连续无模型驱动的Lipschitz系数SDE

我们将假设如下：1。Aj=Aj，u-Aj，v，j=1，2，d、 和| A | j=Aj，u+Aj，v，| A|=Pdj=1|A | j1/2，其中Aj，u，Aj，v：[0+∞) × Ohm → R是从0开始的连续、非递减、自适应过程；2、K、F：[0+∞) ×研发部[0,+∞)× Ohm → Rd×d，K和F是非预期的，这意味着（a）对于任何t∈ [0, +∞), ω ∈ Ohm 两个f函数x，y：[0+∞) → Rd，K（t，x，ω）=K（t，y，ω）和F（t，x，ω）=F（t，y，ω），当x（s）=y（s）时，所有s∈ [0，t]；（b） 对于任何自适应的cádlág过程Y：[0+∞) × Ohm → rdkt（ω）：=K（t，Y（ω），ω），Ft（ω）：=F（t，Y（ω），ω）的过程是自适应的，cádlág；3、K和F满足条件（2）。对于进程Y：[0+∞) × Ohm → r我们通常写K（s，Y（ω），ω），而不是F（s，Y（ω），ω），我们通常写F（s，Y）。现在让我们定义一下（1）的解的含义。定义4。（1）的解是任何d维过程Y，使得存在一个非递减F-停止时间（τn）序列，该序列倾向于+∞ 对于所有ω∈ Ohm这样Y·∧τn（Y在τn时停止）是G的某些元素的代表，对于j=1，2，…，以下等式，d、 n个∈ N和任意t∈ [0, +∞) 保持：Yjt∧τn- Yj公司-^tKj（s，Yt∧τn）1[0，τn）（s）dAs=^tFj（s，Yt∧τn）1[0，τn）（s）dXs，（7），其中（7）左侧的积分被理解为通常的LebesqueStieltjes积分，而（7）右侧的积分被理解为3上的积分定义（根据Lipschitz假设（2），d维过程Fj（·，Y·∧τn），j=1，2，d、 属于（是某些元素的代表）G和in-tegrals的tFj（s，Yt∧τn）1[0，τn）（s）dxsar定义良好）。

（7）中的等式被理解为过程Yjt∧τn- Yj公司-'tKj（s，Yt∧τn）1[0，τn）（s）是H中同一等价类的代表，该等价类位于（7）的右侧。我们将使用p=1的BDG不等式的无模型版本和Picard\'siterative程序（以与[2]类似的方式使用）来证明以下定理。定理5。根据假设1-3、如上所述，积分方程（1）在定义4的意义上有一个解，该解是唯一的，因为对于任何两个解G和H，我们都有（G- H）*= 0，或，等效地，G=H w.i.e.备注6。定理5证明了（1）在定义4意义下解的存在性。当然，对于许多方程，例如一维Black-Scholes方程Yt=y+'tYsdAs+σ'tYsdXs（x，σ-确定性），我们可以显式地写出解Yt=yexp在-σ[X]t+σ（Xt- X）并使用（无模型）it^o公式验证其满足Black-Scholes方程（见【10】）。然而，对于更一般的方程，我们通常没有显式解，并且解的存在性并不明显。3.1定理53.1.1的证明存在性定义q=1/（3L），r=1/3CdL,θ：=inf{t≥ 0：| A | t≥ q} ，σ：=inft型≥ 0：最大值=1,2，。。。，dXj公司t型≥ r,θ= θ∧ σ和对于任何G in G定义甘油三酯t=Y+^t∧θK（s，G）dAs+^t∧θF（s，G）dXs=Y+^tK（s，G）1[0，θ）（s）dAs+^tF（s，G）1[0，θ）（s）dXs。让我们来看看∈ N

通过不等式^·∧θ∧σ（X，N）F（s，G）dXs！*≤dXi=1dXj=1^·∧θ∧σ（X，N）Fi，j（s，G）- Fi，j（s，H）dXjs公司*≤dXi，j=1^·∧θ∧σ（X，N）Fi，j（s，G）- Fi，j（s，H）dXjs！*（根据估算QPDI=1ai得出≤Pdi=1 | ai |），E的次加性，Lipschitz性质和BDG不等式，对于任何G，H∈ G我们估计甘油三酯- 真实航向*·∧σ（X，N）≤E^·∧θ∧σ（X，N）| K（s，G）- K（s，H）| d | A | s！*+dXi，j=1E^·∧θ∧σ（X，N）Fi，j（s，G）- Fi，j（s，H）dXjs！*≤E^·∧θ∧σ（X，N）L（G- H）*sd | A | s！*+ CdXi，j=1E^·∧θ∧σ（X，N）L（（G- H）*s） dXj公司s1/2≤EL（G- H）*·∧σ（X，N）| A|·∧θ+ CdXi，j=1EL（G- H）*·∧σ（X，N）Xj公司·∧θ1/2≤EL（G- H）*·∧σ（X，N）3L+ CdXi，j=1EL（G- H）*·∧σ（X，N）3CdL=E（G- H）*·∧σ（X，N）。（8） 我们还使用了G∈ G、 i，j=1，2，d、 Gi·Xjis是一个鞅（来自命题3），并且Gi·Xj='·地理信息系统d[Xj]开关。i、 e.，它通过简单的近似参数（另见[3，事实5.5]）从[3，事实5.1]开始。从（8）我们得到- 厚度∞,十、 loc公司≤公斤- 香港∞,十、 地址：。（9） By（9），kTGkG∞,十、 loc公司≤千克/千克∞,十、 loc<+∞. 现在我们将证明，TG是G中的一个阶跃过程的极限，从这个极限出发，它将遵循TG∈ G（TG是G元素的代表）。首先，注意G∈ 因此，它是d维阶跃过程的s等式Gn的极限（in G）∈ G、 n个∈ N、 按（9），kTGnkG∞,十、 loc公司≤kGnkG公司∞,十、 loc公司≤ 千克/千克∞,十、 对于足够大的n，对于每个步骤（因此，cádlág），过程Gn、K（s，Gn）和f（s，Gn）再次适应cádlág过程（假设2（b）），其可分别由给定精度ε>0的步骤过程kn和fn统一近似。例如，如果我们定义τn，ε：=0，fn，ε：=0和m∈ N \\{0}τN，εm：=inft>τn，εm-1： | Fnt- fn，εm-1|≥ ε, fn，εm=fnτn，εm，然后fn，εt：=P+∞m=1fn，εm-1[τn，εm-1，τn，εm）（t）在[0]上一致逼近fn+∞) 精度ε，这是支持的∈[0,+∞)|Fn，εt-Fnt公司|≤ ε. 积分'·∧θKndAsand'·∧θfndx是连续的。

我们还有估计^·∧θK（s，Gn）dAs-^·∧θKndAs*·∧σ（X，N）≤E^·∧θ∧σ（X，N）εd | A | s！*≤ εq，并通过BDG不等式估计^·∧θF（s，Gn）dXs-^·∧θFndXs*·∧σ（X，N）≤ CdXi，j=1E^·∧θ∧σ（X，N）εdXj公司s1/2≤ Cdεr。根据最后两个不等式，我们推断kTGn-Y-'·∧θKndAs-'·∧θFndXskG∞,十、 Loc可能尽可能小，因此tgn可以通过G中的连续过程以任意精度近似，因此TG也是一样的，因此TG∈ G、 现在我们知道，T可以看作是T:G的映射→ G、 其中（9）表示牵引。这种收缩有一个唯一的固定点Y，对于任何t∈ [0, +∞)满意度∧θ=Y+^t∧θKs、 Y型dAs+^t∧θFs、 Y型dXs，Next，在集合{ω上∈ Ohm : θ(ω) < +∞} 我们定义：=inf{t≥ 0：| A | t-|A |θ≥ q} ，σ：=inft型≥ 0：最大值=1,2，。。。，dXj公司t型-Xj公司θ≥ r,否则，我们定义θ=+∞. 接下来我们设置θ：=θ∧ σ、 并引入以下运算符T：，甘油三酯t： =年初至今∧θ+^t∧θt∧θK（s，G）dAs+^t∧θt∧θF（s，G）dXs。同样地，我们证明了T:G→ G、 这是一种收缩，有一个执行点Y∈ G、 此外，Yand Yagree在区间[0，θ]\\{+∞} 对于任何t∈ [0, +∞) 满意度∧θ=Y+^t∧θKs、 Y型dAs+^t∧θFs、 Y型dXs。同样，定义了θn，Tn:G→ G、 其固定点Yn，n=0，1。我们定义停止时间θn+1，并引入运算符Tn+1:G→ GTn+1Gt： =Ynt∧θn+^t∧θn+1t∧θnK（s，G）dAs+^t∧θn+1t∧θnF（s，G）dx及其固定点Yn+1，与间隔[0，θn]上的Yn一致\\{+∞} .最后，设置：=limn→+∞我们可以用任何t∈ [0, +∞) 和n∈ N、 Y满意度Y∧θn=Y+^t∧θnK（s，Y）dAs+^t∧θnF（s，Y）dXs。现在我们要证明limn→+∞θn（ω）=+∞ 对于所有ω∈ Ohm. 让我们注意到，对于任何T>0的不等式θn（ω）≤ T，n∈ N、 因此| A | T（ω）+[X]T（ω）≥最小值（q，r）·n。

因为| A |和[X]对于所有ω都是连续的∈ Ohm （我们选择[X]的这种版本），因此| A | T（ω）和[X]T（ω）对于所有ω都是有限的∈ Ohm 和ω ∈ Ohm : 画→+∞θn（ω）<+∞=+∞[N=1ω ∈ Ohm : 画→+∞θn（ω）≤ N+∞[N=1+∞\\n=1{ω∈ Ohm : |A | N（ω）+[X]N（ω）≥ 最小（q，r）n}！=.3.1.2一般情况下，我们不能保证∈ G、 因为我们不控制过程A的增长。然而，我们刚刚证明了它是定义4意义上的解决方案。现在，我们将证明任何两个这样的解都必须相等，即G和H是（1）的两个解，分别满足定义4的停止时间序列（γn）和（ηn）。让我们定义￠θ=θ∧ γ∧ η和TGt=Y+^t∧θK（s，G）dAs+^t∧θF（s，G）dXs。与（8）类似，我们证明了TG-第*·∧~θ≤E（G- H）*·∧~θ. （10） 另一方面，由于G和H是（1）的解，ETG·∧~θ- G级·∧~θ*= 0，E第·∧~θ- H类·∧~θ*= 0、从中我们得到G级·∧~θ- H类·∧~θ*= 0、下一步，定义θ=θ∧ γ∧ η,TGt=Gt∧θ+^t∧θt∧θK（s，G）dAs+^t∧θt∧θF（s，G）dXs。和我们得到E之前的推理类似G级·∧~θ- H类·∧~θ*= 类似地，对于|θn=θn∧γn∧ηnwe getEG级·∧θn- H类·∧θn*= 0.自|θn（ω）→ +∞作为n→ +∞ 对于所有ω∈ Ohm, 我们有- H）*≤+∞Xn=1EG级·∧θn- H类·∧θn*= 0.确认。Lesiba Ch.Galane和Farai J.Mhlanga的工作部分得到了南非国家研究基金会的支持（授权号：105924）。RafalM.Lochowski的工作部分由波兰国家科学中心提供资金，批准号为2016/21/B/ST1/01489和GrantNo。2019/35/B/ST1/042。这项工作的一部分是在R.M.L的时候完成的。当时正在参观林波波大学。感谢林波波大学的热情好客。作者感谢Vladimir Vovk和Adam Osekowski提出的宝贵问题和评论。参考文献【1】D.Bartl、M.Kupper和A.Neufeld。

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