了解股票价格分布的财务价值

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英文标题：
《The financial value of knowing the distribution of stock prices in
  discrete market models》
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作者：
Ayelet Amiran, Fabrice Baudoin, Skylyn Brock, Berend Coster, Ryan
  Craver, Ugonna Ezeaka, Phanuel Mariano, Mary Wishart
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  An explicit formula is derived for the value of weak information in a discrete time model that works for a wide range of utility functions including the logarithmic and power utility. We assume a complete market with a finite number of assets and a finite number of possible outcomes. Explicit calculations are performed for a binomial model with two assets. The case of trinomial models is also discussed.
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中文摘要：
推导了适用于广泛效用函数（包括对数效用和幂效用）的离散时间模型中弱信息值的显式公式。我们假设一个拥有有限数量资产和有限数量可能结果的完整市场。对具有两个资产的二项模型执行显式计算。还讨论了三项式模型的情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：股票价格 了解股票 Mathematical Quantitative Differential

了解离散市场模型中股票价格分布的财务价值萨耶莱·阿米兰+、法布里斯·博多恩+、斯凯林·布洛克+、贝伦德·科斯特+、瑞安·克雷弗+、乌戈纳·埃泽卡+、法努埃尔·马里亚诺+和玛丽·维斯哈特+摘要。推导了离散时间模型中弱信息值的显式公式，该公式适用于广泛的效用函数，包括对数效用和幂效用。我们假设一个完整的市场有一定数量的资产和一定数量的可能结果。对具有两个资产的二项模型进行了显式计算。还讨论了三项式模型的情况。内容1、导言12。公用设施功能23。用离散状态空间对离散时间完全市场上的弱预期建模23.1。设置23.2。预期不足33.3。弱信息的价值44。完整市场：二项式模型64.1。单周期二项模型64.2。N周期二项模型75。不完全市场：三项式模型155.1。优化实用程序165.2。寻找最佳投资组合176。附录18参考文献181。简介假设一个投资者知道未来市场上股票价格的分布，并且该投资者希望在未来优化其财富的预期效用。我们的基本问题是：这些信息的财务价值是什么？之前，对效用优化和弱信息财务价值的许多研究都是在连续时间背景下进行的（[1]和[2]）。本文的目的是研究在离散时间背景下，在弱信息条件下如何优化股票投资组合。虽然三项式模型将在本文末尾讨论，但在大多数工作中，我们将假设市场是完整的。我们还将假设没有交易成本。有关完整市场的定义，请参见【3】。

在未来股价信息较弱的情况下，我们用于确定最佳预期效用的主要工具是鞅方法（见[10]）。日期：2018年8月10日。2 AMIRAN、BAUDOIN、BROCK、COSTER、CRAVER、EZEAKA、MARIANO和WISHARTAs凭借这一领域的经典结果，我们将关注预期效用，而非预期财富。这是一个需要注意的重要区别，因为效用函数允许我们包括个人对风险的态度。致谢：本研究由NSF拨款DMS 1659643资助。作者要感谢Oleksii Mostovyi对这部作品的几次有益的讨论和评论。效用函数数学和经济学中有许多不同的效用函数用来衡量个人的幸福感或满意度。我们用U表示效用函数。我们要求效用函数是严格凹函数、严格递增函数和连续可微函数。我们假设在（1）limx中为[1]→0U（x）=+∞ 和limx→∞U（x）=0。这些条件足以使效用函数表现出风险厌恶，满足边际效用递减定律，并保证财富的增加导致效用的增加。此外，在讨论效用函数的风险规避时，我们使用绝对和相对风险规避函数（见[6]）。我们将特别关注三种不同类型的效用函数。我们使用的三种类型的效用函数是：（1）对数效用：U（x）=ln（x），x>0对数效用函数的相对风险规避为1。这意味着个人将始终承担与其财富相关的恒定比例的风险。（2） 电源实用程序：U（x）=xγγ，用于-∞ < γ<0和0<γ<1和x>0幂效用函数也具有恒定的相对风险规避，但常数值为1- γ.

因此，当0<γ<1时，与对数效用函数相比，幂效用函数的风险规避程度更低。在这种情况下，常数γ反映了相对风险逆境，随着γ接近0，个体变得更加不利。如果-∞ < γ<0个体比偏好可以用对数效用函数描述的个体更厌恶风险。当γ接近时-∞ 个人变得越来越厌恶风险。（3） 指数效用：U（x）=-e-αx，对于α>0和x∈ R指数效用函数的绝对风险厌恶常数为1。因此，具有指数效用函数的个人将承担恒定数量的风险，而不是与财富相关的恒定比例的风险。请注意，指数效用函数不满足条件（1），但它仍然是一个有趣的函数，我们的结果仍然适用于此函数。3、在离散时间完全市场上用aDiscrete状态空间建模弱预期3.1。设置。假设我们有一个拥有金融资产的市场和一个样本空间Ohm = {ω，…，ωM}一段时间后所有资产价格的可能结果。对于所有概率测度P，我们总是假设P（ωj）>0，ωj∈ Ohm. 这不是一个限制，因为如果P（ωj）=0，那么我们从Ohm. 那么让N成为我们的最终时间段。Let ~序号∈ Rd表示弱预期3的财务价值n时的资产价格，其中n∈ {0，1，…，N}。此外，让随机变量Vn表示投资组合在时间n上的价值。表示投资者的初始财富Vby v。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设其中一项资产是无风险资产。我们定义为无风险资产的回报率。我们将用M表示一组等价概率测度，在该测度下，折扣股票价格是鞅。此外，我们将假设我们的市场没有套利。

因此，我们可以假设集合M是非空的。对于一个完整的市场，M是一个单态，比如M={P}，其中▄P是唯一的概率测度，在该概率测度下，贴现股票价格是鞅（有关套利、完备性和等价鞅测度的更多详细信息，请参见[3]）。根据初始财富v.3.2，我们表示自我融资投资组合的ψvas集。预期不足。现在，假设我们对最后一段时间内的资产价格有一些较弱的预期（较弱的信息）。也就是说，我们知道~SN的分布。我们将用ν表示该分布。此外，假设A是timeN可能的资产价格的（最终）集合。注| A |≤ 明尼苏达州。设B表示N个期间内所有可能资产价格过程的集合。定义：由Pν（ω）定义的概率度量Pν：=X ~ X∈A▄P（ω▄~SN=~x）ν（▄~SN=~x）称为与弱信息ν相关的最小概率测度，其中▄P∈ M-isan（记住M是完全市场中的单态）等价鞅测度。在以下命题的意义上，Pν在概率测度Q等价于P的集合中是最小的，使得Q（~ SN=~ x）=ν（~ SN=~ x）对于所有x∈ A、 我们用Eν表示这个集合。提案3.1。设φ为凸函数。然后是Minq∈EνИE“φdQdP#=E“φdPνdP#,其中，dqdPdenotes是Q关于P.证明的Radon-Nikodym导数。让~x∈ A和Q∈ 给出Eν。然后，EdQd | P | SN=~ x=ν（SN=~ x）~P（SN=~ x）。设φ为凸函数。然后，根据条件Jensen不等式，φν（SN=~ x）~P（SN=~ x）！=φИEdQd | P | SN=~ x!≤E“φdQdP|SN=~ x#。取两边的期望值，我们得到Eφν（SN）~P（SN）！=E“φdPνdP#≤E“φdQdP#并对结果进行了验证。在我们的有限离散样本空间中，等效的意思是我∈ {1，2，…，M}，Q（ωi）>0.4 AMIRAN，BAUDOIN，BROCK，COSTER，CRAVER，EZEAKA，MARIANO和WISHART3.3。弱信息的价值。

由于内幕人士的预期与未知情投资者的预期具有不同的最终时间分布，因此很自然会找到一种方法来描述这些信息的价值。由于我们关注的是财富效用的最大化，而不是财富的货币价值，因此我们将相应地定义我们的价值。定义：弱信息的财务价值是预期产生的最低预期效用。We writeu（v，ν）=minQ∈Eνmaxψ∈ψvEQ[U（VN）]。我们的主要定理如下：定理3.2。完整市场中弱信息的财务价值isu（v，ν）=maxψ∈ψvEν[U（VN）]=EνUIλ（v）（1+r）NdPdPν！,式中，λ（v）由▄E确定（1+r）NIλ（v）（1+r）Nd▄PdPν！= v、 式中▄P∈ M是唯一的概率测度，在该测度下价格是鞅。此外，n^Vn时的最佳财富由^Vn=（1+r）n给出-nXb公司∈BIλ（v）（1+r）NdPdPν（b）！~P（b | ~Sn），对于n∈ {0，1，…，N}。购买线性独立资产的最佳金额为δin=MXj=1（D-1n+1）i，j^Vn+1（ωj），对于n∈ {0，1，…，N- 1} ，其中DN+1=Sn+1（ω）Sn+1（ω）。SMn+1（ω）Sn+1（ω）Sn+1（ω）。SMn+1（ω）。Sn+1（ωM）Sn+1（ωM）。SMn+1（ωM）,是n+1时M个线性独立资产价格的矩阵，（D-1n+1）i，jr表示矩阵D的元素（i，j）-n+1和^Vn+1来自上述等式。证据我们将继续重写maxψ∈ψvEQ[U（VN）]。为了做到这一点，我们需要[4]中讨论的凸共轭U。

我们形成了求解maxψ的拉格朗日函数∈ψvEQ[U（VN）]byL（λ）=等式[U（VN）]+λv- 等式“dPdQVN（1+r）N#.现在，使用鞅方法（见附录）中的▄U代替vn，并进行代数运算，我们可以将拉格朗日函数改写为弱预期的财务值5L（λ）=λv+▄EdQdPUλ（1+r）NdPdQ！.因此，我们推导出u（v，ν）=minQ∈Eνminλ>0λv+~EdQdPUλ（1+r）NdPdQ！= 最小λ>0λv+最小值∈EνИEdQdPUλ（1+r）NdPdQ！.因为▄U的凸性意味着函数映射z 7→ zUλ（1+r）Nz是凸的，我们可以使用命题3.1得到u（v，ν）=minλ>0λv+~EdPνdPUλ（1+r）NdPdPν！.现在取λ的导数并将其设置为0，我们发现v=~E（1+r）NIλ*（v） （1+r）Nd▄PdPν！式中λ*（v） 是最小值。现在，u（v，ν）=λ*（v） v+~EdPνdPUλ*（v） （1+r）Nd▄PdPν！= EνUIλ*（v） （1+r）Nd▄PdPν！.因此，我们展示了定理的第一部分。现在注意贴现最优财富过程{Vn（1+r）n}0≤n≤Nis是▄P.（见附录）下的鞅，因此，^Vn=（1+r）N-n▄E[^VN▄~Sn]=（1+r）n-nXb公司∈BIλ（v）（1+r）NdPdPν（b）！~P（b | ~ Sn）表示所有n∈ {0，1，…，N}。此外，请注意，财富是由您在上一个时期的投资组合和当前价格决定的。因此，^Vn+1=Dn+1 ~δn，因此-1n+1^Vn+1=~δn。评论我们从[3]中了解到，完全市场中所有资产价格的矩阵都有M阶。因此，我们可以选择M个线性独立的资产进行投资。

此外，请注意，只有当M=d.6 AMIRAN、BAUDOIN、BROCK、COSTER、CRAVER、EZEAKA、MARIANO和Wishartdefinition时，每项资产的最佳购买金额才是唯一的：我们将弱信息的附加价值定义为从有预期的投资中获得的额外效用，而不是将您的所有财富都放在无风险资产中，我们定义为F（v，ν）=u（v，ν）- U（v（1+r）N）。定义：我们还通过π（v，ν）=F（v）u（v，ν）=1定义增值与总价值的比率-U（v（1+r）N）U（v，ν）4。完整市场：二项模型4.1。单周期二项模型。我们首先将关注一个具有两项资产的单期二项模型：一项无风险资产的收益率为1+r，一项风险资产的收益率为s（1+h）（如果股票上涨），以及s（1- k） 如果股票下跌。为了建立一个无套利的市场，我们要求H>r>-k、 由于只有一项风险资产，我们将用δn表示在时间n拥有的therisky资产单位数量。下面的图4.1显示了使用对数工具的基本单周期二项。它表示您最初应该购买的股票数量δ。从这里开始，我们最终只有两个结果；股票价格要么上涨要么下跌。ν=50%δ=12.21095ν=50%n=0 n=1图4.1使用对数工具的单周期二项模型示例，其中参数值为r=。032，h=。09，k=。019，v=200.0，s=20.0示例1日志效用当查看特定的效用函数时，在Log的情况下，我们从最大化关于δ的E[U（VN）]开始。

然后，我们可以在一个单周期模型中获得关于财富的最优股票数量的方程，即^δ。^δ=v（1+r）（ν（h- r） +ν(-k- r） （）-s（h- r）(-k- r） 。例2电力利用率在对数效用中，我们将在一个单周期模型中求解关于财富的最优股数^δ。^δ=（（ν（h- r） ）γ-1.- (ν(-k- r） ）γ-1） （1+r）v（ν(-k- r） ）γ-1秒(-k- r）- （ν（h- r） ）γ-1s（h- r） 。例3指数效用与前面研究的效用类似，我们将在指数效用的一个周期模型中，求解与财富相关的最优股票数量^δ。^δ=ln（ν（h- r） （）- ln公司(-ν(-k- r） ）s（h+k）。预期较弱的财务价值74.2。N周期二项模型。在二项式模型中，一切都可以显式计算。例如，下面的定理给出了最小概率Pν的转移概率公式。使用条件概率公式和直接的组合参数很容易建立。我们注意到sni是概率Pν下的马尔可夫链。定理4.1。让我∈ {1，…，N- 1} 而我∈ {0，…，N- l} 。ThenPν（SN-l+1=（1+h）序号-l |序号-l=（1+hN-l-i（1- k） is）=l-1Pj=0l-1j（N）- 我- j） 。（N）- 我- （l）- 1） ）（i+1）（i+2）。（i+j）νi+jlPj=0lj公司（N）- 我- j） 。（N）- 我- （l）- 1） ）（i+1）（i+2）。（i+j）νi+jandPν（SN-l+1=（1- k） 序号-l |序号-l=（1+hN-l-i（1- k） is）=l-1Pj=0l-1j. . . （N）- 我- （l）- 1） ）（i+1）。（i+j+1）νi+j+1lPj=0lj公司（N）- 我- j） 。（N）- 我- （l）- 1） ）（i+1）（i+2）。

（i+j）νi+j。图4.2三周期二项模型的Pνn=0 n=1 n=2 n=3i=0ooi=1ooi=2oi=33ν+2ν+ν3ν+3ν+3ν+3ν+2ν+3ν+3ν+3ν+3ν+2ν+ν+2ν+2νν+3νν+2ν+3ν3ν+νν3ν+ννν+ννν+3ν3νν+3ν8 AMIRAN、BAUDOIN、BROCK、COSTER、CRAVER、EZEAKA、MARIANO、，和WISHARTFigure 4.3 Pν，针对一个三周期二项模型，具体选择νn=0 n=1 n=2 n=3ν=1/4··ν=1/2··ν=1/8··ν=1/815/249/242/31/35/94/93/52/54/51/51/43/4弱预期的财务价值9示例1（对数效用）S=25.90058S=23.762S=21 S=23.31052S=20 S=21.3858S=19.62 S=20.97947S=19.24722S=18.88152n=0 n=1 n=2 n=3图4.4三周期二叉树显示sn的值，其中参数为r=。032，h=。09，k=。019，v=200.0，s=20.0ν=25%δ=146.4281δ=76.48093ν=25%δ=12.21095δ=8.141736δ=-50.58155 ν= 25%δ= -107.9549ν=25%n=0 n=1 n=2 n=3ν=20%δ=251.9051δ=192.0971ν=40%δ=96.13333δ=112.1887δ=-32.0822 ν = 30%δ= -224.84ν=10%n=0 n=1 n=2 n=3图4.5三周期二叉树，显示了使用对数工具对ν的各种预期的δ值，其中参数为r=。032，h=。09，k=。019，v=200.0，s=20.0图4.5显示了两个具有设定值的不同三周期二叉树的示例。当预测具有均匀分布时，第一棵树显示时间n的δ值。然而，第二棵树显示了一个乐观的预期示例。人们可以看到，根据预期的分布，应该投资的股票数量会发生怎样的变化。例如，人们希望在乐观模型中购买更多股票，因为与所有概率相同的模型相比，随着时间的推移，股票价格上涨的可能性更大。