离散时间内负债现金流的价值取决于资本

对于t≥ 0，x∈ R、 u型∈ （0，1）和Ft+1-可测Z，letFt，-Z（x）：=P(-Z≤ x | Ft），F-1吨，-Z（1- u） ：=最小{m∈ R：英尺，-Z（米）≥ 1.- u} ，并定义风险价值和预期短缺的条件版本asVaRt，u（Z）：=F-1吨，-Z（1- u） ，ESt，u（Z）：=uZuVaRt，v（Z）dv。VaRt、Uan和ESt、Uar是以下更一般类型的条件货币风险度量的特例：设M是（0，1）的Borel子集上的概率分布，使得M具有关于Lebesgue度量的有界密度，或者M的支撑远离0和1，并且设ρt（Z）：=ZF-1吨，-Z（u）dM（u）。（13） 注意，VaRt，uis是通过选择M su ch that M（{1- u} ）=1，通过选择密度为v 7的M获得ESt和uis→ u-1(1-u、 1）（五）。定理2。对于p∈ [1, ∞], ρtin（13）是定义4意义上的条件风险度量。特别是对于p∈ [1, ∞], VaRt、UAN和ESt、UAR定义意义上的传统货币风险度量4。此外，对于非负常数λ，ρt（λ·）=λρt（·）。定理2的陈述来自于将命题4（i）与文献[9]中的备注5相结合；因此，省略了证明。从（7）和（8）可以看出，Ct和Vt是从Xt+1递归确定的，Vt+1如下：Ct=γt（Xt+1+Vt+1），Ct=0，（14）Vt：=Дt（Xt+1+Vt+1），Vt=0，（15），其中γt（Y）：=EQt[（ρt(-Y）- Y）+]，（16）Дt（Y）：=ρt(-Y）- γt（Y）。（17） 以下结果分析了映射以及它们如何继承条件货币风险度量ρt的属性。定理3。（i） 修复t∈ {0，…，T- 1} 和p∈ [1, ∞]. 假设Dt+1/Dt∈L∞（Ft+1，P），ρ是定义4意义上的有条件货币风险度量。那么，νtin（17）是从Lp（Ft+1，P）到Lp（Ft，P）的映射，其性质为λ∈ Lp（Ft，P）和Y∈ Lp（Ft+1，P），则φt（Y+λ）=φt（Y）+λ，（18）如果Y，eY∈ Lp（英尺+1，P）和Y≤eY，然后是Дt（Y）≤ Дt（eY），（19）Дt（0）=0。（20） （ii）固定t∈ {0，…，T- 1} 和1≤ p<p。

假设Dt+1/Dt∈ 每r的Lr（Ft+1，P）≥ 进一步假设对于任何p∈ [p，p]，ρ是定义4意义上的条件货币风险度量。然后，对于任何>0的情况，p- ≥ p、 ^1tin（17）可以定义为从Lp（Ft+1，p）到Lp的映射-（Ft，P），具有（18）-（20）性质。备注7。Vt=Vt（X）可被视为应用映射Vt:Lp（（Ft）Tt=1，P）的结果→ 有限合伙人-（Ft，P）至X∈ Lp（（Ft）Tt=1，P）适用于适当的≥ 0根据定理3。如果（Vt）Tt=0satis（15），其中Дtsatis（18）（20），则（Vt）Tt=0satis属性称为时间一致性：对于每一个时间（s，t），s≤ t、 两个条件（Xu）tu=1=（eXu）tu=1和vt（X）≤ Vt（eX）一起表示Vs（X）≤ Vs（eX）。有关时间一致性和相关概念的详细研究，请参见[5]和[6]。要求Dt+1/Dt∈ L∞（Ft+1，P）在定理3的陈述（i）中，对映射γt，Дt有了更清晰的定义。然而，Dt+1/Dt的有界性可能是一个限制性太强的要求。如陈述（ii）中所述，Dt+1/Dt的所有矩的有限性将是此处后续分析的适当要求。在定理3（i）或（ii）的假设下，从（15）和（18）得出Vt=Дto · · · o ^1T-1（Xt+1+···+Xt），（21）式中o· · ·o^1T-1确定mappin gs^1t的组成，^1T-1.那∈ Lp（Ft，P）在定理3（i）适用的情况下，或对于任何大于0的P- >0，Vt∈ 有限合伙人-（Ft，P），如果定理3（ii）适用。定义2定义了剩余负债价值（Vt）T-1t=0给定序列（Rt）T-1t=0和（Xt）Tt=1满足Rt，Xt∈ L（英尺，Q）。然而，通常从e开始，采用（13）中所述的有条件资产风险度量ρtof，并根据Pand而非Q确定适当的剩余负债现金流。

以下结果表明，这种确定剩余负债现金流价值和参考收入价值的方法与定义1和2完全一致。定理4。固定p>1和f或所有t∈ {1，…，T}，让Xt∈ Lp（英尺，英尺），letDt∈ 所有r的Lr（Ft，P）∈ [0, ∞), 而且，尽管如此∈ {0，…，T- 1} ，设ρtbe为满足（13）条件的货币风险度量。LeteVT=eRT=eCT=0，对于t∈ {0，…，T- 1} ，eVt=Дto · · · o ^1T-1（Xt+1+···+Xt），eRt=ρt(-Xt+1-eVt+1），eCt=γt（Xt+1+eVt+1）。然后，Xt，eRt∈ L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}和，对于T∈ {0，…，T- 1} ，eCt=ess supτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1（eRs-1.-eRs公司- Xs）i，eVt：=ess infτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1Xs+eRτ-1i。以下结果基本上表明：（1）向原始保险公司的复制投资组合中添加非随机现金流不会影响负债现金流的价值。原因是，Vwillchange会相应地改变，以设置添加的非随机现金流的影响。（2） 当且仅当ptt=1Xt=K时，对于某个常数K，参考值的所有权值始终为零。定理5。假设（Vt）Tt=0满足（15）和（νt）t-1t=0，由满足定理3的（i）-（ii）之一的（17）给出。（i） IfeXr=Xr+b，其中btis F-可测量所有t∈ {1，…，T}，然后，with ex：=Xo-eXrTXt=1EQeXrt公司+ V（eX）=TXt=1EQXrt公司+ V（X）和，对于所有t∈ {0，…，T- 1} ，eCt=EQt（ρt(-外景+1- Vt+1（eX））-外景+1- Vt+1（eX））+= EQt（ρt(-Xt+1- Vt+1（X））- Xt+1- Vt+1（X））+= 计算机断层扫描。（ii）如果有一个F-可测量的K，使得PTT=1Xt=K，则所有t的Ct=0∈ {0，…，T- 1} K=V.（iii）If，对于所有t∈ {0，…，T- 1} ，Ct=0，ρt为Y的性质∈ Lp（Ft+1，P）和Pt（Y≥ ρt(-Y））=1，然后是Y∈ Lp（Ft，P），（22）thenPTt=1Xt=V。推论1。

假设（Vt）Tt=0满足（15）和（νt）t-1t=0由（17）给出，其中ρt=ESt，Pf用于某些p∈ （0，1）和所有t。然后Ct=0 f或所有t∈{0，…，T- 1} 当且仅当PTT=1Xt=V时。以下示例说明了强独立性假设下的估价程序。虽然这一假设是人为的，但它导致了可以得出结论的明确公式。示例3。考虑现金流（Xt）Tt=1，因此Xt是s<t的独立抵销，并假设ρ是一个条件货币风险度量（13）。那么，由于XTis独立于FT-1，VT-1=ρT-1(-XT）- EQT-1[（ρT-1(-XT）- XT）+]=ρ(-XT）- 公式[（ρ(-XT）- XT）+]，并且自VT起-1此处为非随机和XT-1独立于FT-2，VT-2=ρT-2(-XT公司-1.- 及物动词-1)- EQT-2[（ρT-2(-XT公司-1.- 及物动词-1) - XT公司-1.- 及物动词-1） +]=VT-1+ ρ(-XT公司-1) - 公式[（ρ(-XT公司-1) - XT公司-1)+].重复上述参数yieldsVt=Vt+1+ρ(-Xt+1）- 等式[（ρ(-Xt+1）- Xt+1）+]，VT=0，即VT=TXs=t+1ρ(-Xs）- 公式[（ρ(-Xs）- Xs）+]对于所有t都是非随机的。特别是，Rt=ρ(-Xt+1- Vt+1）=ρ(-Xt+1）+Vt+1，Ct=等式[（ρ(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1）+]=等式[（ρ(-Xt+1）- Xt+1）+]。如果进一步存在iid序列（Zt）Tt=1和非随机序列（ut）Tt=1和（σt）Tt=1，且σt相关，使得XT和ut+σtztare分布相等，则CT=σtEQ[（ρ(-Z）- Z） +]，Vt=TXs=t+1us+TXs=t+1σsρ(-Z）- 公式[（ρ(-Z）- Z） +].尤其是，可能无法找到连接值Ct的关系。2.2复制投资组合定义3将负债现金流的初始价值定义为复制投资组合的市场价格EQ【PTt=1Xrt】和剩余负债现金流的价值之和。或者，Lis是投保人对现金流的Q预期，最好由参考承诺的所有人阻止。如备注1所述，为了讨论负债现金流的价值，必须选择复制投资组合。

原始保险公司应根据规定适当标准的监管要求，决定指定用于负债现金流的复制投资组合。（在没有监管要求的情况下，由于保险公司的偏好不同，复制投资组合的特征可能会有很大不同。）然后，外部强加的资本要求规定了必须如何根据num'eraire资产中的头寸修改该复制投资组合。根据规定资本要求的监管框架，最终复制投资组合在通过资产数量头寸进行修改后，始终是可以接受的。应该强调的是，在一般情况下，复制投资组合的现金流可能来自任意复杂的动态策略，这取决于所选的复制投资组合选择标准和复制工具集。唯一的硬限制是现金流Xris是原始保险公司决定的投资组合或战略的结果，参考承诺的所有者可能不会以任何方式影响Xr的结果。从监管者的角度来看，要求复制投资组合合理地复制负债现金流是合理的，从而使参考承诺的初始值和后续值CTO相当适中。保险公司可以强制原保险公司拥有复制的投资组合，并为负债现金流提供金额头寸。然而，监管人无法保证在转移负债现金流时以及在整个负债清偿期间，外部方将提供潜在的大额现金流。

从实践的角度来看，如果原始保险公司遇到财务压力，与较小的CTI相对应的复制良好的负债更有可能成功转移。下面将详细分析选择复制投资组合以最小化所有Ct的预期的数学问题，请参见（26），以及经过充分研究的备选方案。考虑m（贴现）现金流Xf，k=（Xf，kt）Tt=1，k=1，可用金融工具的m，并用XFRM值过程表示，以便XFT表示时间t现金流的（列）向量。组合权重向量为v的组合∈ 代表m仪器单位数量的Rm生成现金流VTxStatTime t。文献中考虑了选择复制投资组合的各种条件。优化问题∈RmTXt=1EQh（Xot- vTXft）i1/2（23）在【17】中称为现金流匹配。在m ild条件下，[17]中的定理1（和2）表明存在一个最优（唯一最优）解。另一个现金流匹配问题是NFV∈RmTXt=1EQh（Xot- （23）和（24）之间的比较见【15】。优化问题INFV∈RmEQh公司TXt=1（Xot- vTXft）i1/2（25）在【15】、【16】和【17】中被称为终值匹配。这是一个具有显式解bv=EQ的标准二次优化问题Xf，1·Xf，1·Xf。Xf，1·Xf，m·。。。。。。Xf，m·，Xf，1·。Xf，m·Xf，m·-1EQXo·Xf，1·。。。Xo·Xf，m·如果存在矩阵倒数，这里的SUBScript·m表示指数t的总和。复制投资组合选择标准应具有这样的性质：如果可能实现完美复制，则最佳复制投资组合现金流BVTXFSaties Xo=bvTXf。

这一要求确保了市场一致性负债价值：对于可复制的负债现金流，L=PTt=1EQ[Xot]。备注8。通过用EPQ代替期望方程得到的优化问题（23）、（24）和（25）的版本也可能是合理的。请注意，如果唯一可用的复制工具是所有到期日t=1，…，的num'eraire资产中的零息票债券，T（或者，相当于到期日为T=1，…，T和共同执行价格为0的num'eraire资产上的欧式ropean看涨期权），然后m=T，xf是T×T单位矩阵。在这种情况下，infv∈RmTXt=1EPh（Xot- vTXft）i=infv∈RmTXt=1EPh（Xot- vt）i，唯一的最优解是bv=EP[Xo]，它被称为实际最佳估计储量。请注意，给定上述一组复制工具，任何满足PTt=1bvt=PTt=1EP[Xot]的bv都是通过将期望方程替换为EP获得的终结值问题（25）版本的最佳解决方案。在我们的设置中，时间t的参考承诺值isCt=EQt[（ρt(-Xt+1- Vt+1）- Xt+1- Vt+1）+]。参考收入的所有者必须提供金额CTR，以满足外部强加的资本要求。从实践的角度来看，保险监管机构无法保证提供的金额。不提供CTS意味着所有者终止所有权，并将复制投资组合传递给投保人。复制不足导致不确定是否可能继续支付债务。因此，为了保单持有人的利益，监管机构应提供良好的初始申请，使所有CTA都可能很小。因此，我们考虑优化问题INFV∈Rmψ（v），ψ（v）：=EQhmaxt∈{0，…，T-1} Cvti，（26），其中，对于t=0。

T- 1，Cvt：=当量（Rvt- Xvt+1- Vvt+1）+I，带Xv：=Xo- vTXf，Vvt：=Vt（Xv），Rvt：=ρt(-Xvt+1- Vvt+1）。请注意，由于属性（10）和（18），优化问题（26）中的目标函数在Xvbyconstant向量（无风险现金流）的平移下是不变的。因此，如果将num'eraire资产中的无风险现金流作为复制工具，则（26）不会有唯一的最佳解决方案。有关更精确的陈述，请参见下面的定理5。备注9。如果（RSt）Tt=0，由RSt给出：=Pts=1Xs+Rt，是（Q，F）-上鞅，那么（Ct）Tt=0是（Q，F）-上鞅：Ct=EQt[（Rt- Xt+1- Rt+1+Ct+1）+]≥ Rt公司- EQt【Xt+1+Rt+1】+EQ【Ct+1】≥ 等式[Ct+1]。特别是，在这种情况下，C=0意味着所有t的Ct=0∈ {0，…，T}。注意，（RSt）Tt=0是（Q，F）-上鞅，当EQt[Rt-Rt+1-Xt+1]≥ 0表示所有t∈ {0，…，T- 1}. 从这一观察结果和（1）可以看出，（RSt）Tt=0是一个（Q，F）-超鞅的假设意味着，在每个时间t，下一期现金流对参考企业所有者的财务价值是非负的。最后，应该注意的是，很容易找到（Ct）Tt=0不是（Q，F）-上鞅的例子，参见上面的例子3。优化问题（23）-（26）都可以表示为infv∈Rmψ（Xo- vTXf）对于映射ψ：Lp（（Ft）Tt=1，Q）→ R+满足ψ（0）=0，即完美复制的最优性。minimizerbXr的存在：=bvtxf可以表示为ψ（Xo-bXr）=infv∈Rmψ（Xo- vTXf）。（27）下面的定理8给出了（26）中存在极小值bv的条件。备注10。考虑一个不完全可复制的负债现金流Xo，并假设存在唯一的最小bv to（27）。XoisL（Xo）=bvTEQhTXt=1Xfti+V（Xo）的值- bvTXf）。考虑另一项负债现金流量：=Xo+Yo，仅通过完全可复制的术语Yo=vTYXf与Xo不同。

自2005年以来∈Rmψ（eXo- vTXf）=infv∈Rmψ（eXo- （v+vY）TXf）=infv∈Rmψ（Xo- vTXf），最佳复制投资组合权重由bv+Vyf确定，根据该权重，ExoIsl（eXo）=（bv+vY）TEQhTXt=1Xfti+V（eXo- （bv+vY）TXf）=（bv+vY）TEQhTXt=1Xfti+V（Xo- bvTXf）=EQhTXt=1Yoti+L（Xo），即Xo的值与Xo的值之间的差值由Yo的市场价格决定。Lseen作为估值运营商的这一属性本质上是市场一致性，即[18]中定义3.1的意义。备注11。确定性复制投资组合现金流量bxr=EP【Xo】对应于经典的精算最佳估计准备金，并解决了在num’eraire资产复制工具中仅使用无风险现金流量的现金流量匹配问题，见备注8。在这种情况下，根据定理5，L=TXt=1EP[Xot]+V（Xo- EP【Xo】=V（Xo）。特别是，如果V（Xo）≥PTt=1EP【Xot】，然后L≥PTt=1EP【Xot】。如备注8所述，任何确定的现金流量（PTt=1bXrt=PTt=1EP【Xot】都是（替代）终值问题的最佳解决方案INFV∈RmEPh公司TXt=1（Xot- vTXft）i、 仅将num'eraire资产中的无风险现金流作为复制工具。在这种情况下，根据定理5，L=TXt=1EQ[bXrt]+VXo公司-bXr公司= V（Xo）。现在，我们根据投资组合选择标准（26）解决存在最优复制投资组合的问题，以及负债现金流价值作为复制投资组合的投资组合权重函数的连续性。对于t∈ {1，…，T}，d e finezt：=（Xot，-（Xft）T）T（28）和，对于w∈ Rm+1，eXwt：=wTZt。请注意，剩余负债现金对应于w=1的xww。引入这种符号的主要原因是，它允许我们为强制力制定充分的条件，这将导致存在最佳复制投资组合的充分条件，见下面的定理7。定理6。

设（Dt）Tt=0满足定理3中的条件（i）或（ii）。假设，对于每个t∈ {0，…，T-1} ，ρt:Lp（Ft+1，P）→ （17）中的Lp（Ft，P）是定义4意义上的有条件货币风险衡量指标，适用于每种货币∈ [1, ∞] 在ρt的意义上是L-Lipschitz连续的(-Y）- ρt(-eY）|≤ 保留[| Y-eY |]，Y，eY∈ L（英尺+1，P）。对于一些K∈ (0, ∞). 如果（Zt）Tt=1∈ Lp（（Ft）Tt=1，P）对于某些P>1，则Rm+1 w 7→ φo · · · o ^1T-1.TXt=1eXwt和Rm V7→ V（Xv）是Lipschitz连续的。对于t=0，T- 1，seteVwt：=Дto · · · o ^1T-1.TXs=t+1eXws,eRwt：=ρt-eXwt+1-eVwt+1,eCwt：=当量（eRwt-eXwt+1-eVwt+1）+i，eψ（w）：=EQhmaxt∈{0，…，T-1} eCwti。在温和的条件下，可以表明由（26）给出的eψ和ψ是强制性的，即lim | w|→∞eψ（w）=∞, lim | v|→∞ψ（v）=∞.定理7。假设t=0，T- 1，ρ在ρt（λY）=λ的λρt（Y）意义上是正齐次的∈ R+。假设f进一步为inf | w |=1eψ（w）>0。然后lim | w|→∞eψ（w）=∞ 和lim | v|→∞ψ（v）=∞,其中ψ是gi-venby（26）。备注12。注意，条件inf | w |=1eψ（w）>0意味着不可能实现完美复制。它还将无风险现金流列为复制工具。论点如下。如果其中一种复制工具具有无风险现金流x，那么对于某些w，Xf，k=x P-a.s.，然后Xf，k=x Q-a.s.，wTZ=x∈ Rm+1，w=1。Theneψ（w）=0。对于t∈ {0，…，T- 1} ，设置ρot、 t型-1:=ρt，t=t- 1，ρto (-ρt+1）o · · · o (-ρT-1） ，t<t- 1、定理8。假设f或t=0，T-1，ρt在ρt（λY）=λ的λρt（Y）意义上是正均匀的∈ R+。进一步假设ψin（26）是连续的，并且对于所有w∈ Rm+1 \\{0}存在t∈ {0，…，T- 1} 如此之多ρot、 t型-1.- ρot+1，t-1.- 重量（Zt+1+···+Zt）> 0> 0，（29），其中Zt+1，Zt由（28）给出。然后存在一个最优解bv∈ Rmto（26）。备注13。