通过远程互动检测关键借款人

表示为集团中的一组关键成员, 即。，.对于我们的数字示例2，系统中有11个代理（n=11）：其中9个既是贷款人又是借款人，而剩下的2个元素是纯借款人。所以，我们可以形成矩阵  的大小  .  直接邻域集以及关键团队表5显示了每个元素的情况。表5直接借款人和关键群体，例如2要素、I直接借款人、，关键群体，, {2, 3, 4}{2}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4},{5, 6, 8}{6}, {5, 6}, {5, 8}, {6, 8}, {5, 6, 8}{2, 4, 5}{4}, {2, 4}, {2, 5}, {4, 5}, {2, 4, 5}{5, 7, 9}{7}, {5, 7}, {5, 9}, {7, 9}, {5, 7, 9}{10, 11}{11}, {10, 11}{10, 11}{11}, {10, 11}{10, 11}{11}, {10, 11}{10, 11}{11}, {10, 11}当 如表6所示。表6要素1关键群体的关键群体和关键成员，关键成员，{2}{2}{2,3}{2}{2,4}{2}{3,4}{3, 4}{2,3,4}3.1. 基于pathsLet us的S-长程相互作用指数构建矩阵 关于矩阵A和预定义阈值A哪里是元素i的关键直接邻居群，,  和i元素的ispivotal组，.矩阵的构造  与（Aleskerov et al.，2014）高度相关，因为它要求作为贷款人单独考虑系统的每个要素，而系统的其他参与者被假定为借款人。这里唯一的区别是，在我们的方法中，只考虑直接邻居组。矩阵C的解释相当简单。

如果  那么借款人j对贷款人i的影响最大，即借款人j的贷款金额对贷款人i至关重要。相反，如果 那么借款人j不会直接影响贷款人i。最后，价值 表示借款人j对贷款人破产的影响程度。让我们构造一个矩阵 对于数值示例2，根据基于路径的方法，阈值q=25%。例如，当我们想要估计借款人对要素1的直接影响时，我们搜索一个最小的关键群体，即要素1中贷款总额最低的关键群体，其中特定借款人是关键的，然后估计直接影响.  根据表4，元素1有3个直接借款人，因此，元素2的最小临界群为{2}，并且. 对于元素3和4，最小临界群为{3，4}，且 ,  .矩阵的图形表示如图3所示。图3：。矩阵C的网络。此外，我们可以在图3中看到，元素10不会影响系统中的任何其他元素。因此，我们评估了系统中每个元素的第一级的直接影响。为了定义两个元素之间的间接影响，让我们给出ρ-路径的定义。用ρ表示二元关系，其构造如下.使iρj的一对（i，j）称为ρ阶跃。从i到j的路径是从i开始到j结束的有序步骤序列，这样每个步骤中的第二个元素与下一步的第一个元素重合。

如果路径中的所有步都属于相同的关系ρ，我们称之为ρ-路径，即ρ-路径是元素i，j，…，jk，j的有序序列，因此iρj，jρj，…，jk-1ρjk，jkρj。路径中的步数称为路径长度。要定义任意两个元素之间的间接影响，请考虑长度小于某些参数s的元素之间的所有ρ-路径。每条路径不应包含任何循环，即ρ-路径中没有至少出现两次的元素。例如，数值示例2中的元素8和1之间只有两条路径（见图4）：虚线，通过元素2（8ρ2ρ1），虚线，通过元素3和2（8ρ2ρ3ρ1）。图4：。元素8和1之间的路径（通过元素2-虚线，通过元素2和3虚线）。表示为从i到j的一组唯一ρ-路径，其中m是路径总数，表示为, 哪里, 第k条路径的长度。然后我们可以定义间接影响 通过第k条ρ路径在元素i和j之间像   ,       （1） 或,       （2） 在哪里, 是出现在从i到j的第kρ路径上的第l个元素。公式（1）和（2）的解释如下。根据公式（1），元素j通过第k条ρ路径对元素i的总影响计算为iand j之间第k条ρ路径上元素之间直接影响的聚合值，而公式（2）将总影响定义为第k条ρ路径中任何元素之间的最小直接影响。图5提供了两个要素之间间接影响估计的简单示例。

在第一种情况下，影响与路径上每个借款人破产造成的损失（风险）成比例，而在第二种情况下，影响等于要素1和2之间路径上借款人破产的最小风险。图5：。间接影响：a）直接影响的倍增和b）最小直接影响有必要提及的是，在某些情况下，不需要考虑元素i和j之间的所有可能路径，即我们可以假设从某条路径的长度开始，直接相互作用不会影响初始成员。因此，我们设计了参数ST，该参数定义了需要考虑的层数（路径长度）。例如，考虑数值示例2中元素11和1之间的所有路径（见图3）。这些元素之间有四条路径：11ρ8ρ2ρ1、11ρ9ρ4ρ1、11ρ8ρ2ρ3ρ1和11ρ9ρ4ρ3ρ1。If参数, 因此，我们只对前两条路径感兴趣，其他路径将不予考虑。由于系统的两个元素之间可能有许多路径，因此存在聚合不同路径的影响的问题。为了估计综合间接影响，提出了几种方法。汇总结果将形成一个新的矩阵.1、间接影响：路径影响之和.        (3)2.  间接影响：最大路径影响.          (4)3.  间接影响：阈值规则阈值聚合是在（Aleskerov et al.，2007）中提出的，该规则的思想相当简单。假设我们有一组元素，每个元素由可能有m个不同值的ngrades计算。

然后我们可以计算每个元素的值,  ,…,  其中包含关于第i个()  收到的每个分数。然后根据阈值规则，元素x V-支配元素yif  或者，如果存在,  因此,   ,  和. 换句话说，首先，比较最差位置的数量，如果这些数字等于比较第二差位置的数量，依此类推。通过V不受任何其他元素支配的元素被认为是最佳元素。考虑到阈值规则是评估间接影响的可能方法之一，我们提出以下聚合过程,            （5） 在哪里,            （6） 以及     .公式（6）与阈值规则相同（Aleskerov et al.，2010）。注意，如果元素i和j之间没有路径，那么.例如，考虑元素11和1之间的路径。根据公式（1），路径11ρ8ρ2ρ1（路径长度=3）的影响等于0.8，路径11ρ8ρ2ρ3ρ1（路径长度=4）的影响等于0.56，路径11ρ9ρ4ρ1（路径长度=3）的影响等于0.426，路径11ρ9ρ4ρ3ρ1（路径长度=4）的影响等于0.284。如果s=3，则只考虑两条路径。因此，根据路径影响之和，元素11对元素1的总影响将等于1(  }) 根据最大路径影响，OR将等于0.8(}). 因为阈值规则的计算并不明显，因为它们取决于稍后将描述的等级系统。公式（3）-（5）对借款人的解释如下。

路径影响的总和相当于间接影响的最悲观情况，其中我们考虑了从特定借款人到债权人的所有可能的风险渠道。最大路径影响和阈值规则的影响评估有助于我们找到最脆弱的风险传播渠道。因此，我们可以通过元素i和j之间的所有可能路径来定义元素i和j之间的间接影响。路径影响可通过公式（1）-（2）进行评估，并通过公式（3）-（5）聚合为单个值。因此，矩阵可能有6种组合 结构（见表7）。我们认为，除了公式（2）和（3）的组合之外，所有可能的公式组合都有意义。表7间接影响路径聚合方法的可能组合路径影响最大路径影响阈值规则路径影响直接影响的倍数umpathsmaxpathmultt最小直接影响–maxminmaxtf对于我们的数值示例2，我们可以不同地构造矩阵表示总影响，并用于将影响聚合为一个关于权重的向量。例如，让我们计算元素5对元素1的影响。考虑从元素5到元素1的所有可能路径。它们如表8所示。表8要素5和1之间的可能路径路径路径影响的路径乘法最小直接影响52.10.20.253.10.160.45 4.10.1740.2952.3.10.0480.25 4.3.10.1160.29因此，元素5影响元素1的方式有五种。让usnow通过不同的方法将此信息聚合为单个值。

为了通过阈值规则比较不同的百分位，制定了以下直接影响等级。等级：0。;1.;2.;3.;4..现在，我们可以根据阈值规则定义元素5和1之间的路径。请注意，对于阈值规则，边上的值等于上面建议的坡度。结果见表9。表9：通过阈值规则进行的路径聚合，s=3ID，kPathPath（边上的坡度）路径影响，5.2.152.153.153.154.154.121*52.3.152.3.154.3.154.3.1*阈值规则选择的路径总体结果如表10所示。表10：元素5通过不同方法对元素1的总影响方法考虑路径IDsInfluenceSumPaths1-50.698MaxPath0.2mMaxMin0.4Mult0.174MaxT0.29类似地，我们可以估计任何其他元素的影响并构建矩阵根据不同的方法。

结果见表11-15。表11矩阵对于数字示例2，SumPathsWeights0.400.700.990.710.110.200.800.110.600.810.600.480.710.110.290.710.110.110.110.110.110.400.700.990.710.11总计0.110.290.090.330.300.400.440.360.31总计（归一化）0.030.080.020.090.080.110.120.100.090.27Table12。矩阵对于数字示例2，MaxPathWeights0.400.600.200.600.800.420.110.200.800.110.600.600.600.480.710.110.290.710.110.110.110.110.110.110.400.600.600.800.420.11总计0.110.290.090.240.140.400.360.320.25总计（归一化）0.030.090.080.040.120.110.100.080.31Table13。矩阵对于数值示例2，MaxMinWeights0.400.600.400.600.800.600.110.200.800.110.600.400.600.600.710.110.290.710.110.110.110.110.110.110.400.600.800.600.11总计0.110.290.090.240.190.400.360.330.29总计（归一化）0.030.090.070.060.120.110.100.090.30Table14。矩阵对于数字示例2，MultTWeights0.400.600.180.600.800.420.110.200.800.110.600.400.600.480.710.110.290.710.110.110.110.110.110.110.400.600.800.420.11总计0.110.290.090.240.140.400.360.320.25总计0.030.070.040.120.110.100.080.31Table15。矩阵对于数值示例2，MaxTWeights0.400.600.290.600.800.600.110.200.800.110.600.600.600.600.710.110.290.710.110.110.110.110.110.110.110.400.600.290.600.11总计0.110.290.090.240.160.400.360.330.29总计（归一化）0.030.090.080.050.130.110.100.090.31矩阵的聚合转化为一个向量，该向量显示了系统每个元素的总影响，可以按照中所做的每个元素的权重（重要性）（Aleskerov et al.，2014）。因此，我们可以看到，元素6、7和11被认为是系统中最关键的元素，而元素5的影响大于元素1和10的影响。现在让我们考虑基于模拟的第二种方法。3.2.

基于模拟的S-长期相互作用中心性指数另一种估计系统中每个元素的能力的方法基于以下思想。假设一些借款人没有能力归还贷款。他们会组成关键小组吗？这是否会导致他们的债权人不向其他债权人偿还贷款？更正式地说，让a构造一个矩阵关于矩阵A和预定义阈值换句话说，矩阵  指示元素i给元素j的阈值（临界贷款金额）的份额。矩阵用于通过仿真评估系统元素之间的远程影响。矩阵的图形表示如图6所示。同样，让我们说如果,  和组中的任意元素无法归还贷款。如果该组存在，则我无法将贷款退还给自己的债权人。现在假设一些借款人（总数为k）无法归还贷款。然后，我们可以定义一个借款人列表（总数为k），其中kborrowers构成一个关键组。同样，我们可以定义一个借款人列表（总数为k），其中k+k借款人构成关键群体。该过程将继续进行，直到达到阶段数s的预定义限制或存在阶段r（在参数s未定义的最坏情况下，r小于或等于网络直径），以便. 因此，我们得出了借款人名单（总数为) 如果我们认定债权人无法归还贷款，他们将无法归还贷款。图6：。

用于模拟方法的矩阵C的图形表示。例如，假设元素5、6、9无法归还其贷款。然后，我们可以确定哪些要素将无法覆盖其贷款（见表16）。表16组合{5，6，9}步骤的模拟程序破产元素{5，6，9}k0=3{2，4}k1=2{1，3}k2=2{10}k3=1。因此，元素5，6和9的破产将导致其他五个元素的破产。类似地，我们可以假设任何其他无法归还贷款的借款人组合，并定义所有破产借款人的列表。结果将形成一个新的矩阵, 这表明，如果我们假设借款人j不能归还自己的贷款，那么借款人i不能归还贷款的比例是多少。矩阵的解释 这很简单。如果值接近1，则借款人j对借款人i非常关键。相反，如果接近0，则借款人j几乎不会影响借款人i。结果可以聚合为一个向量，显示系统中每个元素的总影响。因此，我们可以构造矩阵  数值示例2（见表17）。表17矩阵对于数值示例2（模拟），权重0.590.430.420.110.410.420.110.570.920.480.470.450.110.400.420.110.000.110.110.110.620.460.470.110.00总计0.110.290.000.330.330.390.440.200.200.001.00总计（归一化）0.030.090.100.120.140.060.060.30此方法的关键优势之一是它准确地考虑了系统的所有链式反应，所谓多米诺骨牌效应或传染效应。这种方法的一个关键问题是，在第一阶段应该选择哪些借款人。