Beta、基准和击败市场

然而，这里φAbi不是对角线，在（96）中，我们有分母的特殊方差ζAin，而不是总方差φAA。这是因为我们有效地放弃了φAB中的“市场模式”（即事实风险）。什么是特定风险。那么，问题是，（96）的解释是什么？让我们从其他集群中独立地查看每个集群。我们可以使用t he1因子模型方法构建每个集群对应的股票范围的基准。这些权重由（见（54））[w（A）]i=ηAβiξi，i给出∈ J（A）（97）η-1A=Xj∈J（A）βJξJ=∧A（98）现在我们可以构建集群回报，即K个基准投资组合对应于K个集群的回报，viaRA=Xi∈J（A）[w（A）]iRi（99）由于（达到整体归一化因子）Ei=βi是股票的预期收益，因此集群的预期收益EA是EA≡ 1、如果我们构建一个由所有集群组成的“g全球”基准端口对账单，那么我们组合集群的相应权重为（标准化为pka=1wA=1）wA=uEAζA=ζuA（100）u-1=KXA=1EAζA=KXA=1ζA（101）此“全球”基准投资组合中的股票权重由wi=wA[w（A）]i=uζA∧Aβiξi，i给出∈ J（A）（102）这正好是（85），γAof的形式为（96），σF=uκ（见（90）），在ζA∧A的极限处>> 那么，问题是，（96）中额外的1是什么意思？为了理解这一点，让我们考虑相反的极限，其中ζA∧A<< 在这个极限中，成对股票相关性很小（见fn.30）。这意味着总风险近似等于特定风险，因子模型协方差矩阵近似对角线。因此，在这一限制下，集群的影响是可以忽略的，我们应该恢复单因素模型的结果（54）。这正是ζA∧A中发生的情况<< （90）中的1个极限为γA≈ 1/κa和ofA无关，所以（85）正确地减少到（54）。

对于中间值ζA∧A~ 1、（90）在两个极限之间平滑插值。这就是全面优化的目的，它平衡了股票特定风险和因素风险。唯一的“松散”是，在得出（9 0）时，我们假设一致χA≡ χ、 这导致γAthat naively可能与χ无关。然而，∧a依赖于bξi=1- OhmiφAA=1- Ohmi（ζA+χ），i∈ J（A）。此外，通过涉及因子回报时间序列的计算，ζ依赖于χ（φAB的1因子模型（91）中的因子负荷）（参见【Kakushadze，2015c】，【Kakushadzeand Yu，2016a】）。那么，前面提到的“宽松的结局”是：为什么χA≡ χ均匀？这是因为集群的预期回报是一致的：EA≡ 1（高达n个总体归一化因子）。因此，相应的因子betasβAare是均匀的：βA≡ b、 因此，根据我们在第3.2小节中的讨论，因子荷载OhmA相关矩阵ψAB=φAB/σAσB（其中σA=φAA）的1-fact r模型由下式给出OhmA=βA/σA，而协方差矩阵χA中的相应因子载荷=σAOhmAis简单χA=βA≡ b、 即，χAare均匀，χA≡ χ、 χ与b相同。请注意，虽然我们在这里的讨论可能显得有点“漫不经心”，但βa和χa的归一化并不是这样。这是因为，在a1因子模型中，因子负荷χAsubsumes 1×1因子协方差mat r ix，称之为ν。因此，因子模型（91）实际上是：φAB=ζAδAB+χ′AИχ′B（103），这里χ′Ais是原始（非标准化）因子负荷，χA=√νχ′A。因此，我们可以用βA来识别χ′A≡ b、 可以任意进行非标准化，然后将该非标准化包含在χAvia~n中，该值基于因子回归的时间序列计算，并取决于χ′A。

最终结果是我们的χA是一致的：χA≡ χ.3.5.3上述推广我们讨论了聚类因子协方差matr ixφAB的1因素模型。然而，我们可以将我们的结果推广到φAB的多因素模型，其中标记为A的K聚类可以进一步分组为F聚类（通常，F<< K） ，我们将用a标记，a=1，F这自然出现在二元基本产业分类中。E、 例如，在BIC（见上文）中，在最细粒度的层面上，我们有子行业，这些子行业被分组为行业，这些行业本身是组合的，除非所有的|χA |>> ζA.达到非实质性的整体归一化，即：κ显式依赖于χ。这种结构也出现在统计行业分类中【Kakushadze和Yu，2016b】。进入部门。这条链可以被认为是以最终分组为一个与（广泛的）“市场”相对应的单个集群而结束的。因此，上述单因素模型可以描述BICS行业，单因素负荷对应“市场”。或者，我们可以选择子行业或行业，为它们建立直接进入“市场”层面的1因素模型。然而，相反，我们可以建立多因素模型，例如，A标签子行业和A标签行业，或A标签子行业和A标签行业等。因此，这里的想法是，我们有一个φAB的事实r模型：φAB=ζAδAB+FXa，b=1χAaДABχBb（104）χAa=χAδS（A），A（105）S：{1，…，K}7→ {1，…，F}（106）这里：χAais a K×F factor loadings mat r ix；|abis an F×F F因子协方差矩阵；K向量χAis是先验任意的；S将A标记的K“子簇”映射到A标记的F“簇”，A=1，F每个集群包含且仅包含一个子集群；J′（a）={a | S（a）=a}是属于a标记的簇的子簇集。

直接代数给出：Q-1AB=νAδAB+χAνAζAχBνBζBκ-1S（A），S（B）（107）νA=ζA+λA（108）κab=Д-1ab+δabXA∈J′（a）χa∧A1+ζa∧a（109），所以我们有γa=1+ζa∧a“1-χAKXB=1χB∧B1+ζB∧Bκ-1S（A），S（B）#（110）按照上述逻辑，我们必须取一致的χA≡ χ. 然而，与κ是数字的1因子情况不同，这里我们有一个矩阵κab，它依赖于Дab的细节。考虑一个1因子模型：Дab=ρaδab+ωaωb（111），原因与χa的原因相同≡ χ是统一的，我们必须取统一的ωa≡ ω.这是在[Kakushadze，2015c]和[Kakushadze and Yu，2016a]中使用的[Kakushadze，2015b]的原始嵌套“俄罗斯n娃娃”嵌入。因此，我们将K个子簇分组为F簇。与（97）类似，我们可以构建对应于每个集群的子集群的基准（回想一下EA≡ 1） ：[w（a）]a=ηa/ζa，a∈ J′（a），其中η-1a=PA∈J′（a）ζ-2A。我们可以通过K子集群返回：Ra=PA来计算F集群返回nsraus∈J′（a）[w（a）]ARA。当集群预期返回时≡ 因此，统一ωa。同样，上述内容适用于非实质性的整体归一化。对于一致ωa，直接代数产生以下简单结果：γa=1+ζa∧A1+ρS（a）λS（a）1+τ（112）λa=χXA∈J′（a）∧A1+ζa∧a（113）τ=ωFXa=1λA1+ρaλa（114）注：由于χa和ωa是统一的，所以（112）中的f发生得很精确。3.6一般“俄罗斯玩偶”嵌入上述我们考虑了一个2级聚类方案。现在很明显，如何将其推广到任何P级聚类方案。我们有以下顺序：库存（0级）→ 一级集群→ 二级集群→ . . . → P级集群→ “市场”（级别-（P+1））。

这里的“市场”指的是N个股票的整个宇宙，可以被认为是上述序列中的最终单个集群。因此，BICS是一个三级行业分类（P=3），其中一级集群=BICS子行业，二级集群=BICS行业，三级集群=BICS行业。我们有以下嵌套的“俄罗斯玩偶”风险模型构造（此处l = 1.P）：Γ(l)A(l),B类(l)=hζ(l)A(l)iδA(l),B类(l)++K级(l+1） XA公司(l+1） ，B(l+1)=1Ohm(l)A(l),A(l+1)Γ(l+1） A(l+1） ，B(l+1)Ohm(l)B类(l),B类(l+1） （115）此处：A（0），B（0）=1，N标签STOCK（即，它们是上述符号中的指数i，j=1，…）；Γ（0）ij=Γij是股票的因子模型协方差矩阵（而[ζ（0）i]=ξi是相应的特定方差）；A(l), B类(l)= 1.K级(l),l = 1.P，标记标高-l 集群；Γ(l)A(l),B类(l), l = 1.P，是对应于水平的f系数矩阵-l 集群；t级-（P+1）我们有a（P+1）=B（P+1）=1（即，这些指数只对应于“市场”，因此我们有K（P+1）=1），我们可以让[ζ（P+1）]=Γ（P+1）>0（soΓ（P）a（P），B（P）是一个1因素模型），或者我们可以设置[ζ（P+1）]=Γ（P+1）=0（soΓ（P）a（P），B（P），让我们强调一下，与此不同对于股票，均匀因子负荷对于集群（例如，工业、服务器等）是合理的。这是因为集群是多样化的股票投资组合，与股票相比，波动率的偏差较小。

因此，在这方面，应避免非常多的购物中心集群。此外，上述序列中的最后一段“P级集群→ 如果需要，“市场”（级别-（P+1））”可以视为可选，也可以省略（见下文）。请注意，GICS（见上文）的P=4级。是诊断性的，即“0因素模型”）；最后，对于因子贷款Ohm(l)A(l),A(l+1） 我们有（这里，如上所述，βi是股票β）：Ohm（0）i，A（1）=βiδG（0）（i），A（1）（116）Ohm(l)A(l),A(l+1)= χ(l)δG(l)（A）(l)),A(l+1), l = 1.P（117）G(l): {1，…，K(l)} 7.→ {1，…，K(l+1)}, l = 0, 1, . . . , P（118）此处：G(l)是来自关卡的地图-l 群集到级别-(l + 1） 集群，l =0, 1, . . . , P“0级集群”=库存；K（0）=N；在一级-（P+1），我们有“市场”（单个“集群”）。基准投资组合权重由以下公式给出：wi=σFβiξiγG（0）（i）（119）γA（1）=P+1Yl=1.1+hζ(l)F级(l)（A（1））i∧(l)F级(l)（A（1））-1（120）F（1）（A（1））=A（1）（121）F(l+1） （A（1））=克(l)（F）(l)（A（1））=克(l)（G）(l-1） （…G（1）（A（1））…））（122）∧（1）A（1）=Xj∈J（0）（A（1））βJξJ（123）∧(l+1） A(l+1)=χ(l)XA公司(l)∈J(l)（A）(l+1))Λ(l)A(l)1+hζ(l)A(l)i∧(l)A(l)-1(124)σ-2F=K（1）XA（1）=1∧（1）A（1）γA（1）（125），此处：l = 1.P in（124）；集合J(l)（A）(l+1） ）={A(l)|G级(l)（A）(l)) = A(l+1)}; andF（P+1）（A（1））=1。基准权重（119）是我们的主要结果之一。3.7风险模型构建假设所有βi>0（和所有χ(l)> 0），我们可以构建所有积极的WI也就不足为奇了，因为mat r ixΓij包含所有积极的元素。因此，根据Perron-Frobenius定理[Perron，1907]，[Frobenius，1912]，所有V（1）i>0（或可以选择为所有V（1）i的符号，并且始终可以同时显示），其中V（1）i是Γij的第一个主分量。

然而，（119）不是基于一些随机正协方差（或相关）矩阵Γij的主成分。相反，这里我们构造了一个非随机、有意义的Γij，用于“任意”βi>0。此外，请注意，产品（120）中的系数对应于l = P+1实际上与A（1）相关，如果ζ（P+1）=0，则等于1（即，如果Γ（P）A（P），B（P）是“0因子模型”）。现在，这是一些合格的地方。很明显，βi必须与σi类似，其中σi=Γii=股票的样本方差。一、 e.，bβI=βI/σii预计不会出现偏差的量。否则，在相同的1级集群内，标记为σi大的A（1）股票，i∈ J（0）（A（1）），与其他股票的相关性较小。因此，在0级，我们有以下系数模型bΓij，用于相关矩阵bξij=σiσjbΓij（126）bΓij=bξiδij+bβiΓ（1）G（0）（i），G（0）（j）bβj（127）bξi=ξi/σi（128）bξi+bβiΓ（1）G（0）（i），G（0）（i）≡ 1（129）如【K akushadze，2015c】、【Kakushadze和Yu，2016a】所述，很难满足条件（129）。特别是，对于Bβiwa的一般值，我们必须使用[Kakushadze和Yu，20 16a]第4节的方法，其中我们有一些试验值bβ′i和与Bβ′ivia相关的实际值bβiAr是bβ′i和样本相关矩阵ψij的高度非线性组合。因此，将bβ′i与期望值bβi分离是不可行的。为了避免此类非线性的复杂性，我们可以使用[Kakushadze，2015c]，[Kakushadze and Yu，2016a]的杂合结构，其中bβi，i∈ J（0）（A（1）），由方块ψij，i，J的第一个主分量给出∈ J（0）（A（1））。然而，这些主成分不能保证都是正的。这可以通过变形每个块来克服，使其中的所有相关性都为正。这是可行的，但有点复杂，没有独特的方法来做到这一点。

最后，我们将只有βi的一个选择，即由于变形的选择，βi会发生变化。另一种可能性是服用βi≡ 1并使用【Kakushadze和Yu，2016a】第3.2 o小节中的二进制结构。在这种情况下，我们不需要变形样本相关矩阵。然而，在这里，我们也有一个βi.3.7.1计算特定风险的单一选择，正是因为我们处理的每个区块都是一个单因素模型，我们可以使用另一个简单的方法来满足（129）。考虑到对称的M×M材料，为了清楚起见，【Kakushadze和Yu，2016a】第4节的方法非常适合我们构建因子模型，例如，用于优化目的，并且无需担心因子荷载的精确值（即，试验荷载和实际荷载不相同的事实）。然而，目前的问题是不同的，即构建一个基准投资组合，可忽略beta，并且实际的因子负荷必须通过构建与这些beta一致。注意，当bA（1）>0时，我们可以取bβi=bG（0）（i），否则是任意的。这是因为任何重新校准Bβi→bβibG（0）（i）简单地被因子协方差矩阵Γ（1）A（1），b（1）的相应重标度吸收→ Γ（1）A（1），B（1）/bA（1）bB（1），因此因子模型不受影响。此外，此方法不适用于标高-l 集群，l ≥ 1（见下文）。Xαβ，α，β=1，M、 在这里，我们可以假设Xαβ是半正定义（正如我们对Xαβ是协方差或相关矩阵的情况感兴趣）。假设我们希望通过一个单因素模型对其进行建模：Yαβ=aαδαβ+bαθbβ（130），需要复制对角线元素：Yαα=Xαα=α（131）aα+θbα=α（132），因此，我们需要根据bα和Xαβ的值来拟合未知的θ。我们可以这样做。

首先，让我们定义zmin和zmax，以便对于α的所有值，我们都有zminα≤ aα≤ zmaxα（133），即zmin和zmax定义了可归因于特定风险aα的总标准偏差α的最小和最大允许值。（例如，我们可以设置zmin=0.1和zmax=0.9。）这意味着θmin≤ θ ≤ θmax（134）θmin=1.-求最大值/最小值（bbα）（135）θ最大值=1.-zmin公司/max（bbα）（136）bbα=bα/α（137），因此，给定α，bα的值不能是任意的，但必须是θmin≤ θmax（如何处理θmin>θmax的情况，请参见附录A）。接下来，我们可以找到θ的值，该值提供了由αβ=Yαβ/αβ（138）组成的有效对角线元素的最小二乘法（注意，对角线元素由ααα组成≡ 1无需t be fit，因为它们通过（132）固定：MXα，β=1；α6=βhbXαβ-bbαθbbβi→ 最小值（139）符合（134）。所以，我们有θ=min（max（θ*, θmin），θmax）（140）θ*=PMα，β=1；α6=βbbαbXαβbbβPMα，β=1；α6=βbbαbbβ（141）注意，在我们的上下文中，bXαβ是一个样本相关矩阵，因此| bXαβ|≤ 1，实际上，| bXαβ|<1表示α6=β。假设白蛋白α紧密分布，我们可以预期θ*tobe介于θmina和θmax之间（与饱和这些边界相对）。3.7.2“俄罗斯玩偶”嵌入的应用给定Xαβ，bα，zmin和zmax，让θ（Xαβ，bα，zmin，zmax）表示θgivenby（140）的值。然后，我们有以下程序来计算上述嵌套“俄罗斯玩偶”嵌入中的特定风险和因子协方差矩阵：X（0）ij=Cij（142）b（0）i=βi（143）b(l)A(l)≡ χ(l), l = 1.

，P（144）Γ(l+1） A(l+1） ，A(l+1） =θ（X(l)A(l),B类(l), b类(l)A(l)), A(l), B类(l)∈ J(l)（A）(l+1） ）（145）X(l+1） A(l+1） ，B(l+1） =eX(l+1） A(l+1） ，B(l+1） u型(l+1） A(l+1） u型(l+1） B类(l+1） （146）u(l+1） A(l+1） =vuutΓ(l+1） A(l+1） ，A(l+1） eX公司(l+1） A(l+1） ，A(l+1） （147）eX(l+1） A(l+1） ，B(l+1） =XA(l)∈J(l)（A）(l+1） ）XB(l)∈J(l)（B）(l+1） ）X(l)A(l),B类(l)b类(l)A(l)b类(l)B类(l)（148）hζ(l)A(l)i=X(l)A(l),A(l)-血红蛋白(l)A(l)iΓ(l+1） G级(l)（A）(l)),G级(l)（A）(l))（149）这里，如上所述，Cijis是股票回报的样本协方差矩阵。而且，不是选择χ(l), l = 1.P，是无关紧要的。该程序与（115）一起完全定义了风险模型。所有特定风险和因素协方差矩阵均为正定义。当βi=βi/σi不歪斜时，βiso-long范围内的基准权重（119）也是如此（见上文）。3.7.3一些评论我们可以问两个问题。为什么上述构造有意义？是否有可行的替代方案？因此，以上我们以另一种特定的方式构建了风险模型，将股票分组，并在每个集群内利用beta给出的因子负荷基本上构建了一个1因子模型。然后，我们将这些集群分组成更多的集群，并重复该过程，直到我们在下面结束，我们抑制了zmin，zmaxarguments。事实上，他们可以l-依赖，如果s o需要d。因此，如果我们，例如，取zmin=0.1，zmax=0.9，那么θmin=0.19/min（bβi）和θmax=0.99/max（bβi），那么β的允许范围是max（bβi）/min（bβi）≤p0.99/0.19≈ 2.28. 请注意，对于级别-l 集群，l = 1.P，一般来说，将因子协方差和特定风险计算为1阶是合理的，对于θ（即Γ）的固定值，非平凡解是合理的(l+1） A(l+1） ，A(l+1） 通过（145）计算得出存在。