波动率不确定性下的Hull-White模型

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英文标题：
《The Hull-White Model under Volatility Uncertainty》
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作者：
Julian H\\\"olzermann
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We study the Hull-White model for the term structure of interest rates in the presence of volatility uncertainty. The uncertainty about the volatility is represented by a set of beliefs, which naturally leads to a sublinear expectation and a G-Brownian motion. The main question in this setting is how to find an arbitrage-free term structure. This question is crucial, since we can show that the classical approach, martingale modeling, does not work in the presence of volatility uncertainty. Therefore, we need to adjust the model in order to find an arbitrage-free term structure. The resulting term structure is affine with respect to the short rate and the adjustment factor. Although the adjustment changes the structure of the model, it is still consistent with the traditional Hull-White model after fitting the yield curve. In addition, we extend the model and the results to a multifactor version, driven by multiple risk factors.
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中文摘要：
我们研究了存在波动不确定性时利率期限结构的赫尔-怀特模型。波动率的不确定性由一组信念表示，这自然会导致次线性期望和G-布朗运动。这种情况下的主要问题是如何找到无套利期限结构。这个问题至关重要，因为我们可以证明，经典方法鞅建模在存在波动性不确定性的情况下不起作用。因此，我们需要调整模型，以找到无套利期限结构。由此产生的期限结构与短期利率和调整因子密切相关。虽然调整改变了模型的结构，但在拟合屈服曲线后，仍然与传统的赫尔-怀特模型一致。此外，我们将模型和结果扩展到多因素版本，由多个风险因素驱动。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_Hull-White_Model_under_Volatility_Uncertainty.pdf (267.94 KB)

2022-6-10 09:51:49 上传

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关键词：White 不确定性 hull 不确定 hul

波动率不确定性下的Hull-White模型Julian H¨olzermann*2021年1月28日摘要我们研究了存在波动性不确定性时利率期限结构的赫尔-怀特模型。波动率的不确定性由一组信念表示，这自然会导致次线性期望和G-布朗运动。这种情况下的主要问题是如何找到无套利期限结构。这个问题至关重要，因为我们可以证明，经典方法鞅建模在存在波动性不确定性的情况下不起作用。因此，我们需要调整模型，以找到无套利期限结构。由此产生的期限结构与短期利率和调整系数有关。虽然调整改变了模型的结构，但在拟合屈服曲线后，它仍然与传统的赫尔-怀特模型一致。此外，我们将模型和结果扩展到由多个风险因素驱动的多因素版本。关键词：稳健金融、模型不确定性、利率、无套利JEL分类：G12MSC2010：91G301简介传统金融模型存在模型不确定性，尤其是波动性不确定性。这些模型通常假设有一个已知的概率度量来确定市场上基本数量的行为。该假设简化了金融市场的建模和衍生品的定价，但在许多情况下，无法指定模型的基本概率度量。关于使用正确概率定律的不确定性称为模型不确定性。有越来越多的文献，通常被称为稳健金融，通过在存在大量可能的概率测度或根本没有概率测度的情况下调查金融市场来处理模型的不确定性。

总体目标是使模型在概率定律的错误规范方面更加可靠。一种重要的模型不确定性是波动性不确定性。潜在资产波动性的未来演变无法预测，也很难明确其概率规律。*比勒费尔德大学数学经济学中心。电子邮件：julian。hoelzermann@unibielefeld.de.作者感谢弗兰克·里德尔（FrankRiedel）的宝贵建议，感谢托鲁佩·法迪纳（TolulopeFadina）、达米尔·菲利波维奇（DamirFilipovi\'c）、扬·奥布·洛伊（JanObl l\'oj）和托尔斯滕·施密特（ThorstenSchmidt）的富有成效的对话。作者非常感谢德国研究基金会（Deutsche Forschungsgemeinschaft）通过CollaborativeResearch Center 1283提供的财政支持。本文研究了波动率不确定性下利率期限结构的赫尔-怀特模型。这意味着，我们在一系列关于波动性的可能信念存在的情况下，对瞬时即期利率（简称短期利率）进行建模，并且完全不确定哪一个是正确的。我们没有对波动性的信念强加任何概率假设，也就是说，没有假设，每个信念都是正确的。我们考虑波动率受两个极值限制的所有信念。这一假设可能具有限制性，但足以使数学分析发挥作用。一般来说，人们可以通过进一步的技术效果来放松这一假设，从经济角度来看，成功的结果不需要这一假设，因为如果波动性的界限改变，结果不会改变。从数学上讲，我们将短期利率建模为G-布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程。与经典的赫尔-怀特模型一样，我们通过Ornstein-Uhlenbeck型扩散过程描述了短期利率的演变。

与传统模型相比，差异在于波动率是不确定的。我们通过一组被称为信念集的概率度量来表示波动性的不确定性，其中每个度量对应于对波动性的不同信念。这意味着，在每种衡量标准下，短期利率都有不同的波动性，不确定哪种衡量标准是关于波动性的正确信念。这样的一组测度自然地表现为次线性期望和G-布朗运动。次线性期望可以解释为最坏情况的度量。G-布朗运动基本上是波动率不确定的布朗运动。因此，我们使用G-布朗运动来描述短期利率的演化，即作为短期利率动力学的驱动因素。由于其波动性的不确定性，短期利率具有不确定性方差。本文的主要问题是如何在波动率不确定的情况下找到无套利期限结构。波动性不确定性的关键特征是，它由一组非支配的信念表示。这意味着，不存在消除信仰集合中所有度量的度量。因此，不可能找到相关债券市场的单一等效鞅测度。因此，关于比特率的讨论在这个框架中成为一个微妙的问题。如果我们想遵循鞅建模方法，我们需要以这样的方式选择债券价格，即贴现债券是对称的G鞅，这意味着它们是波动性的每个可能场景中的鞅。

鞅建模是短期模型中的一种常见方法，但不幸的是，我们可以证明这种方法在最初给定的信念集下不起作用。为了找到无套利期限结构，我们考虑由线性G-倒向随机微分方程定义的次线性预期。通过倒向随机微分方程的标准结果，我们可以通过该程序确定一致的次线性期望。由于G-倒向随机微分方程是线性的，因此存在显式解。解的表示表明，得到的次线性期望与等价测度变化下的期望相对应。我们还可以正式表明，以这种方式定义的次线性期望在某种意义上与初始期望相等。因此，如果存在这种特定类型的次线性期望，而贴现债券是对称G鞅，那么债券市场是无风险的。我们证明了存在上述类型的次线性期望，在该次线性期望下存在唯一的无套利期限结构。如果我们选择一个特定的过程作为线性G向后随机微分方程的系数，定义等价的次线性期望，我们会得到一个次线性期望，在该次线性期望下，债券价格有一个唯一的表达式，使得贴现债券是对称的G鞅。这一选择可能看起来很特别，但可以通过经济论证来证明。由于G-Brownian运动的Girsanov变换，该过程表示一个调整因子，通过其不确定方差调整短期利率。或者，我们可以将该过程解释为风险的市场价格。

由于该模型不仅存在风险，还存在不确定性，因此我们也将该过程称为不确定性的市场价格。由此产生的债券价格虽然相似，但与传统模型的价格不同，没有波动性不确定性。特别是，他们对于短期利率和市场价格的不确定性有一个有效的结构。尽管该模型的结构不同于传统模型，但在拟合屈服曲线后，我们仍然与经典的赫尔-怀特模型保持一致。由于我们考虑了一个等效的次线性预期，GBrownian运动的Girsanov变换意味着短期利率以及债券价格的动力学与传统模型的动力学不同。与经典模型一样，我们使用短期利率的平均回归水平将模型的债券价格拟合为初始收益率曲线，在市场上可以观察到。令人惊讶的是，短期利率动态和债券价格再次与经典的赫尔-怀特模型一致。如果我们降低波动性的不确定性，短期利率动态和债券价格与经典的一致。此外，我们还研究了由多个风险因素驱动的模型的扩展。为了简单起见，我们在存在单个风险因子的情况下得出上述结果，即短期利率由单个G-布朗运动驱动。这样的框架简化了结果的解释和直觉，并使我们能够将结果与经典的赫尔-怀特模型进行比较。然而，实证研究表明，需要更多的因素来解释期限结构变动[2，22，35]。因此，我们考虑一个模型扩展，其中短期利率受多个波动率和相关性不确定的风险因素的影响。

我们能够将之前的所有结果推广到一般情况。就文献而言，模型不确定性的概念起源于Knightian不确定性，Knightian不确定性由Knight引入【37】。奈特不确定性被认为是风险的对应物，因为风险可以通过与不确定性相对应的概率来衡量。这种不确定性描述了现实中过于复杂或相关数据缺失，无法计算此类事件风险的事件。在这种情况下，人们通常假设一些量是完全不确定的，但有两个极值。在波动率不确定性的情况下，我们相应地考虑所有波动率情景，这些情景在一定的时间间隔内取值，无需进一步说明。有许多方法可以从数学上描述波动率的不确定性。一方面，Denis和Martini【25】以及Soner、Touzi和Zhang【47】的方法从概率的角度出发。另一方面，彭[43]提出了G-布朗运动理论，其中分布由非线性偏微分方程描述。事实上，丹尼斯、马丁尼【25】和彭【43】的方法是通过二元性联系起来的，这一点由丹尼斯、胡和彭【24】所展示。此外，还有一些推广，例如对波动率情景族的时间相关随机边界的扩展【42】和路径随机演算【20，以及其中的参考文献】。本文主要使用G-布朗运动理论，因为有关G-布朗运动的文献提供了很多结果。关于资产市场模型不确定性的文献非常广泛。有许多关于资产市场波动性不确定性的研究[4、27、40、49]。

由于波动性确定性由一组非支配的概率测度表示，资产定价的经典基本定理不能用于这种情况。因此，有许多方法可以将该定理推广到多优先级设置中[7、9、12]。此外，还有无模型版本，即没有任何参考度量值[1、14、45]。与稳健金融相关的另一个广泛研究的主题是在存在多个先验条件下（3、16、44及其中的参考文献）或根本没有任何先验条件下（6、8、46及其中的参考文献）或有条件目标的定价和对冲。关于利率模型中模型不确定性的文献相对较少，也没有研究在波动不确定性存在的情况下获得无套利期限结构的论文。爱泼斯坦（Epstein）和威尔莫特（Wilmott）[26]研究了一个带有名词性概率假设的利率模型。相反，他们用骑士式的不确定性来描述短期利率的演变，这通常会导致合同价格在利率范围内变化。不幸的是，关于没有套利的讨论，就像所有的推导一样，非常直观，数学性较差。Avellaneda和Lewicki【5】采用波动性不确定性原则构建了一个利率模型，该模型也适用于一系列价格。然而，对没有套利的情况也以非常直观的方式进行了处理。Fadina和Schmidt【29】引入了一个具有违约风险和模糊性的期限结构模型。不明确的参数是默认强度，优先权集占主导地位。这简化了关于套利的讨论，并得出了一系列可违约债券的无套利价格。Fadina、Neufeld和Schmidt【28】研究了具有参数不确定性的有效过程以及模糊情况下的债券定价，这也导致了一系列价格。

然而，Biagini、Bouchard、Kardaras和Nutz【9】的一个极端论据证明了这一过程的合理性，这对于债券定价来说是不合理的，因为它们是固定收益市场的基本数量，也就是说，它们无法对冲。克服有关短期利率波动性的程式化事实的一种不同但相关的方法是使用制度转换模型。制度转换期限结构模型假设波动率遵循连续时间马尔可夫链，在一定数量的值之间跳跃。关于政权转换期限结构模型的文献表明，与经典期限结构模型相比，这些模型具有优势【23、33、41】。在本文中，我们考虑了由两个极值约束的所有波动过程。因此，我们还考虑了由状态转换项结构模型描述的轨迹。然而，这只是一个明智的论点。人们需要扩大模型的概率空间，以获得由状态切换项结构模型考虑的相同马尔可夫链，因为马尔可夫链跳到不同状态的概率通常独立于其余风险因素。一般而言，与仓促波动率相比，波动率不确定性是一种概念上不同的方法。有大量证据表明，所有主要金融量的波动性既不是常数，也不是确定性的。这个问题由随机波动率模型解决，其中标的证券的波动率由一个特殊的随机过程建模。后者的选择通常使其具有历史波动性的特征，并且模型隐含的期权价格与市场观察到的价格相匹配。

然而，可能有许多型号规格执行此任务。此外，由于市场环境可能发生剧烈变化，因此无法确定与过去一致的波动率规格在未来是否仍然有效。考虑不确定波动率的目标是通过考虑一系列可能的概率律而不知道哪一个是正确的，从而放松波动率概率律完全已知的假设，以使模型具有鲁棒性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们构建了一个波动率不确定性建模框架，并介绍了短期利率过程。第三节介绍了相关债券市场。在第4节中，我们将鞅建模的概念应用于波动率不确定性，并证明鞅建模在波动率不确定性存在的情况下不起作用。因此，我们在第5节中定义了等效的次线性预期，我们可以用它来确定无套利期限结构。在第6节中，我们证明了存在一个等价的次线性期望，在此条件下我们得到了一个唯一的无套利期限结构。第7节显示了如何将模型拟合到最初观察到的术语结构。在第8节中，我们将模型扩展到由多个风险因素驱动的版本。第9节给出了结论。2短期利率动态在传统的赫尔-怀特模型中，没有波动不确定性，短期利率由标准布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程描述。让我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）以便Ohm = C（R+），F=B(Ohm), 这就是维纳测度。C（R+）和B(Ohm) 表示R+上所有R值连续路径的空间，从0开始，Borelσ-代数在Ohm, 分别地我们用B=（Bt）t表示≥0正则过程，我们选择F=（Ft）t≥0是由所有P-null集完成的b生成的过滤。