=2，要么得到α>2。在这种情况下，我们有α>1，根据H¨older不等式，我们得到jt=ZTE（R）-2sds≤ T（α-2)/α中兴通讯（R）-α-sds2/α=T（α-2） /αJT（α）2/α。So，E（Jα/2T）≤ T（α-2） /2E（JT（α）），得到（b）。12关于Md=（Mdt）t表示的破产问题≥0局部鞅定义为：Mdt=ZtZ | x|≤1xE（R）s-（uX（ds，dx）- νX（dx）ds）和X U=（Ut）t≥0 UT=ZtZ | x |>1xE（R）s给出的过程-uX（ds，dx）。IfR | x |>1 | x |νx（dx）<+∞, 我们还可以定义局部鞅Nd=（Ndt）t≥0asNdt=ZtZRxE（R）s-（uX（ds，dx）- νX（dx）ds）。提案4。我们的法律身份如下：ZtdXsE（R）s-t型≥0升=aXIt+σXWJt+Mdt+Utt型≥此外，ifR | x |>1 | x |νx（dx）<+∞, 然后ZtdXsE（R）s-t型≥0升=δXIt+σXWJt+无损检测t型≥0，其中δX=aX+R | X |>1xνX（dx）。证据

我们首先表明ZtdXsE（R）s-t型≥0 | E（R）s=qs，s≥ 0!= LZtdXsqs-t型≥0!为了证明这个定律上的等式，我们考虑了用黎曼和表示托氏积分（见[15]，命题I.4.44，p.51）。我们记得，对于任何增加的停止时间序列，τ=（Tn）n∈n，T=0，这样supnTn=∞ 在集合{Tn<∞}, 随机积分rtdxse（R）s的黎曼逼近-将为τZtdXsE（R）s-=∞Xn=0E（R）Tn-XTn+1∧t型- XTn公司∧t型序列τn=（T（n，m））m∈如果是supm，则适应的细分称为Driemann序列∈N（T（N，m+1）∧ t型- T（n，m）∧ t）→ 0 asn→ ∞ 对于所有t>0。出于我们的目的，我们将对破产问题13Riemann序列进行确定性研究。然后，命题I.4.44，【15】第51页说，对于所有t>0（9）τnZtdXsE（R）s-P-→ZtdXsE（R）s-和（10）τnZtdXsqs-P-→ZtdXsqs-其中P-→ 表示概率收敛。根据Kolmogorov定理，过程的规律完全由其有限维分布定义。让我们拿k≥ 0 a细分t=0<t<t···<t和连续有界函数f:Rk→ R、 用标准论点证明FτnZtdXsE（R）s-, ···τnZtkdXsE（R）s-|E（R）s=qs，s≥ 0= EFτnZtdXsqs-, ···τnZtkdXsqs-考虑到（9）和（10），我们将极限传递为n→ ∞ andwe obtainE公司FZtdXsE（R）s-, ···ZtkdXsE（R）s-|E（R）s=qs，s≥ 0= EFZtdXsqs-, ···ZtkdXsqs-这证明了这一说法。利用分解（2），我们得到了ztdxsqs-= aXZtdsqs+σXZtdWsqs-+ZtZ | x|≤1xqs-（uX（ds，dx）- νX（ds，dx））+ZtZ | X |>1xqs-uX（ds，dx）。我们分别用MDT（q）和Ut（q）表示r.h.s.中等式的最后两项。回想一下，由于X是L'evy过程，破产问题上的14个过程，出现在上述等式右侧的四个过程是独立的。

我们在法律上使用众所周知的身份ZtdWsqs-t型≥0升=WRtdsqst型≥0写入aXZtdsqs，σXZtdWsqs-, Mdt（q），Ut（q）t型≥0升=aXZtdsqs、σXWRtdsqs、Mdt（q）、Ut（q）t型≥然后，我们取这些过程之和，并将w.r.t.E（r）定律积分。这将产生第一个结果。第二部分的证明是相同的，除了我们对X进行以下分解：Xt=δXt+σXWt+ZtZRx（uX（ds，dx）- νX（dx）ds）。定理1证明的最后一个组成部分是关于随机测度的补偿积分的Novikov maximalinequalities（参见[4]、[24]和[23]），我们将在下面介绍一些符号后加以说明。设f：（ω，t，x）7→ f（ω，t，x）是Ohm×R+×R。将[24]的符号专门用于我们的情况，我们说f∈ Fif，几乎所有ω∈ Ohm,ZtZRf（ω，s，x）νx（dx）ds<∞.如果f∈ F、 我们可以通过cf（t）=ZtZRf（ω，s，x）（ux（ds，dx）定义补偿积分- νX（dx）ds）适用于所有t≥ 对于这些补偿积分，我们有以下不等式。命题5（c.f.【24】中的定理1）。设f是具有f的左连续可测随机函数∈ F、 设Cf=（Cf（t））t≥0为上述f的补偿积分。关于0的破产问题15（a）≤ α ≤ 2，Esup0≤t型≤T | Cf（T）|α≤ KE“ZTZRfνX（dx）dsα/2#.（b） 对于所有α≥ 2，Esup0≤t型≤T | Cf（T）|α≤ KE“ZTZR | f |νX（dx）dsα/2#+KEZTZR | f |ανX（dx）ds其中K≥ 0，K≥ 0和K≥ 0是仅以显式方式依赖于α的常数。定理1的证明。

请注意SUP0≤t型≤T-（aXIt+σXWJt+Mdt+Ut）≤ |aX | IT+sup0≤t型≤TσX | WJt |+sup0≤t型≤T | Mdt |+sup0≤t型≤T | Ut |，对于正随机变量Z，Z，Z，Z，我们有{Z+Z+Z+Z>y}新西兰>yo∪新西兰>yo∪新西兰>yo∪新西兰>yo。因此，利用命题4，我们得到p（τ（y）≤ T）=Psup0≤t型≤T-（aXIt+σXWJt+Mdt+Ut）>y≤P|aX | IT>y+ Psup0≤t型≤TσX | WJt |>y+ Psup0≤t型≤T | Mdt |>y+ Psup0≤t型≤T | Ut |>y.对于第一项，使用马尔可夫不等式，我们得到|aX | IT>y≤α| aX |αyαE（IαT）。16关于第二项的破产问题，自（Jt）0≤t型≤随着时间的增加，我们可以在（E（R）t）0的上确界和条件下改变时间≤t型≤Tto获得sup0≤t型≤TσX | WJt |>y= Psup0≤t型≤JTσX | Wt |>y= EPsup0≤t型≤JTσX | Wt |>y（E（R）t）0≤t型≤T由于W和R是独立的，我们使用反射原理得出以下事实：-2tdtL=RTq-2tdt万德-马尔可夫不等式sup0≤t型≤JTσX | Wt |>yE（R）t=qt，0≤ t型≤ T= 2P级ZTq公司-2tdt1/2σX | W |>y！≤ 2ασαXyαZTq公司-2tdtα/2E（| W |α）。那么，由于E（| W |α）=α/2√πΓα+1, 我们获得sup0≤t型≤TσX | WJt |>y≤(5α+2)/2Γα+1σαX√πyαE（Jα/2T）。请注意，前两项的不等式适用于所有α>0的情况。假设0<α≤ 1、我们看到E（R）-1吨-（ω） x1{| x|≤1}∈ F、 因此，利用马尔可夫不等式和命题5的（a）部分，我们得出sup0≤t型≤T | Mdt |>y≤αyαEsup0≤t型≤T | Mdt |α≤ KαyαE“ZTZRxE（R）s-{| x|≤1} νX（dx）dsα/2#=KαyαZRx{| x|≤1} νX（dx）α/2E（Jα/2T）。关于最后一项的破产问题17，请注意，由于0<α≤ 1、我们有PNi=1xiα≤PNi=1xαi，对于xi≥ 0和N∈ N*对于每个t≥ 0，| Ut |α≤X0<s≤tE（R）-1秒-|Xs | 1{|Xs |>1}！α≤X0<s≤tE（R）-αs-|Xs |α{|Xs |>1}=ZtZRE（R）-αs-|x |α{| x |>1}ux（ds，dx）。因此，使用马尔可夫不等式和补偿公式（参见。

定理二。1.8 p.66-67在[15]中，我们得到sup0≤t型≤T | Ut |>y≤αyαEsup0≤t型≤T | Ut |α≤αyαEsup0≤t型≤TZtZRE（右）-αs-|x |α{| x |>1}ux（ds，dx）=αyαE中兴通讯（R）-αs-|x |α{| x |>1}νx（dx）ds=αyαZR | x |α{| x |>1}νx（dx）E（JT（α））。当0<α时，这将完成证明≤ 1、假设1<α≤ 2、P的界sup0≤t型≤T | Mdt |>y可以通过与前一种情况相同的方式获得。应用H¨older不等式，我们得到了| Ut |α≤中兴通讯（R）-1/αs-E（R）1/α-1秒-|x | 1{| x |>1}ux（ds，dx）α≤中兴通讯（R）-1秒-|x |α{| x |>1}ux（ds，dx）×中兴通讯（R）-1秒-{| x |>1}ux（ds，dx）α-1.≤中兴通讯（R）-1秒-|x |α{| x |>1}ux（ds，dx）α.18关于破产问题，然后，利用马尔可夫不等式和补偿公式，我们得到sup0≤t型≤T | Ut |>y≤αyαEsup0≤t型≤T | Ut |α=ZR | x |α{| x |>1}νx（dx）αE（IαT）。这完成了案例1<α的证明≤ 2、最后，假设α≥ 2、P的估算sup0≤t型≤T | Ut |>y在这种情况下仍然有效。此外，由于E（R）-1吨-（ω） x1{| x|≤1}∈ F、 我们获得，应用命题5 thatP的（b）部分sup0≤t型≤T | Mdt |>y≤KE“中兴通讯（R）-2秒-x{| x|≤1} νX（dx）dsα/2#+KE中兴通讯（R）-αs-|x |α{| x|≤1} νX（dx）ds=KZRx{| x|≤1} νX（dx）α/2E（Jα/2T）+KZR | x |α{| x|≤1} νX（dx）E（JT（α））。请注意，右侧是有限的，因为| x |α{| x|≤1}≤ |x |{| x|≤1} 当α≥ 2、完成证明。渐近下界在这一节中，我们证明了定理2，因此证明了定理1中得到的上界对于一大类L'evy过程X是渐近最优的。我们从一些初步结果开始。表示x+，p=（最大（x，0））p，对于所有x∈ R和p＞0。引理2。假设一个随机变量Z>0（P- a、 s.）满意度（Zp）=∞, 对于某些p>0。然后，对于所有δ>0，存在一个正数字序列（yn）n∈9增加到+∞ 这样，对于所有C>0，存在n∈ N使得对于所有N≥ n、 P（Z≥ yn）≥Cypnln（yn）1+δ。证据

如果Z>0（P- a、 s.）是一个随机变量，g:R+→ R＋是一个具有正导数的cw类函数，然后利用Fubini\'sON破产问题19定理，我们得到了（0）+Z∞g（u）P（Z≥ u） du=g（0）+EZZg（u）du= E（g（Z））。将其应用于函数g（z）=zpw，其中p>0，对于ally≥ e、 Z∞是的-1P（Z≥ u） du=∞.此外，对于所有δ>0，supu≥y[upln（u）1+δP（Z≥ u） ]Z∞yduu ln（u）1+δ≥Z∞是的-1P（Z≥ u） 杜。所以sinceR∞yduu ln（u）1+δ<∞, 我们得到了≥ e、 supu公司≥y[upln（u）1+δP（Z≥ u） ]=∞.因此，存在一个数值序列（yn）n∈9增加到+∞这样limn→∞ypnln（yn）1+δP（Z≥ yn）=+∞.引理3。假设X和Y是独立的随机变量，E（Y）=0。假设p≥ 那么，E[X+，p]≤ E[（X+Y）+，p]。证据对于每个x∈ R、 我们定义了函数hx:y 7→ （x+y）+，ponR。自p起≥ 1，hxis是一个凸函数，利用Jensen\'sinequality，我们得到了每个x的∈ R、 E[（x+Y）+，p]=E[hx（Y）]≥ hx（E（Y））=hx（0）=x+，p。我们通过将w.r.t.与x定律积分得到期望的结果。引理4。让T>0。假设a<0或σ>0，并且存在β>0，使得E（IβT）=∞. 然后，E[(-aIT公司- σWJT）+，β]=∞.证据首先假设a<0且σ=0。然后，E[(-aIT公司- σWJT）+，β]=| a |βE（IβT）=∞.接下来，假设a≤ 0和σ>0。

在这种情况下，使用标识符定律WL=-W和WJTL=√JTW，破产问题上的Cauchy-Schwarz不等式20和Wand-JTgiven E（R），weobtainE之间的条件独立性[(-aIT公司- σWJT）+，β]≥ E[（σpJTW）+，β]=σβE（W+，β）E（Jβ/2T）≥ σαE（W+，β）T-β/2E（IβT）=∞.最后，如果a>0且σ>0，则使用WL=-W，thatWJTL=√选择C>1，我们得到[(-aIT公司- σWJT）+，β]=E[(-|a | IT+σpJTW）+，β]≥ E类[(-|a | IT+σpJTW）+，β{σ√JTW公司≥C | a | IT}]≥ E[（（C- 1） | a | IT）β{σ√JTW公司≥C | a | IT}]。自那以后√JT公司≤√通过Cauchy-Schwarz不等式，我们利用Wand和给定E（R）E之间的条件独立性得到[(-aIT公司- σWJT）+，β]≥ E（（C- 1） | a | IT）βnW≥C | a|√Tσo= PW公司≥C | a|√Tσ！（C）- 1） β| a |βE（IβT）=∞.定理2的证明。假设implyR | x |>1 | x |νx（dx）<+∞因此，通过命题4，我们得到sup0≤t型≤T-ZtdXsE（R）s-≥ y≥ P((-δXIT- σXWJT- NdT）+≥ y） ，式中δXand Nd=（Ndt）t∈[0，T]定义如提案4所示。然后，通过独立，我们获得- δXIT- σXWJT- NdT）+，βT]=ZDE[(-δXIT（q）- σXWJT（q）- NdT（q））+，βT]P（E（R）∈ dq），其中D是[0，T]上c\'adl\'ag函数的Skorokhod空间，度量P（E（R）∈ dq）是（E（R）t）t的定律∈[0，T]，IT（q）=RTdsqs，关于破产问题21JT（q）=rtdsqsandnt（q）=ZTZ | x|≤1xqs-（uX（ds，dx）- νX（dx）ds）+ZTZ | X |>1xqs-（uX（ds，dx）- νX（dx）ds）。用NT（q）和NT（q）表示上述方程r.h.s.上的两项。固定q∈ D、 我们现在证明了E（NT（q））=0和E（NT（q））=0。首先，请注意，【22】中的定理1 p.176和定理II。1.8 p.6667在【15】中，我们发现E（【N.（q），N.（q）】T）=EZTZ | x|≤1xqs-uX（ds，dx）= EZTZ | x|≤1xqsνX（dx）ds=ZTdsqsZ | x|≤1xνX（dx）.然后，由于q是紧区间上的严格正c ` adl ` ag函数，因此它与rtdsqs有界<+∞ 和sinceR | x|≤1xνX（dx）<+∞ 根据L'evy测度的定义，我们有E（[N.（q），N.（q）]T）<+∞. 这表明N（q）是一个（平方可积）鞅，因此E（NT（q））=0。

对于第二项，类似地，我们有ztz | x |>1 | x | qsνx（dx）ds=ZTdsqsZ | x |>1 | x |νx（dx）< +∞.因此，通过命题II。[15]中的1.28 p.72和定理II。1.8 p.6667在[15]中，我们有E（NT（q））=EZTZ | x |>1xqs-uX（ds，dx）- EZTZ | x |>1xqs-νX（dx）ds= 现在，由于随机变量-δXIT（q）-σXWJT（q）和-对于所有q，NdT（q）是独立的，E（NdT（q））=0∈ D、 我们可以将引理3应用于obtainE[(-δXIT- σXWJT- NdT）+，βT]≥ E类[(-δXIT- σXWJT）+，βT]。22关于破产问题，利用引理2和引理4，a=δX和σ=σX，我们可以得出，对于所有δ>0的情况，存在一个严格的正序列（yn）n∈9增加到+∞ 这样，对于所有的C>0，就存在n∈ 确保所有n≥ n、 P（τ（yn）≤ T）≥CyβTnln（yn）1+δ。对于第二部分，请注意，上述内容暗示LIM supy→∞ln（P（τ（y））≤ T）ln（y）≥ -βT+limn→∞ln（C）- ln（ln（yn）1+δ）ln（yn）=-现在，利用定理1，我们得到了lim supy→∞ln（P（τ（y））≤ T）ln（y）≤ -α、 对于所有α<βT，且让α→ βT，我们得到了→∞ln（P（τ（y））≤ T）ln（y）≤ -βT，因此，所声称的等式。5、概率破产的条件1在本节中，在给出关于指数泛函极限的一个简单结果后，我们证明了定理1。然后，我们给出了概率为1的破产R的特征的明确条件，并将其应用于L'evy情形。引理5。假设极限→∞^Rtt=u<0（P- a、 s.）。那么，limt→∞It=+∞ 和限制→∞Jt=+∞ （P- a、 s.）。证据自限制以来→∞^Rtt=u<0（P-a.s.）意味着limt→∞^Rt=-∞ （P-a.s.），我们可以证明它=Rte-^Rsds和Jt=Rte-2^Rsdsdiverge（P-a.s.）。实际上，表示为Ohm一组概率，如极限→∞^Rt（ω）=-∞, 对于每个ω∈ Ohm, i、 e.对于每个C>0，存在t（ω）≥ 0，这样，对于所有t≥ t（ω），-^Rt（ω）≥ C

然后，foreachω∈ Ohm对于每个K>0，我们有，取C=ln（K+1），τ（ω）=t（ω）+1，对于所有t≥ τ（ω），中兴通讯-^Rs（ω）ds≥Zτ（ω）t（ω）e-^Rs（ω）ds≥ ec=K+1≥ K、 关于破产问题23，Jtis发散性的证明是相似的。命题1的证明。使用命题4，我们得到，对于所有y>0，P（τ（y）<∞) = P支持≥0(-aXIt公司- σXWJt）≥ y≥ Plim支持→∞(-aXIt公司- σXWJt）≥ y.当σX=0时，我们假设aX<0，因此lim支持→∞(-aXIt- σXWJt）≥ y= Plim支持→∞|aX | It≥ y= 当σX>0时，由于W是布朗运动且极限→∞Jt=+∞,我们有lim supt→∞WJt=+∞ 然后砰的一声lim支持→∞(-aXIt公司- σXWJt）≥ y= 1.在某些可积条件下，我们可以证明概率为1的破产的一个更明确的条件。提案6。假设Xt=aXt+σXWt，对于所有t≥ 0，带AX≤ 0，σX≥ 0且aX+σX>0。假设（i）R∞（1+s）-2dhRcis<∞,（ii）存在p∈ （1，2）使Z∞Z∞-1min（| ln（1+x）|，| ln（1+x）| p）（1+s）pνR（ds，dx）<∞,（iii）存在D<0，因此（P- a、 s.），D=极限→∞t型英国电信-hRcit+ZtZ∞-1.ln（1+x）- x1{| ln（1+x）|≤1}νR（ds，dx）其中B=（Bt）t≥0是R的漂移部分。那么，对于所有y>0，P（τ（y）<∞) = 1.24关于破产问题的证明。我们要展示这个极限→∞^Rtt=D.自，s 7→ （1+s）-pis是一个连续函数，对于每个t>0，我们有（1+s）-p≥ 对于某些常数dt>0和所有s∈ [0，t]。因此，我们有≥ 0，ZtZ∞-1 | ln（1+x）| 1{| ln（1+x）|>1}νR（ds，dx）≤dtZtZ公司∞-1 | ln（1+x）| p（1+s）p{| ln（1+x）|>1}νR（ds，dx）<∞.因此，对截断函数h（x）=1{| ln（1+x）|>1}和命题II使用R的半鞅分解。1.28 p.72 in【15】，我们获得^Rt=Bt-hRcit+ZtZ∞-1.ln（1+x）- x1{| ln（1+x）|≤1}νR（ds，dx）+Rct+ZtZ∞-1ln（1+x）1{| ln（1+x）|≤1} （uR（ds，dx）- νR（ds，dx））+ZtZ∞-1ln（1+x）1{| ln（1+x）|>1}（uR（ds，dx）- ν） R（ds，dx））。用Ht和Ht表示r.h.s.的最后两项。

在上述方程中，我们表明→∞Rctt=0，极限→∞Htt=0和limt→∞Htt=0（P- a、 s.）。对于手，我们应用[22]中的定理9 p.142-143。由于他的纯不连续性，这个定理告诉我们→∞Htt=0（P- a、 s.），如果▄Q∞< +∞, 式中，Q是过程Q=（Qt）t的补偿器≥0由qt=X0<s给出≤t型(Hs/（1+s））1+|Hs/（1+s）|。当我们更换时，同样适用于HHtby公司Ht。自从Ht=ln（1+Rt）1{| ln（1+Rt）|≤1} 和p≤ 2，我们有▄Q∞=Z∞Z∞-1（ln（1+x）/（1+s））1+| ln（1+x）/（1+s）{| ln（1+x）|≤1} νR（ds，dx）≤Z∞Z∞-1ln（1+x）（1+s）{ln（1+x）|≤1} νR（ds，dx）≤Z∞Z∞-1ln（1+x）（1+s）p{| ln（1+x）|≤1} νR（ds，dx）<∞.关于破产问题，请注意，根据杨氏不等式，ab≤ann+bmm，对于a，b>0，n=p-1和m由n+m=1给出，我们得到所有s≥ 0和x∈ R、 （1+s）+ln（1+x）|≤n1/nm1/m（1+s）p-1 | ln（1+x）| 2-p、 表示K=n1/nm1/自Ht=ln（1+Rt）1{| ln（1+Rt）|>1}，我们有▄Q∞=Z∞Z∞-1（ln（1+x）/（1+s））1+| ln（1+x）/（1+s）{| ln（1+x）|>1}νR（ds，dx）=Z∞Z∞-1ln（1+x）（1+s）（1+s+| ln（1+x）|）{| ln（1+x）|>1}νR（ds，dx）≤ KZ公司∞Z∞-1 | ln（1+x）| p（1+s）p{| ln（1+x）|>1}νR（ds，dx）<+∞.最后，为了证明limt→∞Rctt=0（P- a、 我们应用定理9p。142-143英寸[22]。由于RCI是连续的，定理告诉我们∞（1+s）-2dhRcis<∞. 但是，这是假设。So限制→∞^Rtt=D，根据定理1，如果D<0，我们得到所有y>0thatP（τ（y）<∞) = 1.在R为L'evy过程的情况下，上述命题中的假设大大简化，并对应于[29]中的条件（在略有不同的可积性假设下）。推论2。假设R是一个具有三重态（aR，σR，νR）的L'evy过程。假设Xt=aXt+σXWt，对于所有t≥ 0，带aX≤ 0，σX≥ 0且X+σX>0。