离散时间内负债现金流的价值取决于资本

监管迫使保险公司遵守外部强加的资本要求。这些要求限制了保险公司的资产组合。资产的一个子集形成了一个复制投资组合，在某种程度上影响了负债现金流。根据负债现金流的可复制程度，可复制的投资组合可以是任何形式，从简单的数量资产头寸到根据当时已知的策略动态重新平衡并随后固定的资产组合。复制投资组合的现金流由F适应的随机过程Xr=（Xrt）Tt=1给出。复制投资组合的价值可以用asPTt=1EQ【Xrt】表示。然而，负债现金流不能按TT=1EQ【Xot】进行估价，因为Xot是投保人有权获得但并非必要的现金流（由于参考承诺所有人持有违约选择权），他们将收到现金流。我们将根据当前的偿付能力法规（【14】和EIOPA规定的p，见【7，第38条】）确定负债现金流Xo的价值，方法是考虑将负债和复制投资组合假设转移给一个称为参考承诺的单独实体。参考承诺最初既没有资产也没有负债，其唯一目的是管理负债的流失。参考承诺的所有权是通过从保险公司购买来实现的，该保险公司已将其负债以及复制投资组合和在num’eraire资产中的头寸转移至参考承诺。使参考承诺书符合强制资本要求的金额。经典套利定价参数将确定参考企业所有权的价格C，具体如下。

所有权的好处是有权获得下文所述的某些股息，直到负债现金流的流动完成，或者直到参考承诺对保单持有人的义务违约为止。“违约”一词是指参考承诺的所有权终止。具体细节如下：在时间0：与现金流量Xo对应的负债、与现金流量Xo对应的复制投资组合和金额从保险公司转移到参考承诺，其中Ris是使参考承诺精确满足外部强加资本要求的金额通过向原始保险公司支付金额，所有者获得参考承诺的全部所有权。因此，从原始保险公司长期转让的资产净值为Qhtxt=1Xrti+R- C、 o在时间t=1时：业主有权选择违约或不违约。违约决定意味着给予惠普所有权，并将兰德复制投资组合转让给投保人。业主未收到任何股息支付，也未因违约决定而遭受任何损失。如果T>1且决定不违约，则需要新的Num'eraire资产金额，以使参考承诺准确满足外部强加的资本要求。如果R- R- Xo+Xr≥ 0，则为正盈余R- R- Xo+Xr≥ 0支付给所有人，Xo（投保人有权获得）支付给投保人。如果R- R- Xo+Xr<0，则所有者面临必须通过注入-R+R+Xo- Xr>0。在这种情况下，Xois支付给投保人。如果T=1，则上述对保单持有人和所有人现金流的描述在设置R=0时适用在时间t∈ {2, . . .

，T}：如果所有者没有违约，则情况与T=1描述的时间完全类似。综上所述，参考企业的所有人必须确定在何种情况下发生违约的决策规则。默认时间为停止时间τ∈ S1，T+1，其中St，T+1表示F停止时间集，取{T，…，T+1}中的值。事件{τ=T+1}被解释为在任何时候都没有违约的完全责任运行。业主的累计现金流可写为τ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt），Xt：=Xot- Xrt。（1） 根据标准套利理论，该现金流（1）的价值为EQhτ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）i.（2）我们假设参考承诺书的所有人选择一个最大化值（2）的defaulttimeτ。因此，参考承诺的时间0的值Isupτ∈S1，T+1EQhτ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）i.（3）用于t∈ {1，…，T}，参考承诺时间T的（贴现）值，有时无违约≤ t、 通过将（3）中的sup替换为与Q相关的基本sup（详见【10】中的附录A.5）和F条件的完全类似表达式给出。注意，由于在时间>t时没有现金流发生，参考承诺的值在时间t时为零。因此，参考承诺的价值可以确定为Americantype衍生产品的价值。有关美国衍生品无套利定价的详细信息，请参见[10]第6.3节。定义1。考虑带有Xt的序列（Xt）Tt=1和（Rt）Tt=0∈ L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}. 连接：=ess supτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i，t∈ {0，…，T- 1} ，（4）CT：=0。CTI是指在没有违约时间的情况下，参考承诺在时间t的价值≤ t、 示例1。

考虑业主在T=1对应的简单单周期设置中的默认选项可能会很有启发性。在时间t=1时违约的决定意味着投保人收到了现金流R+X，而推荐承诺的所有人没有支付也没有收到任何东西。鉴于在时间t=1时不违约的决定，投保人收到XOR，而所有人收到盈余R- Xo+Xrif如果该金额为非负金额，或支付正金额-（R）- Xo+Xr）设定折旧。由于业主没有义务在时间t=1时向投保人支付折旧费，因此很明显，只有当R- Xo+Xr<0。因此，在时间t＝0时参考承诺的值为EQ[（R- Xo+Xr）+]。注意τ=1如果R- Xo+Xr<0,2如果R- Xo+Xr≥ 0givesEQ[（R- Xo+Xr）+]=等式[I{τ=1}·0+I{τ=2}（R- Xo+Xr）]=supτ∈S1,2EQhτ-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）当T=1和T=0时，i与（4）一致。考虑t=0，设τ*表示最佳默认时间，以便在τ=τ时达到（3）中的上限*. 那么，保单持有人的累计现金流为，X：=Xo- Xr，τ*-1Xt=1Xot+TXt=τ*Xrt+Rτ*-1=TXt=1Xrt+τ*-1Xt=1Xt+Rτ*-1=TXt=1Xrt+R-τ*-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）。因此，流向投保人的现金流的无套利价值，即原始保险公司负债的价值，isEQhTXt=1Xrti+EQhR-τ*-1Xt=1（Rt-1.- Rt公司- Xt）i，其中第一项为复制投资组合的市场价格，第二项为剩余负债价值。对于t∈{0, . . .

，T}，T时的剩余负债价值，如果有时没有违约≤ t由替换τ后的完全相似表达式给出*按故障时间τ*t从时间t:Rt看，这是最佳的- 方程hτ*t型-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i=Rt- 计算机断层扫描。请注意，RT- Ct=Rt- ess supτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i=ess infτ∈St+1，T+1季度-τ-1Xs=t+1（Rs-1.- 卢比- Xs）i=ess infτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1Xs+Rτ-1i。定义2。考虑带有Xt的序列（Xt）Tt=1和（Rt）Tt=0∈ L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}. 定义：=ess infτ∈St+1，T+1EQthτ-1Xs=t+1Xs+Rτ-1i，t∈ {0，…，T- 1} ，（5）VT：=0。VT是时间t的剩余负债价值，有时无违约≤ t、 定义3。考虑序列（Xot）Tt=1，（Xrt）Tt=1，（Rt）Tt=0和Xot，Xrt∈L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}. 设置Xt：=Xot- Xrt。然后lt：=EQthTXs=t+1Xrsi+Vt，t∈ {0，…，T}，（6）其中vt由定义2给出。LTI是时间t的责任值，有时无违约≤ t、 示例2。作为示例1的延续，在T=1的简单单期设置中考虑保单持有人的现金流可能会很有启发性。如示例1所示，所有者对违约的最佳执行意味着在时间t=1时，投保人收到（R+Xr）I{R- Xo+Xr<0}+XoI{R- Xo+Xr≥ 0}=Xr+R- （R）- Xo+Xr）+，其中左侧的第一项是违约时保单持有人的现金流，第二项是无违约现金流。因此，保单持有人现金流的Q-预期i sEQ[Xr+R- （R）- Xo+Xr）+]=当T=1和T=0时，其与（6）一致。备注1。要说估值方法与市场一致，一个必要的要求是，可复制金融负债应按其市场价格进行估值。

如果Xo是完全可复制的，并且选择了复制投资组合，因此Xr=Xo，则剩余负债现金流为X：=Xo- Xr=0。如果资本要求X=0意味着所有t的Rt=0，则定义2得出V=0。如下面第2.1节所述，通过选择Rt：=ρt，该属性成立(-Xt+1- Vt+1），其中ρ是定义4意义上的有条件货币风险度量。因此：=EQhTXt=1Xrti+V=EQhTXt=1xoti只是可复制现金流Xo的市场价格。因此，市场一致性要求估价框架与选择复制投资组合的适当标准相结合。迄今为止，选择复制投资组合的标准并未纳入一般估值框架的数学中。然而，标准的选择对于确保良好的经济性能和框架的全面运行非常重要。保险监管机构有必要明确规定必须采用的标准，以获得独特的责任价值。第2.2节介绍了复制portfolioselection的合适标准和更多细节。有关市场一致性的进一步评论，请参见第2.2节中的备注10。我们现在准备陈述一个关键结果。可以说，定义1和2中定义的参考承诺值和剩余责任值的序列（Ct）Tt=0和（Vt）Tt=0可以等效为一对反向递归的EDA解。此外，它提供了从参考企业所有者的角度来看是最佳的停车时间的明确表达式。定理1。考虑序列（Xot）Tt=1，（Xrt）Tt=1，（Rt）Tt=0和Xot，Xrt∈L（Ft，Q）表示t∈ {1，…，T}，RT=0和RT∈ L（Ft，Q）表示t∈ {0，…，T-1}.

设置Xt：=Xot- Xrt。（i） 如果序列（Ct）Tt=0和（Vt）Tt=0由定义1和2给出，则Ct=EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，CT=0，（7）Vt=Rt- EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，Vt=0。（8） （ii）停车时间（τ*t） t型-1t=0给定b yτ*t=inf{s∈ {t+1，…，t}：Rs-1.- Xs型- Vs<0}∧ （T+1）在（4）和（5）中是最优的。（iii）如果序列（Ct）Tt=0和（Vt）Tt=0由（7）和（8）给出，则对于t∈ {0，…，T- 1} ，C和V分别由（4）和（5）给出。下面的备注说明了定理1如何导致后续确定剩余负债值（Vt）Tt=0的程序。备注2。我们将在续集中选择Rt：=ρt(-Xt+1- Vt+1）对于条件货币风险度量ρtsuch，如风险值VaRt、uor ExpectedShorth ESt、Utat，在下面的第2.1节中介绍。假设（Xt）Tt=1和（ρt）t-选择1t=0，以便Rt∈ L（Ft，Q），（Vt）Tt=0的定义2以及定理1（ii）中的最佳停车时间导致以下顺序确定（Vt）Tt=0的程序t=t：RT=0，VT=0。ot=t- 1:RT-1=ρT-1(-XT），τ*T-1=T如果ρT-1(-XT）- XT<0，T+1，否则，VT-1=EQT-1hI{τ*T-1=T+1}XT+I{τ*T-1=T}RT-1i.ot=t- 2： RT公司-2=ρT-2(-XT公司-1.- 及物动词-1),τ*T-2=inf{s∈ {T- 1，T}：Rs-1.- Xs型- Vs<0}∧ （T+1），VT-2=EQT-2hτ*T-2.-1Xs=T-1Xs+Rτ*T-2.-1i.o等等。t=0：R=ρ(-十、- 五） ，τ*= inf{s∈ {1，…，T}：Rs-1.- Xs型- Vs<0}∧ （T+1），V=方程hτ*-1Xs=1Xs+Rτ*-1i。下面的备注说明，定理1可以通过识别此处考虑的现金流，以及形成[10]中美国意外事件估值表中关键成分的过程和停止时间来证明。备注3。LetHt：=t-1Xs=1（Rs-1.- 卢比- Xs），t∈ {0，…，T+1}，UT+1：=HT+1，UT：=HT∨ EQt【Ut+1】，t∈ {0, . . .

，T}。根据【10】中的定理6.18以及定义1和2，Ut=ess supτ∈St，T+1EQt[Hτ]=ess supτ∈St+1，T+1EQt[Hτ]∨ Ht=（Ht+1+Ct）∨ Ht=（Ht+Rt-1.- Rt公司- Xt+Ct）∨ Ht=Ht+（Rt-1.- Xt公司- Vt）+。由于H=H=0遵循U=C。设τ（t）max：=min{s≥ t:EQs[美+1]<美}∧ （T+1），T∈ {0，…，T}。根据文献[10]中的定理6.21，τ（t）max是最大的最优停止时间，即最优停止问题的最大解ess supτ∈St+1，T+1EQt[Hτ]∨Ht。我们观察到，与上面类似，对于s>0，我们有eqs[Us+1]<Us<==> 等式[美国+1]<Hs<==> Hs+1+Cs<Hs<==> 卢比-1.- Xs型- Vs<0。类似地，对于s=0，等式[U]<U<==> C<0，这在当前设置中是不可能的。因此，条件是τ（t）max>t，τ（t）max=τ*t、 其中τ*在定理1中定义。使用此停止策略，条件是τ（t）max>t，Ut=（Ht+Rt-1.- Rt公司- Xt+Ct）∨ Ht=Ht+Rt-1.- Rt公司- Xt+Ct=Ht+1+Ct，Ut=Ht∨ EQt[Ut+1]=EQt[Ut+1]=EQt[Ht+1+（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=Ht+1+EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]从中可以看出（7），因此也可以看出（8）。以下备注表明，由于参考企业所有者的有限责任，累积剩余价值过程是一个（Q，F）子鞅，这进一步导致了原始责任价值的上限。备注4。从（8）中注意到，累积剩余责任价值过程（VSt）Tt=0，VSt：=tXs=1Xs+Vt，（9）是一个（Q，F）-子变量：EQt[VSt+1]=tXs=1Xs+EQt[Xt+1+Vt+1]=tXs=1Xs+Rt- EQt[Rt- Xt+1- Vt+1]≥tXs=1Xs+Rt- EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=VSt。相当地，Vt≤ 所有t的EQt【PTs=t+1Xs】。尤其是V≤ 等式[PTt=1Xt]和随后的等式=EQhTXt=1Xrti+V≤ EQhTXt=1Xotiregardless的复制投资组合选择。

在【11】中，非负值EQ【PTt=1Xot】- Lis被称为默认选项的值。该值的存在是由于限制责任，这反过来又导致投保人无法收到其应得的全额付款。下面的备注说明，估价方法始终可以用资本估价成本来表示。备注5。注意VT=Rt- EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=Rt-1+ηtEPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]定义ηt时：=EPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]EQt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]- 1、资本成本评估是考虑所有者（资本提供者）的时间t一期可接受性标准t[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]=（1+ηt）（Rt- Vt）对应于预期超额回报率ηt，以提供资本值Ct=Rt- v时间t。因此，给定定价度量Q，负债现金流的市场一致性价值始终可以解释为资本价值成本。选择Q是合理的，因此ηt≥ 0代表所有t。此外，如果X代表不可归责的保险风险，那么要求Vt是合理的≥ EPt【PTs=t+1Xs】对于所有t，这相当于累积剩余负债价值过程VSin（9）是一个（P，F）-超鞅。可以证明，如果VS是a（P，F）-上鞅，那么ηt≥ 0表示所有t:Vt=Rt-1+ηtEPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，Vt≥ EP[Xt+1+Vt+1]=Rt- EPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]，共同产生ηt≥EPt[（Rt- Xt+1- Vt+1）+]EPt[Rt- Xt+1- Vt+1]- 1.≥ 从备注4可以清楚地看出，如果Vs是（P，F）-超鞅，则新qt[PTs=t+1Xs]≥ 所有t的EPt【PTs=t+1Xs】，即。

EQt[PTs=t+1Xs]是对剩余剩余负债现金流之和的更为保守的估计，而不是EPt[PTs=t+1Xs]。2.1有条件货币风险衡量的资本要求如果没有说明序列（Rt）Tt=0如何取决于序列（Xot）Tt=0、（Xrt）Tt=0和（Vt）Tt=0，则上述估值框架无法运行。我们将在下面定义映射ρt的项s:Lp（Ft+1，P）→ Lp（Ft，P），并给出Rt的含义Rt=ρt(-Xt+1- Vt+1）。定义4。对于p∈ [0, ∞] 和t∈ {0，…，T-1} ，条件货币风险度量是映射ρt:Lp（Ft+1，P）→ Lp（Ft，P）满足ifλ∈ Lp（Ft，P）和Y∈ Lp（Ft+1，P），则ρt（Y+λ）=ρt（Y）- λ、 （10）如果Y，eY∈ Lp（英尺+1，P）和Y≤eY，然后ρt（Y）≥ ρt（eY），（11）ρt（0）=0。（12） A序列（ρt）t-1t=0的条件货币风险度量称为动态货币风险度量。备注6。请注意，资本要求是根据概率度量EP的（Xt）Tt=1和（Vt）Tt=1的特征定义的，而V值是作为递归（8）的解获得的，用条件Q期望表示。这一事实给计算带来了挑战。特别是，我们需要用P-期望来表示Q-期望，以便解决（8）中的向后递归。我们首先回顾了当前法规中使用的有条件货币风险度量，然后考虑一种更一般的风险度量，为后续分析提供有效的结构。