收费公路性质与投资和消费的收敛速度

为此，我们需要找到方程的唯一解-vy（y，t）=x，即R（t）yq-1+e'λty'q-1=x，其中R（t）=eλt+（eλt- 1)/λ.我们可以解方程得到π*（x，t）=x4R（t）z+2z和c*（x，t）=z，其中z=(-1+p1+4xR（t））/（2R（t））。默顿策略由πM（x，t）：=（θ/σ）（1）给出-q） =4。表2列出了π值*（x，t）（第2至4行）和与默顿策略的相对误差em（x，t）：=πM（x，t）π*（x，t）- 1（第5行至第7行）表示x=10和各种r和t。很明显，最优投资策略π*（x，t）收敛到默顿策略πM（x，t），因为t趋于∞, 正如定理2.4所预期的那样。相对误差e（x，t）表示过度投资（如果e（x，t）>0）或投资不足（如果e（x，t）<0）的程度，如果采用默顿策略πM（x，t）而不是最优策略π*（x，t）。例如，对于t=1和r=0.02，如果采用默顿策略，则与最优策略π相比，过度投资约10%*（x，t）。如果投资期为25年或更长，默顿策略将与本例中使用的数据产生1%或更小的相对误差。投资周期越短，相对误差越大，一年投资的相对误差为10%。表3列出了c值*（x，t）（第2至4行），R（t）c*（x，t）（第5至7行）和相对误差f（x，t）：=xR（t）c*（x，t）-1（第8至10行）表示x=10和各种r和t。很明显，limt→∞R（t）c*（x，t）=x，我们有\'q=（q+1）>q和\'q- 1=（q- 1). 很容易验证U是严格递增的，并且是严格单调的，U（0）=0，U(∞) = ∞, U′（0）=∞ 和U′(∞) = 0

因此，U是经典意义上的效用函数。Bian和Zheng（2015）使用该效用（p=3/4）来说明收费公路属性和终端财富效用最大化问题的收敛状态。r\\t 1 2 5 10 25 50 100最佳0.02 3.6237 3.7023 3.8147 3.8946 3.9740 3.9973 4.000组合0.06 3.6288 3.7099 3.8264 3.9084 3.9829 3.9989 4.0000π*（x，t）0.10 3.6340 3.7175 3.8376 3.9209 3.9889 3.9996 4.000相对0.02 0.1039 0.0804 0.0486 0.0271 0.0065 0.0007 0.000误差0.06 0.1023 0.0782 0.0454 0.0234 0.0043 0.0003 0.0000e（x，t）0.10 0.1007 0.0760 0.0423 0.0202 0.0028 0.0001 0.000表2：最优投资组合π*（x，t）和限制（默顿）投资组合e（x，t）的相对误差，不同的时间范围t和利率r。对于所有x和dt，默顿投资组合πM（x，t）=4。r\\t 1 2 5 10 25 50 100最佳0.02 3.5407 2.2161 0.8585 0.2778 0.0169 0.0002 0.000消耗量0.06 3.4442 2.1033 0.7538 0.2097 0.0073 0.0000 0.0000c*（x，t）0.10 3.3497 1.9947 0.6593 0.1564 0.0031 0.0000 0.00000.02 8.1183 8.5113 9.0734 9.4730 9.8701 9.9863 9.9998R（t）c*（x，t）0.06 8.1441 8.5497 9.1318 9.5421 9.9144 9.9945 10.00000.10 8.1698 8.5877 9.1880 9.6045 9.9444 9.9978 10.000相对0.02 0.2318 0.1749 0.1021 0.0556 0.0132 0.0014 0.000误差0.06 0.2279 0.1696 0.0951 0.0480 0.0086 0.0005 0（x，t）0.10 0.2240.1645 0.0884 0.000 0412 0.0056 0.0002 0.000表3：最佳消耗量c*（x，t），时间调整最优消耗R（t）c*（x，t），以及财富f（x，t）的相对误差，不同的时间范围t和利率r，财富水平x=10。正如定理2.4所预期的那样。投资期越长，消费率c越小*（x，t）。相对误差f（x，t）表示过度消费（如果f（x，t）>0）或不足消费（如果f（x，t）<0）的程度，如果取极限消费x，则用R（t）贴现，即c（x，t）=x/R（t）。

例如，对于t=1和r=0.02，如果采用消耗策略c（x，t）=，则与最佳消耗策略c相比，消耗过多约23%*（x，t）。如果投资期为25年或更长，消费策略c（x，t）与本例中使用的数据产生的相对误差为1%或更小。投资周期越短，相对误差越大，一年投资的相对误差高达23%。表4列出了默顿策略的绝对误差'e（x，t）=π*（x，t）- πM（x，t）|（第2到4行）和近似收敛速度cn（第5到7行），对于x=10和各种r和t。从表4可以清楚地看出，对于x-ed r，误差序列具有收敛性。对于r=0.02、0.06和0.10，指数收敛速度的指数分别约等于c=0.09、0.11和0.13。我们用q=q=q=-1/3和与上述数据相同的所有其他数据，对应于（3.1）中非HARA实用程序的p=1/4和'q=1/3。因为q=q=q>q*, 我们有λ<0和limt→∞R（t）=-1/λ. 数值试验表明，如果{en}是一个指数收敛的误差序列，则存在正常数M和c，使得| en |≤ 我-中国。为了找到c，我们可以假设| en |≈ 我-cn，它给出了c≈ - ln（| en+1 |/| en |）。在我们的数值试验中，我们选择了时间范围t=1、2、5、10、25、50、100，它没有等距间隔。需要进行调整以反映这一点。具体而言，我们通过cn估算c：=-（1/m）ln（| en+m |/| en |），其中m是一个整数，表示误差和en+m的指数n和n+m之间的距离。对于n：=1、2、5、10、25、50、100，相邻点之间的距离为m=1、3、5、15、25、50。

我们形成一个序列{cn}，看看是否有一个极限可以指示指数收敛速度的近似指数。r\\t 1 2 5 10 25 50 100绝对0.02 0.3763 0.2977 0.1853 0.1054 0.0260 0.0027 0.000误差0.06 0.3712 0.2901 0.1736 0.0916 0.0171 0.0011 0.0000'e（x，t）0.10 0.3660 0.2825 0.1624 0.0791 0.0111 0.0004 0.000收敛0.02 0.2343 0.1580.1128 0.0933 0.0900 0.0900速率0.06 0.2466 0.00 1710 0.1279 0.1118 0.1099 0.1100cn0.10 0.2592 0.1845 0.1439 0.1308 0.1299 0.1300表4:最优投资组合和默顿投资组合e（x，t），相邻点之间的距离m，以及不同时间h原点和利率r.limt的收敛速度估计→∞π*（x，t）=（θ/σ）（1- q） 和限制→∞c*（x，t）=-λx.因此，由于消费公用事业为电力公用事业，收费公路投资财产仍然有效。数值试验也表明，当qand Qa大于q时，收敛是指数的，尽管我们还没有证明这一结果*.示例3.2假设Uis是一个电源实用程序，由U′（x）=xp给出-1，Uis是非HARAutility，由（3.1）给出n，其中p=p，0<p，p<1。满足条件（1.4）。如果q<q*或q≤ q*, 然后从（1.7）中，我们得到了limt→∞A（x，t）=θσ（1- min{q，q}）x。如果q>q*和q>q*, 然后从（2.11）和（2.12）中，我们得到了limt→∞A（x，t）=-θσY h′（Y），极限→∞C（x，t）=-V′（Y），其中Y是方程x=-（1/λ）yq-1.-（1/(R)λ）y'q-1、解方程，将Y代入上述极限，得到（3.2）limt→∞A（x，t）=θσ（1- q）x+(R)λZ, 限制→∞C（x，t）=Z+Z，其中Z=2xq'λ-4xλ-λ-1、很明显，极限最优投资组合和消费不是财富的线性函数，换句话说，初始财富水平将影响最优交易策略的行为，即使时间跨度很长。

经典意义上的收费公路属性在这种情况下并不适用。这与消费实用程序是power utilityfunction的情况形成了明显的对比。我们可以得出这样的结论：当消费效用（consumptionutility）是一般效用时，一般不存在收费公路属性。我们使用与例3.1中相同的数据进行了数值测试。当q=q=q时=-3<q*= -1、我们还有收费公路物业可供投资。当q=q=q=-1/3>q*= -1和“q=”q=1/3，我们知道现在一般没有收费公路属性。为了从数字上说明这一点，我们找到了精确的最优投资和消费策略π*（x，t）和c*（x，t）如下：找到方程的唯一解y-vy（y，t）=x，即R（t）yq-1+R（t）y'q-1=x，其中R（t）=eλt+（eλt- 1） /λ和R（t）=（e'λt- 1)/λ. 我们可以解方程得到π*（x，t）=xR（t）z+R（t）z和c*（x，t）=z+z，r\\t 1 2 5 10 25 50 100最佳0.02 1.2008 1.1328 1.0290 0.9519 0.8710 0.8353 0.8222组合0.06 1.2017 1.1356 1.0386 0.9722 0.9151 0.9025 0.9055π*（x，t）0.10 1.2027 1.1384 1.0478 0.9912 0.9538 0.9540 0.9588相对0.02-0.3155-0.2744-0.2012-0.1365-0.0563-0.0160-0.0003误差0.06-0.2450-0.2011-0.1265-0.0668-0.0086 0.0053 0.0020e（x，t）0.10-0.2023-0.1573-0.0845-0.0321 0.0059 0.0056 0.0006相对0.02 0.1104 0.1771 0.2958 0.4007 0.5307 0.5962 0.6216误差0.06 0.1095 0.1741 0.2838 0.3714 0.4570 0.4775 0.4725eM（x，t）0.10 0.10860.1712 0.2724 0.3451 0.3980 0.3976 0.3907表5：最佳投资组合π*（x，t），相对于极限投资组合e（x，t）的相对误差，以及相对于不同时间范围t和利率r的默顿投资组合eM（x，t）的相对误差。

梅顿投资组合πM（x，t）=所有x和t.x的4/3 r\\t 1 2 5 10 25 50 1000.02 1.0014 0.8922 0.7845 0.7365 0.7045 0.6944 0.69121 0.06 1.0032 0.8961 0.7921 0.7472 0.7201 0.7152 0.71630.10 1.0051 0.8999 0.7998 0.7583 0.7374 0.7375 0.74000.02 1.2008 1.1328 1.0290 0.9519 0.8710 0.8353 0.822210 0.06 1.2017 1.1356 1.0386 0.9722 0.9151 0.9025 0.90550.10 1.2027 1.1384 1.0478 0.9912 0.9538 0.95400.95880.02 1.2881 1.2617 1.2149 1.1727 1.1165 1.0852 1.0723100 0.06 1.2885 1.2628 1.2197 1.1847 1.1491 1 1.1402 1.14240.10 1.2888 1.2640 1.2242 1.1953 1.1738 1.1739 1.1768表6：最佳投资组合π*（x，t）具有不同的财富水平x、时间范围t和利率r。默顿投资组合πM（x，t）=所有x和t的4/3。其中z=(-R（t）+pR（t）+4xR（t）/（2R（t））。使用（3.2），同时注意θ/σ=1和q=-1/3，我们可以找到相对误差se（x，t）=（1+(R)λxZ）π*（x，t）- 1和f（x，t）=Z+Zc*（x，t）- 1、默顿策略由πM（x，t）=（θ/σ）（1）给出- q） =4/3。表5列出了π值*（x，t）（第2行至第4行）、相对误差e（x，t）（第5行至第7行）和默顿策略eM（x，t）（第8行至第10行）的相对误差，对于x=10和各种r和d t。很明显，π*（x，t）不收敛于默顿策略，因为t倾向于∞. 如果使用默顿策略，与最优投资策略π相比，将大大过度投资风险资产*（x，t）。这种现象是由于消费公用事业公司不是电力公用事业公司。表6列出了π值*（x，t）对于不同的财富水平x=1、10、100以及不同的时间范围和利率r。

很明显，即使时间跨度很长，最优投资组合也不会收敛于默顿投资组合，并且依赖于财富水平x。4结论在本文中，我们讨论了最优投资和消费问题的收费公路性质。我们使用对偶控制方法，用对偶值函数来描述最优投资和消费策略。我们发现，当来自消费和终端财富的公用事业表现出类似于大型财富的电力公用事业时，存在一个阈值来确定用于投资的Turnpike财产是否成立。我们表明，收费公路的消费属性一般不成立。我们推导了最优策略对其极限策略的指数收敛率。我们用幂和非HARA效用的两个例子以及一些数值试验来说明主要结果。确认。作者非常感谢匿名评论者，他们的评论和建议帮助改进了前两个版本。5附录最优交易策略推导（2.1）和预算方程（2.2）。我们可以使用标准的随机控制方法来解决问题（1.1）。定义值函数u byu（x，t）=supπ，cE中兴通讯-δ（s-t） U（cs）ds+e-δ（T-t） U（XT）Xt=x对于（x，t）∈ R+×[0，T]。然后满足HJB方程（5.1）ut+maxπ{σxπuxx+xπσθux}+rxux- δu+最大值≥0{U（c）- cux}=0，表示（x，t）∈ R+×[0，T），终端条件u（x，T）=x的u（x）∈ R+，其中ux（x，t）是u对x的偏导数，在（x，t）处求值（为了简化符号，我们省略了（x，t）不等式（5.1）），tu和UXX的定义类似。让Vibe成为Ui的双重功能，i=1，2，定义见（1.5）。

然后通过非负（sinceUi（0）=0），连续可微，严格递减，严格凸函数。HJB方程（5.1）中的最优投资和消费策略由（5.2）π给出*（x，t）=-θσuxuxx，c*（x，t）=-V′（ux）。HJ B方程（5.1）可写成（5.3）ut型-θuxuxx+rxux- δu+V（ux）=0。方程（5.3）是一个完全非线性的偏微分方程，通常很难求解。在文献中，方程（5.3）是用一些试错法来求解的，当UAR和UAR使用相同的功率效用函数时，这种方法是有效的。Bian et al.（2011）和Bian and Zh eng（2015）应用对偶随机控制方法来解决问题（1.1），并表明HJ B方程（5.1）有一个经典解，可以用相应对偶控制问题的对偶函数来表示。双重控制问题的值函数v（y，t）满足线性PDE（5.4）vt+θyvy y- （r）- δ） 伊维- （y，t）的δv+v（y）=0∈ R+×[0，T），最终条件v（y，T）=v（y）。其解v在R+×[0，T]上是连续的，在R+×[0，T]上是连续的，在R+×[0，T]上是C2,1，且v在y上是严格递减的，且对于fixedt<T，v在y上是严格凸的。HJB方程（5.1）的经典解由u（x，T）=v（y，T）+xy给出，其中y是方程x的唯一解=-vy（y，t）。这导致ux（x，t）=y和uxx=-1/vy y。从（5.2）中，我们得出最佳投资量A（x，t）和最佳消费率C（x，t）由A（x，t）=xπ给出*（x，t）=θσyvy y（y，t），C（x，t）=C*（x，t）=-V′（y）。为了简化符号，我们定义τ=T- t、 时间范围。然后T→ ∞ 等于τ→ ∞. 我们仍然使用t来表示时间范围变量，而不是τ。很容易验证vy（y，t）是初值问题（5.5）wt的解-θywy y+（r- δ - θ） （y，t）的ywy+δw=V′（y）∈ 初始条件vy（y，0）=V′（y），y的R+×R+∈ R+。

根据泊松公式，方程（5.5）的解由（5.6）vy（y，t）=-I（y，t）-ZtI（y，τ）dτ，yvy y（y，t）=J（y，t）+ZtJ（y，τ）dτ，证明了（2.1）和（2.2）。数学证明的预备课程。我们需要一些公关方面的技术成果。Simplecalculus给出了任何常数A的表达式，（5.7）√πZ∞-∞e-η-Aηdη=ea因此对于任何q<1，（5.8）eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη（η2a√t+α- 1） e（q-1） a√tηdη=（q- 1） eλ（q）tand（5.9）eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη|η2a√t+α- 1 | e（q-1） a√tηdη≤ [1 -q+a√πt]eλ（q）t。对于任何y>0的情况，Vi的凸性意味着Vi（y）≥ 六（y）-yV′i（y），加上V的递减性和非负性，得到（5.10）0≤ -yV′i（y）≤ 2Vi（y）≤ 2Vi（），所有y≥ 1、在证明中我们需要以下代数不等式：（5.11）| xc- yc |≤ （1+c）最大{x，y}c-1 | x- y |对于所有x，y≥ 0和0<c<∞. （5.11）可以证明如下：假设x>y>0，让z=x/y，那么z>1，（5.11）等价于zc-1.≤ （1+c）（zc-zc公司-1). 设g（z）=zc-1.-（1+c）（zc-zc公司-1).然后g′（z）=czc-1.- （1+c）（czc-1.- （c）- 1） zc公司-2) = -c（1- z） zc公司-2.- zc公司-2.≤ z为0≥ 1、So g是递减的，g（z）≤ g（1）=0表示z≥ 1、对于任何q<\'q<1，λ=λ（q），\'λ=λ（\'q）（5.12）e'λty'q-1=（eλtyq-1） \'\'q-1季度-1e（(R)λ）-λ′q-1季度-1） t.和（5.13）(R)λ- λ′q- 1季度- 1=（(R)q- q） [θ（(R)q- 1） +rq- 1] < 0.定理2.3的证明。因为U′i（x）=xpi-1对于i=1，2，对偶函数由v′i（y）=-yqi公司-1式中，qi=pi/（pi）- 1). 将V′i（y）代入（5.6），同时注意（5.7），我们得到vy（y，t）=-eλtyq-1.-eλt- 1λyq-因此，我们从（2.1）中得出（2.4），其中y是方程（2.5）的解。接下来，我们通过直接讨论三个案例来完成证明。案例1。当q<q时*或q≤ q*, λ>0或λ≥ 我们知道解y=uxto方程（2.5）必须倾向于∞ 当t趋于∞ （否则，（2.5）的右侧倾向于∞ ).我们可以在（2.5）中找到t趋向的支配项∞ 对于不同的q和q，假设q=q=q≤ q*.

从（2.1）和（2.5）很容易看出，A（x，t）=θσ（1- q） x和c（x，t）=-V′（ux（x，t））=（ux（x，t））q-1=E（t）x，其中E（t）=（Eλt+Eλt-1λ)-这意味着r（t）C（x，t）=x。假设q<min{q，q*}, 然后λ>max{λ，0}。注意eλt-1λ=1 - e-|λ| t |λ| eλ+t≤ teλ+t，我们得到（5.14）eλt- 1λyq-1.≤ （eλtyq-1） q-1季度-1te（λ+-λq-1季度-1） t型≤ xq公司-1季度-1te（λ+-λq-1季度-1） 根据（2.5）和（5.13），我们推断→∞eλt-1λyq-1=0和极限→∞eλtyq-1=x.Hencefrom（2.4）limt→∞A（x，t）=θσ（1- q） x.我们有（2.4）eλq-1季度-1tC（x，t）=（eλtyq-1） q-1季度-1，这意味着限制→∞R（t）C（x，t）=xq-1季度-1、假设q<q和q≤ q*, 然后λ>λ和λ≥ 我们有（5.15）λ1-e-λt≤ E：=λ1-e-λ表示t≥ 1、然后乘以（2.5），对于t≥ 1（5.16）eλtyq-1=（eλt）- 11- e-λtyq-1） q-1季度-1e（λ-λq-1季度-1） t型≤ （Ex）q-1季度-1e（λ-λq-1季度-1） 我们从（2.5）和（5.13）limt→∞eλtyq-1=0和极限→∞eλt-1λyq-1=x。此外，我们得到限制→∞A（x，t）=θσ（1- q） x，andeλt-1λC（x，t）=eλt-1λyq-1、我给出的限制→∞R（t）c（x，t）=x。情况2。自q>q*和q>q*, 我们有λ，λ<0。从（2.5）中，我们推断y=ux（x，t）必须在t中有上界（否则，我们将有x=0，一个矛盾）。因此x=极限→∞(-1/λ）ux（x，t）q-1、取（2.4）中的限值可得到所需的结果。案例3。因为q=q*和q>q*, λ=0，λ<0。再次从（2.5）中，我们推断y=ux（x，t）必须有上界。设Y为非线性方程x=Yq的唯一解*-1.-λYq-1，那么我们有限制→∞ux=Y。采用（2.4）中的限值可以得到所需的结果。定理2.4的证明。从（1.4）和（5.10）中，我们得出结论，存在常数“q”∈ （max{q，q，0}，1），对于任何固定的>0，存在K>0，使得（5.17）| V′i（y）+yqi-1| ≤ V′i（y）|+Ky'q-1.对于i=1，2。通过（5.17）（i=1）和（5.7），我们得到| i（y，t）- yq公司-1eλt|≤ I（y，t）+Ky'q-1e'λt，适用于所有（y，t）∈ R+×（0，∞).