收费公路性质与投资和消费的收敛速度

取=1并表示“K=K”，我们得到（5.12）和（5.13）yq-1eλt≤ 2I（y，t）+K（yq-1eλt）(R)q-1季度-1、自0日起-1季度-1<1，我们看到（yq-1eλt）q-\'\'qq-1.≤ 2I（y，t）+K如果yq-1eλt≥ 1、Henceyq-1eλt≤ [2I（y，t）+1+(R)K]q-1季度-类似地，我们得到t≥ 1yq公司-1eλt- 1λ≤ZtI（y，τ）dτ+1+‘KE’q-1季度-1|λ|q-1季度-\'q.设H（t）=（ux（x，t））q-1eλt，H（t）=（ux（x，t））q-1eλt-1λ，M（t）=（ux（x，t））(R)q-1e'λt，M（t）=（ux（x，t））'q-1e'λt-1'λ，H（t）=H（t）+H（t），d M（t）=M（t）+M（t）。然后通过（2.2）（5.18）H（t）≤ H:=2x+1+(R)Kq-1季度-\'\'q+2倍+1倍+克-1季度-1|λ|q-1季度-\'q.回忆E（t）=（Eλt+Eλt-1λ)-1、对于q<q*或q≤ q*, 我们看到λ>0或λ≥ 0、亨西（t）≤ t为1≥ 1和限制→∞E（t）=0。我们有所有的y>0，yq-1eλt+yq-1eλt- 1λ≥ E（t）-1min{yq-1、yq-1}.因此（5.19）ux（x，t）≥ 最小{（E（t）H（t））q-1，（E（t）H（t））q-1}.这意味着，对于t≥ 1（5.20）ux（x，t）≥ Hmax{q，q}-1（E（t））min{q，q}-1和限制→∞ux（x，t）=∞. 利用（5.12）和（5.13），我们得出以下估计：（5.21）M（t）≤~M（x，t）：=H'q-1季度-1e（(R)λ）-λ′q-1季度-1） t+|λ| H'q-1max{q，q}-1（E（t））(R)q-1min{q，q}-1、通过（5.17）、（2.2）和（5.7），我们得到（5.22）| H（t）- x |≤ H（t）+KM（t）。注意（5.13），（5.21），并让t→ ∞ 和th en→ 0在（5.22）中，我们推导出（2.5）（5.23）limt的极限形式→∞（ux（x，t））q-1eλt+（ux（x，t））q-1eλt- 1λ=x。通过（5.17），（2.1），（5.8）和（5.9），我们得出结论yvy y（y，t）- (1 - q） yq公司-1eλt- (1 - q） yq公司-1eλt- 1λ≤ \"(1 - q+a√π） yq公司-1eλt+（1- q+2Eeλ++1a√π） yq公司-1eλt- 1λ#+K”（1- “q+a”√π） y'q-1e'λt+（1- (R)q+2Eeλ++1a√π） y'q-1e'λt-1'λ'表示所有（y，t）∈ R+×[1，∞).

设'D=最大{1- q+a√π, 1 - q+2Eeλ++1a√π}.注意q，q<q，对于固定x>0，我们得到（5.24）A（x，t）-θσ[(1 - q） H（t）+（1- q） H（t）]≤θ′Dσ（H（t）+KM（t））。根据估算（5.18）和（5.21），让t→ ∞ 然后是→ 0在（5.24）中，我们导出（5.25）limt→∞A（x，t）-θσ[(1 - q） H（t）+（1- q） H（t）]= 0.接下来，划分案例：q=q≤ q*, q<最小值{q，q*} q<q，q≤ q*如定理2.3所示，我们从（5.23）和（5.25）中推导出收费公路性质（1.7）。推导（2.7），注C（x，t）=-V′（ux（x，t）），（2.6），（5.23）和limt→∞ux（x，t）=∞, 我们有限制→∞R（t）^q-1季度-1C（x，t）=极限→∞R（t）q-1倍（x，t）^q-1=x^q-1min{q，q}-最后一个等式是通过讨论qand q的三种情况得出的，与推导（1.7）中的等式相同。定理2.5的证明。证明类似于定理2.4。通过加强假设，我们可以对定理2.4证明中的一些不等式给出更好的估计。从（5.10）中，我们得出结论，假设（2.9）适用于所有y>0且常数L发生变化。这意味着（5.22）变为（5.26）| H（t）- x |≤ LM（t）和（5.18）变为（5.27）H（t）≤ H：=（x+1+L）q-1季度-\'\'q+x+1+LE'q-1季度-1|λ|q-1季度-问题：我们也有估算（5.21）。（5.24）变为（5.28）A（x，t）-θσ[(1 - q） H（t）+（1- q） H（t）]≤DθσLM（t），其中D=1- (R)q+2Eeλ++1a√π. 请注意，对于所有y>0的情况，q<min{q，q}，（2.10）都成立。设置C：=^q-1min{q，q}-1，我们有，从（5.11）（5.29）| R（t）^q-1季度-1C（x，t）- xc |≤ R（t）^q-1季度-1 | V′（ux）+u^q-1x |+| R（t）^q-1季度-1u^q-1台- xc |。注意到R（t）^q-1季度-1.≤ （E（t））^q-1季度-1，我们有，从（2.10）和（5.20）R（t）^q-1季度-1 | V′（ux）+u^q-1x |≤ L R（t）^q-1季度-1uq-1台≤ 左侧q-1max{q，q}-1（E（t））~q-^qmin{q，q}-这给出了（5.29）中第一期的估计值。对于q=q=q≤ q*, 我们从（5.28）和（5.26）中推断，A（x，t）-θσ(1 - q） x个≤θσL（1- q+D）M（t）。设G=G（x，c）=（1+c）Hc-1如果c>1且G=G（x，c）=（1+c）xc-1如果c≤ 1.

很明显，x<H sin ceq-1季度-q>1，从（5.27）。注R（t）uq-1x=H（t）和x≤ 最大{H（t），x}≤ H、 我们用（2.10），（5.26）和（5.11），| R（t）cu^q推导（5.29）中第二项的估计值-1台- xc |=|（R（t）uq-1x）c- xc |≤ G（x，c）| H（t）- x |≤ LG（x，c）M（t）。我们将收敛速度推导出（5.21）。如果q<最小值{q，q*}, 我们有，到（5.14），H（t）≤ 总部-1季度-1te（λ+-λq-1季度-1） t，以及（5.26）和（5.28），A（x，t）-θσ(1 -q） x个≤θσL（1- q+D）M（t）+（q- q） θσH（t）。注意，R（t）=等式-1季度-1λtin在这种情况下，我们有| R（t）cu^q-1台- xc |=| H（t）c- xc |≤ G（x，c）| H（t）- x |≤ G（x，c）（LM（t）+H（t））。如果q<q，q≤ q*, 我们有，到（5.16），对于t≥ 1H（t）≤ （EH）q-1季度-1e（λ-λq-1季度-1） t，其中E：=λ1-e-λ. 我们从（5.26）和（5.28）中推断A（x，t）-θσ(1 -q） x个≤θσL（1- q+D）M（t）+（q- q） θσH（t）。注意R（t）=eλt-1λ，从（5.26），| R（t）cu^q-1台- xc |=|（H（t））c- xc |≤ G（x，c）| H（t）-x |≤ G（x，c）（LM（t）+H（t））。注意，E（t）以指数形式收敛到0，即t→ ∞ 如果q<q*或q<q*, 和多项式ifq≥ q*q=q*. 所有其他项都以指数方式收敛到0。结合以上所有讨论，我们已经证明了结果。定理2.6的证明。在这种情况下，λ≤ 0, λ< 0. 从（1.4）和（5.10）中，我们得出结论，存在常数“q”∈ （max{q，q，0}，1），对于任何固定的>0，存在K>0，这样（5.30）V′i（y）+yqi-1.≤ yqi-1+Ky'q-1、设h（y，t）=RtI（y，τ）dτ；然后fr om（5.30）（i=2）（5.31）h（y，t）- yq公司-1eλt- 1λ≤ yq-1eλt- 1λ+Ky'q-1e'λt- 1λ.因此h（y，t）是递增的，并且在t上有界→∞h（y，t）=h（y），这表明h（y）定义得很好，（5.32）h（y）-|λ| yq-1.≤ |λ| yq-1+K|(R)λ| y'q-1、由于| V′（y）|是递减的，我们得出结论：h（y）是严格递减的，h(∞) = 0和h（0）=∞ 根据（5.32）。因此，方程（2.13）允许任何固定x>0的唯一解。

我们用Y=Y（x）表示这个唯一解。自h（y）起-h（y，t）=R∞tI（y，τ）dτ和yh′（y）-yhy（y，t）=R∞tJ（y，τ）dτ，我们从（5.30）（i=2）（5.33）得到h（y）- h（y，t）-|λ| yq-1eλt≤ yq-1eλt |λ|+Ky'q-1e？λt？λ？和（5.34）yh′（y）- yhy（y，t）- (1 - q） yq公司-1eλt |λ|≤ (1 - q+a√π） “yq-1eλt |λ|+Ky'q-1e'λt |λ|#。通过（5.30）（i=1）和（5.7），我们得到vy（y，t）+yq-1eλt+h（y，t）≤ yq-1eλt+Ky'q-1e'λt。因此，对于固定x>0（5.35）ux（x，t）q-1eλt+h（ux（x，t），t）- x个≤ ux（x，t）q-1eλt+Kux（x，t）(R)q-1e'λt。注意，如果q=q，λ=0*, 如果q>q，λ<0*和|λ<0。取=，我们从（5.35）和（5.31）中看到，存在一个常数“Y=”Y（x），使得ux（x，t）≤是。使用（5.31）并取=，我们得出limy→0h（y，t）=t中的0均匀ly，当t≥ 因此存在一个下限Y=Y（x），ux（x，t）≥ Y、 现在假设，对于任何序列tk，limk→∞tk=∞ 和limk→∞ux（x，tk）=^Y。然后（5.33）产生limk→∞h（ux（x，tk），tk）=h（^Y）。让k→ ∞ 然后是→ 0 in（5.35），t=tk，我们得出^Yq-1{q=q*}+ 通过方程（2.13）解的唯一性，h（^Y）=x且^Y=Y。因此，limt→∞ux（x，t）=Y。这直接产生（2.12）。到（5.30），（5.6）和（5.7），我们得到yvy y（y，t）- (1 - q） yq公司-1eλt- yhy（y，t）≤ (1 - q+a√π） hyq公司-1eλt+Ky'q-1e'λti，因此A（x，t）-θσ[(1 - q） （ux（x，t））q-1eλt- ux（x，t）hy（ux（x，t），t）]≤ (1 - q+a√π） hux（x，t）q-1eλt+Kux（x，t）(R)q-1e'λti。注意λ，(R)λ<0，则得出（2.11）乘以（5.34）。如果VSaties V′（y）=-yq公司-1当q<0时，一个简单的微积分表明当q>q时*, 我们有h（y）=-（1/λ）yq-1和yh′（y）=（q- 1） h（y）。如果q>q*, 然后关系式（2.11）-（2.13）给出（2.14）。定理2.7的证明。从（1.9）开始，对于任何固定的0<γ<1-max{q，q}，有0<Y=Yγ<1那么| Ri（Y）- (1 - qi）|≤ γ、 y型≤ Y、 自Ri（Y）=-yV′i（y）/V′i（y），对于y>0，我们有V′i（y）=V′i（y）eRYyRi（η）ηdη。

因此，存在正常数l=lγ和l=lγ，因此（5.36）lyqi+γ-1.≤ |V′i（y）|≤ Lyqi公司-γ-1，y≤ Y、 现在我们给出了I（ux，t）和rti（Y，τ）dτ| Y=ux的一些估计。假设q<min{q，q*}, wechooseγ<min{q-q、 q*-q} 。ThenI公司≥eβt√πZa√特尔尼-∞e-η-(α-1） a√tη| V′（是√tη）| dη≥lyq+γ-1eλ（q+γ）t√πZa√tlnYy+2（α-q-γ） a√t型-∞e-ξdξ。假设lnYy+2（α- q- γ） 在≥ 0; 然后我们得到x≥ 我≥luq+γ-1xeλ（q+γ）t。否则，lnYy+2（α- q- γ） 在≤ 0，我们有ux≥ Y e2（α-q-γ） 位于。注意到α- q≥ α - q*> 0 forq≤ q*λ（q）+2（q- 1)(α - q） a=-[a（q- 1） 我们得出结论，（5.37）ux（x，t）q+γ-1eλ（q+γ）t≤ 最大{2xl，Yq+γ-1}.下一个假设q<最小值{q，q*}, 我们选择γ<min{q-q、 q*- q} 。同样，我们有zti（y，τ）dτ≥Ztlyq+γ-1eλ（q+γ）τ√πdτZ 1a√τlnYy+2（α-q-γ） a√τ-∞e-ξdξ。设k=λ（q+γ）2a（1-q-γ)(α-q-γ)∈ （0，1）和E=λ（q+γ）1-e（k-1） λ（q+γ）>0。假设lnYy+2（α-q- γ） akt公司≥ 0，然后是x≥l2Euq+γ-t的1xeλ（q+γ）t≥ 1、否则，我们认为ux≥Y e2（α-q-γ） akt公司。我们得到，为了t≥ 1，（5.38）ux（x，t）q+γ-1eλ（q+γ）t≤ 最大{Exl，Yq+γ-1}.由于q+γ<q*, 我们有λ（q+γ）>0和eλ（q+γ）t→ ∞ 作为t→ ∞. 注q+γ- 1<0和（5.38），我们得出以下结论：→∞ux（x，t）=∞.

另一方面，从（5.10）中，我们得到了变化的L | V′i（y）|≤ L（yqi-γ-1年以上-1） ，y>0。因此，我们推导出上边界nds（5.39）I≤ K[yq-γ-1eλ（q-γ） t+y？q-1e'λt]和（5.40）ZtI（y，τ）dτ≤ K“yq-γ-1eλ（q-γ） t型- 1λ（q-γ） +年\'q-1e'λt- 1λ#.注意，（5.41）yV′（y）=-R（y）V′（y）=（q- 1） V′（y）+（1）- q- R（y））V′（y）。从（2.15）和（5.10）中，我们得出结论，对于任何固定>0的情况，K=K>0，因此（5.42）|（1- q- R（y））V′（y）|≤ V′（y）|+Ky'q-1、将（5.41）代入（5.6），我们得到（5.42）yvy y（y，t）- (1 - q） 我- (1 - q） ZtI（y，τ）dτ≤ I+ZtI（y，τ）dτ+ Ky'q-1e'λt+e'λt- 1λ!.（5.43）让y=ux，t→ ∞ 然后是d→ 0英寸（5.43），同时注明“q>q”*,？λ<0和极限→∞ux（x，t）=∞, 我们获得了限制→∞A（x，t）-σθ((1 - q） I+（1- q） ZtI（y，τ）dτ）= 0.如果q=q<q*, 我们直接推导出（1.7）。假设q<min{q，q*}. 到（5.37）和（5.40），weget limt→∞RtI（ux，τ）dτ=0，th en（1.7）。假设q<min{q，q*}. 到（5.38）和（5.39），我们得到了限制→∞I=0和（1.7）。定理2.8的证明。根据正则变分函数的表示定理（Binghamet al.（1987）、定理1.3.1和方程（1.5.1）），我们得出结论（5.36）。当q6=q时，我们选择γ<m in{q-q |，1- q、 1个- q} 在（5.36）中。因此，我们得到了石灰→0V′（y）V′（y）=0，如果q<qandlimy→如果q<q，则0V′（y）V′（y）=0。我们声称，对于任何固定的t>0，vy（y，t）满足指数1的要求（1.9）-m在{q，q}和（2.15）中。假设q<波特界的q（Bingham et al.（1987），定理1.5.6。iii）（见alsoBacket al.（1999），等式（73）），（5.6）和（5.10），对于任何固定的t>0，我们通过支配收敛定理得到，limy→0vy（y，t）V′（y）=eλ和limy→0y vyy（y，t）V′（y）=（q- 1） eλt。我们有limy→0R（y，t）：=-yvy y（y，t）vy（y，t）=1-q、 因此，指数为1的vy（y，t）满意度（1.9）- q、 通过（5.6），（5.10）和波特界，我们推导出（2.15）。其他情况也可以类似证明。我们已经证明，ux（x，t）满足（1.10）的index1-最大值{p，p}。

考虑以下问题：找到满足方程式（5.44）的解u=(R)u（x，t）-ut型-θuxuxx+rxux- δu+V（ux）=0，初始条件'u（x，0）=x的u（x，t）∈ R+，其中t表示时间范围变量。注意，u（x，t）是一个效用函数。然后我们得到所有x的u（x，t）=u（x，t+t）和A（x，t）=A（x，t+t∈ 通过Bellman方程Cauchy问题解的不唯一性得到R+。从定理2.7和对偶表示出发，我们推导出limt→∞\'A（x，t）=θσ（1- min{q，q}）x，收费公路属性（1.7）成立。ReferencesBack，K.、Dybvig，P.H.、Rogers，L.C.G.（1999）。投资组合收费公路。《金融研究回顾》，12165-195。卞，B.，苗，S.，郑，H.（2011）。一类非光滑效用最大化问题的光滑值函数。《暹罗金融数学杂志》，2727-747。卞，B.，&郑，H.（2015）。具有一般效用函数的投资模型的Turn-pike属性和收敛率。《经济动力与控制杂志》，51，28-49。宾厄姆，N.H.，戈尔迪，C.M.，&特格尔斯，J.L.（1987）。定期变化。剑桥大学出版社，马萨诸塞州剑桥市。Cox，J.，&Huang，C.（1992）。连续时间投资组合收费公路定理。《经济动力学控制杂志》，2491-507。Guasoni，P.、Kardaras，C.、Robertson，S.&Xing，H.（2014）。Ab stract、classic和explicitturnpikes。《金融与随机》，18，75-114。Huang，C.&Zariphopoulou，T.（1999）。长期投资的收费公路行为。《金融与随机》，第3期，第15-34页。Huberm-an，G.，&Ross，S.（1983）。投资组合收费公路定理、风险规避和定期变化函数。《计量经济学》，511345-1361。Jin，X.（1998）。连续时间金融模型中的消费和投资组合图恩派克定理。《经济动力与控制杂志》，221001-1026。Robertson，S.&Xing，H.（2017）。

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