关于波动性衍生品和奇异产品的微笑特性：

（36）另一方面，Dsm（T，u）=2DsEuV IXTZT+T（Du（vr））dr=2欧元+TDs（Du（vr））drV IXT- Ds（V IXT）RT+T（Du（vr））dr（V ix T）！=欧元+TDs（Du（vr））dr2V IXT公司-RT公司+T（Ds（vr））drRT+T（Du（vr））dr4（V IXT）！=欧元+TDs（Du（vr））dr2V IXT公司-m（T，s）m（T，u）V IXT！因此，我们进一步发展Dsφu= E-2φuRT+TDs（Du（vr））dr2V IXT公司- 2φum（T，u）φsMTs+V IXT!:= A（T，s，u）+B（T，s，u）。（37）取定理10中表达式B（T，s，u）的极限，直至归一化项，并使用φsalong的定义和（37），我们得到→0EZTφsZTsB（T，s，u）du！ds=极限→0EZTφsZTs-4φuφsm（T，u）Mdu！ds=极限→0EZT-4φsMTsZTsφum（T，u）du！ds=极限→0E-4（f（Y））（M2V IXT）ZTφsZTsK（T，, u） 杜！ds=极限→0E-4（f（Y））（M2V IXT）ZTK（T，, s） ZTsK（T，, u） 杜！ds公司=-4（f（Y））（M2V IX）T（J（H，, β） ）在最后一步中，我们使用T≥ u≥ s≥ 0以及K（·）的连续性。最后，使用ATMI结果→0u=极限→0EsTZTφsds=f（Y）2V IXJ（H，, β） ，我们受到限制→0ERTφsRTsB（T、s、u）dudsu=极限→0-2.f（Y）V IXMJ（H，, β） T（38）另一方面，我们继续类似于A（T，s，u）。首先我们有限制→0E2欧元+TDs（Du（vr））drV IXT=f（Y）2V IXZT公司+T（（r- u） （r）- s） ）H-1/2经验(-β（2r- u- s） ）dr=f（Y）2V IXI（T，, s、 u）。此外，由于s<u<T这一事实，我们有限制→0E2欧元+TDs（Du（vr））drV IXT=f（Y）2V IXG（H，, β).进行与B（T，s，u）类似的计算，我们得到→0EZTφsZTsA（T，s，u）du！ds=极限→0EZTφsZTs2φuDsm（T，u）MTudu（MTs）！ds=极限→0MEZTφsZTsφuDsm（T，u）du！ds=极限→02f（Y）-1M2V IXEZTφsZTsφuI（T，, u、 s）du！ds=极限→02f（Y）f（Y）-2（M）2V IXEZTφsZTsK（T，, u） I（T，, u、 s）du！ds=极限→02f（Y）（f（Y））-3（M）（2V IX）ZTK（T，, s） ZTsK（T，, u） I（T，, u、 s）du！ds=极限→0f（Y）（f（Y））（M）（2V IX）-3（J（H，, β） ）G（H，, β） 在最后一步中，我们使用了I（·）和K（·）的连续性以及0≤ s≤u≤ T

最后，回顾uwe getlimT的ATMI结果→0ERTφsRTsA（T、s、u）dudsu=G（H，, β） 2J（H，, β） f（Y）f（Y）T（39）直接使用定理10以及表达式（39）和（38）得出结果。B计算Heston中的ATMI倾斜符号，我们注意到ET（vr）=θ+（vT-θ） 经验值(-k（r-T））。这意味着，对于allt<TMTt=EtsETZT公司+Tvrdr=Etsθ+（vT- θ)ZT公司+特克斯普(-k（r- T））dr=Etrθ+（vT- θ)1 - 经验值(-k)k→ Erθ+（v- θ)1 - 经验值(-k)k=√v（40）英寸L(Ohm), 作为T→ 另一方面，对于所有s<t<TDsMTt=Et“2MTtETZT公司+TDsvrdr#=2百万吨ZT公司+TDsvrdr！。（41）现在，请注意VR=vexp(-kr）+θZrexp(-k（r- u） ）du+νZrexp(-k（r- u） （）√vudW u，（42），它允许我们写入svr=νexp(-k（r- s） （）√vs+νZrsexp(-k（r- u） ）Ds√vudW u.（43）因此，它遵循Et（Dsvr）→ νexp(-韩元）√vin L(Ohm), 作为T→ 0。然后我们得到DSMTT→ν(1 - 经验值(-k)2公里（44）英寸L(Ohm) 作为T→ 另一方面，（7）允许我们写sm（T，T）=2EtV IXTETZT+T（DsDtvr）dr！-4.Et公司（V IXT）ZT+T（Dtvr）drZT+T（Dsvr）dr！=：T+T.（45）让我们首先研究术语T。很容易从（43）中推断，对于s<T<rDsDtvr=νexp(-k（r- t） ）Ds√vt+νZrtexp(-k（r- u） ）DTD√[2]中的vudW u.（46）引理5.3给出了s，t→ 0，Ds√及物动词→ν英寸L(Ohm). 这意味着DsDtvr→νexp(-kr），（47），这反过来→ν(1 - 经验值(-k))4k√v、 （48）最后，我们可以写→ -ν(1 - 经验值())4k√v、 （49）然后（44），（44），（48）和（49）给出DSM（T，T）MTt- m（T，T）DsMTt→ν(1 - 经验值(-k))4k-ν(1 - 经验值(-k))4k-ν(1 - 经验值(-k)2公里=ν(1 - 经验值(-k))4k- 2ν(1 - 经验值(-k))4k=ν(1 - 经验值(-k))4k1.-2(1 - 经验值(-k))k. （50）C计算实现方差期权上的ATMI偏差使用备注6，我们得到dsφu=2φuDsm（T，u）MTu（MTs）-2φum（T，u）DsMTu（MTs）=：A（T，s，u）+B（T，s，u）首先我们将开发B（T，s，u）。一方面，我们有es（DsMTu）=m（T，s）。

（51）将定理10中的表达式限制到规范化项，并使用φsalong和（51）的定义，我们得到了限制→0EZTφsZTsB（T，s，u）du！ds=极限→0EZTφsZTs-2φuφsm（T，u）MTsdu！ds=极限→0EZT-2φsMTsZTsφum（T，u）du！ds=极限→0-2（f（Y））（M）（H+1/2）TZTφsZTs（T- u） 2H+1du！ds=极限→0-2（f（Y））（M）（H+1/2）（2H+2）TZTφs（T- s） 2H+2ds=极限→0-2（f（Y））（M）（H+1/2）（2H+2）（4H+4）TT4H+4=极限→0-2（f（Y））v（H+1/2）（2H+2）（4H+4）t4h最终，使用ATMI结果得出→0u=极限→0EsTZTφsds=| f（Y）|（H+1/2）√2H+2vTH-1/2，我们受到限制→0ERTφsRTsB（T、s、u）dudsu=极限→0-f（Y）（2H+2）3/2v（2H+1）（2H+2）（4H+4）TH+3/2=极限→0-f（Y）v（2H+1）p（2H+2）TH+3/2。另一方面，我们对A（T，s，u）进行类似的处理。

首先我们有dsm（T，u）=TZTuEu（Ds（Du（vr）））dr=TZTuEu（Dsf（年）（r）- u） H类-1/2dr=TZTuf（年）（（r- u） （r）- s） ）H-1/2dr=：I（T，u，s）。备注28此处注意限制→0E（I（T，u，s））=Tf（Y）（T- u） H+1/2（u- s） H类-半小时+半小时T- 我们- u式中，F（·）=F（1/2- H、 H+1/2，H+3/2，·）表示高斯超几何函数。进行与B（T，s，u）类似的计算，我们得到→0EZTφsZTsA（T，s，u）du！ds=极限→0EZTφsZTs-2φuDsm（T，u）MTudu（MTs）！ds=极限→0-2MEZTφsZTsφuI（T，u，s）du！ds=极限→0-2f（Y）（M）（H+1/2）TEZTφsZTsI（T，u，s）（T- u） H+1/2UDS=极限→0-2（f（Y））（M）（H+1/2）TZT（T- s） H+1/2ZTsI（T，u，s）（T- u） H+1/2UDS=极限→0-2（f（Y））f（Y）（M）（H+1/2）T×ZT（T- s） H+1/2ZTs（T- u） 2H+1（u- s） H类-半小时+半小时T- 我们- ududs=极限→0-2f（Y））f（Y）I（H）v（H+1/2）t4h我们将I（H）定义为有限极限I（H）=极限→0ZT（T- s） H+1/2ZTs（T- u） 2H+1（u- s） H类-半小时+半小时T- 我们- ududsT4H+3。（52）备注29在实践中，I（H）可以很容易地使用数值积分包和表达式（52）来近似小T。最后，回顾uwe getlimT的ATMI结果→0ERTφsRTsA（T、s、u）dudsu=极限→0f（Y）（2H+2）3/2（H+1/2）I（H）f（Y）TH+3/2。为了总结证明，我们利用定理10和gotainlimt→0信息技术k（X）=极限→0ERTφsRTsDWsφududsuT=极限→0限制→0ERTφsRTsA（T、s、u）dudsu+ERTφsRTsB（T、s、u）dudsu=极限→0f（Y）I（H）（2H+2）3/2（H+1/2）f（Y）-f（Y）v（2H+1）p（2H+2）！真实航向-1/2.参考文献【1】M.Abramowitz和I.A.Stegun。数学函数手册。国家标准局，1965年。[2] E.Al\'os和C.O.Ewald。赫斯顿波动性的Malliavin差异性及其在期权定价中的应用。应用概率进展40（1）：144-1622008。[3] E.Al\'os和。J、 勒昂。随机波动模型中微笑的曲率。《暹罗金融数学杂志》8（1）：373-3992017。[4] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。

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