关于波动性衍生品和奇异产品的微笑特性：

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英文标题：
《On smile properties of volatility derivatives and exotic products:
  understanding the VIX skew》
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作者：
Elisa Al\\`os, David Garc\\\'ia-Lorite and Aitor Muguruza
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We develop a method to study the implied volatility for exotic options and volatility derivatives with European payoffs such as VIX options. Our approach, based on Malliavin calculus techniques, allows us to describe the properties of the at-the-money implied volatility (ATMI) in terms of the Malliavin derivatives of the underlying process. More precisely, we study the short-time behaviour of the ATMI level and skew. As an application, we describe the short-term behavior of the ATMI of VIX and realized variance options in terms of the Hurst parameter of the model, and most importantly we describe the class of volatility processes that generate a positive skew for the VIX implied volatility. In addition, we find that our ATMI asymptotic formulae perform very well even for large maturities. Several numerical examples are provided to support our theoretical results.
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中文摘要：
我们发展了一种方法来研究奇异期权和具有欧洲回报的波动率衍生品（如VIX期权）的隐含波动率。我们的方法基于Malliavin演算技术，允许我们根据基础过程的Malliavin导数来描述货币隐含波动率（ATMI）的性质。更准确地说，我们研究了ATMI水平和倾斜的短期行为。作为一个应用，我们根据模型的赫斯特参数描述了波动率指数和已实现方差期权的短期行为，最重要的是，我们描述了波动率过程的类别，该类过程为波动率指数隐含波动率产生正偏斜。此外，我们发现我们的ATMI渐近公式即使对于大型到期债券也表现得很好。文中给出了几个数值例子来支持我们的理论结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_smile_properties_of_volatility_derivatives_and_exotic_products:_understanding.pdf (1.59 MB)

2022-6-10 10:08:25 上传

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关键词：波动性 衍生品 Mathematical Quantitative derivatives

关于挥发性衍生物和异类产品的微笑特性：理解VIX skewElisa Al\'os*Dpt。Pompeu Fabraand Barcelona GSEc/Ramon Trias Fargas，25-2708005 Barcelona，SpainDavid Garc'a-Loritecaixabank和BarcelonaAv大学。Diagonal，621-629，08028-BarcelonaAitor Muguruza+伦敦大学国际学院国家数学系SW7 2Azabstracts我们开发了一种方法来研究异国情调期权和具有欧洲回报的波动率衍生品（如VIX期权）的隐含波动率。我们的方法基于Malliavin演算技术，允许我们根据基础过程的Malliavin导数来描述at货币隐含波动率（ATMI）的性质。更准确地说，我们研究ATMI水平和倾斜的短期行为。作为一个应用，我们根据模型的赫斯特参数描述了波动率指数和化方差期权的ATMI的短期行为，最重要的是，我们描述了产生波动率指数隐含波动率正偏态的波动过程类别。此外，我们发现，我们的ATMI渐近公式即使在大自然条件下也表现得很好。文中给出了几个数值例子来支持我们的理论结果。*获得资助MTM2016-76420-P.+获得金融计算与分析博士培训中心的支持。关键词：奇异期权、方差期权、VIX、隐含波动率、Malliavin演算、随机波动率模型、粗糙波动率、分馏布朗运动主题分类：91G20、91G80、60H071简介任何金融模型的存在理由都是再现市场中观察到的某些行为或动态。

例如，在普通期权的情况下，这一难题转化为拟合市场隐含波动率表面。为此，提出了Black-Scholes模型的若干扩展。特别是，有效实现这一任务的一个模型是杜皮尔局部挥发模型（Dupire local volatilitymodel）[18]。然而，当将外来产品纳入vanillauniverse时，人们发现，本地波动性模型无法正确再现市场动态（有关障碍期权的详细信息，请参见[23]）。一种不同且流行的方法是允许波动率本身是一个随机过程（例如，赫尔和怀特[28]、斯科特[39]、赫斯顿[24]、斯坦和斯坦[40]以及鲍尔和罗马[8]）。众所周知，经典随机波动率（SV）模型可以解释隐含波动率的一些重要特性，如相对于打击价格的变化，如微笑或倾斜（见雷诺和图兹[37]）和杠杆效应。最重要的是，除了静态特性之外，它们还提供了现场的真实动态，以便为外来产品定价。尽管存在所有这些事实，但第一代SV模型并没有捕捉到市场数据的其他一些重要特征，例如隐含波动率的期限结构（依赖于到期时间）。为了解决这一问题，Bergomi【15】引入了第二代SV模型，该模型结合了远期方差的概念，允许远期波动的时间依赖结构。

然后，通过考虑Lipton[32]提出的局部随机波动率（LSV）模型，可以成功地解决校准问题，并获得一个既符合隐含波动率曲面又具有现场现实动力学的模型。尽管LSV模型很受欢迎，但图中添加的波动率导数极大地使校准和定价复杂化。具体地说，在LSV模型中，对数合约（或理想化方差掉期）的值是给定的byteztvu（σ（Su，u））du，T>0（1），其中v表示纯随机波动过程，S表示点，σ（·，·）是局部波动分量。在这种情况下，VIX期权甚至期货（涉及条件预期和非线性）的唯一定价非常复杂。这就是为什么Bergomi[15]类型的SVmodels越来越受欢迎的原因，即它们在（1）中友好的log契约结构，σ（·，·）=1。考虑到这一点，股票市场面临的主要挑战是联合推出vanilla和VIX smiles，同时为现货和波动过程提供现实的动态。为了构建允许我们描述这种复杂性的模型，重要的是开发工具，使我们能够识别能够生成所需行为的模型类别。这一方向的第一步是在Al\'os、Le\'on和Vives【4】中提出的，作者根据SV过程的Malliavin导数算子描述了货币隐含波动率（ATMI）偏差的短期行为。

这一结果表明（在实际市场数据中观察到的）该斜率的膨胀可以用波动过程σ来描述，使得Dsσr→ ∞ 作为s→ r、 其中d表示Malliavin导数运算符（例如，参见Nualart（2005））。这一特性被基于分数布朗运动（fBm）的随机波动率模型所满足，赫斯特参数H<。这一观察结果导致了最近粗波动率模型的发展（例如，见Fukasawa【19】或Bayer、Friz和Gatheral【12】）。值得注意的是，粗糙波动率模型不仅提供了真实的隐含波动率面，而且还与Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【20】以及Bennedsen、Lunde和Pakkanen【14】所示的波动率历史动态一致。我们必须在此强调，第一代和第二代SV模型都不符合波动性的历史动态。不足为奇的是，这种创新模式是有代价的；马尔可夫性。为了克服马尔可夫性的缺乏和经典工具（如PDE和It^o引理）的丢失，从这一活跃的研究领域涌现出了大量文献（参见[5]、[13]、[21]、[35]、[29]、[34]、[26]和[30]等）。本文的主要目的是研究ATMI短期水平和已实现方差（RV）期权和VIX期权的偏差。作为第一步，我们将看到基础a上的奇异期权价格与普通期权价格一致，其中基础是SV模型，其中波动率由基础过程a的Malliavin导数决定。这将使我们能够应用之前关于隐含波动率水平和偏差的结果（见Al\'os和Shiraya[5]和Al\'os，Le\'on和Vives[4]）。我们的结果提供了一种基于Malliavin演算技术的方法来估计短期水平和倾斜的ATMI率。

特别是，我们将看到，如果Dsσr=O（s- r） H类-,对于一些H∈, 0, ATMI水平和偏斜为O（（T）H）级-)对于RV选项，顺序为O（1），对于VIX选项。此外，我们开发了一种易于应用的标准来确定随机波动率模型的类别，如在实际市场数据中观察到的，相应的波动率偏差为正。这个简单的工具允许我们检查，对于Heston模型，VIX偏斜为负，而对于SABR，VIX偏斜为零，而使用“混合对数法线”解决方案，VIX偏斜变为正。这与之前的结果一致（见Baldeaux和Badran【7】和Bergomi【16】）。波动率指数期权和期货在行业和学术研究中都越来越受欢迎（例如，见[11]和[27]）。我们发现，我们与Bergomi【16】和De Marco【17】（在粗略波动性背景下）的长期结果结合了必要条件，以正向方差形式生成具有正VIX偏斜的模型。具体而言，命题18为两位作者所涵盖的一大系列模型提供了这样的条件。此外，我们发现，我们的渐近公式可以精确逼近长达6个月的到期日，这有助于理解波动率指数和标准普尔500指数的联合动态，Guyon[22]也使用不同的方法进行了分析。本文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了Malliavin微积分的一些基本概念。第3节致力于研究基础a的奇异期权价格与普通期权价格的一致性，其中基础isa随机波动率模型的波动率由过程a的Malliavin导数确定。因此，在第4节中，我们获得了ATMI水平和偏斜的结果。在第5节中，我们将介绍一系列模型，这些模型将在后续章节中使用。

最后，第6节和第7节分别研究了VIX和RV期权的情况。2关于Malliavin Calculus的预备知识我们假设读者熟悉Malliavincalculus的基本概念，如Nualart[36]中所述。考虑定义在概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 P）。集合D1,2ww表示导数算子D关于布朗运动W的域。众所周知，D1，2Wis是L的一个稠密子集(Ohm) D是L的闭无界算子(Ohm) 进入L（[0，T]×中Ohm). 我们还将考虑n>1的利率导数Dn，其域将由Dn，2Z表示。我们还将使用符号Ln，2：=L（[0，T]；Dn，2Z）。现在考虑由方程dxt=φtdWt给出的过程X-φtdt，（2）其中φ是一个正的平方可积过程，适用于W生成的过滤。我们将利用以下预测It^o公式（例如，见Al\'os（2006））。命题1考虑模型（2），并将过程Y定义为Yt：=RTtφsds。设F:[0，T]×R→ R是C1,2（[0，T]×R）中的函数，因此存在一个正常数C，对于所有T∈ [0，T]，F及其在（T，Xt，Yt）中求出的偏导数以C为界。然后得出F（T，Xt，Yt）=F（0，X，Y）+ZtsF（s、Xs、Ys）ds-Zt公司xF（s、Xs、Ys）φsds+ZtxF（s、Xs、Ys）pφsdWs-Zt公司yF（s、Xs、Ys）φsds+ZtxyF（s、Xs、Ys）Θsds+ZtxxF（s，Xs，Ys）φsds，（3）式中Θs：=（RTsDWsφrdr）φs.3奇异期权和香草期权本文重点研究到期日为T的奇异期权，由欧洲类型（A-K） +，其中A是风险中性概率空间上定义的平方可积随机变量(Ohm, F、 P）。我们假设A是FWT适应的，其中FWT表示由d维布朗运动W生成的sigma代数。为了简单起见，假设利率为零。

然后，该期权在0<t<t时刻的价格由vt：=E（a）给出- K） +，其中E表示概率P的期望值。本节旨在说明，在随机波动率模型下，上述奇异期权可被视为远期股票的欧洲看涨期权。为此，我们定义了鞅MTt：=Et（A）。很明显，VT=E（MTT- K） +。观察到，根据鞅表示定理（例如，见Karatzas和Shreve[31]，定理3.4.15），存在一个d维FWt自适应过程（m（T，·）。。。，md（T，·）），使MTT=E（MTT）+dXi=1Ztmi（T，s）dWis。（4） 示例2（普通期权）考虑a=FT的普通看涨期权，其中F是由随机波动率模型theformdFt=φtFt给出的远期股票价格ρdWt+p1-ρWt, （5） 式中，φ是一个正的平方可积过程，适用于W生成的过滤。然后（4）保持d=2，MTt=Ft，m（T，T）=ρφtFtandm（T，s）=p1-ρφtFt。示例3（VIX选项）将随机变量V IXTgiven BY V IXT=s视为基础ETZT公司+Tvsds，（6）其中v是一个正过程，适用于布朗运动W产生的过滤。那么，d=1，如果V IXT∈ D1,2W，Clark-Ocone公式和[36]中的命题1.2.8给出m（T，T）=2EtV IXTETZT+T（DTV）ds=2.EtV IXTZT+T（DTV）ds！。（7） 例4（已实现方差选项）考虑caseRVT=TZTvsds，（8），其中v是一个正方可积过程适应过程，如例3所示。然后，d=1，克拉克-奥肯公式给出（4）与m（T，T）=TZTtEt（Dtvs）ds保持一致。备注5我们注意到，在d=1的情况下，（4）可以写成asMTt=E（MTT）+Ztm（T，s）mttdws。（9） 也就是说，a上的欧式期权可以被视为由ρ=1且φt=m（t，t）MTt的形式（5）的随机波动率-波动率模型给出的一个前移股票上的欧式看涨期权。

（10） 特别是，当A=V IXT时，φt=2MTtEtV IXTZT+T（DTV）ds！（11） 当A为RV时，φt=TRTtEt（Dtvs）dsMTt。（12） 4奇异期权的隐含波动率本节的目的是开发工具，研究奇异期权的现金隐含波动率（ATMI）的短期行为。稍后，我们将这些结果应用于VIX期权和RV期权，其中我们假设以下给出的基本波动过程√v、 式中，v是一个正的平方可积过程，适用于布朗运动W产生的过滤。让我们将隐含波动率定义为数量ITt（k），使得VT=BS（t，ln（E（a）），k，ITt（k）），其中BS（t，x，k，σ）表示欧洲到期时间为t的经典Black-Scholes价格- t、 对数股价x、对数履约价格k和波动率σ。也就是说，BS（t，x，k，σ）=exN（d+（k，σ））- ekN（d-（k，σ）），其中N表示标准正态律的累积概率函数，d±（k，σ）：=x-kσ√T- t±σ√T- t、 为了简单起见，我们将ITt表示为：=ITt（ln（E（A））对应的TMI。请注意，ITt=BS-1（t，ln（EtA），ln（EtA），v）。在续集中，我们将写BS-1（t，v）=BS-1（t，ln（EtA），ln（EtA），v）。4.1 ATMI短期限制我们的第一个目标是研究奇异期权隐含可用性水平的短期行为。我们需要以下假设。（H1）A∈ L1，p对于所有p>1（H2）MT∈ Lp，对于所有p>1。（H3）术语SEZTUS（T- s） Θsds！，安杜特ZTZTsDsφrdr！ds公司,定义良好，并趋向于零→ 0，其中uTt：=qT-tRTtφsds，φ和Θ定义如（10）和定理1所示。（H4）存在γ∈-, 0因此，termT+γEsZTφSdsha的限定极限为T→ 备注6注意，如果∈ L1，p，过程MTT也在L1，pand DsMTt=Et（DsA）（见Nualart（2005）中的命题1.2.8）。

此外，Clark-Ocone公式给出了m（T，T）=Et（DtA），这允许我们看到m（T，T）∈ L1,2和Dsm（T，T）=所有s<T的Et（DsDtA）。因此，φ也在L1中，pandDsφT=Dsm（T，T）MTt- m（T，T）DsMTt（MTt）=Et（DsDtA）Et（A）-Et（DtA）Et（DsA）（Et（A））。我们需要下面的结果，这是对[4]中定理4.2的改编，以适应我们的问题。定理7（对Al\'os、Le\'on和Vives（[4]）中定理4.2的改编）假设假设假设（H1）、（H2）和（H3）成立。那么我们有了期权价格Vt=E（在- E（At））由vt=Et（BS（0，ln（E（A）），k，ut））+EZT给出Gx（s，ln（MTs），ln（E（A）），us）Θsds！，（13） 其中G：=(xx号- x） 英国标准。证据该证明基于与[4]中定理4.2的证明相同的论点。注意vt=Et（BS（T，ln（A），ln（E（A）），uT））。然后，应用定理1并取期望值，我们得到vt=Et（BS（T，ln（A），ln（E（A）），uT））=Et（BS（T，ln（E（A），ln（E（A）），u））+EtZTtLBS（us）BS（s，ln（Es（A）），ln（A），us）ds+EtZTt学士学位x个u（s，ln（Es（A）），ln（E（A）），us）2us√T- sΘsds！，（14） 其中LBS（us）表示Black-Scholes算子LBS（us）=xx号- x个美国+s、 现在的结果来自于LBS（us）BS（s，Xs，k，us）=0的事实，并且考虑到学士学位u=美国√T- sG。注意，由（H3）和Gx（s，x，k，σ）=exN（d+（k，σ））σ√T- s1.-d+（k，σ）σ√T- s,（14）中的积分项定义良好。以下结果是Al\'os和Shiraya[5]中的定理3和定理8证明中的论点的直接结果。定理8假设假设（H1）、（H2）和（H3）成立。ThenlimT公司→0信息技术- EsTZTφsds= 0.证明。该证明基于与[5]中定理3和定理8相同的参数。