离散时间内负债现金流的价值取决于资本

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英文标题：
《The value of a liability cash flow in discrete time subject to capital
  requirements》
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作者：
Hampus Engsner, Kristoffer Lindensj\\\"o and Filip Lindskog
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The aim of this paper is to define the market-consistent multi-period value of an insurance liability cash flow in discrete time subject to repeated capital requirements, and explore its properties. In line with current regulatory frameworks, the approach presented is based on a hypothetical transfer of the original liability and a replicating portfolio to an empty corporate entity whose owner must comply with repeated one-period capital requirements but has the option to terminate the ownership at any time. The value of the liability is defined as the no-arbitrage price of the cash flow to the policyholders, optimally stopped from the owner\'s perspective, taking capital requirements into account. The value is computed as the solution to a sequence of coupled optimal stopping problems or, equivalently, as the solution to a backward recursion.
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中文摘要：
本文的目的是在重复资本要求下，定义离散时间内保险责任现金流的市场一致性多期价值，并探讨其性质。根据当前的监管框架，提出的方法基于将原始负债和复制投资组合假设转让给空的公司实体，其所有者必须遵守重复的一期资本要求，但有权随时终止所有权。负债价值定义为向投保人提供的现金流的无套利价格，从所有人的角度来看，考虑到资本要求，这是最佳停止。该值计算为一系列耦合最优停止问题的解，或等效为向后递归的解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：离散时间 现金流 Requirements Quantitative Mathematical

离散时间内负债现金流的价值取决于资本要求Shampus Engsner*, Kristo Offer Lindensj+和Filip Lindskog 2018年8月13日摘要本文的目的是在重复资本要求下，确定离散时间内保险责任现金流的市场一致性多期价值，并探索其性质。根据当前的监管框架，所提出的方法基于将原始负债和再复制投资组合假设转让给空的公司实体，其所有者必须遵守重复的一期资本要求，但有权随时终止所有权。负债的价值定义为保单持有人现金流的无套利价格，从所有者的角度来看，考虑到资本要求，这是最优的。该值是根据一系列耦合最优停止问题的解计算的，或等效地作为反向递归的解计算的。1引言本论文的目的是根据现行监管框架，在重复资本要求的情况下，确定离散时间内负债现金流的市场一致性多期价值，并探讨其性质。将在保险责任上下文中研究估价程序。

然而，如果债务人负有有限责任并面临资本要求，则可将估价程序用于任何负债。从本质上讲，如果选择了一个最佳的复制投资组合，外部强加的资本要求将市场一致的可变现价值定义为，如果将其转让给一个空的公司实体（称为转介企业），其所有者有权终止所有权（有限责任，违约选择权）。*汉普斯。engsner@math.su.se; 斯德哥尔摩大学数学系+kristo Offer。lindensjo@math.su.se; 斯德哥尔摩大学数学系lindskog@math.su.se; 斯德哥尔摩大学数学系负债应解释为公司的总负债，即在规定资本要求的水平上。转让和估价程序可以总结如下：1。我们假设以下项目转移至无其他资产或负债的参考企业：i）待估价的负债，ii）称为复制组合的资产组合，其现金流至少部分用于设定负债现金流，以及ii）数字资产金额，这使得参考承诺在转让时准确地满足了强加的资本要求。2、我们假设参考承诺的所有人具有有限责任，因此可以选择在未来任何时候不再为参考承诺提供进一步融资，这是一种违约选择。我们假设参考承诺不能改变转移的复制投资组合。3、我们假设市场是无套利的，即存在等价的定价措施。

我们通过将参考企业的价值与特定美国型金融衍生工具的价格进行识别，得出参考企业的价值：参考企业所有者的贴现累计最佳停止现金流的价格，同时考虑有限责任和资本要求。同样，负债的价值定义为保单持有人的贴现累计现金流的价格，从参考承诺所有人的角度来看，这是最佳的停止。由于有违约选择权，投保人有权获得的现金流与他们收到的现金流并不相同。上述程序产生的负债价值取决于复制投资组合的构成和资本需求。我们主要关注有条件货币风险措施方面的资本要求，如风险价值和预期短缺。我们考虑了选择replicatingportfolio的几个标准。虽然只有在适当选择复制投资组合标准的情况下，从估价程序中获得的负债值才是市场一致的，但估价程序并未假定特定的复制投资组合标准或特定的条件货币风险度量序列。【14】中提出的市场一致性负债估值方法是本论文的主要灵感来源。在[14]中，提出了基于动态复制和资本成本参数的评估框架。在【9】中，受【14】的启发，一个基于动态货币风险度量和动态货币效用函数的估价框架提出了一个在高斯模型假设下导出的经验估价公式。

【14】和【9】之间的一个本质区别是，在后一种设置中，在整个负债期间，在负债转移后，不允许修改转移到参考企业的复制投资组合以及负债。这与本文提出的估价方法相同。参考承诺的所有人只有权决定终止参考和接受的所有权（违约选择权）。在[9]中，假设给出了复制投资组合，分析仅侧重于负债现金流的多期估值。未分析选择复制投资组合的标准。本文的一个大的部分集中在复制投资组合选择标准的现有性质上。本文第2.2节中最自然的标准是，一个良好的复制投资组合是指在参考业务中需要大量的股本，以减少负债的流失。此外，在本文件中，负债价值（见定义2和3）由衍生工具证券的无套利定价暗示，该衍生工具证券的期权性写在参考企业所有者的累计现金流上。在R标记5中，我们证明了衍生证券定价所用定价方法的选择与资本成本率的调整过程之间存在对应关系，资本成本率确定了资本提供者在整个负债流动期间提供偿付能力资本的可接受标准。近年来，将投资组合理论应用于资本需求计算引起了人们的极大兴趣。

其中，未来负债现金流的价值被建模为与市场对贴现未来负债现金流之和的定价措施相关的有条件预期值。由于这种负债价值的计算通常是不可行的，我们可以通过将负债现金流（或其价值）替换为交易复制工具组合的现金流来寻求准确的近似值。然后，将风险度量应用于负债价值的近似值，得出资本需求的近似值。在【3】、【15】、【16】和【17】中，对资本计算的复制投资组合方法的各个方面进行了研究。使分析有点复杂的一个事实是，定义资本要求的风险度量是根据真实世界的概率度量P来定义的，而复制标准通常是用市场定价度量Q来表示的。不同复制标准的属性和效果的比较在[15]、[16]和[17]中给出。在[3]中，我们展示了如何制定复制投资组合理论，以便能够有效复制具有路径依赖性的负债价值。工程【3】、【15】、【16】和【17】的共同点是，负债价值定义为贴现负债现金流总和的有条件预期值。这与此处介绍的方法不同。如上所述，我们不会对投保人有权享有的负债现金流进行定价，而是对他们收到的现金流进行定价，同时考虑了限额负债和资本要求。在过去十年中，对动态风险度量和动态风险调整值进行了详细分析，参见[1]、[2]、[4]、[5]、[6]、[8]以及其中的重要参考文献。

这一领域的许多研究都旨在建立一般函数分析环境中动态风险度量的性质和表示结果，特别是有界随机过程和风险度量的凸性要求下。我们要考虑无限责任现金流的模型。此外，在我们的设定中，参考企业所有人的有限责任意味着，这里出现的动态估值映射通常是非线性、非凸和非凸的，无论对定义资本需求的条件风险度量施加的额外结构如何。我们将只假设定义资本要求的条件风险度量的非常基本的属性，即所谓的平移不变性、单调性和归一化。特别是，这些较弱的要求允许在实践中广泛使用的风险度量值的有条件版本。[18]提出了另一种市场一致性负债估值方法，将无套利估值和精算估值结合到一个通用框架中。[18] 介绍了两步市场评估的概念。在对交易资产价格的未来发展进行调整后，对剩余风险进行了首次精算定价。其次，注意到第一步的结果是一个以交易资产价格表示的随机变量，经典的线性金融定价算子适用于第一步的结果。此外，在[18]中还显示了如何将两步市场评估扩展为动态时间一致性评估。我们的估值方法是两步市场一致性评估，根据重复资本要求，假设复制投资组合和负债转移至参考企业。

首先，选择一个最佳的复制投资组合。然后，通过对投保人将收到的累计现金流应用线性定价算子来评估负债，同时考虑资本要求和参考承诺所有人的违约选择权。保险公司很清楚违约选择权的经济价值及其对保险责任价值的影响，参见第2节中的例[11]和备注4。应该强调的是，在我们的设置中，定价措施只是众多在不完全无套利金融市场中正确定价交易金融工具的措施之一。特别是，选择定价运营商的灵活性允许选择定价运营商，以便不可复制保险风险的定价可以解释为风险规避资本提供者的资本估值成本，详情见第2节备注5。在【13】中，制定了保险产品和保险责任的定价框架。该方法依赖于效用差异定价和金融市场的最优交易。[13]中没有考虑破产（违约）的可能性，这使得设置与本文中的设置截然不同。在监管框架Solvency II的激励下，在与本文类似的多期不完全市场环境中，在[12]中深入研究了最佳估计准备金，作为将负债作为最佳估计和风险边际之和进行估值的一部分。在【12】中，最佳估计被定义为对冲负债现金流的最佳投资组合策略的价值。

我们设定的负债价值可以（见定义3）表示为复制投资组合的市场价格和取决于剩余（复制后）负债现金流的期限之和。然而，最佳估计储量并不是本文件中自然出现的对象，除非将最佳估计储量与重复投资组合进行了识别，而重复投资组合不是动态的，因为参考企业的所有者不允许对其进行修改。本文的组织结构如下：第2节介绍了一般负债评估框架。三个主要成分如下：（1）参考企业的所有权价值与经典金融套利估值一致，因为最佳停止（贴现）净现金流入参考企业所有者的无套利价值，（2）负债价值定义为向投保人提供的（贴现）现金流的无套利价值，从参考承诺所有人的角度来看，以最佳方式停止，（3）这些定义相当于（1）和（2）中两个值的两个耦合反向递推，最佳停止时间明确确定。第2.1节和第2.2节通过在第2.1节中将资本要求与有条件货币风险度量的负债现金流联系起来，以及在第2.2节中，提出复制投资组合的最佳（在各种意义上）选择的持续标准，使一般金融服务可操作。应用估值框架会带来与评估其他类型金融衍生品时出现的数字挑战类似的数字挑战。特别是，闭式解是罕见的例外。

在第3节中，我们发现在高斯模型假设下，在P和q两种情况下，所有的动力学都可以显式计算。所有证据见第4.2节估价框架。我们认为时间段1，T，对应的时间点0，1，T，和过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），其中F=（Ft）Tt=0{, Ohm} =F · · ·  FT=F，P表示实际测量值。我们用范数EP[| X | P]1/P为Ft可测随机变量X的赋范线性空间编写P（Ft，P）。随机变量之间的等式和不等式应在P-几乎确定意义下解释。我们使用约定SPK-1l=k：=0和inf := +∞ 对于空索引集上和空集范围内的su ms。我们使用符号（x）+：=max（0，x）。我们假设给定的num'eraire过程（Nt）Tt=0，并且所有财务价值都通过该num'eraire进行贴现。特别是，金钱的时间价值不会在任何地方明确出现。虽然num'eraire的选择与分析无关，但我们将num'eraire视为银行账户num'eraire：N=1，NTI是在时间t前滚动一期无风险债券的初始单位投资的金额。无风险现金流（ct）Tt=0是一系列F-可衡量的ct，对应于从时间0到时间t前滚的金额。我们假设存在一个严格的正（P，F）-鞅（Dt）Tt=0，EP[Dt]=1，通过Dt=dQ/dP | Ft定义无套利不完全金融市场的等价定价度量Q，即，对于u>t和a可积Fu可测Z，EQtZ=DtEPt公司杜兹,式中，eqt和ept中的下标t表示对Ft的条件作用。我们假设金融市场中存在一家保险公司，其总保险负债与F-适应随机过程Xo=（Xot）Tt=1给出的负债现金流相对应。