应用于模型点的无限维投资组合表示

无论如何∈ Y*, 进程Vt（w），{Vt（w）：t∈ 一} 通过设置（62）Vt（w）=hv，ztiU定义- hw、ztiU，用于任何t∈ 一、 被称为v和w相对于z的差异过程。如果没有其他规定，则我们确定U值过程z，{zt:t∈ 一} ，对于anyv∈ 十、*和w∈ Y*, 我们总是写V（w）来表示vand w相对于z的差异过程。对于我们的应用程序，我们认为任何过程z={zt:t∈ 一} 作为某些特定人寿保险合同价值损失的动力。更准确地说，我们将Zt（x）理解为时间t时合同的风险中性贴现价值∈ 一、 当涉及x时∈ 十、此外，与第6节的框架类似，值得注意的是，对于任何t∈ I和x∈ 十、因此，我们可以将δxa视为由一个与x相关的政策组成的投资组合∈ X和任意V∈ 十、*作为由不同政策组成的投资组合。另一方面，我们认为∈ Y*作为模型点组合。引理13。设z，{zt:t∈ 一} 是U值过程，以便支持∈IkztkL公司(Ohm;U） <∞和fix v∈ 十、*. 然后，Vt（w）∈ L(Ohm), 对于任何t∈ I和w∈ Y*, 带中断∈IkVt（w）kL(Ohm)< ∞.证据固定w∈ Y*请注意∈IkVt（w）kL(Ohm)= 支持∈Ikhv公司- w、 ztiUkL公司(Ohm)≤ 千伏- 西大*支持∈IkztkL公司(Ohm;U） 。鉴于我们的应用，我们将定义4和定义5重新定义如下。定义8。设z，{zt:t∈ 一} 是一个U值过程，以便（63）支持∈IkztkL公司(Ohm;U） <∞.和fix v∈ 十、*. 我们参考功能V:Y*→ 定义为（64）V（w），ZIE{| Vt（w）- EVt（w）|}dt，对于任何w∈ Y*,20 ENRICO FERRIas模型指出了v在集合Y上诱发的相对于z的风险函数*.

此外，我们将最优模型点组合称为任何V-最优元素w*∈ Y*.如果没有其他规定，我们确定一个过程z，{zt:t∈ 一} 满足条件（63）和投资组合v∈ 十、*我们总是写V来表示由V over Y诱导的相对于z的模型点风险泛函*.模型点风险功能表示。设E和H是第6节中考虑的空间，因此假设过程p={pt:t∈ 一} 由恒等式（54）定义，以建模贴现价格曲线的风险中性动态。由于需要通过考虑相关未来现金流的概率加权平均值来估计任何保单的价值，因此对于任何t∈ 一、 对于某些函数ζ：I×E→ U我们稍后将讨论这种方法。引理14。固定函数ζ：I×E→ U，用p表示过程（54）。若ζ属于C1,2b类，则ζ（t，pt）∈ L(Ohm; U） 对于任何t∈ 一、 带中断∈Ikζ（t，pt）kL(Ohm;U） <∞.证据首先，请注意，由于ζ（·，0）假定在I上是连续的，所以我们有kζ（·，0）k∞, 支持∈Ikζ（t，0）kU<∞.此外，由于ζ被假定为C1,2b类，对于任何t∈ 一、 以下不等式适用于a.s.，kζ（t，pt）kU≤ kζk∞kptkE+|ζ（t，0）|<∞,和hencesupt∈Ikζ（t，pt）kU≤ kζk∞支持∈IkptkE+kζ（·，0）k∞< ∞,自支持以来∈IkptkE<∞ 由于引理7，应用于过程p。提案5。修复v∈ 十、*设ζ：I×E→ U是C1、2b类的函数。如果ζisa BS函数相对于p，其中过程p由（54）给出，我们设置zt=ζ（t，pt），对于任何t∈ 一、 然后（65）V（w）=E齐赫夫- wζ（t，pt）σtiUkH（1- t） dt公司, 对于任何w∈ Y*.值得注意的是，由于过程σ取γ（H，E）中的值，Lemma1给出的过程ζ（t，pt）σt，对于t∈ 一、 取γ（H，U）中的值。因此，在本文（65）中，我们将h·、·iu视为γ（h，U）和U之间的h值配对*.命题5的证明。

首先，请注意supt∈IkztkL公司(Ohm;U） <∞ 由于引理14，因为函数ζ：I×E→ 假设U属于C1、2b类。另一方面，请注意，由于ζ被假定为相对于p的BS函数，并且过程p由（54）给出，引理8给出了a.s.（66）ζ（t，pt）=ζ（0，p）+Ztζ（s，ps）σsdWs，对于任何t∈ 一、 设Φ为相对于z的P集，定义方式如下：对于任何φ∈ Φ存在SW∈ Y*φt=w，a.s.，对于任何t∈ 一、 然后，通过将ξt=ζ（t，pt）和f（t，u）=hv，uiU设置为任何u，得出定理1中的陈述（ii）的结果∈ U、 在这方面，请注意，对于任何t∈ 一、 f似乎是相对于z的BS函数。无限维投资组合表示在人寿保险21终身保险模型点选择中的应用。自始至终，我们讨论了在处理终身保单组合时的模型点选择问题，即在保单持有人死亡时提供一个单位利益的合同。考虑到我们的应用，我们假设X与R+的某个闭区间重合，并且我们考虑任何X∈ X作为时间t=0时策略所有者的年龄。此外，在这里以及本部分的后续部分中，我们将U，W1,2（X）定义为绝对连续函数的空间U:X→ R使得kukL（X）<∞, 在这里，我们用u的utheweak导数表示。在这方面，回想一下，u是一个希尔伯特空间，当赋以标准kuku，{kukL（X）+kukL（X）}1/2时，对于任何u∈ U、 使得计算函数δx（U），U（x），对于U∈ U、 为任意x有界∈ 十、我们用u（s，x+s）表示相对于x的死亡率∈ X在任何时候≥ 0

此外，对于任何x，我们不考虑在第一年内发生的死亡（67）u（s，x+s）=0∈ X和s∈ 一、 因此，将幸存者指数定义为（68）S（x，T），exp-ZTu（s，x+s）ds, 对于任何x∈ X和T∈ T我们将S（x，T）视为在T=0时处于x岁且存活到x+T岁的个体的比例。值得强调的是，条件（67）对我们的应用很方便，因为它意味着保单组合在时间间隔I内不会因保单持有人死亡而改变。这种假设是可以接受的，因为第一年内发生的事件对整个投资组合的绩效影响很小。相对于x的人寿保险单的贴现价值∈ 时间t时的X∈ i可以写成（69）zt（x）=ZTS（x，T）u（T，x+T）pt（T）dT。下面的引理告诉我们，在温和的条件下，恒等式（69）提供了一个定义良好的U值过程。引理15。让w：T→ R+是满足（53）的递增函数，并根据定义6设置E=hw。此外，假设函数x∈ X 7→ u（s，x+s）可连续区分，对于任何s∈ T如果w≥ T上的任何地方都有1个，并且以下条件保持（70）支持∈Tw（T）-1ZX|xS（x，T）| dx<∞,然后过程z，{zt:t∈ 一} 由等式（69）给出的是U值，带有（71）supt∈IkztkL公司(Ohm;U） <∞.证据

首先，请注意，由于pt（T）→ 0 a.s.，作为T→ +∞, 对于任何t∈ 一、 andS（x，T）u（T，x+T）=-TS（x，T），对于任何x∈ X和T∈ T，可通过调用部分参数的积分来重新构建标识（69），如下所示，zt（x）=-S（x，1）pt（1）+ZTS（x，T）pt（T）dT，对于任何T∈ I和x∈ 十、22对于任何固定的∈ 一、 ZXzt（x）dx≤ZXS（x，1）pt（1）dx+ZXZTS（x，T）pt（T）dT dx（i）≤ m（X）pt（1）+ZTpt（T）dT,（72）其中不等式（i）自S（x，T）起成立≤ 1，对于任意x∈ X和T∈ T和函数x∈ X 7→ u（s，x+s）连续，对于任何s∈ T此外，我们用m（X）表示区间X的Lebesgue测度。注意，应用于过程p的引理7给出了（73）supt∈IEkptkE=支持∈IEpt（1）+ZTpt（T）w（T）dT< ∞.因此，不等式（73）与不等式（72）的结合给出了∈IEkztkL（X）=支持∈IEZXzt（x）dx< ∞.另一方面，由于函数x∈ X 7→ u（s，x+s）被假定为连续可区分的，T∈ T 7→ZX公司|xS（x，T）| dx，在T上的任何地方都有很好的定义。

此外，（74）zt（x）=-xS（x，1）pt（1）+ZTxS（x，T）pt（T）dT，对于任何T∈ I和x∈ X，因此，对于任何固定的t∈ 一、 （75）ZXzt（x）dx≤ pt（1）ZX|xS（x，1）| dx+ZTZX公司|xS（x，T）| dxpt（T）dT。那么，自上世纪90年代以来∈IEZT公司ZX公司|xS（x，T）| dxpt（T）dT≤支持∈IEZTpt（T）w（T）dT支持∈Tw（T）-1ZX|xS（x，T）| dx<∞,由于霍尔德不等式再次结合假设（70）和条件（73），根据（？？）我们得到了75条线索∈IEkztkL（X）=支持∈IEZXzt（x）dx< ∞.对于一些K∈ N、 we fix x。。。，xK公司∈ X和α。。。，αK∈ R+和我们考虑投资组合v∈ 十、*通过设置（76）v确定，KXk=1αkδxk。另一方面，假设∈ Y*对于某些x，允许以下表示（77）w=α（x）δxf∈ 设为，（78）α（X），z（X）-1hv，ziU。作为直接结果，我们可以写Y*= X，通过识别任何w∈ Y*元素x∈ X表示满意（77）。应用于人寿保险模型点选择的无限维投资组合表示23值得注意的是，条件（78）是合理的，因为它保证HV，ziU=hw，ziU，因此任何模型点投资组合∈ Y*允许与价值相同的折扣∈ 十、*, 在时间t=0时。提案6。让v∈ 十、*由标识（76）和Y定义*使得表示（77）对任何w均成立∈ Y*. 进一步，设z={zt:t∈ 一} 是身份定义的流程（69）。那么，（79）V（x）=EZI公司ZT公司KXk=1αkκ（xk，T）- α（x）κ（x，T）σt（t）dTH（1- t） dt公司,对于任何x∈ X，其中我们为任何X设置κ（X，T），S（X，T）u（T，X+T∈ X和T∈ T证据

首先，我们介绍了函数Z∈ 通过设置z（q）=ZTκ（·，T）q（T）dT定义的L（E，U），对于任何q∈ E、 因此，当考虑函数ζ：I×E时→ U由等式（80）ζ（t，q），Z（q）获得，对于任何t∈ I和q∈ E、 我们得到ζ属于C1，2b类，并且它是相对于p的BS函数。此外，注意过程z={zt:t∈ 一} 对于任何t，通过设置zt=Z（pt）来恢复由标识（69）定义的∈ 一、 在这方面，值得强调的是，由于幸存者指数（68）不依赖于∈ 一、 施加条件时就是这样（67）。因此，在写作时Z表示运算符ζ、 命题5适用并给出（81）V（x）=EZI公司KXk=1αkZ（pt）σt（xk）- α（x）Z（pt）σt（x）H（1- t） dt公司,对于任何x∈ 十、为了便于记法，我们在恒等式（81）中Z（pt）σt（x），hδx，Z（pt）σtiU，对于任何t∈ I和x∈ 十、另一方面，通过直接计算，可以得到a.s。Z（pt）σt（x）=ZTκ（x，t）σt（t）dT，对于任何x∈ 因此，与恒等式（81）一起，我们获得了表示（79）。数值示例。图2提供了功能（79）的视觉表示。特别是，每个条表示与年龄xk相关的αk量，对于k=1。。。，K、 通过图的右侧垂直轴进行评估。另一方面，函数V（x），变化x∈ X由线表示，其值由图左侧垂直轴上的刻度评估。通过考虑与第6节中相同的控制瞬时短时率演变的模型，对过程p进行了模拟。

幸存者指数（68）是通过考虑Gompertz型法则来模拟死亡率【7】，通过设置（82）u（s，x+s）=a（s）exp{（x+s）b（s）}，对于任何x∈ X和s∈ T其中a（s）和b（s），变化s∈ T是正函数。24恩里科·费里图2。函数（65）的视觉表示，其中K=5，x=30，x=40，。。。，xK=70。特别是，对于anyk=1，…，值αk。。。，K、 由垂直条表示，并由右侧垂直轴评估。值V（x），对于20≤ x个≤ 80，由蓝线表示，由左侧垂直轴评估。已考虑使用图1标题中所述的相同参数对过程（60）进行短期利率动力学建模。为简单起见，通过设置a（s）=0.0003和b（s）=0.06计算任何s≥ 1、图2的标题中收集了模拟的所有细节。确认。作者要感谢JoséL.Fernández进行了富有成果的讨论，并提供了宝贵的建议，这些建议大大改进了论述。作者还感谢安娜·M·费雷罗（AnaM.Ferreiro）和何塞·A·加西亚（JoséA.GarcíA）对本文计算问题的建设性帮助。参考文献【1】Brigo，D.，和Mercurio，F.《利率模型理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷》。施普林格科学与商业媒体，2007年。[2] Brze'zniak，Z.，van Neerven，J.M.，Veraar，M.C.，和Weis，L.UMD Banachspace中的It^o公式和Zakai方程解的正则性。《微分方程杂志》245，1（2008），30–58。[3] Carmona，R.，和Tehranchi，M.《利率未定权益对冲组合的特征》。《应用概率年鉴》14，3（2004），1267–1294。[4] Carmona，R.，和Tehranchi，M.《利率模型：有限维随机分析视角》。

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