风险中性密度的一种新的非参数估计

对于B样条和三次样条方法，遵循表2中相同的过滤程序：不同RND估计的综合比较-部分到期时间7~14 17~31 81~94 171~199方法试验LaLr200 LaLr200 LaLrNIG ITM 1.823 0.058 145 2.293 0.057 110 5.902 0.095 91 14.344 0.158 143OTM 0.772 0.569 145 1.669 0.533 110 5.404 0.769 92 10.445 0.771 143B花键ITM 27.031 0.107 133 30.404 0.140 156 33.019 0.124 93 23.086 0.144 30OTM 1.638 15.102 133 9.981 64.444 156 5.037 7.153 93 11.783 12.655 30立方+LS ITM 3.645 0.218 102 1.055 0.028 76 2.254 0.041 77 69861.9734.427 69OTM 3.105 4.452 102 0.387 0.600 76 1.094 1.276 77 224532.5 15259.638 69立方+WLS ITM 4.696 0.236 102 1.286 0.034 76 2.977 0.049 77 66506.6 699.154 69OTM 3.480 5.032 102 0.446 0.656 76 1.297 1.084 77 214119.1 14806.153 69PC+LS+所有ITM 0.138 0.005 200 0.150 0.004 200 0.269 0.004 200 0.430 0.004 200OTM 0.083 0.157 200 0.097 0.114 200 0.162 0.077 200 0.420 0.056 200PC+WLS+所有ITM 0.2190.007 200 0.231 0.005 200 0.462 0.006 200 1.628 0.008 200 OTM 0.077 0.074 200 0.090 0.064 200 0.166 0.034 200 0.370 0.028 200 PC+LS+OTM ITM 0.679 0.023 200 0.646 0.015 200 6.570 0 0.098 198 25.042 0.171 198OTM 0.053 0.098 200 0.074 0.086 200 0.153 0.043 198 0.275 0.036 198 PC+WLS+OTM ITM 0.913 0.029 200 0.803 0.019 200 9.073 0.114 198 25.135 0.172 198 OTM 0.121 0.077 200 0.121 0.065 200 0.308 0.034 1980.364 0.025 198在Monteiro et al.（2008）和Lee（2014）中，我们观察到随着到期时间的增加，可用的期权越来越少，这导致了大量信息损失。相反，我们使用LS或WLS的PC方法在几乎所有情况下都是可行的，尤其是在同时使用ITM和OTM选项时。就到期时间和RND估计的不同组合计算的绝对误差La和相对误差Lr而言，我们的PC估计比其他三种方法更稳定和准确。

如表2和表3所示，无论所使用的选项类型如何，推荐的PC方法总是产生最低的Laor Lr。为了对所有方法进行横截面比较，在使用建议的PC方法进行价格选择时，仅考虑OTM选项（即PC+LS+OTM或PC+WLS+OTM）。但就实际实施而言，我们建议使用所有可用的期权价格，包括ITM和OTM选项。特别是，如果目标是获得最精确的价格，我们建议“PC+LS+ALL”，因为它可以最好地控制绝对误差车床；如果一个人寻求更高的投资回报率，我们建议改为“PC+WLS+ALL”，这可以最好地控制相对误差LR。3.3公允价格PC估计的一致性不同的履约价格K<K<····<Kq，相关的赎回和认沽的市场价格{Ci，i∈ C} 和{Pi，i∈ P} 分别在t日交易，到期日t满足Ci=e-RtT^∞日志Ki（ey- Ki）fQ（y）dy，~Pi=e-RtT^log Ki-∞（千- ey）fQ（y）dy，（9）前提是存在风险中性密度的日志存储。

也就是说，市场价格（~Ci，~Pi）与公平价格（Ci，Pi）一致。表3：不同RND估计值的综合比较-第二部分到期337~393 502~592 670~790方法测试LaLr200 LaLr200 LaLrNIG ITM 23.238 0.165 51 37.368 0.216 27 49.308 0.180 29OTM 17.781 0.790 53 28.575 1.236 27 33.174 5.329 29B样条ITM 146.941 0.255 4 NA 0 NA 0 OTM 146.941 0.255 4 NA 0 NA 0 Cubic+LS ITM 251615.4 876.7 68 248235.4 778.5 75 47327.8 95.317 54OTM 110639.6 155 3.4 68 303111.7 24539.1 75 24203.2 2351.626 54立方+WLS ITM 250487.1 872.8 68 406119.5 1259.775 47364.3 95.391 54OTM 110189.3 1547.4 68 517077.6 35028.3 75 24205.7 2353.728 54PC+LS+所有ITM 4.907 0.033 200 7.406 0.089 200 7.501 0.062 200OTM 1.323 0.066 200 3.100 0.154 200 5.484 0.098 200PC+WLS+所有ITM 7.148 0.035 200 7.778 0.070 200 6.556 0.051 200OTM 2.256 0.028 200 4.382 0.044 200 6.268 0.048 200 PC+LS+OTM ITM 79.914 0.320 192 92.636 0.439 197 86.013 0.404 194OTM 1.150 0.032 192 1.4010.050 197 1.153 0.044 194PC+WLS+OTM ITM 79.688 0.318 192 93.565 0.438 197 85.833 0.403 194OTM 1.461 0.021 192 2.1977 0.021 197 1.479 0.018 194回想一下，建议的PC方法提供了（x） =q+1Xl=1al（对数Kl-1，将Kl]（x）（10）记录到RND FQ中，其中（a，…，aq+1）使绝对误差L（a，…，aq+1）或相对误差W（a，…，aq+1）最小化。估计公平价格（^Pi，^Ci），使用F校准由方程式（3）和（4）确定。因为fq实际上不是唯一的，而不是测量f之间的距离和fQ，我们想问一下是否使用f可以很好地恢复市场价格。表2和表3中报告的大量数值研究证实了这一说法。下面的定理进一步证明了这一点。定理3.1。假设存在一个连续的风险中性密度fQof log st满足'∞exfQ（x）dx<∞. 允许 = {日志K。

. , log Kq}是对数标度的不同罢工价格的集合，同时具有看涨期权和看跌期权市场价格。然后作为K→ 0，Kq→ ∞, q→ ∞, 以及|| := 最大值1≤i<qlog（Ki+1/Ki）→ 0，我们有2q“qXi=1（^Ci-Ci）+qXi=1（^Pi）-Pi）#-→ 0、备注3.1。因为▄Ci=e-RtT'∞对数KieyfQ（y）dy- Kie公司-RtT'∞记录KifQ（y）dy，然后记录条件'∞exfQ（x）dx<∞ 在定理3.1中，对于▄Ci<∞.备注3.2。定理3.1的证明被归入附录B。它表明了（a，…，aq+1）的存在，使得max1≤我≤q |^Ci-Ci |< 和max1≤我≤q |^Pi-Pi |<对于任何给定的 > K时为0|| 非常小，Kq，q非常大。换句话说，| Ci-Ci |，| Pi-Pi |，i=1，q、 可以均匀地小。3.4检测可预测的机会定理3.1为假设存在连续风险中性密度的情况下所提议的PCmethod的一致性提供了分析基础。尽管如此，即使市场上存在套利机会，PC方法仍然适用。在这种情况下，预计市场价格与其估计的空气价格之间会有显著差异。在给定一组市场期权价格的情况下，我们的非参数方法可以恢复任意执行价格的afair期权价格。从投资的角度来看，我们能够在价格过低或过高的市场上发现期权。由于缺乏盈利保证，而且存在旨在捕捉期权价格差异的成熟市场体系，因此可能不足以抓住套利机会。尽管如此，我们仍然可以为投资者报告有利的投资机会。在图1中，我们提供了一个示例，使用m+n=2014年4月14日交易的期权的95个可用市场价格，有效期为2014年5月9日。

对于95个选项中的每一个，我们使用剩余m+n的市场价格，基于PC+LS方法获得其公平价格-1=94个选项。然后，我们比较市场价格和遗漏公平价格，即遗漏交叉验证。图1（a）以点表示m+n=95个市场价格，并将其中一个以实线表示的公平价格与相应的删除线价格进行比较。看来他们很般配。为了更仔细地观察市场价格和公平价格之间的差异，我们在图1（b）中绘制了相对差异，即，（市场价格-公平价格）/公平价格与执行价格。相对差异的迹象告诉我们，期权定价是过低还是过高。此外，为了检查市场价格与其公平价格之间的差异是否具有统计意义，我们将其余市场价格引导50次，以获得公平价格95%的置信区间。图1（b）中的虚线显示了引导置信区间的上端和下端。当市场价格超出其引导置信区间时，我们可能会向投资者报告，与其他期权的市场价格相比，相应期权的价格明显偏低/过高。4定价方差掉期使用估计的风险中性密度，可以计算任何衍生工具的公平价格，其支付是ST的函数。在本节中，我们将建议的方法应用于定价方差掉期。我们的研究表明，我们的公平价格与长期方差掉期的市场价格相当吻合。方差掉期是一种金融产品，允许投资者交易已实现的方差，以对抗当前隐含的对数回报方差。更具体地说，让S代表t日标的资产的收盘价，t=0，1，T，设Rt=对数（St/St-1） 表示tth每日日志返回。

T个交易日的年化已实现方差定义为σ已实现=ATPTt=1Rt，其中A是每年的交易日数，平均为252天。差额掉期的支付被定义为NVAR（σ实现- σstrike），1500 1600 1700 1800 1900 20000 20 40 60 80 100 120（a）strike PriceOption Pricecall Option Put Option 1500 1600 1700 1800 1900 2000-0.2-0.1 0.0 0.1（b）履约价格（市场- 公平）/公平价格看涨期权看跌期权图1：与2014年4月14日交易的期权进行交叉验证，2014年5月9日到期（圆点：市场价格；实线：基于PC的公平价格；虚线：基于bootstrap的95%置信区间），其中方差名义NVARA和方差罢工σ罢工在方差掉期合同出售前规定。方差掉期为投资者提供了纯粹的基础资产方差敞口，没有方向性风险。主要股票、指数和股票市场的流动性显著，其他市场的流动性也在增长。历史证据表明，系统性的销售差异是可预测的。方差掉期定价的文献中有许多方法，包括分析方法和数值方法（参见Zhu和Lian（2010）的广泛综述）。然而，依赖于某个随机过程（例如instanceL'evy过程）的定价公式或程序可能会因缺乏节俭而受到影响，或者由于模型假设的不适当，可能无法很好地拟合真实数据（例如，见Carr et al。

(2012)).在本节中，我们提出了一种基于矩的方法，结合我们对价格方差掉期的PCrisk中性密度估计，该方法不需要模型假设。假设存在风险中性度量Q，t天的公平价格V St，Tof a方差Swap是贴现预期收益V St，t=e-RtTNvar“EQtATTXi=1Ri！- σstrike#（11），其中RTT是第2.4节定义的从t到t的累计无风险利率。为了继续，我们进一步假设假设4.1。过程日志的增量是独立的，即日志（St+1/St）独立于S，St，t=0，T- 因此，方差掉期的公允价格可以用标的资产的一系列风险中性时刻来表示。提案4.1。假设存在风险中性度量值Q且假设4.1已满，方差掉期的公允价格为St，T=e-RtTNvar（ATtXi=1Ri+ATEQt（对数ST）-AT（对数St）-2ATTXi=t+1EQtlog Si-1EQtlog Si- （EQtlog Si-1)- σ走向）。（12） 命题4.1的证明被归入附录C.4.1矩计算。从方程式（12）的角度来看，方差掉期定价需要在风险中性度量下估计对数Si的第一和第二矩。一种选择是使用Bakshi等人（2003）描述的基于力矩的方法。在本节中，我们采用了另一种计算力矩的方法，该方法利用了提出的非参数方法。回想一下，阶跃函数f（1）或（10）中的定义提供了风险中性密度fQof log ST的近似值。我们使用期权的所有可用市场价格来估计f, 然后根据f计算的力矩作为所需时刻的估计值。自f起是分段常数，可以验证log（ST）的一阶和二阶矩由eqtlog（ST）=q+1Xl=1al[（log Kl）给出- （对数Kl-1） ]，（13）EQt[对数（ST）]=q+1Xl=1al[（对数Kl）- （对数Kl-1)].

（14） 请注意，在交付月份的第三个星期六之前到期的期权没有市场价格。我们必须对t<i<t的对数（Si）的平均偏差和标准偏差进行插值，这是通过本文中的线性插值实现的。附录D.4.2《方差期货复制》中描述了详细的程序。为了评估方差掉期的公平价格，我们使用方差期货的可用市场价格复制方差掉期。方差期货是一种场外交易的金融合约。正如Biscamp和Weithers（2007）所述，方差掉期和方差期货本质上是相同的，因为它们都交易方差的差异，并且可以通过相应的方差期货复制方差掉期。事实上，如果方差期货和方差掉期的到期日相同，那么在观察期的起点，交易方差期货和交易50美元的方差掉期之间没有区别。方差期货衍生的方差掉期合约的公平价格公式由v St，T=e给出-RtTNvar（在“M-1Xi=1Ri+IUG×Ne- M+1A×#- σstrike），其中M是迄今为止的观察天数，nei是观察期内的预期交易天数，IUG是由IUG=NeXi=MRi×ANe给出的市场隐含波动率的平方- M+1×100.4.3方差未来数据方差未来数据从芝加哥期权交易所（CBOE）网站下载(http://cfe.cboe.com/). 到期12个月（futuressymbol VA）或3个月（期货符号VT）的方差期货产品在CBOEFutures交易所交易。我们在随后的分析中使用VA。持续复合的Dzero息票利率涵盖的日期为1996年1月2日至2015年8月31日。

方差期货的交易日期为2012年12月10日至2015年8月31日，起始日期为2010年12月21日至2015年7月30日，到期日期为2013年1月18日至2016年1月1日。我们使用方差期货复制方差掉期，因此方差掉期的时间跨度与方差期货的时间跨度一致。4.4结果为了评估我们估计的方差掉期公允价格的准确性，我们比较了三个相关数量：1。OP：基于我们基于矩的非参数方法的方差掉期的公平价格，使用截至t日的期权市场价格；2、VF：从CBOE交易的未来方差到t日的方差掉期的诱导市场价格；3、对：到期日T的方差掉期的实现价格，已知S、S、，我们在图2中给出了三个比率，OP/True、VF/True和OP/VF，与剩余日历日的方差掉期相比。与基于已实现基础资产价格的“真实”价格相比，图2（a）和图2（b）表明，OP和VF在剩余日历日内具有类似的增长模式。这部分是由于方差估计的不确定性，方差随着到期天数的增加而增加。另一方面，图2（c）和图2（d）显示，基于我们提出的方法的出清价格OP与到期日在365天到800天之间的方差掉期市场价格VF非常匹配。对于在365天内到期的方差交换（此处未显示），OP和VF不匹配。这可能是因为长期期权更合理、更稳定，不太可能受到外部因素或噪音的影响。

对于超过800天的方差掉期，相对较低的VF可能表明方差期货定价过低。400 500 600 700 800 9000 1 2 3 5OP/True（小于5）vs剩余日历日剩余日历合同天数期权和“True”实现的隐含差异比率3651（a）OP/True vs.到期天数比率400 500 600 700 800 9000 1 3 4 5VF/True（小于5）vs剩余CDays剩余日历合同天数未来和“True”的隐含差异比率已实现3651（b）VF/True与到期天数之比400 500 600 700 800 9001.0 1.2 1.4 1.6 1.8 OP/VF（小于5）与剩余CDAys剩余日历合同天数期权隐含差异与未来差异之比365（c）OP/VF与到期天数之比0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.00 0.05 0.10 0.10 0.15 OP与VF当OP/VF小于5期权隐含差异时方差未来（d）OP与VF图2：比较OP、VF和真实方差掉期价格5讨论在本文中，我们提出了一种新的非参数方法来估计RND。它是数据驱动的，并不是建立在关于基础资产价格数据生成过程的任何模型假设之上。它仅假设存在风险中性密度，且方差掉期定价的对数收益增量独立。这就是为什么它能很好地抓住市场价格。与其他非参数方法（如三次样条和B样条）相比，我们的方法简单得多，但更好地拟合实际数据。我们只选择不同的走向作为节点，并假设节点之间的值为常量，以避免过度拟合。通过确定估计的风险中性密度的连续性，密度函数的非负性得到了很好的满足。另一方面，提议的方法利用了所有期权的市场价格，而不仅仅是OTM期权。