关联情景和关联的因子模型方法

假设在不损失一般性的情况下，上述按位异或运算符定义了指标变量的值，则组合方差简化为两个∑w=nnXi=1nXj=1e-Pmk=1βk·1{xki6=xkj}σ=σnnXi=1n/2Xj=1e-下午-1k=1βk·1{xki6=xkj}-βm·0+nXj=n/2+1e-下午-1k=1βk·1{xki6=xkj}-βm·1=σnnXi=11+e-βm·n/2Xj=1e-下午-1k=1βk·1{xki6=xkj}。迭代此计算m=logn次给定sw∑w=σnnXi=1mYk=11+e-βk=σnmYk=11+e-βk.平均相关性为asn（n- 1） nXi=1nXj=1，j6=ie-Pmk=1βk·1{xki6=xkj}=n（n- 1)nXi=1nXj=1，e-Pmk=1βk·1{xki6=xkj}-nXi=1,这一主张来源于命题的第一部分。推论2。方差对单个β因子βlis的敏感性w∑wβl=-σne-βl·Yk6=l1+e-βk.如果β因子是均匀的，即β=···=βm=β，则总体灵敏度为w∑wβ=σn1+e-βm级β= -σnm1+e-βm1+eβ。对于压力测试，我们将概率分布与β相关联。这使得可以用概率的术语来公式化场景，并确定它们的影响。我们假设风险因素本身是同质的，即βk=β，对于所有k=1，m、 风险因素系数的变化β为联合正态分布，每一个均为0，方差σβ，相关系数ρβ。以下内容，例如。

Kupiec（1998），我们在一组（“核心”）风险因素上定义了压力情景，并假设给定的协方差矩阵不受压力情景的影响，设置Δβ=0Δβ=+50%Δβ=-50%0 2 4 6 8 100.00.51.01.52.02.53.0m（相关风险因素的数量）一天VaR0.99[%]ρ=0.1ρ=0.3ρ=0.5-100-50 0 50 10000100150Δβ（风险因素系数的变化）[%]VaR0.99[%]ρ=0.1，j=1，m=5ρ=0.3，j=1，m=5ρ=0.3，j=5，m=5-100 50 0 50 100-20020406080Δβ（风险因素系数变化）[%]变量变化0.99[%]ρβ=0.5，j=1，m=5ρβ=0.5，j=5，m=5ρβ=0.3，j=1，m=5-100-50 0 50 100-20020406080Δβ（风险因素系数变化）[%]VaR0.99变化[%]图1：左上：作为风险因素数量m函数的投资组合VaR（参见命题1）。右上角：投资组合VaR的变化作为β（参见命题1），校准为不同的平均资产相关性ρ∈ {0.1, 0.3, 0.5}. 左下：投资组合VaR的变化β与周边风险因素变化相关，ρβ=0.5（参见命题2）。右下角：投资组合VaR的变化作为β与相关的外围风险因素变化（参见命题3）。所有图表显示99%的风险值，初始和非应力β被校准为ρ的平均资产相关性≈ 0.3，除非另有说明（参见方程式（3））。剩余（“外围”）风险因素达到其最佳估计值取决于情景。让βs记录直接受力的j<m核心因子参数。剩余的m-J外部风险因素参数βuar仅间接受压力情景的影响。在上述正态分布设置下，它认为βu条件βsis（例如Shiryaev定理§13.2，1996）：e(βu|βs）=∑us∑-1秒βs，其中，∑usand∑Ss表示βu和βs的协方差和方差矩阵。命题3。

当β-风险因素系数中的j为β由w∑w=σn给出1+e-(β+β)j·1+e-β+j·ρβ（j-1)ρβ+1β!m级-j、 证明。很容易验证（m-j） ×j矩阵∑us∑-1沙雷ρβ（j- 1)ρβ+ 1.为了说明相关性压力的影响，我们将上述结果应用于n=200万资产的组合，其中每项资产的年化波动率σ=0.25，除非另有规定，否则组合中的平均资产相关性为0.3。对风险系数β进行校准，以反映因素m数量的目标资产相关性，例如，当m=5时，这是通过β=0.5204实现的（参见等式（3））。图1显示，portfolioVaR随着相关风险因素m的数量和风险因素系数β的增加而减少。这两个结果都不足为奇，因为越来越多的资产分散了异质性风险，只剩下系统性风险，此外，系统性风险的β降低了。这一结果是由投资组合的长期结构驱动的。包含对冲头寸的投资组合的风险可能表现不同，如第3节中的伦敦Whalee示例所示。β变化对整体投资组合VaR的影响如图1右上角的图表所示。对于这只长期投资组合，VaR随相关性降低而衰减。β的下限为0，即图1中100%的减少，确定了最坏情况。的影响β是不对称的，其中相关性变化的风险高于收益。在非完美相关性下，通过相关性变化实现的多元化收益对于多样化的投资组合是可能的。

对于通常依赖非常高或几乎完美相关性的对冲投资组合，相关性变化通常是不受欢迎的，并被视为风险。VaR对β变化的陡峭度或敏感性由初始平均资产相关性、风险因素之间的相关性以及因素j的数量决定≤ M初始应力（参见图1中的底部图表）。换言之，最初的高平均资产相关性降低了相关性变化的风险，因为投资组合的分散性已经很差。当对j因子子集施加压力时，VaR影响随ρβ增加而增加，ρβ反映了相关性风险因子之间的依赖性。2.3相关性和波动性的联合压力测试充分证明，相关性的大变化与波动性冲击相吻合，例如（Alexander和Sheedy，2008b；Longin和Solnik，2001；Loretan和English，2000）。为此，我们开发了一种结合两种压力情景的简单技术。主要思想是假设资产收益的d维向量X遵循Student t分布X~ t（∧∑，ν），其中ν>2，且∧∑矩阵描述了如下所述的依赖关系，为简单起见，我们假设预期资产回报为零。然后，X服从正态方差混合分布和分解（参见McNeil et al.（2015）第6.2章）X=√V·A·Z，其中Z~ N（0，Ik），即Z是独立标准正态分布随机变量的向量，V独立于Z和V~ Ig（1/2ν，1/2ν），即混合变量V遵循逆伽马分布，A是一个d×k矩阵，因此∑=AAT。因为EV=νν- 2，X的协方差矩阵为∑=νν- 2 ∑（注意，只有当ν>2时，才定义期望和协方差矩阵）。

X和AZ的相关矩阵相同。在t分布假设下，α水平的t-VaR为，参见方程（1）VaRtα=-tν，1-α·Vw | ∑w1/2= -tν，1-α·V·ν - 2ν1/2（w∑w）1/2。（4） 波动压力在▄α水平∈ 通过将V设置为ig（1/2ν，1/2ν）分布的|α-分位数q|α，引入了[0，1]。这很方便地捕捉到波动压力是非系统事件。此外，应力事件的严重程度取决于钢轨的重量，用ν表示。此场景中的VaR由P确定wTX公司≤ VaRα| V=qα= P√q▄αwTAZ≤ VaRα, （5） 带wTAZ~ N（0，wT∑w）。因此，应力t-VaR从方程（5）中导出为正态分布VaR，标准偏差根据固定的混合变量贡献进行缩放：VaRtα，~α=-N1型-α·V·√q▄α（wT▄∑w）1/2=-N1型-α·V·√q▄αν - 2ν1/2（重量∑w）1/2。（6） 为了实现联合波动率和相关性压力，将两种方法结合起来：在相关性场景中独立应用从混合变量分位数确定的比例因子，如等式（6）所示β正如命题3.2.4压力测试情景选择2.4.1马氏距离当压力测试时，除了了解给定情景的影响外，人们还对相反的问题感兴趣：在某个预先给定的范围内发生的所有情景中，最糟糕的情景是什么？指定范围的一种方法是通过所谓的马氏距离（Mahalanobisdistance），它测量正态分布随机向量与其平均值之间的距离。回想一下，相关性ci，jare模拟了ascij=exp-（β| xi- xj |+β| xi- xj |+···+βk | xmi- xmj |）, i、 j=1，n、 正参数β，βm.如果β=（β。

，βm）|是一个随机向量，E（β）=β，协方差矩阵∑β，则马氏距离定义为asD（β）=(β - β)|Σ-1β(β - β)1/2.此外，如果β~ N（β，∑β），则马氏距离的平方遵循卡方分布，即D（β）~ χ（m）。我们有兴趣确定最坏情况β*这使VaR最大化，并受马氏距离的约束：β*= argmaxβ：D（β）≤hVaRα（β），其中VaRα由方程（1）给出，相关矩阵由β施加。如果选择约束中的参数H作为α*-χ（m）分布的分位数，然后是β？表示位于覆盖α可能性的内椭球体上的所有方案中最差的相关方案*. 从方程（1）可以明显看出，Varα最大化并不依赖于α，而是等同于方差最大化。一个微不足道的结果是β*此外，最大预期短缺ESα=1- αZαVaRudu。将标准偏差作为对角线上的条目，写出对角线矩阵σ=（diag（∑（β）），得到β*= argmaxβ：D（β）≤hw∑（β）w=argmaxβ：D（β）≤hw |（σC（β）σ）w=argmaxβ：D（β）≤hnXi=1nXj=1wiwjσiσjcij（β）。拉格朗日isL=w |（σC（β）σ）w+λ（（β- β)|Σ-1β(β - β) - h） =nXi=1nXj=1wiwjσiσjcij（β）+λmXi=1mXj=1（βi- βi）（βj- βj）qij- h类,带QIJ∑的条目-1β.一阶条件为βlL=-nXi，j=1wiwjσiσje-Pmk=1βk | xki-xkj |·| xli- xlj |+2λmXj=1（βj- βj）qlj=0，l=1，m（7）λL=D（β）- h=0（8）假设所有因素都是衡量两种证券中是否存在某个属性的指标，通过假设β服从椭圆分布，该方法可以很容易地扩展到重尾分布。是否，即| xli- xlj |=1{xli6=xlj}给出βlL=-e-βlnXi，j=1wiwjσiσje-Pmk=1，k6=lβk{xki6=xkj}·1{xli6=xlj}|{z}=cl，1+2λmXj=1，j6=l（βj- βj）qlj- 2λβlqll |{z}=cl，2+2λqll |{z}=cl，3βl=-cl，1e-βl+cl，2+cl，3βl=0，l=1。

，k（9）λL=D（β）- h=0（10）假设在整个过程中，系数的选择方式是，至少对于一对证券，相应的指标为1意味着cl，16=0，对于所有l=1，k、 提案4。（9）满足β的解*l=Wcl，1ecl，2/cl，3cl，3！-cl，2cl，3，l=1，k、 其中，W（z）是Lambert W-函数（也称为乘积对数），它给出了W在z=W ew，z中的解∈ C、 证明。为了便于记法，我们省略了索引l，所以我们显示-总工程师-β+c+cβ=0，β=Wcec/cc！-复写的副本。设置w：=Wcec/cc！给予-总工程师-（w）-c/c）+c+c（w- c/c）=-总工程师-（w）-c/c）+cw=0，可重新排列为-我们-wcec/c+c=0。使用thatwe-w=ccec/cIELD索赔。2.4.2同质投资组合分析为了更好地理解压力测试效果，我们将风格化的同质投资组合视为第2.2节，并确定位于预先指定的马氏距离内的最坏压力情景。如前所述，m个风险因素是二元的，证券的数量是n=2M，包括所有2M个风险因素组合。这些证券的波动率都相等，投资组合的权重也相等。风险因素系数β也被假定为同质的，即它们具有相同的均值β、方差σβ和相关性ρβ。提案5。在同质环境中，给定马氏距离内最差情景的风险系数√h为常数，即β*= ··· = β*m=β*, 由β给出*= β -shσβ（1+（m- 1） ρβ）m.证明。由于二元风险因素，一阶条件（7）简化为βlL=-σnnXi，j=1e-Pmk=1βk{xki6=xkj}·1{xli6=xlj}+2λmXk=1（βk- β） qlk=0，l=1，m、 其中qlkar是∑的条目-1β，由于β的同质性，对于所有l 6=k，q=····=qmmandqlkconstant。

很容易验证q=（m- 2） ρβ+1（1+（m- 2)ρβ- （m）- 1） ρβ）σβ和q=-ρβ（1+（m- 2)ρβ- （m）- 1)ρβ)σβ.对于固定l，1{xli6=xlj}=1，i，j=1，…，的实例数，n、 为n/2；特别是，无论l的选择如何，这个数字都是常数。每当1{xli6=xlj}=1时，那么，在alli，j中，1{xki6=xkj}=1的项数是均匀分布的：2m-1术语6=l时，是m的所有组合的结果-1 0和1。因此，一阶条件中的和具有相同的项数，并且仅在β、…、，βm；然而，由于它们都具有相同的结构，因此β*= ··· = β*m=β*. 因此，一阶条件减少为一个条件，由下式给出βL=-σnm-1Xk=0m级- 1公里e-β·（1+k）+2λ（β- β） （q+（m- 1） q）=0。因为所有的β都是相等的，在给定的马氏距离下，最糟糕的压力情景√h是二次方程（β）的两个解之一- β)|Σ-1β(β - β) =mXi=1mXj=1（βi- βi）（βj- βj）qij= （mq+m（m- 1） q）（β- β） =h。求解β得到β=β±shmq+m（m- 1） q=β±shσβ（1+（m- 1） ρβ）m。由于投资组合方差在β中是单调递减的，因此该主张成立。显然，在其他条件相同的情况下，最坏情况下的投资组合风险和VaR随着风险因素方差σβ和风险因素相关性ρβ的增加而增加。它们随着风险因素数量的增加而减少，m。

然而，我们将在下面的例子中看到，如果初始β是从给定的固定资产相关矩阵中拟合出来的，那么最坏的情况也可能随着风险因素的数量而增加。应力VaR0 2 4 6 8 1001234m（相关风险因素数）一天VaR0.99[%]ρ=0.3，ρβ=0.1972ρ=0.5，ρβ=0.1972ρ=0.3，ρβ=0.30 2 4 6 8 100204060801010140m（相关风险因素的数量）VaR0.99[%]联合应力t-VaR（m=5）波动性应力t-VaRunstressed t-VaRunstressed VaR5 10 50 100 500 10002345678ν（自由度）一天VaR0.99[%]应力VaR（m=5）应力VaR（m=8）非应力VaR0 20 40 60 80 1002.02.53.03.5分位数（Mahalanobis约束）[%]一天VaR0.99[%]图2：最坏情况（与平均值的概率偏差在95%以内）投资组合风险价值（VaR）。左上角：初始和压力一天VaR（α=0.99），平均资产相关性ρ=0.3，年化资产可用性σ=0.25，β系数相关性ρβ=0.1972，β标准偏差σβ=0.1428。右上角：各种参数设置的VaR增加百分比。左下：作为ν函数的联合相关性和波动性压力测试，波动性压力水平▄α=α=0.99。右下：马氏约束分位数的VaR asa函数。在这种情况下，我们考虑一个资产回报平均相关度为0.3的投资组合。对于五个β风险系数，通过β=0.5204实现（参见方程（3））。Wesetρβ=0.1972和σβ=0.1428（这些值对应于下面描述的“伦敦鲸”案例的历史平均值）。95%的最坏情况是β=0.2361。随着年度资产波动率为0.25，最初的一天99%VaR为2.09%，增加了33%至2.79%。

图2显示了最坏情况下的投资组合方差随相关风险因素m的数量以及几个参数星座的增加而增加。图2左下角的图表显示了联合相关性和波动性压力情景对一天99%VaR的影响。如第2.3节所述，除了相关性压力情景外，波动性被缩放到对应于学生t分布的▄α-分位数的压力水平，参见方程式（6），其中我们选择了▄α=α=0.99。根据t分布的参数ν，波动压力单独增加无应力t-VaR高达51%。强调相关性和波动性可以将无压力t-VaR.3应用于“伦敦鲸”投资组合3.1“伦敦鲸”案例2012年，摩根大通公司报告称，源自伦敦相对较小的首席投资官（CIO）账簿的信贷衍生品投资组合损失约62亿美元。这起被称为“伦敦鲸”的案件是由授权交易头寸造成的，因此，与大多数其他大额交易损失相反，不能将其归因于欺诈或未授权交易。有趣的是，损失发生在世界上最大的投资银行之一，该银行以其先进的风险管理而广为人知，例如作为公认的风险度量和信用度量框架的创新者（摩根大通，2013）。为了了解摩根大通对亏损信贷组合的战略、交易和风险管理，我们整合了有关伦敦鲸的公开信息。本节以非常简洁的格式介绍了我们的发现，并提供了详细的回顾athttps://ssrn.com/abstract=3210536.JPMorgan作为贷款人，自然会面临信贷风险。