波动率不确定性下的Hull-White模型

假设存在一个套利策略（π，T）。根据定义3.2，它保持▄vτ（π，T）≥ 0，这意味着|▄vτ（π，T）|=▄vτ（π，T）。通过引理5.1，我们得到了‘E[| vτ（π，T）|]=’E[| vτ（π，T）]。利用定义3.1和“E”的次线性，我们得到了“E[~vτ（π，T）]≤nXi=1'EhZTiπitd'Pt（Ti）i。通过G-布朗运动的Girsanov变换[34，定理5.2]，过程'B=（'Bt）0≤t型≤τ、 由“Bt”定义：=Bt-Ztλudu是E下的G-布朗运动。由于P（T）是E下的对称G-鞅，对于所有T，存在一个过程H（T）=（Ht（T））0≤t型≤Tin-MG（0，T）使▄Pt（T）=▄P（T）+ZtHu（T）d▄Bu。因此，在命题4.1的证明中，对于所有i，我们得到了“EhZTiπitd”Pt（Ti）i=“EhZTiπitHt（Ti）d”Bti=0。结合前面的步骤，我们通过引理5.1得到了“vτ（π，T）=0，这是一个矛盾的顶部vτ（π，T）>0> 0表示至少一个P∈ P、 因此，不存在套利策略。6无套利期限结构存在上述类型的等价次线性期望，其中贴现债券是对称G鞅。我们定义了过程q=（qt）0≤t型≤τbyqt：=中兴通讯-2α（t-u） dhBiu。通过应用G-Brownian运动的It^o公式，我们观察到q satifiesqt=hBit-Zt2α去离子。如果我们使用过程q来定义第5节中的等效次线性预期，我们会得到一个次线性预期，在该次线性预期下，债券价格有一个唯一的表达式，使得贴现债券是对称G鞅。下面给出了选择过程q的理由。定理6.1。设λ=q。则所发现的债券P（T）是E下的对称G-鞅，当且仅当债券价格由pt（T）=exp给出A（t，t）- B（t，t）rt-B（t，t）qt（6.1）对于所有t，其中A，B：[0，τ]×[0，τ]→ R由a（t，t）定义：=-ZTtB（s，T）u（s）d s（6.2）和（4.2b）。证据

首先，我们证明了进程X=（Xt）0≤t型≤T、 定义byXt：=expA（t，t）- B（t，t）rt-B（t，t）qt-Ztrsds公司,是^E下的对称G-鞅。应用它的G-布朗运动toX的^o公式可以得到动力学Xt=X+Zt乌苏都-ZtB（u，T）XudBu+Zt′uXudhBiu，其中漂移项 = (t） 0个≤t型≤坦德′= (′t） 0个≤t型≤皮重由给出t： =tA（t，t）- tB（t，t）rt- B（t，t）tB（t，t）qt- B（t，t）（u（t）- αrt）+B（t，t）αqt- rt公司=tA（t，t）- u（t）B（t，t）-tB（t，t）- αB（t，t）+1rt公司- B（t，t）tB（t，t）- αB（t，t）qt，′t： =-B（t，t）+B（t，t）=0。函数A和B满足tA（t，t）=u（t）B（t，t），tB（t，t）=αB（t，t）- 分别为1。因此，我们得到xt=X+ZtB（u，T）Xuqudu-ZtB（u，T）XudBu。由于前面的方程是一个具有有界系数的线性G-随机微分方程，它有一个唯一的解，单位为MG（0，T）。因此，X∈ MG（0，T），表示Xt∈ LG公司(Ohmt） 对于所有t，通过G-Brownianmotion的Girsanov变换，过程“B=（”Bt）0≤t型≤τ、 由“Bt”定义：=Bt-Ztqudu是E下的G-布朗运动。因此，X是E下的对称G-鞅。使用第一步，我们现在证明这个断言。如果▄P（T）是▄E下的对称G-鞅，则对于所有T，它保持▄Pt（T）=▄Et[▄Pt（T）]=▄Et[M-1吨]。由于X也是E下的对称G-鞅，且a（T，T）=0=B（T，T），我们得到XT=\'Et[XT]=\'Et[M-1T]对于所有t。因此，对于所有t，我们有▄Pt（t）=XT，这相当于（6.1）。相反，如果（6.1）成立，我们得到所有T的▄Pt（T）=XT，因此▄P（T）在证明的第一步是对称G鞅。我们使用过程q来获得无套利期限结构，因为它是不确定波动率的调整因子。

定理4.1的证明表明，在波动率不确定性存在的情况下，贴现债券不可能是^E下的对称G鞅，因为贴现因子的期望值在信念集合中不是相同的forevery测度。正如定理2.1所示，由于短期利率在每个指标下都有不同的方差，因此P中各指标的期望值不同。因此，为了统一各指标下贴现因子的期望值，我们需要根据其方差的不确定性来调整短期利率。以下等式表明，过程q是一个合适的调整因子，因为它包含与短期利率方差相同的信息。根据命题2.1和关于G-布朗运动的积分的标准性质[43，命题3.4.5]，我们得到了^E[（rt-^E[rt]]=^Eh中兴通讯-α（t-u） dBui=^EhZte-2α（t-u） dhBiui=^E【qt】。因此，我们设置λ=q，并使用G-布朗运动的Girsanov变换，通过其方差调整短期利率。然后，短期利率按照动态SRT=r+Zt演变u（u）- αru+qu另一个重要的观察结果，可以从q的动力学中推断出来，是过程q平均值向G-布朗运动的二次变化方向，从而向短速率的二次变化方向，恢复速度是短速率的两倍。因此，这一过程总是朝着对波动率的正确信念进行调整，而波动率事先是未知的。从经济角度来看，设置λ=q也是合理的。在定理6.1的证明中，我们看到，在时间T上，到期日为T的零息票债券在货币市场账户上的瞬时超额收益由B（T，T）qt给出。除以扩散系数-B（t，t），我们得到风险的市场价格-qt。

一般来说，市场风险价格衡量的是，与每单位风险投资于货币市场账户相比，我们在债券方面做得有多好。由于q是正的，我们使用负的风险市场价格。这是适当的，因为债券在这个模型中没有风险。他们在到期时有一个1的特定支付，即没有违约风险。另一方面，投资货币市场账户是有风险的，因为短期利率是仓促且不确定的。因此，我们使用代表短期利率方差的过程来衡量货币市场账户的风险和不确定性。所以我们也可以参考-q为市场价格的不确定性。为了将定理6.1中的债券价格与传统模型中的价格进行比较，我们推导了一个调整因子，将两个表达式联系起来。我们用Pσt（t）表示具有恒定波动率σ的传统赫尔-怀特模型的债券价格，Pσt（t）定义为：=expAσ（t，t）- B（t，t）rt,其中Aσ（t，t）和B（t，t）分别由（4.2a）和（4.2b）定义。当前模型Pt（T）的债券价格由（6.1）给出。那么我们有pt（T）PσT（T）=exp-ZTtσB（s，T）ds-B（t，t）qt.右侧的表达式表示一个调整因子，我们可以使用该因子从传统模型迁移到波动率不确定的模型。通过检查调整系数，我们注意到传统模型和当前模型之间存在以下差异。由于调整因子小于1，因此本模型中的债券价格小于经典模型中的价格，没有波动不确定性。此外，我们还发现，依赖于波动率σ的平方项在Pt（T）中缺失。相反，根据市场价格的不确定性，我们在Pt（T）中有一个额外的术语。

因此，价格与波动性以及波动性的界限无关，这在大多数处理pricingunder波动性不确定性的模型中都是如此。这还意味着，由于指数中的附加部分在初始时间消失，因此初始时间的债券价格对应于无白噪声的赫尔-怀特模型确定性版本中的价格。尽管如此，在将标准赫尔-怀特模型拟合到初始屈服曲线后，这也适用于该模型。与经典的a ffine模型相比，债券价格现在与短期利率和市场价格的不确定性有关。这种结构类似于具有随机波动性的短期利率模型[31，39]。然而，债券价格中的额外因素不是波动性，而是朝着短期利率二次变化的当前值进行调整的过程。在Casassus、Collin Dufresne和Goldstein[17]的短期利率模型中可以发现惊人的相似结构，该模型显示了非计划随机波动性。该模型中价格的最重要影响如下。首先，我们设法获得一个期限结构，该结构对于波动率本身和波动率的界限都是稳健的。因此，我们既不必估计短期利率在未来的波动性，也不必估计其界限。诚然，这是我们必须付出的代价。我们必须明确债券价格中出现的不确定性市场价格。不确定性的市场价格取决于G-布朗运动二次变量的过去演变，这对应于赫尔-怀特模型中短期利率的二次变化。短期利率二次变化的过去演变是可观测的，可以从市场数据中推断出来。

或者，也可以估算短期利率的方差，作为不确定性市场价格的近似值。此外，根据Casassus、Collin Dufresne和Goldstein[17]的短期利率模型，债券价格完全不受波动性结构的影响。当波动率的边界用于债券衍生产品的定价时，即非线性合约，可能会进入模型。因此，该模型尽管结构简单，但可能是对Collin Dufresne和Goldstein（19）介绍的非退火随机波动率文献的贡献。然而，关于衍生品的详细讨论和定价将留待后续研究。7收益率曲线拟合在经典的赫尔-怀特模型中，我们可以使用随时间变化的平均回归水平将理论债券价格拟合为初始可观察的期限结构。我们介绍了以下概念和假设，它们在期限结构模型中很常见。假设有一条初始正向曲线f*: [0, τ ] → R、 这是在市场上观察到的。我们假设初始正向曲线f*与众不同且令人满意*（0）=T的r≤ τ、 模型的理论远期利率用ft（T）fort表示≤ T和定义单位FT（T）：=-Tlog Pt（T）。以下定理给出了理论正演曲线与初始可观测曲线相匹配的必要和充分条件，该条件表征了短期利率的均值回复水平。定理7.1。让债券价格由（6.1）给出。它能容纳f*（T）=f（T）对于所有T，当且仅当短r的mea n回复水平，对于所有T，满足u（T）=αf*（t） +tf公司*（t） 。（7.1）证明。首先，我们推导出T的初始远期利率f（T）≤ τ当债券价格由（6.1）给出时。

取时间0时债券价格对数的导数，并更改符号，对于T≤ τ，我们得到f（T）=ZTu（T）e-α（T-t） dt+e-αTr.假设f*（T）=所有T的f（T）。根据上面的方程，我们得到了αTf*（T）=所有T的ZTu（T）eαtdt+rf。将后一个方程与T进行微分得到αeαTf*（T）+eαTTf公司*（T）=u（T）eαT。因此，平均回归水平令人满意（7.1）。如果我们假设平均回归水平满足（7.1），我们可以通过逆转上述计算，将其插入证明和检查的第一个方程中，即其保持SF*（T）=所有T的f（T）。在拟合屈服曲线后，该模型与经典的Hull-Whitemodel一致。一般来说，该模型与传统的赫尔-怀特模型不一致，因为短期利率动态和债券价格与传统模型中的不同，即使不存在波动性不确定性。调整后的短期利率动态由t=r+Zt给出u（u）+qu- αrudu+(R)Bt，明显不同于船体白色短期动力学。正如前一节的比较所示，债券价格也与赫尔-怀特模型中获得的债券价格不同。然而，将模型调整到收益率曲线后，该模型与经典模型一致。

在短期利率动态中插入（7.1）和q的定义后，如果没有波动不确定性，即如果σ=σ=σ[13，第3.3.1小节]，可以检查这些动态是否与fitted HullWhite模型中的相同。此外，在（6.2）中定义的A（t，t）中插入（7.1），并进行一些计算，yieldsA（t，t）=-ZTtf公司*（s） ds+f*（t） B（t，t）。将上述表达式插入（6.1）中，然后除以传统赫尔-怀特模型中的固定债券价格与波动率σ[13，第3.3.2小节]得出toPt（T）PσT（T）=expB（t，t）σ2α(1 - e-2αt）- qt.因此，调整因子现在由具有恒定波动性的短期利率方差与具有波动性不确定性的短期利率不确定性方差之间的差异来确定。因此，如果σ=σ=σ，则调整系数等于1。与经典赫尔-怀特模型的一致性进一步证明了qas的选择是市场价格的不确定性。上述讨论表明，在将理论价格与观测价格拟合后，短期利率动态中出现的调整因子q实际上包含在经典模型的动态中。因此，过程q自然出现在短期利率的风险中性动态中，这为以这种特殊方式选择市场价格的不确定性提供了另一种理由。然而，有趣的是，在经典模型中，该表达式用于收益率曲线拟合，而在该模型中，需要该表达式才能建立无障碍模型。为了完全校准模型，必须建立平均回复速度的稳健估计程序。定理7.1根据初始可观察的项结构描述了均值反转水平。然而，期限结构仍然涉及一个参数：平均反转速度α。

在短期利率模型中，估计参数的典型方法是使用最大利克利伍德法。最大似然法在很大程度上依赖于短期利率的概率定律。在波动率不确定性的存在下，短期利率有一系列可能的概率定律，我们不确定哪一个是正确的。因此，必须使用鲁棒性方法来校准模型，而不是经典的最大似然方法。8多因素扩展先前的模型可以推广到由多因素驱动的模型。为此，我们考虑了d维G-布朗运动B=（Bt，…，Bdt）t≥也就是说，Bi=（位）t≥0是所有i的一维G-Brownian运动。通过用cd（R+）替换C（R+）和[σ，σ]、从0开始的R+上所有Rd值连续路径的空间以及有界、闭和凸子集∑，可以构造d维G-Brownian运动，如第2节所示 分别为Rd×d。因此，我们考虑了风险因素之间可能存在的不确定性相关性。短速率过程r由t=u（t）+dXi=1Xit定义，其中u：r+→ R是一个合适的可积函数，因子Xi=（Xit）t≥0满意度=-ZtαiXiudu+位，对于所有i，某些常数αi>0。过程xi由xit=Zte给出-αi（t-u） DBIU代表影响短期利率的风险因素。这种多因素扩展不会导致无套利期限结构。与第4节中的讨论类似，我们可以证明上面的短期利率动力学不适用于鞅建模。如定理4.1所示，我们可以证明，当且仅当存在新相对论不确定性，即∑是单态时，在^E下，解算的键可以是对称的G-鞅。

如定理4.1的证明所示，这可以通过考虑关于波动性的两种不同信念来证明，这会导致不同的债券价格。我们考虑由G-倒向随机微分方程定义的次线性预期，并等效于初始次线性预期，以找到无套利期限结构。设λ=（λt，…，λdt）0≤t型≤对于某些p＞1的情况，τ是一个d维有界过程inMpG（0，τ；Rd）。对于ξ∈ 液化石油气(Ohmτ） 当p>1时，我们通过Et[ξ]：=Yξt来定义子线性预期“E”，其中Yξ=（Yξt）0≤t型≤τ解G-后向随机微分方程ξt=ξ+dXi=1ZτtλiuZiudu-dXi=1ZτtZiudBiu- （Kτ- Kt）。然后，我们可以证明，如命题5.1所示，如果贴现债券是对称的G-鞅，则债券市场是无套利的。我们通过考虑上述形式的特定次线性期望，得到了无套利的期限结构。让我们定义过程q=（qt，…，qdt）0≤t型≤τbyqit：=dXj=1qijt，其中qij=（qijt）0≤t型≤τ由QIJT定义：=中兴通讯-（αi+αj）（t-u） dhBi，Bjiu。通过应用G-布朗运动的It^o公式，我们知道qij，对于所有i，j，满意度Qijt=hBi，Bjit-Zt（αi＋αj）齐聚都。如果我们使用过程q来定义上述次线性预期，则存在唯一的无套利期限结构。定理8.1。设λ=q。那么，所发现的债券P（T）是E下的对称G-鞅，当且仅当债券价格由pt（T）给出：=exp-ZTtu（s）ds-dXi=1Bi（t，t）Xit-dXi，j=1Bi（t，t）Bj（t，t）qijt对于所有t，其中Bi：[0，τ]×[0，τ]→ R、 对于所有i，由bi（t，t）定义：=αi（1- e-αi（T-t） ）。证据与定理6.1的证明一样，如果我们证明processX=（Xt）0，则断言如下≤t型≤T、 定义byXt：=exp-ZTu（s）ds-dXi=1Bi（t，t）Xit-dXi，j=1Bi（t，t）Bj（t，t）qijt-dXi=1ZtXisds,是对称G鞅。