收费公路性质与投资和消费的收敛速度

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英文标题：
《Turnpike Property and Convergence Rate for an Investment and Consumption
  Model》
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作者：
Baojun Bian, Harry Zheng
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We discuss the turnpike property for optimal investment and consumption problems. We find there exists a threshold value that determines the turnpike property for investment policy. The threshold value only depends on the Sharpe ratio, the riskless interest rate and the discount rate. We show that if utilities behave asymptotically like power utilities and satisfy some simple relations with the threshold value, then the turnpike property for investment holds. There is in general no turnpike property for consumption policy. We also provide the rate of convergence and illustrate the main results with examples of power and non-HARA utilities and numerical tests.
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中文摘要：
我们讨论了最优投资和消费问题的收费公路性质。我们发现存在一个阈值，它决定了投资政策的收费公路属性。阈值仅取决于夏普比率、无风险利率和贴现率。我们证明，如果公用事业的行为渐近类似于电力公用事业，并且满足与阈值的一些简单关系，则投资的收费公路性质成立。一般来说，消费政策没有收费公路财产。我们还提供了收敛速度，并用幂函数和非HARA函数的例子以及数值试验说明了主要结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Turnpike_Property_and_Convergence_Rate_for_an_Investment_and_Consumption_Model.pdf (344.24 KB)

2022-6-10 10:24:14 上传

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关键词：收费公路 Quantitative Optimization consumption Convergence

投资与消费模型的收费公路性质与收敛速度*, Harry Zheng+摘要。我们讨论了最优投资和消费问题的收费公路性质。我们发现存在一个阈值，它决定了投资政策的收费公路属性。阈值仅取决于夏普比率、无风险利率和贴现率。我们证明，如果公用事业的行为渐近类似于电力公用事业，并且满足阈值的一些简化，那么收费公路投资属性成立。消费政策一般没有收费公路属性。我们还提供了收敛速度，并用幂函数和非HARA函数的例子以及数值试验说明了主要结果。关键词。最优投资和消费，收费公路性质，收敛速度，双重控制方法。JEL分类D9，G11简介众所周知，如果规划期很遥远（长期投资），并且最终财富效用的行为类似于电力效用，那么布莱克-斯科尔斯市场中终端财富（Money数量）效用最大化问题的最优投资组合策略可以近似为财富和时间无关的开放策略。这被称为turnpikeproperty for investment，s ee Back et al.（1999），卞和郑（2015），Cox和Huang（1992），Huang和Zariphopoulou（1999）对该主题的论述。很有意思的一点是，收费公路是否仍然适用于最优投资和消费问题。

考虑以下效用最大化问题：（1.1）supπ，cE中兴通讯-δtU（ct）dt+e-δTU（XT）,其中δ是一个贴现因子，T是计划期，X是时间T的财富，X是一个满足（1.2）dXt=rXtdt+XtπTσ（θdt+dWt）的长期过程- ctdt，t≥ 0，初始财富X=X，r是无风险利率，θ=σ-1(u -r） 是夏普比率，u和σ是风险资产的增长率和波动率，W是标准布朗运动，π和c是投资组合和消费过程，Ui，i=1，2是财富和消费的效用。假设A（x，t）是在时间t与wealthx投资于风险资产的最佳金额。我们说，如果A（x，t）是x的近似线性函数，当t是遥远的时，问题（1.1）具有投资的turnp-ike性质。如果ui是相同的幂函数（1/p）xp，则a（x，t）=θσ（1- p） x。*同济大学数学系，上海200092。bianbj@tongji.edu.cn，作者的研究得到了国家自然科学基金11371280的资助。+英国伦敦SW7 2BZ帝国理工学院数学系。h。zheng@imperial.ac.uk.Tel：+44Jin（1998）证明，如果效用I的行为与电力效用（1/pi）xpifor largewealth x渐近相似，那么在任何固定时间t的最优投资组合π和最优消费c与电力效用（1/pi）xpii在绝对或均方范数下得出的投资期限t较远时的最优投资组合π和最优消费c接近。Back等人（1999年）讨论了最优最终财富（论文中称为消费）的组合收费公路问题，并通过一个使用转移电力公用事业的计数器示例表明，收费公路属性在存在消费（论文中称为消费退出）的情况下不成立。

对于一般效用Ui，当t距离较远时，如果A（x，t）仍然近似为x的线性函数，文献中所知甚少，对于最优消耗量c（x，t）的限制行为更是如此。本文的目的是确定一般公用事业投资环境的条件，在这种条件下，如果计划期很遥远，最优投资组合策略可以近似为财富和时间无关的开放策略。当公用事业UI1的行为与电力公用事业（1/pi）xpiat large wealth x类似时，我们可以给出收费公路是否存在的肯定答案。本文的主要贡献在于，我们找到了一个准确描述公用事业拥有收费公路性质的条件的保留值，我们证明了最优消费一般不存在收费公路性质，并且我们估计了最佳交易策略与限制策略的收敛速度，据我们所知，文献中没有，请参见第2.4、2.5和2.6节。接下来，我们重点介绍论文的主要结果。在有文化的人中，通常对收费公路物业的公用事业单位施加条件。例如，假设Ui是连续可微分、递增且严格凹的，满足limx→∞U′i（x）=0和（1.3）limx→∞U′i（x）xpi-1=1，对于i=1，2，其中pi<1，U′是Ui的导数。

条件（1.3）意味着，如果财富水平x很大，并且相当于（1.4）limy，则公用事业ui的行为类似于电力公用事业（1/pi）xpii→0V′i（y）yqi-1= -1，其中qi：=π/（π）- 1） <1和Viare Ui的双重功能，由（1.5）Vi（y）定义：=su px≥0{Ui（x）- y的xy}≥ 使用双重效用Vi而非效用Ui的关键好处如下：当使用随机控制方法解决投资和消费问题时，最优策略可以用难以求解和分析的非线性偏微分方程（PDE）解的导数函数表示。借助对偶随机控制方法，我们证明了最优策略可以用线性偏微分方程解的导数函数来表征，并且具有对偶效用Vi的表示，这使得导出turnp-ike性质和估计收敛速度是可行的。效用函数U和它的对偶函数V是等价的，可以从关系SV（y）=supx>0（U（x）中相互恢复- xy）和U（x）=infy>0（V（y）+xy）。例如，如果U是幂效用U（x）=（1/p）xpforx>0且p<1，则其等效对偶函数为V（y）=-（1/q）yq对于y>0且q=p/（p- 1). 此外，Ui（x）=Vi（y）+xy当且仅当U′i（x）- y=0。

因此，fromU′i（x）xpi-1=yqi公司-1.-V′i（y）圆周率-1和U′i(∞) = 0，我们得到了条件（1.3）和（1.4）的等价性。定理2.4指出，如果（1.4）保持q<q*或q≤ q*, 其中q*< 0是阈值，由（1.6）q给出*= α -rα+2Δθ，其中α=+r-Δθ，则投资用收费公路财产持有，即，（1.7）limT→∞A（x，t）=θσ（1- min{q，q}）x，这意味着最佳投资额A（x，t）可以近似为θσ（1-最小{q，q}）x当投资期限T较远时。定理2.5指出，如果双重边际效用V′i收敛为双重边际电力效用-yqi公司-1在一定速度下，q<q*或q<q*, 然后，最优投资策略收敛到（1.7）中极限策略的速度是指数级的快。定理2.6指出，如果（1.4）与q保持一致≥ q*和q>q*, 当t→ ∞ 换言之，对于一般公用事业而言，收费公路的性质并不是经典意义上的。然而，如果ConsumptionUtility是0<p<1的幂效用（1/p）xp，则有一个明显的例外，在这种情况下，a（x，t）仍然收敛于x的线性函数，由（θ/σ）（1）给出- q） x.我们现在说明定理2.4到2.6的结果，其中两个实用程序都是电力实用程序。众所周知，如果只有终端财富效用U（U=0）或消费效用U（U=0）或相同的效用U=U，最优投资额A（x，t）是财富x的线性函数。对于不同的电力公用事业U和U，A（x，t）是x的非线性函数。如果投资期t很遥远，其表现如何尚不清楚。根据定理2.4至2.6，我们得出结论，收费公路的投资性质基本上保持不变，即，（1.8）限制→∞A（x，t）=θσ(1 - 如果q<q，则最小{q，q}）x*或q≤ q*θσ(1 - q） 如果q>q，则为x*和q>q*,其中qi=pi/（pi）- 1) < 0. 此外，如果q<q，则收敛速度呈指数级增长*或q<q*.

如果q=q*和q*< q<0则A（x，t）收敛到x的非线性函数，详见定理2.3。这是一个新的结果，即使对于电力设施，更不用说我们的主要定理涵盖了一般设施。接下来我们给出一个数值测试。使用的数据是夏普比率θ=0.2，贴现率δ=0.02+（1/2）r，这给出了阈值q*= -1，波动率σ=0.2，无风险利率r=0.02，0.06，0.1，其中，ich给出的贴现率δ分别为0.03，0.05，0.07，时间范围T- t=1、2、5、10、25、50和100年。我们讨论三种情况：1）q=-1/2和q=-2.2） q=-2和q=-1/2; 3） q=-1/2和q=-1/4. 从（1.8）中，我们知道财富的最佳比例π*（x，t）：=在案例1和案例2中，A（x，t）/x收敛到默顿投资组合πM（x，t）=3，在案例3中，A（x，t）/x收敛到πM（x，t）=1.25，作为t- t倾向于∞.表1列出了最优投资组合π的值*（x，t）对于不同的时间范围t-t和无风险利率r。很明显-t趋于有限，精确的最优投资组合收敛于（1.8）中的梅顿投资组合。然而，不同的电力公司的收敛速度并不一致：在案例1和案例3中收敛速度快，但在案例2中收敛速度慢（当-t=200，r=0.02时的确切最佳组合值为2.9789，r=0.06时为2.9981，r=0.10时为2.9998）。Back等人。

（1999）权利要求定理2.4的结果可以用（1.3）中定义的PID的t项等效表示，即，如果p>p*orp公司≥ p*, 其中p*= q*/（q）*- 1) ≥ 0，则收费公路财产保持不变，最佳投资额可通过limT近似→∞A（x，t）=（θ/σ）（1- 最大值{p，p}）-1x。请注意，q*仅取决于风险θ的市场价格、无风险利率r和效用贴现率δ。q、 q，πMr\\T- t 1 2 5 10 25 50 100q=-1/2 0.02 2.6075 2.7195 2.8345 2.9014 2.9655 2.9919 2.9995q=-2 0.06 2.6125 2.7271 2.8461 2.9152 2.9771 2.9966 2.9999πM=3 0.10 2.6174 2.7344 2.8569 2.9273 2.985 2.9986 3.000q=-2 0.02 2.6099 2.348 1.9557 1.7538 1.6742 1.8119 2.4955q=-1/2 0.06 2.6149 2.362 1.9924 1.8107 1.7963 2.1486 2.8421πM=3 0.10 2.6198 2.3759 2.0297 1.8739 1.9555 2.4723 2.9532q=-1/2 0.02 1.3928 1.3458 1.2944 1.2714 1.2571 1.2527 1.2507q=-1/4 0.06 1.3927 1.3456 1.2942 1.2712 1.2567 1.2522 1.2504πM=1.25 0.10 1.3927 1.3455 1.294 1.2708 1.2563 1.2518 1.2502表1：最优投资组合π*（x，t）具有不同的时间范围t- t、 利率r和dualpower utilities Vi（y）=-（1/qi）yqi，或等效的电力设施Ui（x）=（1/pi）xpi，其中pi=qi/（qi）- 1） 对于i=1，2。对于q=-1/4, -1/2, -2，相应的p分别为1/5、1/3、2/3。阈值q*= -1，对应的p*= 1/2. 使用的其他数据是Sharperatioθ=0.2、贴现率δ=0.02+（1/2）r和波动率σ=0.2。πMis默顿投资组合。以数字例子说明，在低利率经济环境下，只有在投资期限很长的情况下才拥有收费公路资产。案例2与结论一致，但案例1和案例3表明，收敛速度仍然相当快。事实上，我们可以找到所有情况下的指数收敛率。例如，在情况1中，对于r=0.02，收敛速度为0.055，对于r=0.06，收敛速度为0.075，对于r=0.10，收敛速度为0.095。

利率越高，最优投资组合收敛到极限投资组合的速度越快。对于任何qandq，最优消耗策略通常是x的非线性函数，见定理2.4和2.6。收费公路消费属性不存在的经济原因是，消费的效用是在整个投资期内产生的，初始财富和消费可能很小，这意味着即使消费效用表现为耗电量大的电力效用，但一开始，人们必须使用特定的消费效用来决定最佳消费策略，这可能是财富的非线性函数。只有同时存在终端和消费公用设施时，才会出现这种现象。定理2.7指出，如果（1.9）limy→0Ri（y）：=-yV′i（y）V′i（y）= 1.-qi，i=1、2和q，q<q*以及其他一些条件，则收费公路属性（1.7）成立。条件（1.4）和（1.9）通常互不隐含，示例见脚注6。对于收费公路特性，可以进一步放宽条件（1.9），特别是Vis只需在零处有规律地变化，详情见定理2.8。最后，我们想强调的是，本文提出的方法依赖于具有持续投资机会的布莱克斯科尔斯市场。对于只有终端消费的收费公路问题，具有随机投资机会（不完全市场）的模型已被证明，条件（1.9）相当于公用事业相对风险规避的Arrow-Pratt系数为1的极限- π，也就是，（1.10）limx→∞-xU′i（x）U′i（x）= 1.- pi，i=1、2和p，p>p*. 这是由于Ui和（1.5）中定义的双重关系，这意味着如果y=U′i（x），那么x=-V′i（y）和U′′（x）=-1/V′（y），因此条件（1.9）和（1.10）相等。Guasoni等人进行了研究。

（2014）和Rober tson和Xing（2017），参见这两篇论文中的详细讨论和其他参考文献。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们制定了模型，对收费公路性质的不同情况进行了分类，当UAE和Uare电力公司（定理2.3）陈述并讨论了论文的主要结果（定理2.4-2.8）。在第三节中，我们将emain定理应用于具有幂和非HARA效用的两个例子，并进行了一些数值测试和分析。第4节总结。附录九讨论了效用最大化问题的原方法和对偶方法，导出了最优投资和消费策略，并给出了所有定理的详细证明。2收费公路性质和收敛速度考虑由一项无风险资产和一项风险资产组成的金融市场。风险资产S的价格过程由0的DST=St（udt+σdWt）建模≤ t型≤ T，其中u是风险资产的回报率，σ是波动率，两者都是正常数，W是完全概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 P），赋予W产生的自然过滤{Ft}。财富过程X满足SDE（1.2），即dXt=rXtdt+Xtπtσ（θdt+dWt）- ctdt，X=X，其中r>0是无风险利率，θ=σ-1(u-r） 是S harpe比率，π是一个比例投资组合过程，c是一个非负消费率过程，满足标准的可测性和可积性条件。财富过程X仅由一只股票驱动。将其扩展到多个相关股票很简单。因此，我们将重点放在模型el（1.2）上。考虑效用最大化问题（1.1）。