应用于模型点的无限维投资组合表示

因此，我们可以表示过程σ∈ L(Ohm, 通过写出σ=（σ，σ），其中，对于任何I=1，2，实值过程σI={σI，t:t∈ 一} 定义如下：σI，t，hei，σtiE，对于任何t∈ 一、 同样，我们写ξI，{ξI，t:t∈ 一} ，对于I=1，2，表示通过设置（41）ξI，t，hei，ξtiE（对于t∈ 一、 自始至终，我们假设，对于任何t，a.s.bt=0，σ2，t=0∈ 一、 此外，为了简单起见，我们将ξ2,0=1 a.s.无限维投资组合表示设置为适用于人寿保险中的模型点选择13，因为对于I=1，2，以下等式a.s.成立（见【14】，定理4.2），ei，ZtσsdWsE=Zthei，σsiEdWs，对于任何t∈ 一、 我们获得了（41）、（42）ξ1，t=ξ1,0+Ztσ1，sdWs，a.s.，ξ2，t=1，a.s.中给出的组件动力学的以下表示。我们fix a函数f：I×E→ C1、2B类的R和相对于ξ的P集Φ。对于任何过程φ∈ Φ，我们认为变量φt，对于t∈ 一、 就其组件而言，I=1，2由以下等式定义，φI，t，hei，φtiE，对于任何t∈ 一、 提案1。设Φ是相对于ξ的P-集。假设f是相对于ξ的BS函数。如果过程ξ的分量由（42）给出，则（43）F（φ）=EZI公司|(xf（t，ξ1，t，ξ2，t）- φ1，t）σ1，t |（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.证据注意，对于任何t∈ I和x=（x，x）∈ E、 我们可以考虑f（t，x）作为E的一个元素，带有组件，f（t，x）=(xf（t、x、x），xf（t，x，x）），因此我们可以设置f（t，x）y，hf（t，x），yiE，表示任意y∈ E、 那么，因为根据恒等式（42），我们有bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、 f是相对于ξ的BS函数，结果直接来自定理1中的陈述（ii），注意到σ2，t=0 a.s.，对于任何t∈ 我我们可以将过程ξ的第一部分理解为某些风险资产贴现价格的风险中性动态。

此外，我们将其第二部分视为银行账户贴现价值的风险中性模型。函数f表示风险资产上的欧洲未定权益，以及相对于ξ标准的整个类别对冲投资组合的P集Φ。值得注意的是，在存在过程φ的特殊情况下*∈ Φ，使以下等式适用于a.s.，（44）φ*1，t=xf（t，ξt），对于任何t∈ 一、 然后工艺φ*结果是F-最优的，因为F（φ*) = 0表示感谢（43）。特别是，恒等式（44）对应于未定权益f的所谓delta hedgingcondition。备注3。假设过程的第一部分φ*∈ Φ满足身份（44）。注意，如果以下条件保持a.s.（45）f（0，ξ）=hφ*, ξiE，一个有F（φ*) = 0 a.s.身份（45）告诉我们，金融风险完全由投资组合φ对冲*∈ 时间t=0时的Φ。在这种特殊情况下，引理11给出Ft（φ*) = 0 a.s.，对于任何t∈ 一、 和过程的第二部分φ*因此由以下恒等式φ隐式确定*2，t=f（t，ξt）- φ*1，tξ1，ta。s、 ，对于任何t∈ 一、 此外，值得注意的是，在当前设置中，标识（10）归结为f（t，ξ1，t，ξ2，t）+xxf（t，ξ1，t，ξ2，t）σ1，t=0，a.s.，对于任何t∈ 一、 14 ENRICO Ferries，对应于Black-Scholes型方程，其中无风险利率在任何时候都设置为零。相关性和剩余风险。自始至终，我们分析了集Φ的定义方式可能无法满足条件（40）的情况。当金融风险敞口和复制投资组合实际上取决于两个不同但相关的风险因素时，这种情况变得很有吸引力。假设E和H都与欧几里德空间R重合。

因此，写h·，·iEto表示其上的标准欧氏积，并让e=（e，e）作为其规范基础。此外，fix a常数 ∈ (-1，1），并假设内积h·，·iHon h的定义方式为：hei，ejiH=1，如果i=j，且hei，ejiH= 否则设f:I×E→ R是通过设置（46）f（t，x）=he，xiE（对于任何t）定义的函数∈ I和x∈ E、 请注意，f属于C1,2b类f（t，x）=e，对于任何t∈ I和x∈ E、 设Φ是相对于ξ的P-集，并假设对于任何φ∈ Φ存在一个实值过程φ，{φ2，t:t∈ 一} 对于任何t，以下恒等式为真（47）φt=φ2，te，a.s∈ 一、 因此，我们确定任何φ∈ Φ与满足身份的过程φ（47）。提案2。设f为恒等式（46）和Φa P-集给出的函数，P-集相对于ξ验证条件（47）。如果bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、 那么（48）F（φ）=EZIkhe，σtiE- φ2，σtiEkH（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.证据首先，请注意f（t，x）=0和f（t，x）=0，对于任何t∈ I和x∈ 一、 因此，函数f似乎是相对于ξ的BS函数。此外，请注意f（t，ξt）σt=he，σtiE，对于任何t∈ 一、 对于任何φ∈ Φ，thathφt，σtiE=φ2，σtiE，对于任何t∈ 一、 然后，结果直接来自定理1。请注意，由于无法找到流程的版本f（t，ξt），对于t∈ 一、 属于Φ的，条件（40）可能无法恢复。此外，下面的结果提供了这种情况下F-最优过程的显式特征。提案3。设f为恒等式（46）给出的函数，Φa P-集相对ξ验证条件（47）。如果bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、 然后工艺φ*∈ Φ定义为（49）φ*2，t=（σ1，t/σ2，t），对于任何t∈ 一、 结果是F-最优的，其中，对于I=1，2，实值过程σI，{σI，t:t∈ 一} 假设（50）hei，σtiE=σI，tei，对于任何t∈ 一、 证明。

注意，命题2适用，函数F接受（48）中给出的表示。另一方面，对于任何t∈ 一、 一个有（51）khe，σtiE- φ2，σtiEkH=σ1，t- 2.φ2，tσ1，tσ2，t+φ2，tσ2，t，无限维投资组合表示，适用于人寿保险15中的模型点选择，其在φ2，t方面为二次型，在φ2，t=（σ1，t/σ2，t）。因此，当t超过I时，过程φ*∈ Φ由身份定义（49）满意度（φ*) ≤ F（φ），对于任意φ∈ Φ，因此它是F-最优的。请注意，H-Wiener过程W可以理解为二维Wiener过程，对于i=1，2，其组件Wi通过设置来定义，（52）Wi，t，Wtei，对于任何t∈ 一、 使用 作为它们的瞬时相关性，因为{Wte·Wte}=he，Eit=t、 对于任何t∈ 一、 因此，我们可以将过程ξ的组成部分视为两个相关风险资产贴现价格的动态。在这种情况下，完美对冲可能无法恢复。实际上，请注意给定φ*∈ Φ由等式（49）定义，数量F（φ*) 对于 < 1，然后消失 = 1，这是两项资产似乎完全相关的特殊情况。那么，我们可以考虑F（φ*) 作为剩余对冲风险。6利率证券组合。在本节中，我们将仔细研究通过考虑零息票债券的投资组合来寻求某些固定收益投资组合的最佳表示的问题，零息票债券是指在未来某个到期日支付一单位特定货币的合同。我们假设处理不受信贷风险影响的理想化债券。i、 e.到期日的付款始终由债券发行人实现。We fix T，（1+∞).

因此，我们假设存在一个在任何未来时间T到期的市场价值债券∈ 我们写pt（T）来表示它在时间T的风险中性贴现价格∈ 一、 此外，我们还提到了函数T∈ T 7→ pt（T）作为时间T的贴现价格曲线∈ 一、 值得强调的是，我们让变量T溢出，因为我们只处理第一年内未到期的债券。价格曲线动态。自始至终，我们考虑一个类型为2的UMD Banach空间E，该空间由T上定义的一些连续实值函数空间表示。对于anyT，我们还假设求值函数δt是连续的，并且在E上有界∈ T另一方面，为了捕捉任何到期特定风险的特征，可以合理地将H设为某些有限维可分离希尔伯特空间，从而将W设为第2节中定义的H柱形过程。考虑到以下定义中引入的空间，Carmona和Tehranchi[3]建议了这种设置的一个实例。定义6。让w：T→ R+是一个正的递增函数。我们写hw来表示绝对连续函数的空间x:T→ R带x（s）→ 0，ass→ +∞, Ztx（s）w（s）ds<+∞,其中x代表x的弱导数。当赋以normkxkHw时，x（1）+ZTx（s）w（s）ds1/2，对于任何x∈ Hw，空间Hw原来是希尔伯特空间，如下面的引理所述。在这方面，我们还记得，任何希尔伯特空间也是类型为2.16 ENRICO Ferriemma 12的UMD Banach空间。让w：T→ R+是一个正的递增函数，使得（53）ZTw（s）-1ds<+∞那么Hw是一个可分的Hilbert空间，对于任何T∈ T证据例如，参见【4】中的第6.3条。

在这里以及在续集中，我们将E的任何元素都视为特定时间的贴现价格曲线的可能结构。更准确地说，我们假设贴现价格曲线的风险中性动力学由某个调整的E值过程p={pt:t控制∈ 一} 。在这方面，设σ={σt:t∈ 一} 是一个适应的H-strong可测量过程，因此σ∈ H2,2（L（I；γ（H，E））），如第2节所定义，以及假设p∈ H1,2（E）是一些强GW可测的随机变量。然后，我们设置（54）pt=p+ZtσsdWs，对于任何t∈ 一、 此外，让δT∈ E*在T进行评估∈ 注意，对于任何T，pt（T）=hδT，ptiE∈ 一、 因此，我们可以将δTas解释为由到期时间为T的零息票债券组成的投资组合∈ 由于以下等式a.s.成立（见【14】，定理4.2），δT，ZtσsdWsE=ZthδT，σsiEdWs，对于任何T∈ 一、 恒等式（54）表示在T到期的债券贴现价格的风险中性动态，由（55）pt（T）=p（T）+Ztσs（T）dWs给出，对于任何T∈ 一、 其中，为了便于记法，我们设置σt（t），hδt，σsiE。风险功能和投资组合持续时间。设f:I×E→ R是C1、2b类的函数，且fix a P-集Φ相对于恒等式（54）给出的过程P。我们假设对于任何φ∈ Φ存在一些T∈ T，使得（56）φT=α（T）δT，a.s.，对于任何T∈ 一、 我们设置，（57）α（T）=p（T）-1f（0，p）。直接的结果是，我们可以通过识别任何过程φ来写Φ=T∈ Φ带T∈ Tsuch条件（56）满足。命题4。设f:I×E→ R是C1，2B类的函数，过程p由（54）给出。设Φ是相对于P的P-集，其元素满足恒等式（56）。如果f是相对于p的aBS函数，则（58）f（T）=EZI公司(f（t，pt）σt- α（T）σT（T）H（1- t） dt公司, 对于任何T∈ T证据结果直接从定理1中的陈述（ii）得到。

实际上，用ξ来识别过程p，注意在本例中，对于anyt，bt=0 a.s∈ 我无限维投资组合表示，适用于人寿保险中的模型点选择17图1。将模型（60）考虑为短速率动力学时，功能（59）的视觉表示。更准确地说，该行表示任何债券到期日T的函数（59）∈ （1，10），其值由左侧垂直轴评估。右侧纵轴评估固定投资组合中债券的名义，如图中的竖线所示。用参数a=0.12、a=0.1、σ=0.16和σ=0.15对模型（60）进行了模拟。为了简单起见，我们考虑了以下情况：对于任何t∈ 一、 式中，Д=0.01和Д=0.15。最后，我们设置 = -0.01.我们可以将变量f（t，pt）理解为某个利率证券组合在时间t的贴现值∈ 一、 我们解释任意φ∈ Φ是由单一债券组成的特定投资组合相对于固定到期日的动态，以及由其身份给出的名义（57）。因此，我们假设变量hφt，ptiet评估其在时间t的风险中性贴现值∈ 一、 值得注意的是，条件（57）是合理的，因为它保证f（0，p）=hφ，piE，因此任何φ∈ Φ提供了相对于时间t=0时f代表的投资组合的完美对冲。我们可以认为*-有值变量f（t，pt）作为时间t时的投资组合持续时间的概念∈ 一、 因为它可能代表投资组合对时间t时价格曲线结构的微小变化的敏感性∈ 我

在这方面，请注意，如果f是相对于p的aBS函数，并且存在T*∈ T因此f（t，pt）=α（t*)δT*a、 s.，对于任何t∈ 一、 然后表示式（58）给出F（T*) = 0，因此T*结果证明是F-最优的。在这方面，当金融风险f为市场价值时，我们可以将任何f视为最佳T*∈ T作为相关持续时间的概念。数值示例。图1提供了功能（58）的视觉表示，当考虑由三种不同名义和到期日的债券组成的固定投资组合时，其在时间t的风险中性贴现价值∈ I由f（t，pt）=Xk=1,2,3αkpt（Tk）给出，其中αk∈ R和Tk∈ T，对于k=1、2、3.18，尤其是ENRICO Ferrico，垂直条代表与任何到期日Tk相关的债券的名义αkof。由图右侧垂直轴上的标尺评估的任何αkis值。另一方面，该线显示了函数，（59）F（T），E的行为ZI公司Xk=1,2,3αkσt（Tk）- α（T）σT（T）H（1- t） dt公司, 对于T∈ T这是从（58）中派生出来的，其值由图表左侧垂直轴上报告的刻度进行评估。我们考虑了一个控制短期利率过程演化的相关双加性因子高斯模型。更精确地说，设（W，W）为具有某种瞬时相关性的二维维纳过程 ∈ (-1, 1). 短期利率r{rt:t的风险中性动力学∈ 一} 对于任何t∈ 一、 其中，对于I=1，2，过程χI，{χI，t:t∈ 一} 由以下Vasicek类型模型给出，（60）χI，t=χI，0-Ztaiχi，tdt+ZtσidWi，t，对于任何t∈ 一、 对于某些给定的正参数a和σI，初始条件χI为0∈ R+，其中t∈ I 7→ ν（t）是某种确定性函数。我们参考第4.2节。

关于所有细节，请参见[1]。该模型在分析上具有足够的可管理性，可以根据短期利率因素（60）为贴现价格曲线写下一个明确的公式，从而通过考虑标准微积分技术来确定过程σ的解析表达式。对于任何T∈ F（T）值是由因子（60）的蒙特卡罗模拟和与时间变量T相关的积分离散化的组合得到的∈ 一、 模拟的所有细节都收集在图1.7人寿保险模型积分组合的标题中。欧洲保险公司需要评估其投资组合的价值，并进行敏感性分析，以证明其模型的合规性，通过考虑逐个保单方法的现金流预测。此外，他们可以通过用一些合适的代表性合同（通常称为相关模型点）替换任何同质保单组来计算这些预测。这种方法旨在加快这一过程，通常每天都会进行，因为整个投资组合的复杂性可能会导致计算时间过长。在适当的条件下，此程序是允许的，这样一来，原始投资组合的固有风险结构就不会被歪曲。有关详细信息，请参阅[5]。通过本节，我们评估了确定与某些固定政策组合相关的最佳模型点组合的问题。框架和符号。人寿保险合同通常在投保人的生命周期内提供现金流，或在特定条件下，在其死亡时支付的唯一一次性福利。

当保单持有人支付特定保费时，合同生效，根据具体情况，该保费可以是常规保费，也可以是一次性的。我们不考虑合同的具体特征，我们假设处理一些不受信用风险影响的理想人寿保险单，即保险公司始终保证合同中规定的全部利益。此外，无限维投资组合表示法适用于人寿保险中的模型点选择19我们不分析保险公司收到的收入，因此我们不考虑合同保费，如客户负责的任何进一步付款。设X是任意元素X∈ X代表合同。为确定想法，任何x∈ X可以收集典型特征，如保单持有人的年龄和性别、取消选项等。在其他方面，任何元素X∈ X通过考虑某些合适的特征来确定一类被标记的警察。我们假设相对于任何x，存在合同的市场价值∈ 十、模型积分组合。设U是一个UMD-Banach空间，由X上定义的实值函数空间表示。我们写U*表示拓扑对偶of u。U与U的对偶对*用h·、·iU表示。此外，我们假设对于任何x，估值函数δxto是连续的且在U上有界∈ 十、我们写X*表示U的子集*通过设置（61）X定义*, 跨距{δx:x∈ X}，其中（61）中的闭包是关于U的拓扑来理解的*.在这里和续集中，我们* 十、*.定义7。让v∈ 十、*考虑一个U值过程z，{zt:t∈ 一} 。