波动率不确定性下的Hull-White模型

那么B是P下的标准布朗运动。没有波动不确定性的经典赫尔-怀特模型假设短期利率过程r=（rt）t≥满足随机微分方程RT=r+Ztu（u）- αrudu+σBt（2.1），适用于适当可积函数u：R+→ R和常数α，σ>0。因此，短期利率是一个具有恒定波动性的均值回复过程。在存在波动率不确定性的情况下，我们考虑一系列概率度量，其中每个度量表示对波动率的不同信念。波动率的状态空间由σ的区间[σ，σ]给出≥ σ > 0. 我们用所有[σ，σ]值的F适应过程的集合来表示。也就是说，A由以两个极值为界的所有可能的进化过程组成。对于每个σ=（σt）t≥0∈ A、 我们定义了过程Bσ=（Bσt）t≥0by，Bσt：=ZtσudBu，我们将度量Pσ定义为过程Bσ的规律，即Pσ：=Po （Bσ）-我们称所有这些度量的集合为P：={Pσ|σ∈ A} 信念集sinceP包含关于波动性的所有信念。现在，规范化过程在信念集合中的每个度量下都有不同的可用性。此外，我们将子线性期望^E定义为信念集的上期望，^E[ξ]：=支持∈所有可测ξ的PEP[ξ]，使得所有P都存在EP[ξ]∈ P、 如果ξ表示财务损失，那么^E可以理解为风险度量。一般来说，E代表最坏的情况衡量标准。波动率的不确定性自然会导致G-布朗运动。根据Denis、Hu和Peng【24】，^E对应于LG的G期望(Ohm) 正则过程B是^E下的G-布朗运动。G-期望通过非线性方程定义，其中非线性生成器G:R→ R由g（a）=supσ给出∈[σ，σ]{σa}。LG公司(Ohm) 是定义G期望的随机变量空间。

也有人试图扩大G-期望的范围。在这里，我们使用经典空间，以便能够应用G-布朗运动文献中的所有结果。我们识别随机变量ξ，ξ′∈ LG公司(Ohm) 如果它们相等，则q uasi肯定，即P-几乎肯定为所有P∈ P、 相当于^E[|ξ- ξ′|] = 0. 如果我们需要指出一个语句在哪一组度量下是肯定的，那么我们也会使用terminologyP准肯定。关于G-布朗运动的微积分的详细信息可以在彭的书中找到【43】。G-布朗运动是为建模波动率不确定性而定制的，因为它没有平均不确定性，只有方差不确定性。这意味着，对于所有t，^E【Bt】=0=-^E[-Bt]，^E[Bt]=σt≥ σt=-^E[-英国电信]。因此，G-布朗运动的二次变化是一个不确定的过程，对于所有t，满足σt≥ hBit公司≥ σt。因此，规范过程在平均值上是明确的，并且在最大σ和至少σ的波动率下演化。前面的不等式表明，如果没有波动率不确定性，即σ=σ，则B是具有常数波动率的标准布朗运动。我们用G-Brownian运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程描述了短速率的行为。我们选择与经典Hull Whitemodel中相同的结构。不同之处在于，我们将恒常波动性和标准布朗运动替换为G-布朗运动，从而包含波动不确定性。因此，短期过程r应该由G-随机微分方程RT=r+Zt给出u（u）- αrudu+Bt（2.2）用于适当可积函数u：R+→ R和常数α>0。因此，短期利率具有与时间相关的均值回归水平（确定性）和与时间相关的可用性（不确定性）。

这是可取的，因为我们可以使用均值回归水平来拟合收益率曲线，并且我们不必指定任何波动率结构。应该注意的是，（2.2）对应于（2.1），即，如果σ=σ=σ，没有波动不确定性的经典情况。描述短期利率动力学的G-随机微分方程有一个闭式解。根据彭[43]的定理5.1.3，我们知道（2.2）对于每T<∞. 空间MG（0，T）由具有一定规律性的随机过程组成，用于定义G-布朗运动计算中的随机积分。与经典情况一样，我们可以显式求解（2.2）。提案2.1。G-stocha微分方程（2.2）的解为n byrt=e-αtr+中兴通讯-α（t-u） u（u）du+中兴通讯-α（t-u） dBu。（2.3）证明。这可以通过使用G-布朗运动的It^o公式来验证【38，定理5.4】。验证工作完全类似于标准布朗运动的经典情况。短期利率没有平均不确定性，但具有不确定性方差。我们可以很容易地证明，短期利率的较高预期与其较低预期一致。因此，短期利率的平均值是确定的。此外，我们可以证明，短期利率与其平均值的平方偏差的上下期望值是由具有最高、最低可能波动率的经典赫尔-怀特模型的方差给出的。因此，短期利率有一个不确定方差，该方差由两个极值限定。定理2.1。对于所有t，短期利率rtsaties^E【rt】=E-αtr+中兴通讯-α（t-u） u（u）du=-^E[-rt]，（2.4a）^E（rt-^E【rt】）=σ2α(1 - e-2αt）≥σ2α(1 - e-2αt）=-^E- （rt-^E【rt】）. （2.4b）证明。首先，我们概述如何获得（2.4a）。（2.3）右侧的前两个总和具有确定性。

我们知道，关于G-Brownian运动的积分的上期望和下期望均为零。因此，它适用于（2.4a）。为了显示（2.4b），我们使用了Hu、Ji、Peng和Song的非线性Feynman-Kac公式【34】。我们定义了过程X=（Xt）t≥0表示r与其平均值的偏差，即Xt：=rt-^E【rt】=中兴通讯-α（t-u） dBu。通过命题2.1，我们知道X解G-随机微分方程xt=-ZtαXudu+Bt。然后过程Y=（Yt）0≤t型≤T、 由Yt定义：=^Et[XT]，由Yt=u（T，XT）[34，定理4.4，4.5]给出，其中函数u：[0，T]×R→ R是非线性偏微分方程的唯一粘度解tu+G(徐）- αxxu=0，u（T，x）=x。可以验证非线性偏微分方程的解由u（T，x）=σ2α（1）给出- e-2α（T-t） ）+e-2α（T-t） x.这证明了（2.4b）中的第一个等式。第二步遵循相同的步骤。3相关债券市场相应的债券市场包括货币市场账户和所有可能到期的零耦合债券。首先，我们确定一个有限时间τ<∞ 假设所有交易都发生在有限的时间范围内[0，τ]。该市场包括以下投资机会。第一个是投资于货币市场账户，该账户按短期利率r增长。货币市场账户是一个由M=（Mt）0表示的过程≤t型≤τ和由mt给出：=expZtrsds公司.除了货币市场账户外，市场还为时间范围内的所有到期日提供零息票债券。对于T≤ τ，到期时间为T的债券的价格用T的Pt（T）表示≤ T债券的最终收益为1，即所有T的PT（T）=1。从今以后，我们使用货币市场账户作为数字。

这就是说，我们限制贴现债券▄P（T）=（▄Pt（T））0≤t型≤T对于T≤ τ，由▄Pt（T）定义：=M-1磅（T）。我们假设，对于所有T，贴现债券▄P（T）是一个扩散过程，即▄Pt（T）=▄P（T）+Ztαu（T）du+Ztβu（T）dBu+Ztγu（T）dhBiufor过程α（T）=（αT（T））0≤t型≤T、 β（T）=（βT（T））0≤t型≤T、 γ（T）=（γT（T））0≤t型≤TinMG（0，T）。这是一个技术假设，可使以下定义起作用。该假设在所有后续场景中都得到了满足。代理人可以通过选择交易策略来创建投资组合来参与市场。选择市场策略意味着他们可以选择一定数量的贴现债券进行交易，并决定在时间范围内每次购买或出售多少。相关投资组合的价值是与价格过程相关的市场策略的组成部分。这意味着，假设交易策略是自我融资。定义3.1。容许市场策略（π，T）是由有界过程π=（πT，…，πnt）0组成的一对≤t型≤τ单位为MG（0，τ；Rn），向量T=（T，…，Tn）∈ [0，τ]n组n∈ N、 终端时间对应的投资组合价值由▄vτ（π，T）：=nXi=1ZTiπitd▄Pt（Ti）确定。通过使用大型金融市场的方法【36】或通过允许在所有到期日范围内进行连续交易【11】，可以推广对交易一定数量贴现债券的限制。在这里，我们仅限于交易大量折扣债券，因为这种泛化不是模型的目标。我们使用套利的准肯定概念。套利的经典定义取决于模型的潜在概率度量。由于我们在存在波动性不确定性的情况下处理不止一个度量，因此我们需要考虑一个与经典定义略有不同的定义。

以下套利定义与稳健金融文献中常用的定义相对应【例如，12】。定义3.2。如果▄vτ（π，T），则可接受的市场策略（π，T）称为套利策略≥ 0准肯定，Pvτ（π，T）>0> 0表示至少一个P∈ P、 此外，如果没有套利策略，我们可以说债券市场是无风险的。这是一个弱于要求策略必须是套利的经典意义上的所有措施。不同之处在于，在每种衡量标准下，绝对积极获胜的概率并不一定是绝对积极的。4鞅建模大多数短期利率模型使用鞅建模方法来确保相关债券市场无套利。数学金融中的一个标准结果是，市场是无套利的，当且仅当市场上的交易量在一个与真实世界度量相等的度量下是鞅，称为资产定价基本定理。短期利率模型的常见做法是鞅模型，因为债券市场是不完整的。不完全意味着不存在唯一的鞅测度，但存在许多鞅测度。因此，通常假设在给定鞅测度下，短期利率满足一定的动力学。然后选择债券价格，使贴现债券在外生给定鞅测度下为鞅，以排除套利。在存在波动不确定性的情况下，鞅建模要求贴现债券在^E下是对称的G-鞅。如果存在波动不确定性，则信念集包含相互奇异的测度。因此，信念集合没有支配性度量，这意味着不可能找到一个与信念集合中的所有度量相等的鞅度量。

Bouchardand-Nutz【12】针对离散时间案例，以及Biagini、Bouchard、Kardaras和Nutz【9】针对连续时间案例，建立了可能非支配信念集下资产定价的基本定理。粗略地说，该定理认为，无套利等价于一组鞅测度的存在，而在某种意义上，鞅测度等价于一组信念。这意味着，价格过程必须是等价测度集中每个测度下的鞅。因此，如果我们想在存在波动不确定性的情况下遵循鞅建模方法，我们需要假设我们的信念集是一组外部给定的鞅度量。然后我们需要选择债券价格，使贴现债券在信念集的每个度量下都是鞅。在信念集的每个度量下都是鞅，这等价于在^E下是对称的G-鞅。这种鞅建模方法在没有套利的情况下的效率如下所示。提案4.1。如果贴现债券P（T）在所有T的^E下是非对称G鞅，则债券市场是无套利的。证据我们假设存在一个套利策略（π，T），并证明这导致了一个矛盾。根据定义3.2，它保持▄vτ（π，T）≥ 因此，我们知道|vτ（π，T）|=vτ（π，T），这意味着^E[|vτ（π，T）|]=^E[vτ（π，T）]。利用定义3.1和^E的次线性，我们得到了^E[~vτ（π，T）]≤nXi=1^EhZTiπitdPt（Ti）i。根据对称G鞅的表示定理[48，定理4.8]，对于所有T，存在一个过程H（T）=（Ht（T））0≤t型≤Tin-MG（0，T），使▄Pt（T）=▄P（T）+ZtHu（T）dBu。由于πiis是MG（0，τ）中的有界过程，我们有πiH（Ti）∈ MG（0，Ti）表示所有i。因此，对于所有i，^EhZTiπitdPt（Ti）i=^EhZTiπitHt（Ti）dBti=0。

结合前面的步骤，我们得到▄vτ（π，T）=0，这是一个矛盾顶部vτ（π，T）>0> 0表示至少一个P∈ P、 因此，不存在套利策略。不幸的是，我们可以证明赫尔-怀特模型中的鞅建模方法在存在波动率不确定性的情况下不起作用。鞅模型仅在波动率不存在不确定性的经典情况下有效。在这种情况下，债券价格显然由经典赫尔-怀特模型的债券价格给出。定理4.1。贴现债券P（T）是^E下的对称G鞅，当且仅当σ=σ，且债券价格由pt（T）=exp给出Aσ（t，t）- B（t，t）rt（4.1）对于所有t，其中Aσ，B：[0，τ]×[0，τ]→ R、 对于σ>0，定义为σ（t，t）：=ZTtσB（s，T）- u（s）B（s，T）ds，（4.2a）B（t，t）：=α（1- e-α（T-t） ）和（4.2b）。证据首先，假设贴现债券P（T）是^E下的对称G-鞅。我们证明了在信念集的每个测度下，贴现因子的期望是相同的。对称G鞅的定义和键的终端条件意味着▄Pt（T）=^Et[▄P（T，T）]=^Et[M-1T]，~Pt（T）=-^Et[-~P（T，T）]=-^Et[-M-1T]对于所有t.组合前面的方程式并设置t=0 Yieldsupp∈政治公众人物【M】-1T]=infP∈政治公众人物【M】-1T），（4.3），这反过来意味着-1在每种测量下都是一样的。现在，我们使用经典赫尔-怀特模型中的债券价格表达式来说明（4.3）意味着σ=σ和（4.1）。让我们考虑度量Pσ，Pσ∈ P分别由最高和最低可能波动率引起。M的期望-1t在Pσ和Pσ下由epσ[M]给出-1T]=经验值Aσ（0，T）- B（0，T）r,EPσ[M-1T]=经验值Aσ（0，T）- B（0，T）r,分别为【10，第22.4.4小节】。根据（4.3），后面的表达式相等。

从（4.2a）和（4.2b）中，我们可以看出，只有当σ=σ时，这才成立。由于σ=σ意味着P={Pσ}，我们回到了没有波动不确定性的经典情况。在这种情况下，债券价格由（4.1）给出。接下来，假设σ=σ，债券价格由（4.1）确定。然后，我们又回到了没有波动不确定性的经典情形，贴现债券显然是Pσ下的鞅。由于P={Pσ}，贴现债券也是不对称G鞅。5等效次线性预期为了找到无套利期限结构，我们考虑以下类型的公共预期，由G-倒向随机微分方程定义。设λ=（λt）0≤t型≤对于某些p>1，τ是MpG（0，τ）中的有界过程。对于ξ∈ 液化石油气(Ohmτ） 当p>1时，我们通过Et[ξ]：=Yξt定义次线性期望值E，其中Yξ=（Yξt）0≤t型≤τ解G-倒向随机微分方程ξt=ξ+ZτtλuZudu-ZτtZudBu- （Kτ- Kt）。那么‘E’是一个时间一致的次线性期望【34，定理5.1】。读者可以参考胡、季、彭和宋的论文【34】，了解有关G-Backward随机微分方程的所有细节。我们可以证明，上述类型的次线性期望与初始次线性期望等价，因为与两个次线性期望相关的自然形式所诱导的空空间是相同的。引理5.1。对于ξ∈ 液化石油气(Ohmτ） 当p>1时，ξ=0，如果'E[|ξ|]=0，则在l y上ξ=0。证据在我们展示这一论断之前，我们明确地解决了G-倒向随机微分方程定义E。

为此，我们考虑扩展的▄G-期望空间（▄Ohmτ、 L▄G（▄Ohmτ） ，E）与规范过程（B，~B）=（Bt，~Bt）t≥0，其中▄Ohmτ=C（[0，τ]）和发生器G:S→ R由▄G（A）=supσ给出∈[σ，σ]trσ 11 σ-1.A..C（[0，τ]）和sde分别注记了从0开始的[0，τ]上所有R值连续路径的空间和所有对称2×2矩阵的空间。那么Yξ由Yξt=E给出-1t▄Et【Eτξ】【34，定理3.2】，其中过程E=（Et）0≤t型≤τ由et定义：=expZtλudBu-ZtλudhBiu.现在，我们通过将▄E和▄E表示为一系列概率测度的上期望来展示这一断言。必须证明当且仅当ξ的E[|ξ]=0时，E[|ξ]=0∈ 液化石油气(Ohmτ） 当p>1时，因为我们知道对于所有ξ，E[ξ]=^E[ξ]∈ LG公司(Ohm). 如第2节所述，我们可以在（）Ohmτ、 B（yenOhmτ） ）使▄E[ξ]=sup▄P∈对于所有ξ，PEP[ξ]∈ L▄G（▄Ohmτ). 此外，E求解G-随机微分方程et=1+ZtλuEudBu。这意味着E是对称G-鞅，满足▄E[Eτ]=1。因此，对于▄P∈P，我们可以定义一个概率度量Ohmτ、 B（yenOhmτ） ）乘以Q（P）：=Eτ·P。由于Eτ>0P-准肯定，我们知道Q（P）~P。如果我们现在定义Q：={Q（▄P）▄P∈P}，weget？E[ξ]=supQ∈QEQ[ξ]适用于所有ξ∈ 液化石油气(Ohmτ). 由于Q由等价测度组成，我们得到ξ=0P-拟序当且仅当ξ=0 Q-拟序确定。因此，证明是完整的。因此，我们可以证明，如果存在上述类型的等价次线性期望，其中贴现债券是对称G-鞅，那么债券市场上就不存在类似的情况。提案5.1。如果贴现债券P（T）在所有T的E下为不对称G鞅，则债券市场是无套利的。证据我们使用Hu、Ji、Peng和Song的引理5.1和G-Brownian运动的Girsanovtransformation证明命题4.1。