收费公路性质与投资和消费的收敛速度

假设Ui，i=1，2，是R+：=（0）上的连续可微、严格递增和严格凹函数，∞), 满足Ui（0）=0，U′i（0）=∞ 安杜伊(∞) = 0和Ui（x）≤ C（1+xp）代表x≥ 0和一些常数C>0和0<p<1。注意，定理2.3中不需要假设Ui（0）=0，但所有其他结果都需要假设Ui（0）=0。为了简化符号，我们定义τ=T- t、 时间范围。然后T→ ∞ 等于τ→ ∞. 我们仍然使用t来表示时间范围变量，而不是τ。利用双随机控制方法，我们可以证明最优投资额和消费率由（2.1）A（x，t）=xπ给出*（x，t）=θσJ（y，t）+ZtJ（y，τ）dτ, C（x，t）=C*（x，t）=-V′（y），其中y=y（x，t）是预算约束方程（2.2）x=I（y，t）+ZtI（y，τ）dτ的解。和，f或i=1，2，Ii（y，t）=eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη| V′i（是√tη）| dηJi（y，t）=eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη年√tηV′i（是√tη）dη，α=+r-Δθ，a=θ√, β = -aα- δ. 定义λ=λ（q）：=β+（α- q） a=θq（q- 1) - rq+δ（q- 1） 对于q<1。注λ（0）=-δ<0且λ（1）=-r<0，我们得出结论，存在唯一的根Q*< 公式λ（q）=0表示q<1，由（1.6）给出，λ（q）<0表示q*< q<1，对于q<q，λ（q）>0*.备注2.1在本文中，我们假设市场上只有一种风险资产。很容易将结果推广到具有n个资产和n个标准布朗运动的完全市场。在这种情况下，风险的市场价格θ变成一个向量：θ=σ-1(u -r1），其中σ是股票波动率矩阵，u是股票增长率向量，1是包含所有成分1的向量。在定义λ（q）时，我们需要做的唯一改变是用kθk=θTθ替换θ。投资于资产i的最佳金额由Ai（x，t）=xeiTπ给出*（x，t）=eiT（σt）-1θJ（y，t）+RtJ（y，τ）dτ, 其中，ei是除第i个分量为1外，所有分量均为0的向量。

一个风险资产模型的所有结果仍然适用于这个多风险资产模型。因此，本文只讨论一个风险集合。备注2.2我们采用双重随机控制方法推导（2.1）和（2.2），这是tu rnpike性质的关键关系。由于动态规划方程（HJB方程）用于解决原始和对偶问题，因此模型必须是马尔可夫和时间一致的，也就是说，根据当前的方法，我们不能用随机系数或均值方差问题覆盖模型。然而，可以将模型从一个完整的无约束市场扩展到一个有控制约束的市场（没有卖空或某些资产没有交易等），即πt∈ K，其中K是Rn中的闭凸锥。这是因为双重HJB方程（见（5.4））仍然是线性偏微分方程，可以用费曼-卡茨表示法求解。双HJB方程（5.4）的唯一变化是将θ替换为k^θk，其中θ：=θ+σ-1^π = σ-1(u-r1+π）和π是二次函数f（|π）的唯一极小值：=kθ+σ-1▄πkover▄π∈~K：={p:p′v≥ 0, v∈ K} ，Rn中K的正极锥。在存在控制约束的情况下，不能像在完整的市场环境中那样使用马尔丁格尔表示定理来找到最优控制，但可以使用随机控制方法来推导，详见卞等人（2011）和卞和郑（2015）。由于关系式（2.1）和（2.2）本质上适用于闭凸约束问题，我们期望收费公路性质的结果仍然适用，因此本文仅关注无约束情况。方程（2.2）是一种预算约束，其中初始财富x用于为最优终端财富（第一期）和最优总消费（第二期）融资。

我们想显示一个项支配另一个项，即一个项趋向于0，另一个趋向于x ast→ ∞. 一旦确定，A（x，t）和C（x，t）的极限性质与（2.1）相同。结果是q*是确定（2.2）中哪个项占主导地位的阈值。下一个定理描述了当两个公用事业都是电力公用事业时收费公路的性质。定理2.3当i=1，2时，设Ui（x）=（1/pi）xpiand和pi<1（如果pi=0，则Ui（x）=ln x）。定义：=pi/（pi）- 1） <1和λi：=λ（qi），i=1，2。我们有1个。如果q<q*或q≤ q*, thenlimt公司→∞A（x，t）=θσ（1-最小{q，q}）x，极限→∞R（t）C（x，t）=xq-1min{q，q}-1，其中（2.3）R（t）=eλt+eλt-1λ，q=q，eq-1季度-1λt，q<q，eλt-1λ，q>q，和（eλt- 1） /如果λ=0.2，则λ=t。如果q>q*和q>q*, thenlimt公司→∞A（x，t）=θσ（1- q） x.limt公司→∞C（x，t）=-λx，3。如果q=q*和q>q*, thenlimt公司→∞A（x，t）=θσ[（1- q） Yq公司-1.- (1 - q） λYq-1] ，限制→∞C（x，t）=Yq-1，其中Y是方程yq的唯一解-1.-λyq-1=x。如果i=1，2的0<pi<1，则可从定理2.4和2.6中恢复定理2.3，但如果pi≤ 0，因为条件Ui（0）=0不满足。然而，由于幂函数的同位旋性质，可以使用条件Ui（0）=0证明定理2.3，参见附录中的严格证明。我们概述了定理2.3证明的关键思想。从（2.1）我们得到（2.4）A（x，t）=θσ(1 - q） eλtyq-1+ (1 - q） eλt- 1λyq-1., C（x，t）=yq-1，其中y是方程（2.5）x=eλtyq的解-1+eλt- 1λyq-1、初始财富x用于为最优终端财富和最优总消费融资。当t趋于时，（2.5）中的项占主导地位的qand qdetermines的关系∞.

如果第一项占主导地位，即如果第一项趋向于x，第二项趋向于0，因为t趋向于∞, 然后，基本上所有初始财富都用于最大化终端财富的效用，因此，最优投资策略主要由终端财富的效用决定。这很容易从（2.5）和（2.4）中看出。寻找最优消费的限制关系更为复杂。类似的讨论适用于第二项占主导地位或两项都不占主导地位的情况。接下来，我们对定理2.3的结果进行一些讨论。在案例1中，由于q<q*或q≤ q*, λ>0或λ≥ 0、这导致limt→∞R（t）=∞和限制→∞C（x，t）=0 f或任何x>0，这意味着初始消耗C（x，t）应接近于零，R（t）是地平线t较远时消耗趋于零的速度。来自预算约束（2.5）和λ>0或λ≥ 0，我们的边际效用y=ux（x，t）趋向于∞ 作为t→ ∞ 对于任何固定x，这意味着一个人应该投资于风险资产，以增加财富水平，从而提高整体效用。在案例2中，由于q>q*和q>q*, 我们有λ<0和λ<0，这意味着边际效用y=ux（x，t）有界于0和∞ 作为t→ ∞ （我们可以用以下矛盾的公式来证明：如果y→ 0（或∞) 作为t→ ∞, 那么（2.5）的右侧倾向于+∞ （或0），但左侧的x是正数）。（2.5）中的第二项占主导地位，最优交易策略主要由消费效用决定，即阿默顿策略。在情况3中，因为q=q*和q>q*, 我们有λ=0和λ<0，这再次意味着边际效用y=ux（x，t）从0和∞ 作为t→ ∞.

由于（2.5）中的任何一项都不占主导地位，最优交易策略由终端财富和消费的效用共同决定，这导致最优投资策略是财富的非线性函数。现在，我们陈述并讨论本文针对一般实用程序的主要结果。定理2.4设q<q*或q≤ q*. 假设Vi∈ C（R+）并满足（1.4），对于i=1，2。那么对于任何x∈ R+，我们有收费公路属性（1.7）。如果，对于某些^q<0，（2.6）石灰→∞V′（y）y^q-1= -那么，我们有（2.7）个极限→∞R（t）^q-1季度-1C（x，t）=x^q-1min{q，q}-1，其中R（t）在（2.3）中定义。请注意，只有一个QI需要小于q*; 另一个Qi可以是小于1的任何常数，这意味着另一个效用在大财富（U’i）下的渐近边际行为(∞)) 可以像负幂效用（0<qi<1）或对数效用（qi=0），不一定像正幂效用（qi<0），但我们仍然要求财富为零时的效用值为零（i=1，2，Ui（0）=0）。条件（2.6）相当于limx→0U′（x）/x^p-1=1和^p=^q/（^q）-1） >0，这意味着消费效用Ubehaves渐近类似于电力效用（1/p）x^pat小财富水平。收费公路消费物业一般不适用，因为（2.7）的右侧是x的非线性函数，即使投资期限很长，这是因为消费效用是在整个投资期间累积的，而不仅仅是在终端时间，因此，我们必须选择一种消费政策，在最初的小财富消费和未来的大财富消费之间实现良好的平衡。接下来，我们将我们的结果与文献中的结果进行比较。

Jin（1998）讨论了一类公用事业的收费性质，如（U′i）-1= -V′i在零处有规律地变化，指数为1- qi，也就是，（2.8）limy→0V′i（xy）V′i（y）=xqi-1.x>0。除了要求（U′i）-1 Jin（1998）还提出了（U′i）的有限极限的存在性问题，以使其在零处有规律地变化-1（x）/xqi-1as x趋于0（见Jin（1998，第1007页）），这意味着效用条件（1.4）和（2.6）中的限值为-1可以用一些常量替换。具体而言，如果存在Ki>0，则limy→0V′i（y）yqi-1= -ki，然后是x∈ R+，我们仍然拥有收费公路属性（1.7）。如果，对于某些^q<1，k≥ 0，灰色→∞V′（y）y^q-1= -k、 那么，我们有限制→∞^R（t）^q-1季度-1C（x，t）=kx^q-1min{q，q}-1，其中^R（t）=keλt+keλt-1λ如果q=q，kq-1^q-1eq-1季度-1λtif q<q，和d keλt-1λ如果q>q。证明与定理2.4的证明相同，但有一些明显的变化，包括Ki和k。很容易验证（1.4）和（1.9）都暗示（2.8），因此（2.8）是三个条件中最弱的条件。函数V′（y）=yq-1年（y）≤ Y<1）是一个满足（1.9），但不满足（1.4）的例子（见Huberman和Ross（1983），第1346页）。函数V′（y）=-yq公司-1Hy siny，其中h<1-q、 是一个满足（1.4），但不满足（1.9）的例子（见Back等人（1999），第178页）。但是，如果limy→0V′i（y）/yqi-2存在，则（1.4）和（1.9）都满足L\'Hospital规则。Jin（1998）中的函数也满足（1.4）。我们还需要条件（2.6）来证明最优消费政策的渐近性质。Jin（1998）中没有明确的对应项（2.6），但Jin（1998）中有一个隐藏的假设（M1，和M2，的完整性，朝向p age1011的底部，这在Back等人（1999，第194页）中首次指出）。

条件（2.6）表示M1，是有限的，但M2，的完整性是Jin（1998）中的附加条件，因此这些条件不具有直接可比性。Jin（1998，定理5.1-5.3）指出，如果投资期限很长，并且误差可以在绝对或均方范数内任意小，则任何固定时间的最优投资组合和消费策略都可以近似于电力公司的最优投资组合和消费策略。定理2.4的结果是不同的。首先，我们证明了（1.7）和（2.7）中每个固定x的逐点收敛性，这符合文献中收费公路性质的标准定义，但并不意味着Jin（1998）中讨论的概率空间中的n形式收敛。其次，我们证明了当q<q时，收费公路性质成立*或q≤ q*而Jin（1998，定理5.4-5.5）要求q=q<q*= 0（Jin（1998）中δ=0）得到相同的性质。Back等人（1999年）讨论了最优终端财富的收费公路性质。他们声称，在使用翻译后的电力公用设施的反例中，不存在收费公路消费属性，见Back等人（1999年，第1.1节）。然而，该实用程序是-∞ 在[0，K）中，并且不满足U（0）=0和条件（2.6）的假设。因此，Back et al.（1999）本文只讨论了终端财富效用最大化的Turnpike性质，不同于消费和终端财富效用最大化的Turnpike性质。现在，如果公用设施以一定速度收敛到电力公用设施，我们估计转弯道具属性的收敛速度。

下一个定理确定了当q<q时的收敛速度*orq≤ q*, 据我们所知，这在有关收费公路物业与消费和投资的文献中是不存在的。定理2.5假设Vi∈ C（R+）和常数q∈ （max{q，q，0}，1）和L>0，这样（2.9）V′i（y）+yqi-1.≤ Ly'q-1，y≤ 那么A（x，t）收敛到θσ（1）- min{q，q}）x指数yas t→ ∞ 如果q<q*或q<q*, And多项式if q≥ q*q=q*. 此外，如果存在常数q<min{q，q}，则（2.10）| V′（y）+y^q-1| ≤ Lyq-1，y≥ 1，则R（t）^q-1季度-1C（x，t）收敛到x^q-1min{q，q}-1表示为t→ ∞ 如果q<q*或q<q*, And多项式if q≥ q*q=q*, 其中，R（t）在（2.3）中定义。定理2.6设q≥ q*和q>q*. 假设Vi∈ C（R+）和满意度（1.4）。然后对于任何x∈ R+，我们有（2.11）极限→∞A（x，t）=θσ[（1- q） Yq公司-1{q=q*}- Y h′（Y）]，和（2.12）limt→∞C（x，t）=-V′（Y），假设f和g分别是R+×R+和R+上的定义良好的函数。我们说f（x，t）以指数（或多项式）的形式收敛到g（x）作为t→ ∞ 如果存在常数c>0和'T>0以及R+上定义良好的函数，则'f（x，T）- g（x）|≤ D（x）e-ct（或| f（x，t）- g（x）|≤ D（x）t-c） 为了所有的x∈ R+和t≥\'\'T。外显收敛比多项式收敛快得多。其中1{q=q*}如果q=q，则为等于1的指示器*否则，Y是方程（2.13）x=yq的唯一解-1{q=q*}+ h（y），和h（y）=-Z∞eβτ√πdτZ∞-∞e-η-(α-1） a√τηV′（是√τη）dη。此外，如果V′（y）=-yq公司-1 q<0，q，q>q*, 然后我们有收费公路财产（2.14）限制→∞A（x，t）=θσ（1- q） x，极限→∞C（x，t）=-λx.注意，q，q<1涵盖了所有渐近表现为幂效用的效用（包括对数和负幂效用）。

从（2.11）、（2.12）和（2.13）中可以清楚地看出，当q≥ q*和q>q*. 自q起*倾向-∞ 当δ趋于∞, 我们有q，q>q*当δ足够大时，风险资产的最佳投资额通常是财富的非线性函数，即使投资期限很长。这在经济上并不令人惊讶，因为较大的贴现率δ意味着，在遥远的未来，终端财富的效用可以忽略不计，人们更看重消费的近期效用，而消费显然取决于当前的财富水平。只有当终端和消费公用设施同时存在时，才会出现这种现象。如果只有终端效用，那么人们应该仍然拥有经典意义上的收费公路属性。我们发现，具有终端和消费公用设施的收费公路物业与仅具有终端公用设施的收费公路物业有根本不同。接下来的两个定理列出了确保转弯道具投资性能的效用的其他一些条件，参见脚注6 f不同条件的关系。定理2.7设q，q<q*. 假设Vi∈ C（R+）并满足（1.9）。进一步假设存在常数“q”∈ （max{q，q，0}，1），K>0表示。（2.15）Ri（y）| V′i（y）|=yV′i（y）≤ 肯塔基州-1，y≥ 1、那么对于任何x∈ R+，我们有基于观察的收费公路性质（1.7）：如果V′i（y）满足（2.8），那么对于任何t>0，vy（y，t）s满足（1.9），我们有定理2.8，让q，q<q*. 假设V∈ 指数为1的C（R+）满意度（2.8）- q、 五∈C（R+）满意度（1.9），指数为1- qand（2.15）和limy→0V′（y）V′（y）=某些k的k∈ [0, ∞] ifq=q。那么对于任何x∈ R+，我们有收费公路属性（1.7）。如果V≡ 0，定理2.8是Back等人（1999）的定理2。

它表明，为了在消费存在的情况下维持tur npikeproperty，最终财富效用一词只需满足较弱的条件（2.8），而消费效用UI需要满足较强的条件（1.9）。如果V≡ 0，我们只需要'q∈ （max{q，0}，1）]3示例和数值测试在本节中，我们讨论了两个示例来说明定理2.4和2.6的应用。我们将表明，如果消费效用ui不是幂效用，那么当q>q时，通常没有收费公路性质*和q>q*, 这与电力公司的结果形成鲜明对比，见定理2.3。对于0<p<1，定义非HARA效用函数（3.1）U（x）=-qH（x）q-“qH（x）”q+xH（x），对于x>0，其中H（x）=21-\'\'p√1+4倍- 1.\'\'p-1和“p=2p”- 1，q=pp-1，“q=”p“p”-1、U的对偶函数有一个简单的形式，由V（y）=-qyq公司-“qy”q.示例3.1假设Uis是一个非HARA实用程序，由（3.1）给出n，p=p，Uis是一个powerutility，由U′（x）=xp给出-1，其中0<p，p<1，对应于q，q<0。条件（1.4）和（2.6）满足^q=q。如果q<q*或q≤ q*, 然后，我们有用于投资的收费公路物业（1.7）和用于消费的限制性物业（2.7）。如果q>q*和q>q*, 然后，由于消费公用事业公司Ubeinga电力公用事业公司，我们仍有收费公路物业可供投资（2.14）。我们现在做一些数值试验。使用的数据与表1中的数据相同。如果我们选择Seq=q=q=-3，对应于p=3/4，然后“q=-（3.1）中的非HARA实用程序为1。我们得到λ=λ（q）=0.16+r和|||||||||||||¤q）=0。因为q=q=q<q*, 我们有收费公路物业→∞π*（x，t）=极限→∞A（x，t）/x=θσ（1）- q） =4对于任何固定财富水平x。我们可以计算精确的最优交易策略π*（x，t）和c*（x，t）以查看此近似的准确性。