关于波动性衍生品和奇异产品的微笑特性：

根据定义，ATMI由IT=BS给出-1（0，ln（EtA），ln（E（A）），V）=BS-1（0，ln（EtA），ln（E（A）），ΓT），其中Γr=E学士学位0，ln（E（A）），k，uT+E锆Gx（s，ln（MTs），ln（E（A）），uTs）Θsds,现在，定理7允许我们写eit=E学士学位-1(0, Γ)+ EZTt（BS-1） （ln（E（A）），Γs）Gx（s，ln（EsA），ln（E（A）），uTs）Θsds，其中（BS-1） 表示BS的一阶导数-关于Γ。现在，尽快学士学位-1.（k，Γs）=exN（d+（k，Γs））√T、 以及Gx（s，x，k，σ）=exN（d+（k，σ））σ√T- s1.-d+（k，σ）σ√T- s,很容易看出，（H3）意味着（15）中的第二项趋于零。第一学期，我们可以写学士学位-1（0，E（BS0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）= E学士学位-1（0，BS0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）+ E学士学位-1（0，E（BS0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）- 学士学位-1（0，BS0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）请注意，上述等式右侧的第一项等于uT。最后两个学期我们可以写0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）= 学士学位0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）+ZTtUsdWs，（15）其中，根据Clark-Ocone公式，Us=EsDWs学士学位0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）= Es“AN（d+ln（E（A）），uT)RTsDWsφsds√T uT#。（16） 定义∧r=Er学士学位0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）. 然后，经典It^o公式（15）给出学士学位-1（0，E（BS0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）- 学士学位-1（0，BS0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）= Et公司学士学位-1（ln（E（A）），λ）- 学士学位-1（ln（E（A）），λT）= -Et“ZTt学士学位-1.（ln（E（A）），λr）Urdr#。（17） 这，连同（16），（H3）以及以下事实学士学位-1.（X，∧r）=BS-1（X，λr）4（exp（Xt）N（d+（X，BS-1（X，∧r））），允许我们证明（17）中的最后一项趋于零。现在证明完成了，如果（H4）成立，这个结果给我们提供了以下推论。推论9假设一个随机变量a，使得假设（H1）、（H2）、（H3）和（H4）成立。ThenlimT公司→0吨-γITt=极限→0T+γEsZTφsds。4.2 ATMI短时偏差本节的主要目标是研究隐含可用性偏差的ATM短时限制。

特别是，我们将描述在真实市场数据中观察到的重现正VIX偏斜的随机波动过程。为此，我们需要以下假设（H1’）A∈ L2，p对于所有p>1（H5）的术语√TXk=4EZT（uTs（T- s） （）-kZTsΘrdr！Θsds！和√TXk=3EZT√T（uTs（T- s） （）-kZTsDsΘrdr！φsds！当T时趋于零→ 0。（H6）存在λ∈-, 0这样的话φTsDWsφududsi（uT）T2+λ有一个有限的极限为T→ 定理10考虑一个随机变量a，使得假设（H1’），（H2），（H3），（H5）和（H6）成立。ThenlimT公司→tT-λ信息技术k（ln（E（A））=极限→特斯特尔特φsRTsDsφududsiuT2+λ（18）证明。该证明遵循与[4]中命题5.1和命题6.2以及[3]中定理4.5相同的步骤。在表达式V=BS上取k的偏导数0，ln（E（A）），k，IT（k）我们获得五、k级=学士学位k（0，ln（E（A）），k，IT（k）））+学士学位σ（0，ln（E（A）），k，IT（k）））信息技术k（k）。（19） 另一方面，从（15）我们可以推断五、k=Et学士学位k（0，ln（E（A）），k，uT）+EZT公司Fk（s，ln（Es（A））），k，uTs）Θsds！，（20） 其中f（s，x，k，σ）：=Gx（s，x，k，σ）。经过一些代数（见[4]），很容易看出学士学位k（0，ln（E（A）），ln（E（A）），uT）-学士学位k（t，ln（E（A）），ln（E（A）），IT））=EZTF（s，ln（Es（A））），k，uTs）Θsds！，这与（19）和（20）一起意味着信息技术k（ln（E（A））=ERTL（s、ln（Es（A））、k、uTs）Θsds学士学位σ0，ln（E（A）），ln（E（A）），它, （21）其中L：=(+k） F。NowEZTL（s，ln（Es（A））），k，uTs）Θsds！=EL（0，ln（E（A）），k，uT）ZTtΘsds+EZT公司x个-x个L（s，ln（Es（A））），k，uTs）ZTsΘrdr！Θsds！+EZT公司Lk（s，ln（Es（A））），k，uTs）ZTsDsΘrdr！φsds！=：T+T+T.（22）现在，一个简单的计算得出x个-x个L（s、ln（Es（A））、k、uTs）≤Xk=4（uTs（T- s） （）-k、 （23）Lk（s，ln（Es（A））），k，uTs）≤Xk=3（uTs（T- s） （）-k、 （24）andL（0，ln（E（A）），k，uT）=A exp-（uT）T√2πuT√T（uT）T-.

（25）然后，（49）、（24）、（48）以及（21）、（22）以及以下事实：学士学位σ（0，x，x，σ）=A exp-σT√T√2π允许我们完成证明。备注11注意，Dsφt=2φtDsφt。然后，上述定理给出了短时偏斜的符号为正的iflims，t→0E（f（s，t）Dsφt- C） p=0对于某些正函数f（s，t），lims，t→0f（s，t）≥ 0和一些常数C>0和p>1。到（10），此条件保持iflims，t→0Ef（s，t）（Dsm（t，t）MTt- m（T，T）DsMTt）- cq=0，（26）对于某些c>0和q>1。请注意，（26）为我们提供了一个工具来识别那些可以重现短期正偏差的随机波动率模型，我们将在下一节中看到。5基于Barndorff-Nielsen和Schmiegel提出的截断布朗半平稳过程（T BSS）的mo Dels一般族[10]，我们考虑以下模型族：模型12（混合广义粗糙波动率模型）让我们定义以下瞬时方差动力学：vt=vγEν√2HBt+ (1 - γ） E类η√2HBt, ν ≥ 0, η ≥ 0其中bt=Ztexp(-β（t- s） ）（t- s） H类-1/2dWs，β≥ 0和E（·）表示Wick随机指数。然后很容易看到DSVU=γνE（ν√2HBu）+（1- γ） ηE（η√2HBu√2H（t-s） H类-1/2经验(-β（u-s） ，对于所有s<u。然后假设（H1）-（H6）适用于下垫V IXTandRV，λ=0，λ=H-, 分别地这类模型涵盖了文献中考虑的大多数对数正态模型（SABR【23】，（rough）Bergomi【15，12】等）。此外，我们考虑了Bergomi【16】提出的混合重量解决方案，以克服FL VIXsmiles。我们还强调，[25，29]为这些过程的蒙特卡罗模拟提供了理论依据。备注13术语混合指的是两个具有不同权重的对数正态随机变量之和。

读者应注意，当我们没有明确使用术语“混合”时，这对应于γ=η=0.6 VIX期权。本节致力于将第4节中的结果应用于VIX期权的Atmillevel和skew研究。首先，让我们举例说明这些数量在市场上的典型行为。图1显示了ATMI期限结构的历史行为（来源：OptionMetrics）。通常会观察到前两个可用到期日之间的ATMI水平急剧下降。此外，图1中的点云相当广泛，这意味着波动率本身的波动性会随着时间而变化。在图2中，我们观察到这种倾斜明显是正的，但随着成熟时间的推移，这种倾斜也会减少，因为微笑往往会变淡。图1:2015-2016年VIX ATMI每日行为。资料来源：OptionMetrics。图2:2016年4月8日VIX期权隐含波动率面。实线表示对应于每个成熟度的ATMI级别。资料来源：OptionMetrics。6.1 VIX期权的ATMI提议14考虑由（6）驱动的过程V ixtg，V=f（Y），其中f是c中的函数，如f，f，f∈ Lp，对于所有p>1且Y=Rt（t- s） H类-g（t- s） dWs，其中H<和g∈ Cb。那我们就有限制了→0ITt（ln E（V ix t））=f（Y）2（五、九）φ(). （27）证明。

然后（H1）-（H4）保持λ=0，推论9给出thatlimT→0ITt（ln E（V IXT））=极限→0TEsZTσsds=极限→0TEvuutZT2MTsV IXsZT+TEs（Ds（vu））du！ds=f（Y）2MV IXZ嗯-g（u）du=f（Y）2（五、九）Z嗯-g（u）du！=：f（Y）2（五、九）φ().例15（混合广义粗糙波动率模型）我们考虑模型12，然后应用命题14我们得到→0ITt（ln E（V IXT）=（γν+（1- γ)η)√2H2Z嗯-经验值(-βu）du=(γν + (1 - γ)η)√2H2β-H-Γ低H+，β, （28）式中，Γ（·）是伽马函数，Γlow（1+α，x）=Rxt-αe-tdt是较低的完整Gamma函数。在图3中，我们给出了γ=η=0的数值近似值，支持理论短时间限制。为了产生蒙特卡罗估计，Jacquier、Martini和Muguruza[29]中的算法3.9和T=10-使用了4。图3:v=2Remark 16的指数T BSS中的VIX-ATMI短时间限制如果我们考虑SABR情况，即H=和β=0 in（28），我们获得极限→0ITt=ν。特别是，我们注意到该限制不受窗口大小的影响.6.1.1 VIX的ATMI水平的半封闭式公式我们考虑（27）中给出的限值的小T近似值，即使是相对较长的到期日（某些情况下长达5年），该值也变得非常尖锐。我们考虑受（27）启发的以下近似值：≈f（Y）v2TvuutZTZT+T（u- s） H类-g（u- s） 杜！ds（29）在图4和图5中，我们将公式（29）用于模型12。如前所述，我们观察到公式29确实表现得很好，特别是在γ=η=0的情况下，即使是相对较大的到期日。备注17在实践中，可以使用近似值（29）来控制我们模型中VIX的Atmillevel。

此外，在大多数情况下（SABR、指数OU、指数fBm等）（29）允许使用无任何数值积分的闭式公式。图4：ν=2的广义粗糙波动率模型中的VIX ATMI图5：混合广义粗糙波动率模型中的VIX ATMI（γ，ν，η）=（1/2，2，1）6.2 VIX期权的ATMI偏斜以下结果证明，对于基于T BSS的模型，随着到期时间的推移，O（1）级的ATMI VIXskew if趋于零。命题18考虑瞬时方差模型的形式vt=vf（Yt），其中Yt=Rt（t-s） H类-1/2经验(-β（t-s） ）对于某些H≤还有一些β≥ 0，其中f是Csuch中的函数，如f，f，f∈ Lp，对于所有p>1。然后，VIX选项的ATMI偏差由以下公式给出：limT→0信息技术k（ln E（V IXT））=G（H，, β） J（H，, β） f（Y）f（Y）-J（H，, β)f（Y）（M）V IX.其中g（H，, β) =(2β)-2HΓ低（2H，2β) 如果β>02H2Hifβ=0J（H，, β) =β-H-1/2Γ低（H+1/2，β) 如果β>0H+1/2H+1/2ifβ=0。证据证明推迟到附录A，以减轻论文的流动性。例19（混合广义粗糙波动率模型）我们考虑模型12，然后我们得到RV期权的ATMI偏差由IMT给出→0信息技术k（ln E（V IXT））=√2小时γν+ (1 - γ)ηG（H，, β)(γν + (1 - γ） η）J（H，, β)-(γν + (1 - γ） η）J（H，, β)!.图6显示了蒙特卡罗基准T=10时渐近极限的精度-4和γ=η=0。使用无中心差分格式近似导数。图6:VIX期权上的广义粗糙波动率模型ATMI-skew，ν=2.56.2.1 VIX-skew的符号如备注11所示，短期VIX-skew的正性与SM（T，T）MTt的正性相关- m（T，T）DsMTt。在本节中，我们将应用该标准来研究与赫斯顿模型和SABR模型相对应的短期波动率指数偏斜。例20（Heston）对于Heston模型，我们得到dvt=k（θ- vt）+ν√vtdWt，对于一些正常数k，θ和ν。

注意，如果Feller条件2kθ>ν成立，则Heston过程为正。为了简单起见，我们假设v=θ。然后我们有DSM（T，T）MTt- m（T，T）DsMTt→ν(1 - 经验值(-k))4k1.-2(1 - 经验值(-k))k, （30）英寸L(Ohm), 作为T→ 0.证明。限额计算见附录B。在回归水平k的合理市场条件下，我们得出（50）为负值。然后，条件（26）成立，f（t，s）=1，这意味着相应的VIX偏斜为负。例21（SABR）考虑由v=σ给出的SABR模型，其中dσt=ασtdWt，对于某些正常数α。那么，对于s<t，Dsvt=2αvt。这意味着limt→0MTt=v，lims，t→0DsMTt=2αv，lims，t→0DsmTt=4αv，从中我们推断出dsm（T，T）MTt- m（T，T）DsMTt→ 0。这使我们知道，SABR模型会产生一个短期的流量偏差。6.2.2对数正态模型和波动率波动率指数基于图6，可以得出结论，对于较小的H值，可以实现较大的偏差。然而，我们在图7中显示了倾斜几乎立即衰减。这一行为与对数正态模型生成微笑的事实一致，因此倾斜应为零。相反，图8显示了混合对数法线的效果，这会产生更高水平的倾斜。我们特别注意到，在混合SABR情况下（H=1/2，β=0），倾斜由IMT给出→0信息技术k（ln E（V IXSABRT））=√2小时γν+ (1 - γ)η(γν + (1 - γ)η)- (γν + (1 - γ)η)!.很明显，（31）是非零的，除非γ∈ {0，1}或ν=η。此外，在图8中，对于最长6个月的到期日，该水平的倾斜是恒定的。

为了获得近似公式，我们受到附录A中计算的启发，其在取极限之前产生以下表达式：信息技术k（ln E（V IXT））≈√2小时√TqRTK（T，, u） du×γν+ (1 - γ)ηRTK（T，, s） RTsK（T，, u） 我(, T、 s，u）duds（γν+（1- γ)η)-(γν + (1 - γ） η）RTK（T，, s） RTsK（T，, u） 哑弹!.其中，附录A中定义了K（·）和I（·）。我们观察到，对于小于6个月的到期日，近似值表现得非常好，可以用于控制给定模型中VIX的ATMI倾斜水平。图7：广义粗糙波动率模型ATMI-skew，其中ν=2.5图8：混合广义粗糙波动率模型ATMI-skew，其中（γ，ν，η）=（1/2，3，1）7个已实现方差期权本节致力于研究ATMI短期水平和rv期权的偏差。图9显示了ATMI的经验期限结构，通常接近幂律。图9:2018年2月27日标准普尔500指数的已实现方差ATMI。7.1关于已实现方差期权的ATMI建议22考虑过程v=f（Y），其中f是c中的函数，如f，f，f∈ Lp，对于所有p>1且Y=Rt（t-s） H类-g（t-s） dWs，其中h<和g∈ Cb。然后，我们得到了ATMI forRV选项的短期限制是由IMT给出的→0吨-HITt（ln E（RVT））=f（Y）g（0）（H+）√2小时+2米。（31）证明。我们可以直接应用定理8，因为（H1）、（H2）和（H3）在λ=H时成立-. 因此，limT→0吨-HITt（ln E（RVT））=极限→0此ZTφsds=极限→0T1+Hevuutztmtststs（Ds（vu））du！ds=f（Y）g（0）MlimT→0T1+HEvuutZTZTs（u- s） H类-杜！ds=f（Y）g（0）（H+）MlimT→0T1+HEsZT（T- s） 2H+1ds=f（Y）g（0）（H+）√2小时+2米。

（32）备注23我们强调，（32）意味着，对于短期到期，ATMI的顺序为O（第-), 这与图9所示的股票市场的实际市场数据一致。例24（混合广义粗糙波动率）我们再次考虑模型12，应用13我们得到以下短期ATMI极限：limT→0T1/2-HITt（ln E（RVT））=（γν+（1- γ)η)√2H极限→第0+1个Vuutztztsep(-β（u- s） ）（u- s） H类-1/2du！ds=（γν+（1- γ)η)√2H（H+）√2H+2.7.1.1 RV期权ATMI水平的半封闭式公式再一次，我们考虑ATMI水平的短期近似值，其灵感来自推论32中给出的短期限制。更准确地说，我们考虑以下近似值：它≈f（Y）vTvuutZTZTs（u- s） H类-g（u- s） 杜！ds（33）在图10中，我们给出了模型12中γ=η=0时H和β不同值近似值的数值结果。我们观察到，使用Inhovath、Jacquier和Muguruza引入的rDonsker方案获得的蒙特卡罗估计值存在非常明显的差异【25】。备注25根据（33）中给出的近似方案的精度，这在实践中可用于控制模型中的ATMI水平，并校准参数H和β。特别是，当β=0时，这将降低为H阶幂律-如前例24所示。图10：ν=27.2的已实现方差选项ATMI已实现方差选项的ATMI偏斜命题26考虑一个瞬时方差模型，其中Yt=Rt（t-s） H类-1/2DWS和f是C中的一个函数，如f、f、f∈ Lp，对于所有p>1且Y=Rt（t- s） H类-g（t- s） dWs，其中H<和g∈ 然后，RV选项的ATMI倾斜由IMT给出→0吨-H信息技术k（lne（RVT））=f（Y）I（H）（2H+2）3/2（H+1/2）f（Y）-f（Y）v（2H+1）p（2H+2）！。证据

I（H）的证明和定义推迟到附录C中，以简化论文的流程。示例27（混合粗糙Bergomi）我们将混合粗糙Bergomi模型视为模型12中所示模型的一个子类，瞬时方差为：vt=vγEν√2HZt（t- s） H类-1/2周+(1-γ） E类η√2HZt（t- s） H类-1/2周,应用命题26，我们得出RV选项的ATMI偏差为givenbylimT→0吨-H信息技术k（ln E（RVT））=√2Hγν+（1- γ)ηγν + (1 - γ） ηI（H）（2H+2）3/2（H+1/2）-γν + (1 - γ） η（2H+1）p（2H+2）！。图11和图12说明了H不同值的渐近公式的准确性。图11：在ν=2的粗略Bergomimodel中，RV期权的ATMI偏斜短期限制。图12：混合粗糙Bergomimodel中RV期权的ATMI倾斜短期限制，其中（γ，ν，η）=（1/2，2，1）。A计算VIX选项上的ATMI偏斜为了简化即将进行的计算，我们引入以下函数G（H，, β) =(2β)-2HΓ低（2H，2β) 如果β>02H2Hifβ=0J（H，, β) =β-H-1/2Γ低（H+1/2，β) 如果β>0H+1/2H+1/2ifβ=0。使用备注6，我们得到dsφu=2φuDsm（T，u）MTu（MTs）-2φum（T，u）DsMTu（MTs）。（34）我们记得读者，在VIX选项的上下文中，我们有φt=MTt2EtV IXTZT+T（DTV）ds！。我们有0的极限行为≤ t型≤ TlimT公司→0E（φt）=极限→0f（Y）M2V IXZT公司+T（r- t） H类-1/2经验(-β（r- t） ）dr=：limT→0f（Y）M2V IXK（T，, t） =f（Y）M2V IXJ（H，, β).一方面，我们有，Es（DsMTu）=m（T，s）。（35）因此，我们可以在无条件期望的情况下重写（34）Dsφu= E2φuDsm（T，u）MTu（MTs）-2φum（T，u）φSMT。