应用于模型点的无限维投资组合表示

当ψ被假定为相对于ξ的aBS函数时，其中有（11）ψ（t，ξt）=ψ（0，ξ）+Ztψ（s，ξs）bsds+Ztψ（s，ξs）σsdWs，a.s.，对于任何t∈ IP车顶。修复t∈ 一、 由于函数ψ被假定为C1,2类，根据它的公式（见[2]，定理2.4），我们得到了过程s 7→ ψ（s，ξs）σs，对于s≤ t、 isstochastically可积，以下表示成立，（12）ψ（t，ξt）=ψ（0，ξ）+Ztas（ψ）ds+Ztψ（s，ξs）σsdWs，a.s.where，对于任何s≤ t、 我们将（13）设为（ψ），ψ（s，ξs）+ψ（s，ξs）bs+tr(ψ（s，ξs）；σs）。因此，结果直接来自（12）和（13），因为ψ被假定为相对于ξ的bea-BS函数。现在我们引入一类E*-我们将在本文后面使用的有价值的过程。定义2。通过相对于ξ的P-集，我们可以理解E的任何集Φ*-有值和自适应过程φ，{φt:t∈ 一} 从而满足以下条件：（I）对于任何φ∈ Φ，一个有kφk∞< ∞, 我们设置φk的地方∞, inf{C≥ 0:kφtkE*≤ 任何t的C a.s∈ 一} 。（ii）对于任何φ∈ Φ，存在一个函数φ：I×E→ E*C1,2b类，使得φt=Д（t，ξt），a.s.，对于任何t∈ 一、 无限维投资组合表示在人寿保险7（iii）模型点选择中的应用∈ Φ，以下恒等式适用于a.s.，（14）hφt，ξtiE=hφ，ξiE+Zthφs，bsiEds+Zthφs，σsiEdWs，注意在定义2中，给定任何φ∈ Φ，变量hφt，σtiE，对于t∈ 一、 形成适应的H值过程。在这种特殊情况下，h·、·Ie因此被视为γ（h，E）和E之间的h值双配对*. 此外，从不等式（1）中，可以得到（15）khφt，σtiEkH≤ kφtkE*kσtkγ（H，E），a.s.，对于任何t∈ 一、 定义3。固定一个相对于ξ的P集Φ，并考虑函数f:I×E→ R

对于任意φ∈ Φ，过程F（φ），{Ft（φ）：t∈ 一} 定义为（16）Ft（φ），f（t，ξt）- hφt，ξtiE，对于任何t∈ 一、 可以说是f和φ相对于ξ的差异过程。如果没有其他规定，其中函数f:I×E→ 对于任意φ，R和相对于ξ的P集Φ是固定的∈ Φ，我们总是写F（φ）来表示F和φ之间相对于ξ的差异过程。引理9。设Φ是相对于ξ的P集，并考虑函数f:I×E→ R、 如果f isof等级C1,2b，则有一个Ft（φ）∈ L(Ohm), 对于任何t∈ I和φ∈ Φ，带中断∈IkFt（φ）kL(Ohm)< ∞.证据首先，请注意，因为f（·，0）假设在I上是连续的，所以我们有kf（·，0）k∞, 支持∈I | f（t，0）|<+∞.此外，对于任何t∈ 一、 有人认为下列不等式a.s成立，| f（t，ξt）|≤ kfk公司∞kξtkE+| f（t，0）|≤ kfk公司∞kξtkE+kf（·，0）k∞.固定φ∈ Φ，注意| hφt，ξtiE |≤ kφtkE*kξtkEa。s、 对于任何t∈ 一、 因此，我们获得∈IkFt（φ）kL(Ohm)≤ （k）fk公司∞+ kφk∞) 支持∈IkξtkL(Ohm;E） +kf（·，0）k∞,由于函数f被假定为C1、2b类，再加上定义2中的条件（i）和引理7，因此结果成立。以下结果将在本节后面部分发挥相关作用。引理10。设Φ是相对于ξ和f的P集：I×E→ R是C1，2b类的函数。一个有Ft（φ）∈ H1,2，对于任何t∈ I和φ∈ Φ，带（17）DFt（φ）=(f（t，ξt）- φt）Dξt，a.s.值得强调的是，对于任何t∈ 一、 恒等式（17）应视为（18）DFt（φ）=f（t，ξt）Dξt- hφt，DξtiE，尤其是a.s.，因为Dξt∈ L(Ohm; γ（H，E）），对于任何t∈ 一、 在恒等式（18）中，我们将h·、·iEas理解为γ（h，E）和E之间的h值对偶对*.引理10的证明。在这里和整个过程中，我们∈ 我

首先，由于函数fis假定为C1,2b和ξt类∈ H1,2（E）由于引理6，马利维衍生物的链式法则（见[11]，命题3.8）适用，我们得到f（t，ξt）∈ H1,2，带（19）Df（t，ξt）=f（t，ξt）Dξt，a.s.Fix nowφ∈ Φ. 根据定义2中的假设（ii），存在一个函数：I×E→ E*对于C1,2b类，如果恒等式φt=Д（t，ξt）根据其公式（见[2]，定理2.4）保持a.s.8 ENRICO Ferrico为真，我们得出Д（s，ξs）σs，对于s≤ t、 是随机可积的，以下表示法适用于a.s.，Д（t，ξt）=Д（0，ξ）+Ztas（Д）ds+Ztχs（Д）dWs，其中，对于s≤ t、 我们设置为（Д），Д（s，ξs）+Д（s，ξs）bs+tr(Д（s，ξs）；σs）；χs（Д），ν（s，ξs）σs。因此，给定任何正交基h，h。。。

在H中，It^o公式的扩展（见[2]，推论2.6）应用于对偶对H·、·iEgives、（20）HИ（t，ξt），ξtiE=HИ（0，ξ），ξiE+ZthИ（s，ξs），bsiEds+ZthИ（s，ξs），σsiEdWs+Zthas，ξsiEds+Zthχs，ξsiEdWs+ZtXn≥1hχshn，σshniEds，a.s.作为直接结果，条件（14）与恒等式（20）共同表示χt=0 a.s.，尤其是（21）ν（t，ξt）=0，a.s.另一方面，适用于Malliavin导数的链式规则（见[11]，命题3.8），它给出了Д（t，ξt）∈ H1,2（E*), 带（22）DД（t，ξt）=ν（t，ξt）Dξt，a.s.因此，与恒等式（21）一起，我们得到（23）DД（t，ξt）=0，a.s.应用于配对h·，·iE（见[11]，Lemma3.6）的Malliavin导数的乘积规则，并与（23）一起给出dhД（t，ξt），ξtiE=hDИ（t，ξt），ξtiE+hИ（t，ξt），DξtiE，a.s.=hИ（t，ξt），DξtiEa是的。s、 （24）然后，从不等式（1）中，通过自然识别γ（H，R）=H，我们得到kdhД（t，ξt），ξtiEkL(Ohm;H）=E{khИ（t，ξt），DξtiEkH}≤ E{kИ（t，ξt）kE*kDξtkγ（H，E）}≤ kφk∞kDξtkL(Ohm,γ（H，E））因此，由于ξt∈ H1,2（E）由于引理6，我们有hφt，ξtiE∈ H1,2，因此Ft（φ）∈ H1,2。最后，恒等式（17）后面是方程式（19）和（24）中的Malliavin导数的线性。定义4。设Φ是相对于ξ的P-集。给定函数f:I×E→ 类别C1,2b的R，我们指的是函数F：Φ→ 通过设置（25）F（φ），ZIE{| Ft（φ）定义- EFt（φ）|}dt，对于任意φ∈ Φ，作为相对于Φ上f引起的ξ的风险函数。如果没有其他规定，其中函数f:I×E→ R和相对于ξ的P集Φ是固定的，我们总是写F来表示由Φ上的F引起的相对于ξ的风险函数。下面的定理告诉我们，风险泛函（25）允许两种不同的等价表示。无限维投资组合表示在寿险9定理1模型点选择中的应用。

设Φ是相对于ξ和f的P集：I×E→ R是C1，2b类的函数。其中之一是，（i）函数F允许以下表示（26）F（φ）=ZIEZt公司E类{(f（t，ξt）- φt）Dsξt | GWs}Hds公司dt，对于任意φ∈ Φ.（ii）在特殊情况下，假设f是相对于ξ的BS函数，bt=0a。s、 ，对于任何t∈ 一、 函数F归结为（27）F（φ）=EZI公司(f（t，ξt）- φt）σtH（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.值得注意的是，由于过程σ取γ（H，E）中的值，因此等式（27）的右侧应理解为(f（s，ξs）- φs）σs，f（s，ξs）σs- hφs，σsiE，其中h·，·ie表示γ（h，E）和E之间的h值对偶对*.定理1的证明基于以下引理。引理11。设Φ是相对于ξ和f的P集：I×E→ R是C1，2b类的函数。在特殊情况下，假设f是相对于ξ的BS函数，bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、 我们有a.s.（28）Ft（φ）=F（φ）+Zt(f（s，ξs）- φs）σsdWs，对于任何t∈ I和φ∈ Φ.引理11的证明。修复t∈ 我注意到，由于函数f被假定为相对于ξ的aBS函数，引理8给出了f（t，ξt）=f（0，ξ）+Ztf（s，ξs）bsds+Ztf（s，ξs）σsdWs，a.s.因此，对于任何φ∈ Φ，从条件（14）我们得到变量Ft（φ），对于t∈ 一、 允许以下表示，（29）Ft（φ）=F（φ）+Zt(f（s，ξs）- φs）bsds+Zt(f（s，ξs）- φs）σsdWs，a.s。此外，由于bt=0 a.s，表示（29）归结为恒等式（28）。定理1的证明。首先，我们证明了陈述（i）。

由于f被假定为C1，2b类，从引理10我们得到Ft（φ）∈ H1,2，对于任何φ∈ Φ和t∈ 一、 （30）DFt（φ）=(f（t，ξt）- φt）Dξt，a.s.因此，fix t∈ 我注意到，由于变量Ft（φ）是GWt可测的，Clarke-Oconeformula（见[10]，定理6.6）给出了，（31）Ft（φ）- EFt（φ）=中兴通讯{DsFt（φ）| GWs}dWsa。s、 另一方面，引理4的直接应用给出，（32）E中兴通讯{DsFt（φ）| GWs}dWs= EZtkE{DsFt（φ）| GWs}kHds,然后，当根据表示（30）重铸恒等式（32）时，与恒等式（31）一起，我们得到（33）E{| Ft（φ）- EFt（φ）|}=EZtkE公司{(f（t，ξt）- φt）Dsξt | GWs}kHds.10恩里科·费里（ENRICO Ferrible）因此，当积分关于变量t的恒等式（33）的两侧时∈ 一、 我们获得了表示（26）。我们现在证明陈述（ii）。为此，fixφ∈ Φ，注意EFt（φ）=EF（φ）a.s.，对于任何t∈ 一、 因此，由于假设f是相对于ξ的BS函数，且bt=0，因此对于任何t∈ 一、 引理11给出了以下表达式适用于a.s.（34）Ft（φ）-EFt（φ）=F（φ）-EF（φ）+Zt(f（s，ξs）-φs）σsdWs，对于任何t∈ 一、 然后，对于任意x，设p（x）=| x |∈ R、 根据表示（34），对于任何t∈ 一、 注意，直接应用It^o的公式（见[2]，定理2.4）得出（35）| Ft（φ）- EFt（φ）|=| F（φ）- EF（φ）|+Zttr(p（Fs（φ）- EFs（φ））；(f（s，ξs）- φs）σs）ds+Ztκs（φ）dWs，a.s.，其中，对于任何s≤ t、 我们设置，κs（φ），2（Fs（φ）- EFs（φ））(f（s，ξs）- φs）σs。设h，h。。。是H的正交基，注意p（x）=2，对于任何x∈ R、 然后通过定义迹算子tr（·；·），我们得到，tr(p（Fs（φ）- EFs（φ））；(f（s，ξs）- φs）σs）=2Xn≥1(f（s，ξs）- φs）σshn）=2k(f（s，ξs）- φs）σskH。注意E | F（φ）- EF（φ）|=0，因为F（φ）是GW可测量的，因此F（φ）=EF（φ）a.s。

因此，从恒等式（35）我们得到，（36）E{| Ft（φ）- EFt（φ）|}=EZtk公司(f（s，ξs）- φs）σskHds.因此，当积分关于t的恒等式（36）的两侧时∈ 一、 我们获得表示（27）。定义5。设Υ为某个集合，并考虑一个函数G：Υ→ R、 我们称G-最优任意元素ν*∈ 验证了以下不等式（37）G（ν*) ≤ G（ν），对于任何ν∈ Υ.备注2。固定相对于ξ的P集Φ和函数f:I×E→ C1、2b类R。在特殊情况下，当f是相对于ξ的BS函数时，定理1中的陈述（ii）告诉我们一个过程φ*∈ 如果Φ使函数（38）F（φ）=E最小化，则Φ为F-最优Zk公司(f（t，ξt）- φt）σtkH（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.此外，在特定情况下*, ..., x个*n∈ E*假设对于任何φ∈ Φ存在β=（β，…，βn）∈ RN以使以下表示形式适用于truea。s、 （39）φt=nXi=1βix*i、 对于任何t∈ 一、 函数（38）的最小化在分析上是可以管理的，因为它归结为一个二次型优化问题。实际上，当确定任何过程φ时∈ Φ带元素β∈ r为了满足特性（39），功能（38）经必要的修改后可以如下所示：f（β）=nXij=1Aijβiβj- 2nXi=1Biβi+C，对于任何β∈ Rn，无限维投资组合表示，适用于人寿保险中的模型点选择11，其中，对于任何i，j=1。。。，n we setAij=EZhx公司*i、 σ拉杆，hx*j、 σ连接H（1- t） dt公司,Bi=EZf（t，ξt）σt，hx*i、 σ连接H（1- t） dt公司,C=EZk公司f（t，ξt）σtkH（1- t） dt公司.因此，在特殊情况下，当对称矩阵a=（Aij）ij为正定义时，存在唯一的F-最优元素β*∈ Φ. 此外，当定义B，（B，…，Bn）∈ Rn，元素β*∈ Φ是以下n维反问题的解，Aβ*= B、 4最优投资组合问题。

在续篇中，我们将讨论如何提出第3节中的结果，以解决用一些受约束的投资组合替代金融风险敞口的问题，同时不歪曲其在相关固有风险结构方面的表现。在这里以及本文的后半部分，我们总是假设给定投资组合的风险因素由可交易的可观测值表示。其中包括阿斯托克或商品本身的市场价格，或评估整个类别证券价值的一些主要市场基准，如处理固定收益市场时的利率期限结构。在这方面，我们仅指影响财务敞口的市场风险。不考虑其他类型的风险。E的任何元素表示风险因素在某一特定时间的总贴现值，我们将I视为参考时间间隔。为了简单起见，我们假设定义一年的期限，并根据某一天的计数惯例对其任何分数进行评估。示例1。为了验证这些想法，当E被选为某个单位维度n的欧几里德空间时∈ N、 那么任意元素的分量x=（x，…，xn）∈ E可以代表n资产在特定时间的贴现市场价格。此外，我们可以选择E作为连续曲线的某个空间，并将其任何元素解释为某一时刻折扣价格曲线的结构。我们假设过程（8）为风险因素的整体贴现值提供了动态。此外，我们考虑任何函数f:I×E→ C1、2B类的R为固定金融风险，我们将变量f（t，ξt）理解为其在任何时间t的贴现值∈ 一、 对于相对于ξ的固定P集Φ，我们将解释任何φ∈ Φ为交易员管理的某个风险因素组合的动态。

因此，我们将变量hφt，ξtie理解为其在时间t的贴现值∈ 一、 请注意，该术语取决于风险因素的总贴现值ξ和投资者的投资组合组成φt。定义2中的假设（ii）不仅仅是技术性的，因为理性投资者在特定时间考虑的策略应该取决于参考市场的演变。另一方面，对于我们的应用，定义2中的身份（iii）概括了众所周知的自我融资条件。我们将F除以Φ引起的相对于ξ的风险函数F视为用Φ内的某个投资组合替换F表示的风险敞口时发生的错误。这种误差是根据风险敞口和所选投资组合之间差异的平均变化来评估的，这是由于基本风险因素在周期I内的波动。在这方面，投资组合φ*∈ 在Φ范围内所有可能的风险中，Φ为12 ENRICO Ferri提供了暴露F固有风险的最佳表示，证明Φ是F-最优的。定理1显示了函数F在算子方面的两个不同公式f、 它衡量了金融风险对基本风险因素微小变化的敏感性。在这方面，通过敏感性分析，功能F的优化可被视为组合免疫的概念。市场价值敞口。值得注意的是，在特定情况下，当f假设为相对于ξ的BS函数且bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、 引理8确保任何t的sthatef（t，ξt）=Ef（0，ξ）∈ 一、 因此，我们可以将定义1视为无风险条件。

不同的是，当函数f所代表的金融风险敞口被证明是市场价值的时，它被证明是相对于ξ的BS函数。另一方面，在相同的假设下，引理11导致任何t∈ I和φ∈ Φ.因此，在特殊情况下，当f（0，ξ）=hφ，ξiEa。s、 ，对于任意φ∈ Φ，对于任何t，一个hasEFt（φ）=0 a.s∈ I和φ∈ Φ，由Φ上的F所诱导的风险函数F归结为toF（φ）=kF（φ）kL(Ohm×I），对于任意φ∈ Φ.这意味着，当金融风险敞口具有市场价值且完全由任何投资组合φ对冲时∈ Φ在时间t=0时，F-最优投资组合φ*∈ Φ是根据强调的风险因素波动，将风险敞口随时间的平均平方差降至最低的值。5受限对冲和剩余风险。设f:I×E→ R是C1、2B类的函数，并乘以相对于ξ的P集Φ。根据定理1，如果存在一个过程φ*∈ Φ，以使以下恒等式适用于a.s.（40）φ*t=f（t，ξt）对于任何t∈ 一、 然后φ*结果是F-最优的，因为F（φ*) = 本例中为0。这一事实与投资组合免疫的基于敏感性的套期保值方法是一致的。我们稍后将讨论这种解释。基于敏感性的对冲。假设E与欧几里德空间R重合。因此，写h·，·iEto表示其上的标准欧几里德积，并将E=（E，E）作为其标准基。另一方面，我们假设H与R重合，因此我们将H柱形过程W视为标准的一维布朗运动。考虑到这个框架，请注意，空间γ（H，E）归结为E本身。