风险资产为A时投资的破产问题

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英文标题：
《On The Ruin Problem With Investment When The Risky Asset Is A
  Semimartingale》
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作者：
Lioudmila Vostrikova (LAREMA), J\\\'er\\^ome Spielmann (LAREMA)
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we study the ruin problem with investment in a general framework where the business part X is a L{\\\'e}vy process and the return on investment R is a semimartingale. We obtain upper bounds on the finite and infinite time ruin probabilities that decrease as a power function when the initial capital increases. When R is a L{\\\'e}vy process, we retrieve the well-known results. Then, we show that these bounds are asymptotically optimal in the finite time case, under some simple conditions on the characteristics of X. Finally, we obtain a condition for ruin with probability one when X is a Brownian motion with negative drift and express it explicitly using the characteristics of R.
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中文摘要：
在本文中，我们在一个一般的框架下研究了带有投资的破产问题，其中业务部分X是一个L{e}vy过程，投资回报率R是一个半鞅。我们得到了有限和无限时间破产概率的上界，当初始资本增加时，破产概率以幂函数形式减小。当R是一个L{e}vy过程时，我们检索已知的结果。然后，我们证明了在有限时间的情况下，在X的特征的一些简单条件下，这些界是渐近最优的。最后，我们得到了当X是负漂移布朗运动时，破产概率为1的条件，并用R的特征显式表示。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_The_Ruin_Problem_With_Investment_When_The_Risky_Asset_Is_A_Semimartingale.pdf (417.66 KB)

2022-6-10 05:34:46 上传

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关键词：破产问题 Applications Quantitative Differential Probability

风险资产为半鞅时的投资破产问题。斯皮尔曼（Spielmann）、拉雷马（LAREMA）、德马特·埃马提克（D’Department deMath’ematiques）、安格斯大学（Universit’e D’Angers），2、Bd Lavoisier49045、安格斯Cedex 01L。Vostrikova、LAREMA、D’epartment deMath’ematiques、Universit’e D’Angers、2、Bd Lavoisier49045、Angers Cedex 01摘要。本文在一般框架下研究了投资破产问题，其中业务部分X是一个L'evyprocess，投资回报率R是一个半鞅。我们得到了当初始资本增加时，作为幂函数减小的有限和有限时间破产概率的上界。当R是L'evy过程时，我们检索已知结果。然后，我们证明了在某些简单条件下，这些界在有限时间的情况下是渐近最优的。最后，当X是负漂移布朗运动时，我们获得了概率为1的破产条件，并使用R.MSC 2010主题分类的特征明确表示：91B30（primary），60G99，65C301。保险公司破产概率的估计是市场主体面临的一个基本问题。在他的开创性论文[9]中，Cram'er使用带漂移的复合泊松过程对保险公司的价值进行建模，并表明，在该过程参数的某些假设下，破产概率至少作为初始资本的指数函数降低。随着时间的推移，复合泊松过程已被更复杂的模型所取代。在第一个推广中，公司的价值由L'evy过程建模，然后破产概率的行为本质上类似于L'evy测度的尾部，在轻尾情况下，这意味着该概率至少以指数函数的形式降低（参见破产问题[1]、[19]、[2]、[21]和[37]）。

进一步概括而言，可以假设保险公司将其资本投资于金融市场。那么，主要的问题是：在这种额外的风险源下，破产的概率是如何变化的？在此一般设置中，初始资本y>0的保险公司的价值，表示为y=（Yt）t≥0表示以下线性随机微分方程（1）的解Yt=y+Xt+ZtYs-dRs，适用于所有t≥ 0，其中X=（Xt）t≥0和R=（Rt）t≥0是在概率空间上定义的两个独立的一维随机过程(Ohm, F、 P）并选择使（1）有意义。在风险理论中，流程X代表业务活动的收益和损失，R代表投资回报。然后，主要问题是研究由τ（y）=inf{t定义的停止时间≥ 0 | Yt<0}带inf{} = +∞ T＞0之前破产概率的估计，即P（τ（y））≤ T）和最终破产概率（τ（y）<+∞). 文献[27]首次研究了这种一般情况下的破产问题。在描述我们的设置和结果之前，我们简要回顾了相关文献。对于所有t，当Rt=Rt，r>0时的特殊情况≥ 0（无风险投资）得到了很好的研究，我们参考了[31]和其中的参考文献，以了解主要结果。简而言之，在这种情况下，在一些附加条件下，破产概率的下降速度甚至超过指数，因为保险公司的资本不断增加。风险投资的案例也得到了很好的研究。

在这种情况下，一般假设X和R是独立的L'evy过程。该设置的第一个结果出现在【18】（随后出现在【39】）中，其中表明在某些条件下存在C>0和y≥ 0以便所有y≥ 对于某些b>0P（τ（y）<+∞) ≥ Cy公司-b、 从定性上讲，这意味着破产概率不能以幂函数的形式更快地递减，也就是说，退化速度比无投资情况下慢得多。后来，在X和R的L'evy三元组上的某些条件下，如[30]所示，对于某些β>0和 > 0，则破产问题3存在C>0，这样，作为y→ ∞,yβP（τ（y）<+∞) = C+o（y-).最近，在【16】中，证明了在L'evyTriples的不同假设下，当X没有负跳跃时，存在C>0，从而对于上述β>0 limy→∞yβP（τ（y）<+∞) = C、 关于P（τ（y）<+∞) 【18】中给出，其中表明 > 0，存在C>0，因此对于所有y≥ 0和相同的β>0P（τ（y）<+∞) ≤ Cy公司-β+.在不太常见的设置中，可以获得类似的结果。文献[13]（仅负跳跃）和文献[17]（仅正跳跃）研究了Xis是具有漂移和指数跳跃的复合泊松过程，Ris是具有漂移的布朗运动的情况。在[32]中，负跳跃模型被推广到X的漂移是有界随机过程的情况。最后，在具体模型中可以得到最终破产概率的一些精确结果（参见[31]、[39]），并且在[13]、[16]、[17]、[18]、[29]和[32]中给出了概率为1的破产条件，这些条件具有不同的一般性。本文的目的是通过将一些结果推广到R是半鞅的情况，并在这种一般的设置下获得关于有限时间破产概率的类似结果，为破产问题的研究做出贡献。

因此，在下面我们假设processesX=（Xt）t≥0和R=（Rt）t≥0是从零开始的独立一维过程，因此X是L'evy过程，r是半鞅。此外，我们假设Rdere的跳跃Rt=Rt-Rt公司-绝对大于-1，对于所有t>0。我们用（aX，σX，νX）表示L'evy过程X的生成三元组，其中aX∈ R、 σX≥ 0和νXis是L'evy度量。我们记得，生成的三元组通过特征函数φXof Xt表征了X定律（参见[36]中的p.37）：φX（λ）=expt型iλaX-σXλ+ZR（eiλX- 1.- iλx1{| x|≤1} ）νX（dx）4关于破产问题，其中L'evy测度νXsatis fieszrmin（x，1）νx（dx）<∞.众所周知，过程X可以写成：Xt=aXt+σXWt+ZtZ | X|≤1x（uX（ds，dx）- νX（dx）ds）+ZtZ | X |>1xuX（ds，dx），（2）其中uXis是X和W跳跃的度量，是标准布朗运动。我们记得一个半鞅R=（Rt）t≥0也可以通过其半鞅分解来定义，名称Ryt=Bt+Rct+ZtZ | x|≤1x（uR（ds，dx）- νR（ds，dx））+ZtZ | x |>1xuR（ds，dx），（3）其中B=（Bt）t≥0是漂移部分，Rc=（Rct）t≥0是R的连续鞅部分，uRis是R跳跃的度量，νRis是其补偿器（有关这些概念的更多信息，请参见[15]第2章）。众所周知，方程（1）有一个唯一的强解（参见[28]中的定理11.3）：对于t>0（4）Yt=e（R）ty+ZtdXsE（R）s-其中E（R）是多尔-戴德指数，E（R）t=expRt公司-hRcit公司Y0<s≤t（1+Rs）e-Rs（有关Dol\'eans-Dade指数的更多详细信息，请参见第1章，§4f，第58页[15]）。

那么破产时间就是（5）τ（y）=inft型≥ 0ZtdXsE（R）s-< -y因为E（R）t>0，对于所有t≥ 0，这最后一个事实来自假设Rt>-1，对于所有t≥ 0.关于破产问题5在本文中，我们证明了有限水平T>0时τ（y）的行为强烈依赖于T处指数函数的行为，即T=ZTe的行为-^Rsds和JT（α）=中兴通讯-α^rsds，其中α>0且^Rt=ln E（R）t，对于所有t≥ 0，以及在有限的水平面上∞=Z∞e-^Rsds和J∞（α） =Z∞e-α^RSD。为方便起见，我们表示JT=JT（2）和J∞= J∞(2). 更准确地说，定义βT=supnβ≥ 0:E（Jβ/2T）<∞, E（JT（β））<∞o、 我们证明了以下定理。定理1。让T>0。假设βT>0，对于某些0<α<βT，我们有（6）Z | x |>1 | x |ανx（dx）<∞.然后，对于所有y>0，P（τ（y））≤ T）≤CE（IαT）+CE（Jα/2T）+CE（JT（α））yα，其中右侧的期望值为有限和C≥ 0，C≥ 0和C≥ 0是以显式方式仅依赖于α的常数。该定理将破产概率与X的L'evy测度的尾部和过程R的指数泛函联系起来，这是一个很好的研究对象。它还给出了nr属于半鞅类的情况的第一个结果，以及R是aL'evy过程的情况作为特例恢复。这可以用来研究当资产具有随机波动性或投资于具有随机利率的无风险资产时的破产概率。就我们所知，定理1也是由形式（1）的方程给出的过程在有限时间之前破产的第一个结果，即使R是一个L'evyprocess。6关于破产问题，从定理1中，我们可以很容易地得到关于终极概率的类似结果。

定义β∞= 啜饮β ≥ 0:E（Iβ∞) < ∞, E（Jβ/2∞) < ∞, E（J∞(β)) < ∞.那么，既然≥0，（Jt）t≥0和（Jt（α））t≥0在增加，我们得到，让T→ ∞ 并利用单调收敛定理和定理1的上界，得到以下推论。推论1。假设β∞> 0和（6）保持约0<α<β∞, thenP（τ（y）<∞) ≤CE（Iα∞) + CE（Jα/2∞) + CE（J∞（α） ）yα，其中C≥ 0，C≥ 0和C≥ 0是仅以显式方式依赖于α的常数。我们可以显示，当βT≥ 在X的L'evy三元组上的一些简单条件下，定理1中的界在下面给出的意义上是渐近最优的。定理2。让T>0。假设1≤ βT<∞ E（IβTT）=+∞. 此外，假设z | x |>1 | x |νx（dx）<+∞（7）aX+Z | x |>1xνx（dx）<0或σx>0。然后，对于所有δ>0，存在一个正数值序列（yn）n∈9增加到+∞ 这样，对于所有的C>0，就存在n∈ N所有N≥ n、 P（τ（yn）≤ T）≥CyβTnln（yn）1+δ。此外，如果（6）满足所有α<βT，则lim supy→∞ln（P（τ（y））≤ T）ln（y）=-为了完成我们对这种情况下破产问题的研究，我们在上一个结果中给出了当X是负漂移布朗运动时，概率为1的破产的一个充分条件。关于破产问题7命题1。假设Xt=aXt+σXWt，对于所有t≥ 0，带AX≤ 0，σX≥ 0且aX+σX>0。也假设limt→∞^Rtt=u<0（P- a、 s.）。然后，对于所有y>0，P（τ（y）<∞) = 1、论文的其余部分结构如下。在第二节中，我们指出了关于半鞅指数泛函的已知结果，给出了求β和β的一种简单方法∞在R是L'evyprocess的情况下，将其应用于一些示例。在第3节中，我们证明定理1，在第4节中，我们证明定理2。在第5节中，我们证明了定理1，并得到了关于R的特征具有极限的显式条件→∞^Rtt<0（P- a、 s.）。

最后，我们还表明，当R是L'evy过程时，这对应于已知结果。2、半鞅的指数泛函半鞅（特别是L'evy过程）的指数泛函得到了很好的研究。动量存在的问题∞当R是从属项时的公式在[6]、[10]和[34]中考虑。在R是L'evy过程的情况下，I定律密度的存在性问题∞, [2]、[3]、[4]、[5]、[7]、[11]、[12]、[14]、[20]、[25]、[26]和[33]研究了密度的偏微分方程和该定律的渐近性。在具有独立增量的过程的更一般情况下，【34】和【35】研究了矩的存在条件和矩的回归方程。[38]中考虑了此类泛函密度的存在性和相应的偏微分方程。这里，我们给出了关于β和β的不确定性的两个简单结果∞当R是L'evy过程时，将其应用于β和β的计算∞在一些例子中。然后，我们给出了一个R为加性过程的例子。首先，我们给出了指数变换^R=（^Rt）t的一些基本事实≥R的0，即通过（R）t=exp（^Rt）定义的过程。自（^Rt）=导出-hRcit+X0<s≤t（ln（1+卢比）- Rs）！8关于破产问题，我们得到^Rt=Rt-hRcit+X0<s≤t（ln（1+卢比）- 卢比）。当R是半鞅时，过程^R也是半鞅，且^R的跳数如下所示：^Rt=ln（1+Rt），对于所有t≥ 类似地，当R是L'evy过程时，过程R也是L'evy过程。提案2。假设R是一个L'evy过程。对于α>0和t>0，以下条件是等效的：（i）E（JT（α））<∞,（ii）R | x |>1e-αxν^R（dx）<∞,（iii）R∞-1{| ln（1+x）|>1}（1+x）-ανR（dx）<∞.证据

根据Fubini定理，我们得到（JT（α））=E中兴通讯-α^Rtdt=中兴通讯（e-α^Rt）dt。所以，E（JT（α））<∞ 等于E（E-α^Rt）<∞, 对于所有t≥ 0，根据[36]第159页的定理25.3，等于z | x |>1e-αxν^R（dx）<∞.然后，注意z | x |>1e-αxν^R（dx）=ZZ | x |>1e-αxν^R（dx）ds=EX0<s≤1e级-α^Rs{|^Rs |>1}！=EX0<s≤1(1 + 卢比）-α{| ln（1+Rs）|>1}=Z∞-1{| ln（1+x）|>1}（1+x）-ανR（dx）。关于破产问题，命题2允许我们计算一些标准的数学金融模型的βTin。示例1。假设^R由^Rt=a^Rt+σ^RWt+PNtn=0Yn给出，其中a^R∈ R、 σ^R≥ 0，W=（Wt）t≥0是标准布朗运动，N=（Nt）t≥0是一个泊松过程，速率γ>0，且（Yn）n∈Nis是iid随机变量序列。此外，假设所涉及的所有进程都是独立的。如果用于（Yn）n∈Nwe用E（E）取iid随机变量的任意序列-αY）<∞, 对于所有α>0，则βT=+∞. 如果用于（Yn）n∈Nwe用e（e）取iid随机变量序列-αY）<∞, 当α<α时，对于某些α>0，E（E-αY）=+∞,那么βT=α。示例2。假设^R是具有三重态（a^R，σ^R，ν^R）的L'evy过程，其中a^R∈ R、 σ^R≥ 0和ν^Ris由ν^R（dx）给出的R上的度量=C | x|-（1+α）e-λ| x |{x<0}+Cx-（1+α）e-λx{x>0}dx，其中C，C>0，λ，λ>0，α，α<2。本规范包括特殊情况下的Kou、CGMY和方差伽马模型（参见第4.5节第119页[8]）。我们将证明如果λ≥ 2，则βT=λ。注意，使用命题2和变量y的变化=-x、 我们看到E（JT（α））<∞, 对于α>0，等于toCZ∞y-（1+α）e-(λ-α） ydy+CZ∞x个-（1+α）e-（α+λ）xdx<∞.但是，第一个积分在α<λ时收敛，在α>λ时发散，第二个积分始终收敛。现在，如果α≥ 2，很容易显示e（JT（α））<∞ 意味着E（Jα/2T）<∞ （参见下面的引理1）。因此，如果λ≥ 2，我们有βT=λ。我们现在给出一个例子，当R不是L'evy过程时。示例3。

假设L=（Lt）t≥0是一个具有三重态（aL，σL，νL）的L'evy过程，其中νLis假设为绝对连续的w.r.t.具有密度fL的Lebesgue测度。假设g是r上的确定的、正的、可测的平方可积函数。设Rt=Rtg（s-)dLs，适用于所有t≥ 那么，一般来说，R是一个具有独立但非齐次增量的过程。从[34]中的命题1和示例3可以看出，如果α≥ 2和（8）ZTZx<-1e级-αxg（s）νL（dx）ds<+∞然后E（JT（α））<+∞ 通过下面的引理1，E（Jα/2T）<+∞. 因此，α≤ βT.10关于破产问题命题3。假设L'evy过程R允许Laplacetransform，对于所有t≥ 0，即对于α>0E（exp(-α^Rt））=exp（tψ^R（α）），其拉普拉斯指数ψ^rha为严格正根β。那么下列条件是等价的：（i）E（iα∞) < ∞,（ii）E（Jα/2∞) < ∞,（iii）E（J∞(α)) < ∞,（iv）α<β。因此，β∞= β.证据注意，对于任何α>0和k>0，exp（tψ^R（α））=E（exp(-α^Rt））=E经验值-αkk^Rt= 经验值tψk^Rαk.因此，ψ^R（α）=ψk^Rαk, 对于所有α>0和k>0。然后，引理3in[33]得到了期望的结果。备注1。注意，拉普拉斯指数的根已被确定为P（τ（y）<∞) 在【30】中。利用命题3，我们可以计算β∞在两个重要的例子中。示例4。假设Rt=aRt+σRWt，对于所有t≥ 0，其中∈ R、 σR>0，W=（Wt）t≥0是标准布朗运动，则为^Rt=应收账-σRt+σRWt，对于所有t≥ 因此，我们得到ψ^R（α）=-应收账-σRα+σRα，根据命题3，β∞=2aRσR- 1、Weremark表示这与[13]和[17]中的结果一致。示例5。假设^Rt=a^Rt+σ^RWt+PNtn=0Yn，其中a^R∈R、 σ^R≥ 0和W=（Wt）t≥0是标准布朗运动，n=（Nt）t≥0是一个泊松过程，速率γ>0，且（Yn）n∈带E（E）的iid随机变量的Nis序列-αY）<∞, 对于所有α>0。此外，假设所有涉及的流程都是独立的。