Beta、基准和击败市场

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英文标题：
《Betas, Benchmarks and Beating the Market》
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作者：
Zura Kakushadze and Willie Yu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We give an explicit formulaic algorithm and source code for building long-only benchmark portfolios and then using these benchmarks in long-only market outperformance strategies. The benchmarks (or the corresponding betas) do not involve any principal components, nor do they require iterations. Instead, we use a multifactor risk model (which utilizes multilevel industry classification or clustering) specifically tailored to long-only benchmark portfolios to compute their weights, which are explicitly positive in our construction.
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中文摘要：
我们给出了一个明确的公式化算法和源代码，用于构建只做多基准投资组合，然后将这些基准用于只做多市场的跑赢策略。基准测试（或相应的beta）不涉及任何主要组件，也不需要迭代。相反，我们使用一个多因素风险模型（利用多级行业分类或聚类），专门针对只做多的基准投资组合来计算其权重，这在我们的构建中是明确的正权重。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Betas,_Benchmarks_and_Beating_the_Market.pdf (328.3 KB)

2022-6-10 07:57:27 上传

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关键词：beta Bet ETA Quantitative Optimization

Betas、Benchmarks和击败市场Zura Kakushadze§+1和Willie Yu2.§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，S tam f ord，CT 06905+第比利斯自由大学商学院和物理学院240，格鲁吉亚第比利斯David Agmashenebeli Alley，0159新加坡杜克国立医学院8号学院路计算生物学中心，邮编：169 8 57（2018年5月30日）摘要我们给出了一个明确的公式化算法和源代码，用于构建longonly基准投资组合，然后将这些基准用于long only市场跑赢策略。基准测试（或相应的beta）不涉及任何主要组件，也不需要迭代。相反，我们使用多因素风险模型（利用多级行业分类或聚类），专门针对长期基准投资组合来计算其权重，这在我们的构建中是明确的正权重。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁兼首席执行官，也是第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comWillie余博士是杜克国立大学医学院的研究员。电子邮件：willie。yu@dukenus.edu.sgDISCLAIMER：通讯作者使用此地址的目的仅限于按照出版物惯例表明其专业职责。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，在QuantigicSolutions LLC的网站www.quantigic的最新观点中。com或其任何附属公司。1介绍和总结由许多股票组成的多元化长期投资组合总是面临广泛的市场波动。

那么，有没有一种“最佳”的方法来构建这样长的投资组合呢？在这里，我们主要可以区分两种截然不同的情况。在第一种情况下，我们对个别股票回报没有详细的预期。一、 例如，我们试图构建一个只做多的投资组合，而不理会任何交易信号（或Alpha）。我们可以把这样的投资组合作为一个基准。一种可能性是使用现货（市值加权）的大盘投资组合，如标准普尔500指数或罗素3000指数。另一种简单的方法是使用最小方差投资组合，其权重s wi（i=1，…，N个标签，我们宇宙中的N只股票）达到总体归一化，由wi给出∝NXj=1C-1ij（1）这方面有几个问题。首先，如果Cijis是基于历史股票收益率时间序列的样本协方差矩阵，在许多情况下，它是奇异的，因为时间序列中没有足够的观测值。其次，即使它是非奇异的，Cij的对角元素（更准确地说，成对相关）在f样本外也是高度不稳定的，因此基准权重wi也是如此。第三，该投资组合中单个股票w.r.t.的betasβi【Sharpe，1963年】均等于1（达到总体无风险因素），因此股票与基准上升的相关性与其收益率的历史标准差σiof成反比，这不是我们对广泛市场基准k的预期。第四，一般来说，一些权重（1），即使是可计算的，也是负的，除非我们构建了受权重下限约束的最小风险投资组合，从而排除了将具有负权重的股票（因此，除其他外，减少了多样性并扭曲了其余权重），或者为此类股票分配了一些特定的最小权重（并且仍然扭曲了其他权重）。

其中一些问题可以通过使用（总体归一化因子）Cijas的第一个主成分权重（以及beta）来规避。然而，负权重和样本外不稳定性（后者可能程度较低）的问题仍然存在。在第二种情况下，假设我们可以预测单个股票的非随机预期回报率EI。我们可以尝试构建一个只有长时间的投资组合，使其优于基准portfo lio。平均方差优化【Markowitz，1952年】将给出∝NXj=1C-杰伊（2）几十年来，人们一直认为贝塔高度不稳定【Fabozzi和Francis，1978年】。实际上，由于Cij中的反对角线元素，排除在外的股票与wi中的股票并不完全相同≤ 0英寸（1）。例如，见【Avellaneda和Lee，2010】【Connor和Korajczyk，1993】【Geweke和Zhou，1996】【Trzcinka，1986】。这与（1）中的大多数问题有关。解决这一问题的一种方法是：i）首先建立一个基准的只做多的投资组合（这对Ei来说是无关紧要的）；a和ii）然后根据组合投资组合仍为多头且多样化的情况，在此基础上构建多空美元中性投资组合。可以使用标准研发优化技术，通过使用构建良好、稳定的多因素风险模型，而不是样本协方差矩阵Cij，构建美元中性投资组合。我们强调，这种建设不仅仅是一种“趋势跟踪”或“市场时机”策略。相反，这是一种系统化的方法，将只做多的“被动”基准和“主动管理的”美元中性投资组合（例如，基于统计套利）相结合，构建只做多的投资组合，后者预计会自行产生正回报。

然而，在仅多头对账单的情况下，这种美元中性策略受到更多限制，因为净头寸必须全部多头。因此，这是一种产生高于“被动”基准的超额回报的方法，价格是与美元中性策略（没有免费午餐）相关的风险。本文讨论了上述“程序”的系统方法。首先，我们给出了一个明确的公式化算法，用于构造一个给定一组beta的基准投资组合，该beta可以选择具有各种期望属性。通过构造，结果Benchmar k权重为正。这是通过构建多因素风险模型Γij来实现的，并使用它来代替样本协方差矩阵cijs，特别是用于构建一个长期基准。这是基于二元多层次行业分类（或其他一些聚类方案）精心构建的。它不涉及任何主成分，也不需要迭代（例如，由于下限）来获得wi。事实上，它们是由一个简单但不平凡（且有争议的优雅）的公式给出的，这是本文的主要结果之一。在回顾了第2节中与beta相关的一些一般性之后，我们给出了第3节中Γij和基准权重的详细构造。在anutshell中，权重wi通过简单代数量的乘积表示，这些代数量是根据行业分类（clusteringscheme）中每个级别的特定方差构建的。这些具体差异包含有关潜在股票回报的重要信息。

附录A中给出了计算Γijand Wii的源代码。在第4节中，我们讨论了基于“被动”基准之上的“主动管理”美元中性策略的超越策略。给定预期收益Ei，可以使用有界的标准优化技术构造do-llar中性投资组合。然而，重要的一点是，该优化中使用的多因素风险模型Γ′i与构建基准时使用的Γij不同。此外，该策略类似于标准普尔500指数的跑赢大市策略，标准普尔500指数股票的多头头寸（动态权重）由标准普尔期货的空头头寸决定。第5节简要总结。这种“被动”基准可以看作是一种指数。有关概述，请参见【Lo，2016年】。本文附录A中给出的源代码不是为了“花哨”或为了速度而优化或以任何其他方式编写的。其唯一目的是以简单易懂的方式说明正文中描述的算法。一些重要的法律术语被归入附录B。这里：i）我们没有期货，ii）基准不是以标准普尔500指数为基础的（尽管可以）。2 BetasConsider a universe of N stocks label by i=1，N、 让风险成为股票回报的时间序列（例如，每日、每周、每月等，接近收盘回报）。这里的指数s=1，T标记计算这些回报的交易日（s=1标记最近的日期）。让Fsbe成为另一个回报时间序列，它可以但不需要对应于股票组合，例如指数。先验地，它可以是任何时间序列的回报（例如，商品、债券、货币等）。出于我们的目的，我们可以将FSA视为基准k投资组合的回报（见下文）。股票betasβ可以用来衡量每个股票“跟随”基准运动的程度。

beta可以通过一系列回归来正式定义，其中回归的截距（和单位权重）为Risover Fs:Ris=αiIs+βiFs+is（3）。这里：αiIs，内部接受的回归系数为≡ 1.βi是系数off；是回归残差。回归系数由αi=Ri给出- βiF（4）βi=PTs=1eRiseFsPTs=1eFs（5），其中对于时间序列，AsAs=TTXs=1As（6）eAs=As-如（7）所示，βi=Cov（Ris，Fs）Cov（Fs，Fs）（8），其中Cov（·，·）表示序列共变。如果Fs是我们宇宙中权重为wi的股票投资组合的回报，即ifFs=NXi=1wiRis（9），那么我们有（这里Cijis是股票回报率Ris的样本协方差矩阵）βi=σFNXj=1Cijwj（10）σF=NXi，j=1Cijwj（11）Cij=Cov（Ris，Rjs）（12）这里Ris可以是原始回报率或超额回报率w.r.t。无风险利率取决于上下文。3基准假设我们现在旋转表格，尝试构建基准投资组合，即确定权重wi，给定betasβi。这可以通过形式求解（10）通过（在定义中，我们假设所有βi6=0）：wi=σFNXj=1C来完成-1ijβj=σFβiNXj=1eC-1ij（13）σF=“NXi，j=1C-1ijβiβj#-1=“NXi，j=1eC-1ij#-1（14）eCij=βiβjCij（15），其中C-1是与Cij相反的矩阵。然而，在实践中，这种形式化解决方案存在一些问题。首先，如果T<N+1，则样本协方差矩阵是奇异的（即不可逆的）。第二，除非T>> N、 这在实践中很少（如果有的话）发生，有效对角线元素（在一定程度上，相关性——对角线元素相对稳定）在样本外非常不稳定，这使得Cijess毫无用处（样本外不可预测）。第三，即使所有βi呈阳性（例如，βi≡ 1） ，假设Cijis可逆，由于股票之间的非平凡相关性，由（13）给出的权重不一定是正的。

在许多应用中，基准k是一个仅长期投资组合，它要求权重为非负。3.1主要成分暂时，让我们忽略样本协方差矩阵Cijan的afor esaid问题，并假设它在某种程度上（神奇地）在样本外是可逆和稳定的。然后有一个简单的“解决方案”来构建基准投资组合。因此，很容易采用βi=γV（1）i，其中γ>0是整体归一化系数，V（1）ii是Cij的第一个主成分：NXj=1CijV（a）j=λ（a）V（a）i，a=1，N（16）NXi=1V（a）iV（b）i=δab（17）NXa=1V（a）iV（a）j=δij（18）严格来说，这里不需要可逆性，但这并不重要。然而，正如我们稍后讨论的那样，这种“解决方案”在本质上是令人敬畏的。这里，V（a）ide表示cij的第a个主分量对应于特征值λ（a），其中特征值按降序排列：λ（1）>λ（2）>·····>λ（N）。然后投资组合权重由wi=V（1）i/γ（19）给出。更一般地，我们可以取βi=γiU（1）i（20）wi=U（1）i/γi（21）NXj=1DijU（a）j=eλ（a）U（a）i，a=1，N（22）Dij=γiγjCij（23），这里γi>0是一些N向量，U（a）是矩阵Dij的主成分。让我们从（19）开始。这种“解决方案”的一个直接问题是，该投资组合是高度倾斜的，也就是说，它与高度波动的股票权重过高。这是因为：i）股票波动率σi=√对于σi的更高值，Cii有一个带长尾的偏斜（大致对数正态）分布；和ii）第一个主成分的元素大致按V（1）i缩放∝ σi.要看到这一点，考虑一个简单的模型，其中所有股票都具有一致的成对相关性，等于ρ：Cij=σiσj[（1-ρ） δij+ρνiνj]（24），其中νi≡ 1是单位N向量。简单的代数得出以下特征值方程：ρNXi=1σiλ-( 1 - ρ） σi=1（25），其N个解为特征值λ=λ（a），a=1，N

特征向量由以下公式给出：V（a）i=η（a）σiλ（a）- (1 - ρ） σi（26），其中η（a）是总体归一化因子（通过（17）固定）。我们可以通过λ=ρNXi=1σi1迭代求解（25）-(1 -ρ） σi/λ（27）在理论上，一些特征值可以退化，但在实践中，正特征值不是（这里我们假设没有零特征值）。这在这里并不重要，因为我们对第一个主成分感兴趣，可以安全地假设其eig值为非退化。一、 e.样本相关矩阵ψij=Cij/σIσjis被一个单因子模型所取代（见下文），其中ρ可以被视为平均成对相关ρ=PNi，j=1；i6=jψij/N（N- 1). 这是一个全新的简化模型，但（正如我们下面讨论的）它正确地抓住了我们在这里提出的观点。假设λ>> ρσi对于所有i.在第0近似中，我们有λ（1）≈ ρNXi=1σi（28）V（1）i≈σiqPNi=1σi（29）现在很明显，权重（19）给出的投资组合确实是倾斜的，并且含有大量高波动性股票。即使我们没有假设（24）中的一致相关性，这个结论仍然存在。因此，直截了当的代数将使读者相信，以下模型就是这样：Cij=σiσjeψij（30）eψij=eξiδij+eλ（1）U（1）iU（1）j（31）eξi=1-eλ（1）[U（1）i]（32），其中U（1）i是样本相关性矩阵的第一个主分量ψij=Cij/σiσj，而λ（1）是相应的特征值。注：t 0<eξi<1。现在我们不再有一致的相关性，并且（在第零近似下）我们有v（1）i∝ σiU（1）i，so V（1）i对于较大的σi是倾斜的（因为U（1）i独立于σi，且不倾斜；在第0近似下U（1）i≈ 1/√N） 。因此，问题依然存在。一个简单的“fix”是从倾斜的beta开始，例如，如果我们取γi=σiin（20），那么我们有wi=U（1）i/σi，其中U（1）ii是样本相关矩阵ψij的第一个主成分。

现在WI是倾斜的，但方向相反——波动性股票的权重被抑制，这是一个受欢迎的特征。这似乎解决了构建一个可接受基准的问题。然而，还有其他一些问题我们一直推迟处理。首先，一般来说，U（1）的某些元素是负的。因为长期以来，我们只希望实际的λ（1）更高，而实际的V（1）对于大的σi更加倾斜，这进一步帮助了我们在这里提出的观点。无论如何，在实践中，第零近似值是很好的。例如，对于[Kakushadz E和Yu，2018]第2.6小节中讨论的数据集，该数据集基于3810只美国股票的每日收盘收益率，考虑了21天的历史波动率，我们有以下比率σi/PNj=1σj:Min=1.70×10的统计数据-7，第一个四分位数=3.48×10-5，中值=7.79×10-5，平均值=2.63×10-4，第三个四分位数=2.00×10-4，最大值=4.39×10-2、因此，假设ρ不太小，则第零近似值（28）是正确的，考虑到上述数据集ρ=0.10的21天历史平均成对相关性，这种情况下。如果我们设置ρ=ρ，那么对于κi=（1- ρ） σi/ρPNj=1σj我们有最大值（κi）≈ 0.4对于大多数股票κi<< 此外，与上述零次近似值相比，κiis不小的相对较少的股票对λ（1）和V（1）的贡献更大，这进一步加剧了V（1）i（和wi）对于大σi的偏斜度（见下文）。在（30）中，样本相关矩阵ψij由基于第一主成分U（1）iofψij的单因素统计风险模型ψij替代。Se e【Kakushadze和Yu，2017】了解详情。E、 g.，在fn中提到的数据集中。15，在3810个元素中，575个（或超过15%）的U（1）和668个V（1）元素为阴性。这是一个相当大的数字。wi>0，这会引发问题。