连续无模型驱动的Lipschitz系数SDE

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英文标题：
《On SDEs with Lipschitz coefficients, driven by continuous, model-free
  price paths》
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作者：
Lesiba Ch. Galane, Rafa{\\l} M. {\\L}ochowski and Farai J. Mhlanga
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Using similar assumptions as in Revuz and Yor\'s book we prove the existence and uniqueness of the solutions of SDEs with Lipschitz coefficients, driven by continuous, model-free price paths. The main tool in our reasonings is a model-free version of the Burkholder-Davis-Gundy inequality for integrals driven by model-free, continuous price paths.
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中文摘要：
使用与Revuz和Yor的书中类似的假设，我们证明了具有Lipschitz系数的SDE解的存在性和唯一性，由连续的、模型自由价格路径驱动。我们推理的主要工具是由无模型连续价格路径驱动的Burkholder-Davis-Gundy积分不等式的无模型版本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：lips PSC IPS Hit SDE

在Lipschitz系数的SDE上，由连续、无模型的ma r tingalesLesiba Ch.Galane驱动*, RafalM.Lochowski+和Farai J.Mhlanga2022年2月15日摘要我们证明了在连续无模型鞅驱动下，具有Lipschitz系数的SDEs解的存在性和唯一性。我们推理的主要工具是Picard迭代程序和Burkholder-DavidGundy不等式的无模型版本，该不等式用于无模型连续鞅驱动的积分。我们使用了一种新的外部度量方法，它将零值精确地分配给那些可立即阻止的属性。本文的主要目的是证明由连续无模型鞅驱动的微分方程解的存在唯一性。格伦·谢弗（GlennSchafer）和弗拉基米尔·沃夫（VladimirVovk）[6]在最近的一本书中介绍了连续的、无模型的鞅。粗略地说，无模型鞅是表示由多个金融资产集组成的动态投资组合价值演化的过程；它们与模型自由价格路径（代表由一项资产组成的静态投资组合的价值）相关。典型的无模型价格路径是代表金融资产价格演变的过程，这些金融资产不允许通过小额风险和交易这些资产来获得固定财富。从Vovk[7]、[8]、[9]、[10]的开创性工作中，众所周知，典型模型自由价格路径揭示了局部鞅的许多性质。连续价格路径的情况比cádlág路径的情况要好得多。然而，即使在连续的、模型自由价格路径的情况下，仍有许多主题需要更好地理解。其中一个主题是由此类路径驱动的微分方程s解的存在性和唯一性。

文献[1]证明了这一方向的结果，即使对于希尔伯特空间值过程也是如此。在里面*林波波大学+华沙经济学院林波波大学[1]作者假设，与我们在这里所做的类似，微分方程的系数是Lipschitz连续的，但他们还假设了坐标过程的二次变化过程的一些增长条件，见[1，第2节，备注2.7]。另一篇相关的论文是[4]，其中证明了由典型路径驱动的一维微分方程的存在性和唯一性结果，具有Yamada Watanabe精神下的非Lipschitz连续系数以及Doss Sussmann精神下的近似结果。我们的方法不同。首先，我们方程的驱动过程是更一般的过程——无模型连续鞅。第二，我们使用即时强制执行的属性。粗略地说，它们是这样的财产，交易员（怀疑论者）一旦持有，就能够变得非常富有，参见【6，第14章】和下一节。在本文中，我们将考虑由连续的、无模型的、实鞅X，X。Xd：[0+∞) × Ohm → R： Yt（ω）=Y（ω）+^tK（s，Y（ω），ω）dAs+^tF（s，Y（ω），ω）dXs（ω），（1）其中A：[0+∞) × Ohm → RDI是一个连续的、适应的、有限的变化过程，Xis是坐标为X、X、X的向量值过程。Xd，X=十、 X。

除息的,K，F：[0+∞) ×研发部[0,+∞)× Ohm → Rd×dare非预期（第3节给出了非预期泛函的定义和所有假设的正式陈述）、矩阵值和Lipschitz，即存在≥ 0，以便所有∈ [0, +∞), x、 y：[0+∞) → Rdandω∈ Ohm|K（t，x，ω）- K（t，y，ω）|+| F（t，x，ω）- F（t，y，ω）|≤ L sups公司∈[0，t]| x（s）- y（s）|，（2），其中|·|表示RN中的欧几里德范数，n=d×d在（2）的左侧，n=d在（2）的右侧，例如：| K（t，x，ω）- K（t，y，ω）|=Pdi，j=1Ki，j（t，x，ω）- Ki，j（t，y，ω）1/2.方程（1）可以写成积分方程组：对于j=1，2，d、 Yjt（ω）=Yj（ω）+dXi=1^tKi，j（s，Y（ω），ω）dAis+dXi=1^tFi，j（s，Y（ω），ω）dXis（ω）（3）或等效地，Yjt（ω）=Yj（ω）+^tKj（s，Y（ω），ω）dAs+^tFj（s，Y（ω），ω）dXs，其中'tKj（s，Y（ω），ω）dAs=Pdi=1'tKi，j（s，Y（ω），ω）dAis，Kj（s，Y（ω），ω）=Ki，j（s，Y（ω），ω）i=1,2，。。。，D F使用类似的符号。（3）中第一个和中出现的积分被理解为标准Lebesgue Stieltjes积分，而第二个和中出现的积分则是无模型It^o积分，将在下一节介绍。条件（2）符合我们的目的。【5，第九章，第二节】中使用了相同的条件，但与【1】中使用的条件不同。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将介绍必要的定义、符号和工具（如无模型BDG不等式）。在最后一节中，我们应用这些工具和Picard的迭代过程（以与[2]类似的方式使用）来证明（1）的解的存在性和唯一性。2定义、符号和辅助结果首先，我们概述了我们将在其中工作的一般环境，并紧随其后[6，第14章]和[3]。N={0，1，2。

.} 是正整数和b，d的集合∈ N \\{0}。我们将使用一个五重鞅空间Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，J={1，2，…，b}，Sj，j∈ J以下对象中：Ohm 是现实可能结果的空间，F是Ohm 我们称之为事件，F=（Ft）t≥0是一种过滤，并且Sj，j∈ J=S、 S。某人是基本连续马丁大风的一个族，即对于任何t∈ [0, +∞)和j∈ J、 Sjtis a（Ft，B（R））-可测实变量Sjt：Ohm → R使得对于每个ω∈ Ohm 轨迹[0+∞)  t 7→ Sjt（ω）是连续的（B（R）表示R的Borel子集的σ域）。在本文中，过滤F是固定的，此外，我们假设F是微不足道的，F={, Ohm}, 因此，所有（F，B（R））-可测变量Sj，j∈ J、 是确定性的。实际进程X：[0+∞) × Ohm → R是实数变量Xt的集合：Ohm → R、 t型∈ [0, +∞), 使得Xtis（Ft，B（R））-可测，因此我们考虑的所有过程都适用于F。一个d维实过程Y是一个d元组Y、 Y，Yd码实际进程Y，Y，Yd.A进程Y：[0+∞)×Ohm → R∪{-∞, +∞} = [-∞, +∞], 是扩展变量Yt的集合：Ohm → [-∞, +∞], t型∈ [0, +∞), 使Ytis（Ft，B([-∞, +∞]))可测量（B中的任何一组([-∞, +∞]) 形式为A、A∪ { -∞}, A.∪ {+∞} orA公司∪ {-∞, +∞}, 其中A∈ B（R））。d维过程Y是d元组Y、 Y，Yd码进程Y，Y，Yd.广义过程是任意函数Y：[0+∞) × Ohm → [-∞, +∞].对于任何广义过程Y，我们定义其上确界过程Y*, 这是一个易于定义的通用流程*t（ω）：=sup0≤s≤t | Yt（ω）|，其中我们表示Yt（ω）：=Y（t，ω）。广义过程Y是全局有界的i ff | Yt（ω）|<+∞ 对于所有（t，ω）∈ [0, +∞) × Ohm.在整篇论文中，我们应用了以下约定。实数an的序列，其中n=0，1，2。

., 由（an）或（an）和实数an序列表示，其中n=0，1，2。，表示为（an）或（an）n（不表示n在非负整数n集合上的范围）。类似的约定将适用于有限的停止时间序列、变量等。如果对于所有n，F-停止时间序列（τn）称为非递减∈ N andeachω∈ Ohm, τn+1（ω）≥ τn（ω）。如果F-停止时间序列（τn）是非递减的，则称为适当的，τ≡ 0和每个ω∈ Ohm 序列（τn（ω））发散到+∞ 或者有什么∈ 使得τN（ω）=τN+1（ω）=。∈ [0, +∞].一个简单的交易策略是三元组G=（c，（τn），（gn）），由初始资本c组成∈ R、 适当的F-停止时间序列（τn）和（Fτn，B（R））序列-可测实变量gn：Ohm → R、 n个∈ N、 当τN（ω）=+∞.对于简单的交易策略G=（c，（τn），（gn））和实际过程X:[0+∞) ×Ohm → R我们定义（G·X）t（ω）：=c++∞Xn=1gn-1(ω)Xτn（ω）∧t型- Xτn-1(ω)∧t型. （4） （对于s、t∈ [-∞, +∞] 我们定义∧ t=最小值{s，t}。）让我们注意到，由于序列（τn）是正确的，因此集水坑中只有有限数量的非零总和+∞n=1gn-1(ω)Xτn（ω）∧t型- Xτn-1(ω)∧t型出现在（G·X）t（ω）的定义中。我们定义了对应于向量G的简单资本过程=Gj公司j∈Jofsimple交易策略Gj，j∈ J、 as（G·S）t（ω）：=Xj∈J（Gj·Sj）t（ω）。

（5） s imple capital process有一个非常自然的解释——它是通过将简单交易策略gj应用于价格等于基本鞅Sj，j的资产而累积到时间t的资本∈ J、 非负超鞅的C类被定义为包含所有非负简单资本过程的最小lim infclosed类过程，即C包含所有非负简单资本过程，对于任何序列（Xn），Xn∈ C代表n∈ N、 我们有X：=lim infn→+∞Xnalso属于C.A财产E [0, +∞) × Ohm 即，如果存在一个非负的上鞅X s uch that X=1和（t，ω），则可以立即强制执行，或者可以立即强制执行/∈ E类==> Xt（ω）=+∞.即时可执行属性（集合）的补充称为即时可阻止。我们确定了代理化流程Y的上限预期（或超级对冲或超级复制的成本）：[0+∞) × Ohm → [-∞, +∞] 按以下方式：=inf{λ∈ R:十、∈ C使（t，ω）∈ [0, +∞) × Ohm, X（ω）≤ λ和Xt（ω）≥ Yt（ω）}和A [0, +∞) × Ohm 我们将其外部度量定义为P（A）=E1A。我们得到了以下结果（见[3，引理2.1]）。提案1。集合B [0, +∞) × Ohm 是可立即阻止的i f P（B）=0。除了非负超鞅类之外，我们将研究的另一类重要过程是鞅族。鞅类被定义为实过程的最小lim闭类，因此它包含所有简单资本过程。M是lim闭的，我们的意思是∈ M、 n个∈ N、 X是一个实过程，对于任何（t，ω）∈ [0, +∞) × Ohm,画→+∞sups公司∈[0，t]| Xs（ω）- Xns（ω）|=0 w.i.e.（6），然后也是X∈ M

条件（6）保证极限过程X是连续的w。i、 e.对于任何X∈ 存在由[X]表示的二次变化过程（s ee[3，命题4.3]），它是非递减和连续的w.i.e.（并且可以对所有ω采取非递减和连续的厌恶∈ Ohm), 对于任何p≥ 1以下BDG不等式成立（见【3，命题4.6】）：cpE【X】p/2≤ E（（X- X）*)p≤ CpE【X】p/2。在p>1的情况下，可以取Cp=6p（p- 1） p-1和cp=1/cp，而在cp=1的情况下，可以取cp=6和cp=1/3。到目前为止，我们还没有定义（3）中出现的积分。在[6]和[3]中，定义了关于无模型连续鞅的积分，但现在我们将定义更适合我们需要的积分。为此，让我们分别介绍空间G=Gx和H=HXof（等价类）d维过程和过程，并配备规范：kYkG∞,十、 地址：=∞XN=1-东北| Y|*·∧σ（X，N），kZkH∞,十、 地址：=∞XN=1-2NE | Z|*·∧σ（X，N），其中Y：[0+∞) × Ohm → [-∞, +∞]d、 | Y |=qPdi=1（Yj），我们定义σ（X，N）：=σ十、, N∧ σ十、, N∧ . . . ∧ σhXdi，N,其中，对于鞅X，σ（[X]，N）=inf{t≥ 0：[X]t≥ N} 。处理价值观+∞ 和-∞ 这可以通过G的某些元素Y的某些组成部分（代表）来实现。我们应用以下约定：+∞-(+∞ ) = 0和-∞ - (-∞) = 此外，设G=GXbe是G的线性子空间的闭包，由G形式的cádláG d维阶跃过程所平移=Gi公司i=1,2，。。。，d、 其中Git（ω）：=+∞Xn=1英寸-1（ω）1[τin-1（ω）、τin（ω））（t）和Gi=0,τ英寸,杜松子酒, i=1，2，d、 都是简单的交易策略。对于cádlágd维阶跃过程G，我们定义了简单积分过程asG·X=dXi=1Gi·Xi，其中Gi·Xi由（4）定义。除了Gi·XI，我们还将编写'·GISDXISANDI，而不是Gi·Xitwe还将编写“tGisdXis”。备注2。

更合适的表示法（与S tieltjes积分一致）表示（5）中定义的简单资本过程和定义的简单积分，应为G-· S和G-· 分别为X。类似地，（1）中更合适的表示法是'（0，t）K（s-, Y（ω），ω）dAsand'（0，t）F（s-, Y（ω），ω）dXs（ω），但我们不会使用它来与[6]和[3]中使用的符号保持一致。在续集中，我们还将使用一个事实，即对于一个简单的交易策略，G，[G·X]='·（Gs）d[X]sw。i、 e.，见【3，事实5.1】。提案3。空间G和H是Banach空间。两个过程是G i ffy=Yw中相同类别的代表。i、 e.，相当于| Y- Y |=0。类似的声明适用于H中的进程。对于任何G∈ G是d维阶跃过程G的极限，H中存在N·X的极限，我们将G·X定义为该极限。此外，G·X在H中有一个代表性，它是一个鞅，这意味着G·X在H中的任何代表性都是amartingale。证据k·kG的证明∞,十、 确定一个指标，这两个过程是G i ffy=Yw中相同类别的代表。i、 e.，相当于e | Y-Y |=0，省略。为了证明完备性，设（Yn）是关于度量dG的柯西序列∞,十、 正常k·kG引起的LOC∞,十、 地址：。设（dk）为正实的任意序列，使得+∞k=1dk<+∞. 存在一个子序列（Ynk），使得对于n≥ nk，n，k=1，2。一个有dG∞,十、 loc（Yn，Ynk）≤ 丹麦。

TakingY：=lim infl→+∞Ynl，代表n≥ nkwe getdG公司∞,十、 loc（Yn，Y）≤ dG公司∞,十、 loc（Yn，Ynk）++∞Xl=kdG∞,十、 loc（Ynl，Ynl+1）≤ 丹麦++∞Xl=kdl，因此Y是序列的极限（Yn）（作为极限，也可以取lim supl→+∞Ynl）。同样，我们证明了H的完备性。对于两步过程gman和Gn，利用BDG不等式，我们估计了| Gm·X- Gn·X|*·∧σ（X，N）≤dXi=1E | Gm，i·Xi- Gn，i·Xi|*·∧σ（X，N）≤ CdXi=1E^·∧σ（X，N）总经理，i- Gn，isd公司xis1/2≤ CdXi=1E总经理，i- Gn，i*·∧σ（X，N）N1/2= CN1/2dXi=1E总经理，i- Gn，i*·∧σ（X，N）≤ CN1/2d·E（Gm- Gn）*·∧σ（X，N）≤ CN1/2d2NkGm- GnkG公司∞,十、 地址：。从上一次估计可知（Gn·X）是H中的一个Cauchy序列，自kgm·X起- Gn·XkH∞,十、 地址：=∞XN=1-2NE | Gm·X- Gn·X|*·∧σ（X，N）≤∞XN=1-2NCN1/2d2NkGm- GnkG公司∞,十、 loc=Cd∞XN=1-NN1/2！千克米- GnkG公司∞,十、 地址：。G·X是Gn·X在H中的一个极限，它是鞅。证明它在H中有代表性，H是鞅let（nk）kbe是所有自然数序列的任何子序列，使得M：=P+∞k=1kG·X- Gnk·XkH∞,十、 loc<+∞ andlet B [0, +∞) × Ohm 是（t，ω）的集合，其中（G·X- Gnk·X）*t（ω）9 0。Let（t，ω）∈ B和N∈ N为σ（X，N）（ω）≥ t、 我们有+∞Xk=1（G·X- Gnk·X）*σ（X，N）（ω）（ω）≥+∞Xk=1（G·X- Gnk·X）*t（ω）=+∞.因此，对于任何ε>0ε+∞Xk=1+∞XN=1-2N（G·X- Gnk·X）*σ（X，N）（ω）（ω）=+∞.另一方面，自从+∞Xk=1+∞XN=1-2N（G·X- Gnk·X）*·∧σ（X，N）≤+∞Xk=1E+∞XN=1-2N（G·X- Gnk·X）*·∧σ（X，N）=+∞Xk=1kG·X- Gnk·XkH∞,十、 loc=M<+∞,我们知道存在一个非负上鞅，它从一个不大于εM的资本开始，并达到值+∞ 由于ε是任意正实的，所以Bis是即时可阻塞的，这意味着G·X是鞅。3具有Lipschitz系数的SDE解的存在唯一性定理，由连续的无模型鞅驱动。在这一节中，我们证明了SDE（1）解的存在唯一性。