了解股票价格分布的财务价值

我们允许短期销售，因此δ可以取负值。进一步研究对数效用函数，我们可以使用定理2.2找到对数效用函数弱信息的财务值：我们首先求解λ。v=~E（1+r）N·Iλ（1+r）NdPdPν！10 AMIRAN、BAUDOIN、BROCK、COSTER、CRAVER、EZEAKA、MARIANO和WISHARTv=~E“（1+r）N·（1+r）Nλ·dPνd#P#λ=v。将λ代入弱信息方程的值，我们得到，u（v，ν）=EνUIλ（1+r）N·dPdPν！= Eνln（1+r）Nv·dPνdP！= 自然对数v（1+r）N+ Eν“lndPνdP#log实用程序的附加值为f（v，ν）=Eν“lndPνdP#,比例为π（v，ν）=Eν自然对数dPνdP自然对数v（1+r）N+ Eν自然对数dPνdP.评论因为我们只在时间N工作，所以我们可以写ef（v，ν）=Eνlndνd▄P ~ SN！.注意，这是ν相对于P~SN的相对熵。注意，F（v，ν）只是ν的函数，所以对于任何固定的ν，我们都知道F（v，ν）是常数。此外，对于任何固定ν，π（v，ν）是v的递减函数。因此，你越富有，你因预期而获得的效用比例就越低。在一个五周期二项模型中，通过以下四个预测，我们可以将上述函数视为v的函数。o精确：{0.01、0.01、0.95、0.01、0.01}o均匀分布：{1/6、1/6、1/6、1/6、1/6}o保守：{0.1、0.2、0.2、0.1}o风险中性：ν=p弱预测的财务价值11图4.6弱信息的价值。给定r=3%，h=8%，k=4%，图4.7弱信息的附加值。

给定r=3%、h=8%、k=4%图4.8增值比例r=3%、h=8%、k=4%12 AMIRAN、BAUDOIN、BROCK、COSTER、CRAVER、EZEAKA、MARIANO和WISHARTExample 2（电力公司）S=25.90058S=23.762S=21 S=23.31052S=20 S=21.3858S=19.62 S=20.97947S=19.2472S=18.88152n=0 n=1 n=2 n=3图4.9显示S值的三周期二叉树，其中参数Tersare r=。032，h=。09，k=。019，v=200.0，s=20.0ν=25%δ=146.4281δ=76.48093ν=25%δ=12.21095δ=8.141736δ=-50.58155 ν= 25%δ= -107.9549ν=25%n=0 n=1 n=2 n=3图4.10对数效用ν=25%δ=1198.038δ=445.6094ν=25%δ=155.1425δ=60。。08356δ= 5.909925 ν= 25%δ= -22.47464ν=25%n=0 n=1 n=2 n=3图4.11电力利用率两个不同的三周期二叉树，显示了δ值，用于使用不同的效用对ν进行相等的预测，其中常数与图4.5相同。在电力实用新型中，γ的值=。5图4.10和4.11显示了原木和电力设施之间的差异。由于对数效用是一种相对风险规避的效用函数（γ=0.5），与幂效用函数相比，δ的绝对值往往较小。就像日志实用程序一样，我们也可以为powerutility找到弱信息的财务价值。

现在我们将求解λ的值。E（1+r）N·λ（1+r）N·dPdPν！γ-1.= vλ=v（1+r）Nγγ-1E“d▄PdPνγ-1#γ-1.弱预期的财务价值13替换我们得到的λ，u（v，ν）=EνUIλ（1+r）N·dPdPν！= Eνγv（1+r）Nγγ-1E“d▄PdPνγ-1#γ-1·（1+r）N·dPdPνγγ-1.=vγ（1+r）NγγE“d▄PdPνγ-1#γ-1·Eνd▄PdPν！γγ-1..功率效用的附加值isF（v，ν）=vγ（1+r）NγγE“d▄PdPνγ-1#γ-1·Eνd▄PdPν！γγ-1.-vγ（1+r）Nγγ，比例为π（v，ν）=1-Eνd▄PdPνγγ-1.·E“d▄PdPνγ-1#1.-γ.对于电力公用事业，我们对固定ν有相反的关系，比例保持不变，增加值是初始财富的增加函数。图4.12弱信息值。假设r=3%，h=8%，k=4%14阿米兰、博多因、布罗克、科斯特、克雷弗、埃泽卡、马里亚诺和维沙特图4.13弱信息的附加值。如果r=3%，h=8%，k=4%，图4.14增值比例r=3%，h=8%，k=4%，示例3（指数效用），我们还可以找到指数效用弱信息的财务价值。Eνh-e-a^VNi=e-vα（1+r）N-NPi=0（Ni）~pN-i麒麟（Ni）~pn-iqiνi.我们首先求解λ。E（1+r）N·Iλ（1+r）NdPdPν！= vWe使用此公式，然后插入I.~E（1+r）N·-1α·lnλα（1+r）NdPdPν！= vWe然后求解λ为：λ=α（1+r）Ne-vα（1+r）N-Eν[d▄PdPνlnd▄PdPν].弱预期的财务价值15最后，我们可以使用我们的I和λ来插入我们的财富信息财务价值方程，以解决具体与指数效用相关的价值。u（v，ν）=EνUIλ（1+r）N·dPdPν！= Eν“-e-一-1αlnλα（1+r）NdPdPν#= e-vα（1+r）N-NPi=0（Ni）~pN-伊奇林（Ni）~pn-iqiνi.5.

不完全市场：三项式模型asas absacss bs bsaccss bcscsn=0 n=1 n=2对于三项式模型的一般情况，我们将我们的模型设为n个周期和样本空间Ohm = {ω，ω，ω}表示分别采用上部、中部和底部路径。设i为带payoff a的上路径的次数，j为带payoff b的中间路径的次数。那么i=0，N和j=0，N- i、 对于任何一个特定的终点，比如我们的股票上涨了i倍，那么- i+1 j的可能选项。因为每个唯一端点都是根据i和j唯一确定的，并且i=0，N、 那么我们可能的端点总数等于toN+1Xi=1i。重要的是要注意三项式模型或任何不完整模型与二项式模型之间的差异。首先，M不再是单身。更具体地说，M={P：}P（ω）（a-c） +~P（ω）（b）-c） =1+r-c、 P（ω）=1-P（ω）-~P（ω）}，我∈ {1，2，3}0<P（ωi）<1。知道我们没有唯一的鞅测度P，我们就不能进行完全复制，因此我们不能像对待完全市场那样使用鞅方法。以下是一种解释我们缺乏唯一鞅测度P的方法。bs的值不一定高于或低于acs，位置取决于a、b和c的值。16 AMIRAN、BAUDOIN、BROCK、COSTER、CRAVER、EZEAKA、MARIANO和WISHART5.1。优化效用。LetMn={Pn：~Pn是第n个周期}的等价鞅测度。请注意，由于我们正在研究鞅测度Pn，所以之前的周期和路径不会影响Pn。

设▄Pn，0为极值测度，使得对于b<1+r▄Pn，0（ω）=（1+r）-文学士-b、 ω=ωa-（1+r）a-b、 ω=ω0，ω=ω。对于b≥ 1+rPn，0（ω）=0，ω=ω（1+r）-cb公司-c、 ω=ωb-（1+r）b-c、 ω=ω。下一步，设▄Pn，1（ω）为极值测度，使得▄Pn，1（ω）=（1+r）-加利福尼亚州-c、 ω=ω0，ω=ωa-（1+r）a-c、 ω=ω。见【9】。请注意▄Pn，0，▄Pn，1/∈ 明尼苏达州。然而Pn∈ Mn，▄Pn是凸组合tn▄Pn，0+（1- tn）~Pn，1of▄Pn，0和▄Pn，1带tn∈ （0，1）对于所有n。注意，tn可能取决于n以及前一时期发生的情况。那么让b∈ B、 我们继续▄P（B）=N-1Yi=0（tiPi，0+（1- ti）~Pi，1）。因此，对于N=2，P（b）=ttP0,0P1,0+（1- t） tP0,1P1,0+t（1- t） P0,0P1,1+（1- t） （1）- t） P0,1P1,1。然后，我们确定▄P：=▄P0,0▄P1,0▄P：=▄P0,1▄P1,0▄P：=▄P0,0▄P1,1▄P：=▄P0,1▄P1,1。我们继续研究具有明显扩展的一般N周期模型。

因此，P（b）是j的pj的凸组合∈ {1，2，…，2N}。就预测而言，我们的氡-尼科德姆衍生物定义为j的dPjdν（ω）∈ {1，2，…，2N}。请注意，因为▄P是▄pjj的凸组合∈ {1，2，…，2N}，~EVN（1+r）N= vP<==> EPjVN（1+r）N= vj∈ {1，2，…，2N}。然后我们可以求解拉格朗日（见[9]），对于^VN，我们发现^VN（b）=INXj=1λj（1+r）NdPjdν（b）,弱预期17的财务价值，其中λj的满意度v=Eν（1+r）Nd▄PidνINXj=1λj（1+r）NdPjdν对于每个i∈ {1，2，…，2N}。通过【7】我们知道，由于U（x）的凹度，我们的λj是唯一的。示例1（日志实用程序）在从VNwe插件优化我们的三项式模型时，我给出了特定的实用程序函数。^VN（b）=（1+r）NNPj=1λjPj（b）ν（b），其中λj的满意度v=EνPi（b）NPj=1λjPj（b）对于每个i∈ {1，2，…，2N}。示例2（Power Utility）类似地，在Power Utility中，我们使用函数插入I.^VN（b）=NXj=1λj（1+r）NPj（b）ν（b）γ-1，其中λj的满足度yv=Eν（1+r）Nd▄PidνNXj=1λj（1+r）NdPjdνγ-1.对于每个i∈ {1，2，…，2N}。例3（指数效用）在指数效用中，我们的步骤与前面的函数类似。我们插入I.^VN（b）=-αln-1（1+r）NαNXj=1λjdPjdν（b）,其中λj的满足度v=Eν-（1+r）Nαd▄Pidνln-1（1+r）NαNXj=1λjdPjdν对于每个i∈ {1，2，…，2N}。5.2. 寻找最佳投资组合。认识到不完整的市场无法复制，我们找到最佳投资组合的方法需要相应改变。从5.1E召回VN（1+r）N= vP<==> EPjVN（1+r）N= vj∈ {1，2，…，2N}。18 AMIRAN、BAUDOIN、BROCK、COSTER、CRAVER、EZEAKA、MARIANO和Wisharthus，在这种约束条件下，如果EPjhVN（1+r）Ni=v，j∈ {1，2，…，2N}，我们的^vn可以通过自我融资投资组合复制。鉴于这一事实，我们可以确定我们的最优投资组合策略，δ。

δN-1： ^δn=^Vn+1（ωi）-^Vn+1（ωj）Sn+1（ωi）- Sn+1（ωj），对于i，j∈ {1，2，3}，i 6=j，n∈ {0，1，…，N- 1}.固定▄P∈ M、 我们可以发现^Vn=（1+r）N-n·E我NXj=1λj（1+r）NdPjdν|序号,插入求解^δ的表达式。更多解释请参见【9】。附录以下是关于完整市场中的一般离散情况。如第3节所述，我们将ψvas表示为初始财富v定理6.1中规定的自我融资投资组合集。折现财富过程是鞅测度Q下的鞅证明。见【9】。定理6.2。在自我融资投资组合的集合上最大化E[U（VN）]ψvis等价于最大化E[U（VN）]，前提是E[U（VN）]=v，~P是唯一的等价鞅测度。证据参见[8，引理4.9]。定理6.3。VN=Iλ（1+r）NdPdQ！更具体地说，当λsatifiesv=~E时，可获得最佳终端财富（1+r）NIλ（1+r）NdPdQ！.证据参见【9】第16页。参考文献【1】Fabrice Baudoin。金融市场预测建模。《巴黎普林斯顿数学金融讲座》，2002年，《数学课堂讲稿》第1814卷。，第43–94页。柏林斯普林格，2003年。[2] Fabrice Baudoin和Laurent Nguyen Ngoc。金融市场弱信息的金融价值。财务Stoch。，8(3):415–435, 2004.[3] 托马斯·比约克。连续时间套利理论。牛津大学出版社，2009年。[4] Ioannis Karatzas、John P.Lehoczky、Steven E.Shreve和Gan Lin Xu。不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。暹罗J.控制优化。，29(3):702–730, 1991.[5] D.Kramkov和W.Schachermayer。不完全市场中效用函数的渐近弹性与最优投资。安。应用程序。概率。，9(3):904–950, 1999.[6] 唐纳德·梅耶和杰克·梅耶。相对风险规避：我们知道什么？《风险与不确定性杂志》，31（3）：243–2622005年。[7] Stanley R.Pliska。

数学金融导论：离散时间模型。马萨诸塞州马尔登市布莱克威尔，1997年。[8] Mikl\'os R\'asonyi和Lukasz Stettner。离散时间金融市场模型中的效用最大化。安。应用程序。概率。，15(2):1367–1395, 2005.[9] W.Runggaldier。离散时间投资组合优化。博洛尼亚科学学院，2006年。[10] 史蒂文·E·史莱夫。金融随机演算I：二项式资产定价模型。斯普林格，2005年。弱预期的财务价值19+马萨诸塞大学阿默斯特分校，MA 01003，美国。电子邮件地址：aamiran@umass.edu+美国康涅狄格大学斯托尔斯分校，邮编06269。电子邮件地址：fabrice。baudoin@uconn.edu+科罗拉多梅萨大学，科罗拉多州格兰德联合大学，美国81501。电子邮件地址：snbrock@mavs.coloradomesa.edu+美国康涅狄格州斯托尔斯康涅狄格大学，邮编06269。电子邮件地址：berend。coster@uconn.edu+美国马里兰州大学帕克学院20742。电子邮件地址：rcraver@terpmail.umd.edu+美国马萨诸塞大学阿默斯特分校，MA 01003。电子邮件地址：uezeaka@umass.edu+美国康涅狄格大学斯托尔斯分校，邮编06269。电子邮件地址：phanuel。mariano@uconn.edu+美国康涅狄格州威利曼蒂克市东康涅狄格州立大学，邮编06226。电子邮件地址：wishartmar@my.easternct.edu