Beta、基准和击败市场

避免这种情况的一种方法是不使用（20）（γi=σi），而是按照以下步骤进行。首先，我们不是使用样本协方差矩阵Cij，而是通过单因素统计风险模型（30）对其进行建模（见fn.16）。C给出的Cijis的逆-1ij=σiσjeψ-1ij（33）eψ-1ij=eξiδij- qU（1）ieξiU（1）jeξj（34）q=“1/eλ（1）+NXk=1[U（1）k]/eξk#-1（35）LetH+={i | U（1）i≥ 0}和H+={i | U（1）i<0}。然后我们可以设置（这里γ是一个新的归一化常数，而κ是一个要固定的参数）βi=γσiU（1）i，i∈ H+（36）βi=κγσiU（1）i，i∈ H-（37）wi=等式U（1）iγσieξih1/eλ（1）+（1- κ） G级-i、 我∈ H+（38）wi=等式U（1）iγσieξihκ/eλ（1）- (1 - κ） G+i，i∈ H-（39）eq=h（G++κG-)/eλ（1）+（1- κ） G+G-我-1（40）克+=Xk∈H+[U（1）k]/eξk（41）G-=Xk公司∈H-[U（1）k]/eξk（42）然后，对于i∈ H-对于κ，我们有：wi<0*< κ ≤ 1.对于κ=κ，wi=0*;对于κ<κ，wi>0*. 这里是κ*=G+1/eλ（1）+G+（43）现在：i）N+=| H+|大大大于N-= |H-| （so G+~>1); 和ii）1/eλ（1）<< 1，那么相应的对κ的贡献*（43）中为转载。因此，κ*≈1.-1/G+eλ（1）非常接近1。此外，G+>> G-. 奇怪的是，假设G+/G-~ N+/N-. 然而，通常情况下，G+/G-比N+/N大得多-. 额外的偏差是由于平均负对相关的绝对值大大低于平均正对相关的绝对值。通常，U（1）II中的任何元素都不会精确为0。成对相关，这意味着i的平均值[U（1）i]∈ H-比平均值[U（1）i]低很多∈ H+，这反过来意味着i的平均ξi接近于1∈ H-比我∈ H+。那么，让κ=1-ζ/G+eλ（1）。对于ζ=1，我们有κ≈ κ*（直至转载更正）。对于ζ>1，i的wi>0∈ H-. 然而，如果我们取ζ>> 1，则i的平均权重wi∈ H-会比我高很多∈ H+。这意味着ζ~ 1.

然后我们有（至转帐更正）wi≈U（1）iγσieξiG+，i∈ H+（44）wi≈ -U（1）iγσieξiG+[ζ- 1] ，我∈ H-（45）因此，我们可以确定ζ=ζ的值*这样Wii的平均值（或中位数）在H+和H中是相同的-. 这样，这两组股票在基准中的平均权重或多或少相等，所有wi>0（且H中的βi<0-).这里有人可能会认为，ζ=2的解，其中wi≈ |U（1）i |/γσieξiG+，更自然（尽管平均重量wi，i∈ H-, 比重量还小∈ H+。然而，这里并没有定义ζ的灵丹妙药。在f act中，使用单个参数ζ进行参数化只是无数其他参数中的一种可能性。现在，关于ζ，它可以选择在（略高于）1和（略高于）ζ之间*如上所述。那么，问题解决了吗？嗯，不完全是。βi的微小变化（相对而言为1阶/G+eλ（1））导致基准权重的1阶变化，这一事实应该敲响警钟。罪魁祸首是，如前所述，在零近似中，我们有U（1）i≈ 1/√N、 这就是所谓的“市场模式”——ψij的第一个主成分对应于广义市场的整体运动（参见，例如，【Bouchaud和Potters，2011年】）。与U（1）i的偏差≈ 1/√n与具有不同βi/σi的不同股票相关。然而，在简单的1因素模型（30）中，非常不同的基准具有几乎相同的beta。为此，考虑权重wi=ωi/σi，其中0<ωi~ 考虑到eξiωi+eλ（1）U（1）iNXj=1U（1）jωj#（46），我们得到了βi=σiσF“eξiωi+eλ（1）U（1）iNXj=1U（1）jωj#（46）~ 1和λ（1）>> 1、对于fn中提到的数据集，由于特定风险而产生的第一项风险为。15，H+的中位数（平均值）相关性为0.214（0.239），而H-它是-0.136 (-0.165). H+中的中位数（平均值）[U（1）i]为2.40×10-4(2.99 × 10-4） ，而在H-为2.22×10-5(5.82 × 10-5).

中位（平均）eξiin H+为0.838（0.799），而H-它是0.985（0.961）。此外，G+=1.637，G-= 0.03919，andeλ（1）=674.35。对于fn中提到的数据集。15，ζ的值*根据中位数（平均值）计算得出的结果为6.988（6.18 1）。这反映了H+和H中股票之间的不对称性-如上所述。次级项和第二项占主导地位，因此我们有βi=σiσFeλ（1）U（1）iNXj=1U（1）jωjh1+O（1/eλ（1））i（47），因此，直到小的O（1/eλ（1））修正，βi与σiU（1）i成正比，而与ωi的单个值无关。因此，所有建造大于0的体操只是一种幻觉和自欺欺人的练习。有办法解决这个问题吗？使βA与βi显著偏离∝ σiU（1）i，我们可以尝试通过K因子统计风险模型包含更高的主成分：Cij=σiσjeψij（48）eψij=eξiδij+KXa=1eλ（a）U（a）iU（a）j（49）eξi=1-KXa=1eλ（a）[U（a）i]（50）这里K>1可以使用[Roy和Vetterli，2007]的eRank（有效等级）或其他一些方法来确定-详情参见[Kakushadze和Yu，20 17]。这种方法的一个“技术”问题是，确保wi>0变得更加混乱。一个更重要的概念性问题是，较高的主成分在样本外本质上是不稳定的。然后，使用此类模型构建的基准权重wi和betasβi继承了这种不稳定性。这不是一个富有成效的方向。3.2回到单因素模型虽然我们可以而且将考虑统计风险模型之外的多因素模型，但我们还没有完全完成单因素模型。让我们考虑一个一般的单因子模型：Cij=σiσjeψij（51）eψij=eξiδij+Ohm我Ohmj（52）eξi=1- Ohm我（53）先验地，我们只能要求Ohmi<1和Ohm否则我是武断的。

如果wetakeOhmi=βi/σi，straig-htforward代数给出i=ηβiξi（54）ξi=σieξi（55）η-1=NXi=1βiξi（56），这里ξ是协方差矩阵ix Cij中的特定方差（与前ξi相反，前ξi在相关矩阵ψij中是相同的量）。因此，在总体归一化fa cto rη之前，wi与βi/ξi成正比，这与我们假设Cij=ξiδij（尽管这一点一开始看起来很奇怪）得到的结果相同。换言之，我们似乎忽略了风险因素，只考虑特定（特殊）风险。然而，这个结果实际上并没有什么问题。重要的是，如果所有的βi>0，那么所有的wi>0.3.3解释权重（13）都是最大化基准k投资组合的预期收益率的解决方案，如果我们将βias视为我们股票的预期回报Ei：Ei=γβi（57），其中γ是一个非实质性的（f或我们这里的目的）总体或最大化因子。经验夏普比由S=σFNXi=1Eiwi（58）σF=NXi，j=1Cijwiwj（59）给出，最大化S w.r.t.wi，我们得到（13）到整体归一化因子。可通过要求Nxi=1wiβi=1（60）来解决后者，这是（13）和（14）的结果。现在我们可以用“市场模式”来理解上述问题。最大限度地提高夏普比率套期保值可以抵御大盘的崩盘（即所有或大部分股票同时抛售）。虽然在构建美元中性投资组合时，这是很自然的事情，但在构建只做多的投资组合时，这样做毫无意义。事实上，长期投资组合因定义而面临市场风险。对冲特定风险是有意义的，这相当于从Cij（在a1因子模型中）中扣除因子风险，并简单地取Cij=ξiδij，即将其视为我们只有特定风险。

因此，这里的教训是，我们必须消除“市场模式”。在这里，我们没有交易成本、边界或约束，因此最大化夏普比率等同于均值-方差优化【Markowitz，1952年】。例如，参见【Kakushadze，2015a】。不确切，但大致如此。然而，当N较大时，对于单因素模型（例如，基于（30）中的第一个主成分U（1）ias），1/N会抑制“错误边缘”[Kakushadzeand Yu，2017]。3.4多因素模型下一步，让我们讨论一般的多因素模型协方差矩阵Γij：Γij=ξiδij+KXA，B=1OhmiAφABOhmjB（61）此处：ξiis特殊（又称特质）风险；OhmiA，A=1，K、 是系数荷载矩阵；φAbi是因子协方差矩阵。就我们的目的而言，了解Γijis是如何构造的并不重要。这里重要的是：参与者的风险数量K<< N（K仍然可以是数百）；所有ξi＞0；φABispositive definite（然后so isΓij）；Γii=Cii（因此样本方差匹配）。使用ΓijΓ的逆-1ij=ξiδij-KXA，B=1OhmiAξiQ-1AB公司OhmjBξj（62）QAB=φ-1AB+NXi=1ξiOhmiA公司OhmiB（63）代替C-1ijin（13）和（14），我们有wi=σFξi[βi- Υi]（64）Υi=KXA，B=1Ohm室内空气品质-1AB∧B（65）∧A=NXj=1βjOhmjAξj（66）σF=“Θ”-KXA，B=1∧AQ-1AB∧B#-1（67）Θ=NXj=1βjξj（68）权重wi可重写如下。删除OhmiA=ξiOhmiA公司- βi∧AΘ（69）eΥi=KXA，B=1eOhm室内空气品质-1AB∧B（70）有关一般讨论，请参见，例如。，[格林诺德和卡恩，2000年]。关于基因ral多因子ris k模型的明确开源实施，请参见【Kakushadze和Yu，2016a】。简单代数的结果是wi的以下表达式：wi=βiΘξi- σFeΥi（71）注意（因此，我们有（60））NXi=1βieΥi=0（72），因此，假设所有βi>0，（71）中的第一项总是正的；然而，eΥ可以是负的（在这种情况下，Wii是正的）或正的，在这种情况下，wican是有益的。

一种看似“简单”的方法来确保所有wi>0都是Ohmi因此它们与βiNXj=1βj“正交”OhmjAξj≡ 0（73）在这种情况下，我们有∧A≡ 0安第斯≡ 然而，这是不可行的，因为先验（即在构建全风险模型之前）ξi未知，且依赖于OhmIAS高度非线性（详见[K akushadze and Yu，2016a]）。另一方面，推导确保wi>0（或至少wi）的条件也是不切实际的≥ 0）对于一般多因素模型。尽管如此，（73）有一个重要的解释：这只是要求风险因素与“市场模式”是“正交的”。事实上，我们可以反过来问：如果我们包括“市场模式”，会发生什么？对于单因素模型，我们已经知道了答案：如果我们将相应的因素负荷作为βi，那么因素风险不会影响权重wi。但对于一个多因素模型来说，情况更为棘手。那么，让我们假设Ohmi1=βi。然后我们可以始终旋转rOhmiA，A>1，使得∧A≡ 0表示>1。（并不是说这个旋转影响φAB。）我们有Ohmi1≡ 0，whileeOhmiA=OhmiA/ξIf或A>1。因此，我们有EΥi=ΘKXA=2eOhm室内空气品质-1A1（74）QA1=φ-1A1，A>1（75）So，如果φA1≡ 0表示A>1，那么对于A的这些值，我们还有φ-1A1≡ 0，QA1≡ 0和Q-1A1≡ 0，这意味着EΥi≡ 因此，正是“市场模式”和其他风险因素之间的非零相关性（即混合）使得eΥi6=0，这可能导致一些负wi。盘车设置φA1≡ 0对于大于1的特殊情况（与上述原因相同，这是不可行的），如果我们不排除“市场模式”，则没有简单的方法可以保证wi>0。可以肯定的是，正如前面所提到的，也没有切实可行的方法来证明这一点。然而，我们这里的观点是，不排除“市场模式”会进一步加剧这一问题。那么，我们在海上吗？不完全是。

我们只需要深入挖掘。3.5二元“集群”因子因此，在实践中，因子载荷不是任意的，而是相对受限的。因子加载s矩阵的列Ohm通常基于：i）行业分类（或其他聚类）；ii）风格因素（如规模、价值、流动性、波动性等）；和/或iii）主要成分。我们已经讨论了主要组件，稍后我们将再次讨论它们。我们还将回到风格因素。在此，我们重点关注基于“集群”的因素，这些因素可以基于基础行业分类或统计数据【Kakushadze和Yu，2016b】。首先，让σi=Ciibe为基于历史时间序列数据计算的总样本方差。我们有（见上文）Γii=σi。波动率σi具有一个倾斜的（大致对数正态）横截面分布，具有长尾f或更高的σi值。这就是为什么在实践中，与其通过因子模型直接建模CIJi，不如对样本相关矩阵ψij=Cij/σiσj进行建模，从中可以很好地计算出σi中存在的偏度。实际上，对角线元素ψii≡ 1，以及o f-对角线（即，沿方向的相关性）|ψij |<1（i 6=j）。就Γij的因子模型而言，这意味着Γij=σiσjbΓij（76）bΓij=bξiδij+KXA，b=1bOhmiAφABbOhmjB（77）bξi=ξi/σi（78）bOhmiA=OhmiA/σi（79）bξi+KXA，b=1bOhmiAφABbOhmiB公司≡ 1（80）材料r ixbOhmIa在σi中完全没有任何偏斜。这简化了很多事情。现在，让我们考虑一个模型，其中因子载荷bOhmi基于二进制行业分类：bOhmiA=OhmiδG（i），A（81）G：{1，…，N}7→ {1，…，K}（82）这里：N向量Ohmia先验是任意的；G将i（i=1，…，N）标记的股票映射到A（A=1，…）标记的“集群”。

，K）；每个集群包含且仅包含一个股票；J（A）={i | G（i）=A}是属于A标记的集群的股票集合；N（A）=| J（A）|是所述集群中的股票数量。集群可以是二元产业分类中的部门、行业或子行业。We有关详细信息，请参见【Kakushadze，2015c】、【Kakushadze和Yu，2016a】。例如GICS（全球行业分类标准）、BICS（彭博行业分类系统）、SIC（标准行业分类）等。在公共关系公司中，我们还可以将一些股票（企业集团，其数量通常相对较小）的准二元分类视为多个集群。我们不会这样做，也不会对我们的目的造成批评。那么havebξi=1- OhmiφG（i），G（i）（83），这意味着（通过定义，φabi是因子协方差矩阵，因此φAA>0）Ohmi<1/φG（i），G（i）（84）Ohmi、 我们基本上有三个选择。我们可以Ohmi=1/pN（A），i∈ J（A），即簇内载荷均匀。另一个选择是Ohmi=[U（A）]i，i∈ J（A），其中N（A）-向量【U（A）】是N（A）×N（A）矩阵【ψ（A）】的第一主成分ij=ψij，i，J∈ J（A）。最后，我们可以Ohm这是一个风格因素。一旦Ohm根据规定，可以计算因子协方差矩阵φAb和特定风险bξ。因此，在我们讨论了单因素情况之后，让我们Ohmi=βi/σi。然后straig-htforward代数给出i=σFβiξiγG（i）（85）ξi=σibξi（86）γA=1-KXB=1Q-1AB∧B（87）∧A=Xj∈J（A）βiξi（88）QAB=φ-1AB+λAδAB（89）σ-2F=KXA=1∧AγA（90），这里ξi是因子模型协方差矩阵Γij中的特定方差（与tobξi相反，它在相关矩阵xbΓij中是相同的量）。因此，（85）中的重要一点是，每个集群内的权重计算方法与单因素模型中的方法相同（即忽略因素风险）。

归一化因子γG（i）在每个簇内是均匀的，并且仅在簇之间变化。它们是通过优化K个集群的集群回报而产生的（见下文）。在这方面，它们不能保证是积极的。因此，如果我们假设不存在任何风险，那么二元风险模型的构建就是如此【Ka kushadze和Yu，2016a】。这是杂种优势结构【Kakushadze，2015c】【Kakushadze和Yu，2016a】。这就是杂种优势CAPM结构【Kakushadze和Yu，2016a】。“s型”因子可与βIIT自身相关（见下文）。更准确地说，取决于历史回溯，φAb可以通过因子回报的样本协方差矩阵来计算，或者其本身必须通过因子模型协方差矩阵来建模，因为样本因子协方差矩阵可能是奇异的或不稳定的。然而，对角线元素φaa始终与（适当定义和归一化）因子r的样本变量相同。参见【Kakushadze，2015c】【Kakus hadze和Yu，2016a】。团簇之间的混合，即pa ir因子相关性消失（φAB≡ 0，A 6=B），则γA=1/（1+φAA∧A）>0。在混合的情况下，我们可以得到一些负的γA。然而，相应簇中的所有γA也都是负的（假设所有βi>0）。这是优化clusterreturns的一个工件，它（大约）对冲了所有正在破产的集群。正如在单因素模型的情况下，对于仅长期投资组合来说，这样做是没有意义的。E、 例如，如果集群是一个部门，而我们的广泛基准包含所有部门的股票（每个部门本身都有很好的多样性），那么对冲所有部门的破产是没有意义的——根据定义，基准是所有部门。

从数学上讲，这可以理解为包含其自身“市场模式”（对应于所有部门的整体变动）的因子协方差矩阵，在计算基准权重wi时，必须将其消除。这可以通过a1因子模型对φAb建模看出。故事与上文相同，集群取代了股票。3.5.1示例：1-因子φAB为了说明上述讨论，为了达到我们的目的，这里需要考虑因子协方差矩阵的a1因子模型：φAB=ζAδAB+χAχB（91）直接代数，然后yieldsQ-1AB=νAδAB+κχAνAζAχBνBζB（92）νA=ζA+λA（93）κ=1+KXA=1χA∧A1+ζA∧A（94），所以我们有γA=κ-11+ζA∧A1-KXB=1；B6=AχAχB- 1.χB∧B1+ζB∧B！（95）对于通用χA（即|χA/χB- 1| ~ 1，B 6=A），一些γAcan可以为负值。考虑因素A=A*, χA*= 最大值（χA）。如果K>> 1，避免负γA*, 我们必须假设χB∧B/（1+ζB∧B）<< 1对于大多数B 6=A*. 如果，对于此类B，ζB∧B~>1，那么我们有χB/ζB<< 1和大多数成对簇关联都很小。相反，如果ζB∧B<< 1，则χB∧B<< 1和ζBOhm我<< 1和|χB|Ohm我<< i为1∈ J（B），所以，无意义地，集群内成对股票相关性BΓij=Ohm我OhmjφBB<< 1，i 6=j，i，j∈ J（B）。此外，如果所有ζA∧A<< 1，群内和群间成对股票相关性bΓij=Ohm我OhmjφG（i），G（j）<< 1，i 6=j，除非所有|χA |>> ζA，即，除非所有簇几乎100%（反）相关，否则无意义。也就是说，在（不切实际的）ζA∧A中<< 1极限值Γijis almo st对角线。3.5.2聚类权重S，我们如何计算它们是否为非负？我们可以通过看（95）来获得视力。让我们，特别地，把所有的χA统一起来：χA≡ χ. 然后我们得到γA=κ-11+ζA∧A（96）和所有γA>0。所以，对于非实质性的整体归一化因子，这与我们假设φABis对角线得到的结果相同，在这种情况下，我们得到γA=1/（1+φAA∧A）。