竞争激烈的经销商市场的流动性

为了便于记法，我们在这里不讨论这个问题。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2位置0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2价格变化图1：单个经销商（虚线）和众多经销商（实线）的最优清算策略（左图）和价格变化（右图）。参数为λ=0.1，ρc=ρd=0.1，T=1，ξc=-1，并且经销商在每种情况下都有一半的总风险承受能力。这意味着客户在时间t=0时进行大宗交易，以出售其交易目标的一部分，该部分等于其股份qcρcof总持有成本qcρc+qdρd。在开放的交易商间市场中，随着交易商逐渐转移头寸，他们随后继续以绝对连续的速度出售。因此，客户的最优交易路径类似于Obizhaeva和Wang模型中的theone，具有短暂的价格影响。绝对连续交易率由公开市场中的交易成本λ、交易商和客户在总风险承受能力中的份额以及通过常数, 由于交易成本低、风险承受能力低，以及大量的经销商，交易速度更快。图1的左面板对此进行了说明。现在让我们转向经销商市场的均衡价格。根据定理3.4（iii），St=Et【DT】-(R)ρEtZTt（美国）-ξs）ds= Dt+qcξcqcρc+qdρdZTtcosh(√（T- s） ）cosh(√T）ds=Dt+qcξcqcρc+qdρdsinh(√（T- t） （）√ cosh公司(√T）。对于希望清算交易商市场头寸（ξc<0）的客户，riskyasset的交易价格低于其预期股息。当客户清算其头寸时，交易商为向客户提供流动性而获得的相应正风险溢价。与客户的最佳头寸一样，价格偏离资产预期收益的短暂性由常数调节.

没有公开市场（λ=∞因此 = 0），价格影响是永久性的；随着公开市场的流动性越来越强，随着交易商迅速平仓，初始大宗交易的价格影响消失得越来越快。此外，如图1右侧面板所示，当经销商在经济体总风险承受能力中的比例固定时，经销商数量的价格影响正在减少。在本例中，由于客户的需求具有确定性，因此经销商市场中资产价格的波动仍然没有受到影响。在随后的随机需求示例中，这将有所不同。示例3.10（不同的交易目标）。探索潜在目标策略的另一端，如【26、35、12】所述，假设客户有“高频0.2 0.4 0.6 0.8 1t-0.4-0.20.20.40.60.81定位0.2 0.4 0.6 0.8 1t-0.4-0.20.4价格变化图2：左面板：模拟目标位置（蓝色）和相应的最佳位置指数化市场，其中有许多小经销商（橙色）和一个经销商（绿色），每种情况下的风险承受能力都是总风险承受能力的一半。右图：在众多小经销商（橙色）和单一经销商（绿色）之间进行均衡价格调整。参数为λ=0.1、ρc=ρd=0.1、T=1和σξ=1。交易需求”。这是由目标位置ξcfollowing Brownian motion with volatilityσξ模拟的。对于这样的鞅，我们有\'Ut=Ut（(R)ξ）=Ztk公司（s，t）ZTsk（s，r）qcξcsdrds=qc√ cosh公司√（T- t）Ztsinh公司(√（T- s） ）cosh(√（T- s） ）ξcs！ds。（3.7）因此，（3.5）中客户的最佳位置是一个凸面组合，凸面组合为一个光滑分量，Kct=qdρdqcρc+qdρdξct+qcρcqcρc+qdρd√ cosh公司√（T- t）Ztsinh公司(√（T- s） ）cosh(√（T- s） ）ξCSD。也就是说，客户直接执行其交易目标的一小部分，相当于经销商在总风险承受能力中的份额。

为了降低剩余风险，他们还以绝对连续的方式进行交易。这会逐渐将其与交易目标的剩余偏差拉向零，如动态Cdkct=F所示（t） （ξct- Kct）dt+qdρdqcρc+qdρddξct。这些交易策略如图2的左面板所示，该图显示，相对于其目标头寸，交易商的数量对客户的最佳头寸只有适度的影响。现在让我们来看看经销商市场中相应的均衡价格。根据上文3.4（iii），我们得到st=Dt+(R)ρEtZTt（(R)ξs-美国）ds.回顾（3.7）后，差异显示过程ξt-\'Uthas Ornstein-Uhlenbecktype动力学，d（\'ξt-\'\'Ut）=-F（t） （(R)ξt-\'Ut）dt+qcdξct。因此，价格调整-与预期终端股息相关的dt为ρEtZTt（(R)ξs-美国）ds=（(R)ξt-\'Ut）\'ρZTte-RstF公司（r） drds=（(R)ξt-\'Ut）\'ρZTtcosh(√（T- s） ）cosh(√（T- t） ）ds=F（t） （(R)ξt-“”Ut）ρ.差异反过来表明价格调整的动态是- Dt）=ρddtF公司（t）- F（t）（(R)ξt-Ut）dt+F（t）ρqcdξct=-ρ（ξt）-Ut）dt+F（t）ρqcdξct=-F（t） （St- Dt）Dt+F（t）ρqcdξct。价格偏差被拉向零，波动由客户交易目标驱动。远未到期（或在较大的流动性限额内），F（t）≈√ 因此，价格修正约为Ornstein-Uhlenbeck动力学：d（St- Dt）≈ -√（St- Dt）Dt+√qcqcρc+qdρddξc根据这一点，如果 对于流动性开放市场（小λ）以及许多或更多风险容忍剂而言，都是大的。

接近成熟期时，价格影响趋于零/F（t） 随着价格被拉向基本面，交易市场中的均衡价格将接近风险资产的外部终端收益，如图2右面板所示。随着客户需求的随机波动，不仅预期回报率，而且均衡价格的波动性也会相对于预期股息发生变化。上述计算表明，这种影响的大小取决于≈ σξqc/√ρ; 其标志又由预期股息与客户需求之间的相关性决定。如果这种相关性为正，即当预期的基本面上升时，客户的需求往往会增加，那么流动性不足（由流动性不足的公开市场和少数或风险规避者造成）会增加波动性。如果相关性为负，则符号反转。其解释是，需求压力和基本面冲击在第二种情况下部分起作用，而在第一种情况下，它们放大了价格波动。对于具有外生二次自重costson交易的市场，在Radner均衡中也出现了类似的比较静态[21]。3.3细分的影响我们现在讨论经销商和开放市场之间的细分影响。为此，我们考虑当客户进入公开市场时，他们的最优地位和福利是如何变化的。与前一节的讨论相比，这意味着他们在公开市场上的个人交易成本现在是有限的；为了简化标记，我们将重点放在它们消失的情况下，就像对于经销商一样（λa=0）。

然后，我们得到了η=（mc+md）M/λ，在综合市场中决定交易和均衡价格的相应参数大于第3.2节中考虑的细分市场，int=（qcρc+qdρd）λ（1+（mc+md）M）>（qcρc+qdρd）λ（1+mdM）=.现在让我们讨论一下这对我们的具体例子意味着什么。对于最优清算，定理3.4（i）和（iii）表明，客户在公开市场中的总最优头寸为kc，intt=qdρdqcρc+qdρdξc+qdρc- ρdqcρc+qdρd'Uintt，其中'Uintt=1-cosh公司(√int（T- t） ）cosh(√intT）！qcξc。因此，与细分市场相比，初始大宗交易保持不变。然而，客户随后通过参数在综合市场中建立了更大的头寸内部大于. 同样，可以证明，具有不同交易目标的客户也与经销商分享相同比例的布朗冲击，但如果他们自己可以直接进入公开市场，则会增加对公开市场的冲击。在相应的均衡价格动态中，清算模型中的初始价格影响消失得更快；对于不同的交易目标，价格影响更小，消失更快。最后，让我们讨论细分对客户福利的影响，通过他们的目标函数来衡量”（2.4）。

根据定理3.4（i，ii，iii），我们有jc，int=E“ZT”ρ（\'Uintt-ξt）Kc，intt-2ρc（ξct-\'\'Uintt- Kc、intt）- λ滴滴涕!dt#。类似地，我们还可以在客户无法进入公开市场的情况下计算目标函数的值，Jc=EZT公司ρ（Ut）-ξt）Kct-2ρc（Kct- ξct）dt公司.对于最优清算示例，我们有jc，int=- （ξc）ZTqcqd′ρcosh(√int（T- t） ）cosh(√intT）1+qc（ρd- ρc）(R)ρcosh(√int（T- t） ）cosh(√intT）+qcρc2′ρcosh(√int（T- t） ）cosh(√intT）！+λqcintsinh公司(√int（T- t） ）cosh(√intT）！dt。5 10 15 20M-0.7-0.6-0.5-0.4J图3：细分客户的福利（虚线）和整合市场中的客户福利（实线），有M个经销商和M个客户（qc=qd=1/2）。其他参数为λ=0.1，ρc=ρd=0.1，T=1，ξc=-1、初等积分依次给出jc，int=-（ξc）qc′ρtanh(√intT）√intqd公司+ρ -ρcqc4′ρ√intsinh（2√intT）+2√intTcosh公司(√intT）！- （ξc）λqc√intsinh（2√intT）- 2.√intTcosh公司(√intT）类似地，Jc=-（ξc）qc′ρZTcosh(√（T- t） ）cosh(√T）1-qcρc2′ρcosh(√（T- t） ）cosh(√T）！dt=-（ξc）qc′ρtanh(√T）√-qcρc2′ρsinh（2√T）+2√T√ cosh公司(√T）！。现在假设客户和经销商的数量很大（M→ ∞), 然而，各组在总人口中的比例保持不变（固定mc、MD，依次为qc、qd、ρ）。然后, 内景→ ∞= 1/(R)ρλ和in turnJcJc，int→tanh公司(√∞T）-qcρc2′ρsinh（2√∞T）+2√∞T4 cosh(√∞T）tanh(√∞T）qd+ρ -ρcqc4？ρsinh（2√∞T）+2√∞t现金(√∞T）+qcsinh（2√∞T）-2.√∞t现金(√∞T）=tanh(√∞T）-qcρc2′ρsinh（2√∞T）+2√∞T4 cosh(√∞T）tanh(√∞T）qd-qcρc2′ρsinh（2√∞T）+2√∞T4 cosh(√∞T）+qcsinh（2√∞T）cosh(√∞T）=1，单位为M→ ∞.（这里，我们在最后一步中使用了sinh（2x）=2 sinh（x）cosh（x），tanh（x）=sinh（x）/cosh（x），qc+qd=1。）这表明，在许多小客户和经销商的竞争极限下，细分造成的福利损失消失了，如图3所示。

也许令人惊讶的是，这表明，只要代理商中没有一家拥有强大的市场力量，市场细分就可以接近最优。定理3.4的证明定理3.4的证明。让我们∈ H、 （Ka，ua）∈ S×L，a∈ A、 保持任何平衡。很容易看到每个代理的目标功能Ja（K，u；\'u-a、 S）在（K，u）中是严格凹的∈S×L，因此其最大化子（Ka，ua）由所有方向导数消失的一阶条件唯一确定。特别是对于任何K∈ Swe必须有0=KJa（Ka，ua；u-a、 S）=EZTKtdAt+ZTρa（ξat- 凯特- Uat）Ktdt.只有当A与密度datdt=ut=ρA（Uat+Kat）绝对连续时，这才成立- ξat），0≤ t型≤ T、 a∈ A、 （A.1）求解Ka，我们发现Ka=ξA- Ua+ρau。（A.2）因此，在将∈ A、 市场清算条件KN+Pa∈Am（a）Ka=0意味着-KN=(R)ξ-‘U+’ρu，依次为（3.4）。个体最优的一阶条件还要求∈ 五十、 0个=uJ（Ka，ua；u-a、 S）=- EZUT公司λ′u-at+（2m（a）λ+λa）uat+EtZTtρa（Kas+Uas- ξas）dsdt公司.因为这个等式需要对任何扰动u保持不变∈ 五十、 相当于λ′u-at+（2m（a）λ+λa）uat+EtZTtρa（Kas+Uas- ξas）ds= 0, 0 ≤ t型≤ T、 回顾ηa=1/（m（a）λ+λa），u和（a.1）的定义，这意味着-ηaλ′ut+EtZTtusds, 0≤ t型≤ T、 （A.3）现在，我们在∈ A获得“ut=-ηλ′ut+EtZTtusds, 0≤ t型≤ T、 求解“u”，并使用已建立的关系（3.4）以及 = η/（(R)ρ（1+(R)ηλ）），我们发现ut=-Et公司ZTt公司\'美国- KNs公司-\'ξsds公司, 0≤ t型≤ T、 （A.4）因此，对（u，u）：=（\'u，u）求解X=KN+\'ξ的线性FBSDE（3.1）。Asthis FBSDE的唯一解为（u（十） ，U（十） ）从（3.2）中，这将“U”固定在（3.3）中，密度“U”如（A.4）中所示。从（A.3）中，我们推断每个个体代理人的策略ua∈ A、 是相同普适过程的倍数ηA=1/（m（A）λ+λA）。

因为“u=Pa”∈Am（a）ua，这意味着ua=ηa'η'u，因此，ua=ηa'η'u，如权利要求所述。此外，根据（A.2）和（3.4），我们观察到的Ua=ηA'η'U允许我们将每个代理商在经销商市场中的头寸写在表格（3.5）中。因此，平衡点的唯一候选点就是本定理中描述的平衡点。我们现在表明，上述战略和价格确实形成了一种均衡。为此，用（3.3）定义“U”，并且“U=ddt”U，以便（\'U，\'U）求解FBSDE（3.1）。Foreach公司a∈ A然后，候选均衡头寸由（3.5）给出，公开市场中的候选均衡交易率为ua=ηA？η？u。候选均衡价格为isS，风险溢价由（3.4）给出。很容易检查位置Ka、a∈ A、 确保市场清算。此外，Kais0=E中的一阶条件ZTKtutdt+ZTρa（ξat- 凯特- Uat）Ktdt, 对于所有K∈ S、 通过定义相应的漂移率u，候选人策略明显满足了这一点。使用Ka满足的一阶条件，通过与上述相同的推理，一阶条件等于（A.3）。后一种情况已经过验证，因为选择（\'u，\'u）作为FBSDE的解决方案（3.1）。目标函数的凹性确保了一阶条件的有效性，因此（Ka，ua）最大化了平衡所需的JAAS。B第3.1节的证明通过均衡的定义，每个经销商的优化标准isJa（Ka，ua；\'u，S）：=EZTKatdAt公司-ZTλ′utuat-2ρd（Kat+Uat）dt.与定理3.4的证明类似，在聚合所有代理后，UAI的一阶最优性条件为\'ut=-Mλρd（M+1）EtZTt公司\'美国- KNs公司ds公司, 0≤ t型≤ T、 因此，“u”是辅助最小化问题“ZTλut+Mρd（M+1）”的优化器KNt公司-Ztusdsdt#。（B.1）命题3.5的证明。将Mt=EthRTusdsiso设置为d（Dt- St）=dMt- utdt。

通过ε-Young不等式、Cauchy-Schwarz不等式和Doob极大不等式，对于所有可预测的H有界于1，我们得到了“sup0≤t型≤TZtHsd（Ds- Ss）#≤ 8E机器翻译+ 2T EZT |us | ds.再加上等式MT=RTusds和Cauchy-Schwarzinequality的第二个应用，它遵循“sup0≤t型≤TZtHsd（Ds- Ss）#≤ 8E“ZTusds#+ 2T EZT |us | ds≤ 10吨EZT |us | ds≤10T′ρEZT公司KNs公司-\'美国ds公司.因此，为了证明这个命题，有必要证明最后一项收敛到0asλ→ 集合{U=R.usds:U∈ 五十} 在L中密集，因此存在sequenceun∈ Lsuch that“ZTZtunds- KNt公司dt公司#≤n、 n=1，2。由于最小条件（B.1），我们有ZTMρd（M+1）（\'Ut- KNt）dt≤ E“ZTλ（unt）+Mρd（M+1）Ztunds- KNt公司!dt公司#≤λEZT（unt）dt+2ρdn。因此，E[RT（(R)Ut-KNt）dt]→ 0为λ→ 0，验证命题3.5中断言的第一个收敛性。为了建立第二个收敛结果，我们将BurkholderDavis-Gundy和H¨older不等式应用于obtainEZTKNt（dSt- 滴滴涕）≤ Esup0≤t型≤TZtKNsdMs+ Esup0≤t型≤TZtKNsusds≤ CE“ZT（KN）sdhMis1/2#+EZT | KNs | | Us- KNs | ds!≤ CE“sups∈[0，T]| KNs|hMi1/2T+ZT | Us- KNs | ds#!≤ CE“sups∈[0，T]| KNs |#1/2EZT美国- KNs | ds1/2.这里，C>0是一个常数，它可能会随着线的变化而变化，但不取决于λ。Lconvergence现在紧随其后，因为我们已经在上面验证过，最后一项收敛为0，为λ→ 引理的证明3.6。根据（3.4），（A.4）和分部积分公式（使用KN=(R)uT），我们得到了ZTKNTDDT-ZTKNtdSt=-λM+1MZTKNtd？ut=λM+1MZTuNt？utdt。（B.2）为了确定（3.6），必须证明zt |uNt- \'ut | dt=o（1），单位为Lasλ→ 0

（B.3）按部件集成和（3.2）给出uNt- \'ut=uNt+F（t） “”Ut-cosh公司(√（T- t） ）EtZTtcosh公司(√（T- s） ）KNsds= uNt- F（t） （KNt-“”Ut）-√Et“Zttish(√（T- s） ）cosh(√（T- t） ）uNsds#=uNt1-√Zttish公司(√（T- s） ）cosh(√（T- t） ）ds！- F（t） （KNt-“”Ut）+√Et“Zttish(√（T- s） ）cosh(√（T- t） ）（uNt- uNs）ds#。（B.4）现在，请注意√RTtsinh公司(√（T- s） ）dscosh(√（T- t） ）=1-cosh公司(√（T- t） ）。与（B.4）一起，可以得出KN-？满足线性ODEd（KNt-(R)Ut）dt=uNt- (R)ut=-F（t） （KNt-\'\'Ut）+w（t） +uNtcosh(√（T- t） ），（B.5），其中（t） =Et“ZTt√ 新罕布什尔州(√（T- s） ）cosh(√（T- t） ）（uNt- uNs）ds#。因为KN=(R)U=0，并且通过函数F的定义（B.5）的显式解是knt-(R)Ut=中兴通讯-RtsF公司（u） 杜邦ws+uNscosh(√（T- s） （）ds=Ztcosh(√（T- t） ）cosh(√（T- s） （）ws+uNscosh(√（T- s） （）ds。与（B.5）一起，它遵循Zt |uNt- \'ut | dt≤ supu公司∈[0，T]| wu | ZT1+√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）ds！dt+supu∈[0，T]|uNu | ZTcosh(√（T- t） （）+√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）ds！dt公司≤ supu公司∈[0，T]| wu | ZT1 +√中兴通讯-√（t-s） ds公司dt+supu∈[0，T]|uNu | ZT2e-√tdt+ZT√ZTssinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）DTD！≤ 2T supu∈[0，T]| wu |+√supu公司∈[0，T]|uNu |。（B.6）写入ω（δ）=supt，s∈[0，T]，| T-s|≤δuN（s）- uN（t）对于uN的连续模量，自t 7起→ uNtis在紧集[0，T]上连续，ω（δ）→ 0，a.s.为δ→ 0.（B.7）w的定义ω和变量的变化产生以下估计：| w（t） |≤Et公司ZTt公司√e-√（s）-t） ω（s）- t） ds公司≤Et公司Z∞e-uωu√杜邦:= Mt、 （B.8）此处，（Mt） t型∈[0，T]是每个 > 0自|ω（δ）|≤ 2个SUP∈[0，T]|uNs |可以通过假设进行积分。还请注意，通过定义连续模ω，映射 7.→ M每种t.definem的tis都在下降*:= lim公司→∞支持∈[0，T]Mt型≥ 0、修复 > 0