风险中性密度的一种新的非参数估计

我们认为，ITM期权尽管不像OTM期权那样具有流动性，但仍然包含市场信息，在估计风险中性密度时应纳入其中。我们的综合分析表明，通过包含ITM期权价格，它可以更好地恢复OTM期权价格。在处理真实数据时，差异掉期定价是一项困难的工作。我们在图2中仅显示比率OP/True小于5的情况。在某些情况下，OP和VF存在明显分歧。总的来说，我们的OP价格对于2015年最后四个月到期的方差未来更有效，这也是我们数据集中可用的最后四个月。致谢我们感谢伊利诺伊大学香槟分校的冯黎明博士。感谢西北大学的梁玉航在数据收集过程中给予的极大帮助。附录a命题2.1的证明我们将方程（3）和（4）中的看涨期权价格改写为a，a，aq，aq+1as followseRtT^Pi=^log Ki-∞（千- ey）f（y） dy=q+1Xl=1^log Kllog Kl-1（Ki- ey）aldy·1（Ki≥ Kl）=q+1Xl=1al[（千公斤/升-1) - （吉隆坡- 吉隆坡-1） ]·1（Ki≥ Kl），i∈ P（15）eRtT^Ci=^∞日志Ki（ey- Ki）f（y） dy=q+1Xl=1^log Kllog Kl-1（ey- Ki）aldy·1（Ki≤ 吉隆坡-1） =q+1Xl=1al[（Kl- 吉隆坡-1) - 千克-1] ·1（Ki<Kl），i∈ C（16）设X（p）i，l=[千克（Kl/Kl-1)-（吉隆坡-吉隆坡-1） ]·1（Ki≥ Kl），l=1，2，q+1是看跌期权设计矩阵的一个入口；X（c）i，l=[（Kl-吉隆坡-1) -千克（千升/千升-1） ]·1（Ki<Kl），l=1，2，认购期权为q+1。根据方程式（2），aq+1可以用a、a、。

，aq，asaq+1=1-qXl=1allogKlKl-1.（对数cK）-1（17）将方程（17）代入方程（15）和（16），我们得到t^Pi=q+1Xl=1alX（p）i，l=aX（p）i，1+aX（p）i，2+····+aqX（p）i，q+1.- 阿洛克- ··· - aqlogKqKq-1.（日志cK）-1X（p）i，q+1=a[X（p）i，1- （logKK）（log cK）-1X（p）i，q+1）+····+aq[X（p）i，q- （logKqKq-1） （对数cK）-1X（p）i，q+1）+log cKX（p）i，q+1=aX（p）i，1+aX（p）i，2+·········+aqX（p）i，q+X（p）i，q+1，i∈ P（18），其中X（P）i，l=X（P）i，l-（对数千升/千升-1） （对数cK）-1X（p）i，q+1，l=1，2，q和X（P）i，q+1=X（P）i，q+1/对数cK。类似地，对于看涨期权，eRtT^Ci=q+1Xl=1alX（c）i，l=aX（c）i，1+aX（c）i，2+······+aqX（c）i，q+1.- 阿洛克- ··· - aqlogKqKq-1.（对数cK）-1X（c）i，q+1=a[X（c）i，1- （logKK）（log cK）-1X（c）i，q+1）+····+aq[X（c）i，q- （logKqKq-1） （对数cK）-1X（c）i，q+1）+log cKX（c）i，q+1=aX（c）i，1+aX（c）i，2+········································································∈ C（19），其中X（C）i，l=X（C）i，l-（对数千升/千升-1） （对数cK）-1X（c）i，q+1，l=1，q和X（C）i，q+1=X（C）i，q+1/对数cK。定理3.1的证明 > 0，设δ=√eRtT/[3（1+cK+e）]>0。存在-∞ < A<0<B<∞,这样，^A-∞fQ（x）dx<δ，^A-∞exfQ（x）dx<δ，^∞BfQ（x）dx<δ，^∞BexfQ（x）dx<δLetδ=√eRtT公司-B-1/[3（B- A+2）]>0。由于fq是连续的，存在δ>0，因此，对于任何x，x∈ [答- 1，B+1]，| fQ（x）- fQ（x）|<δ只要| x- x |<δ。对于足够小的K|| 如果q，Kq足够大，则存在整数u，v，这样，1<u<u+1<v<v+1<q，log Ku≤ A<log Ku+1，log Kv<B≤ 对数Kv+1|| < δ.我们构造一个f按定义a=（对数校验）-1^log K-∞fQ（x）dx≥ 0ai=[对数（千/千-1)]-1^log千公斤Ki-1fQ（x）dx≥ 0，i=2，qaq+1=（对数cK）-1^∞日志KqfQ（x）dx≥ 0可以验证'∞-∞f（x） dx=Pq+1i=1ailog（Ki/Ki-1) = 1. 允许f=最大值≤我≤vmaxlog Ki≤x个≤对数Ki+1fQ（x）- minlog Ki公司≤x个≤对数Ki+1fQ（x）那么|| < δ意味着f≤ δ. 可以验证| Ci-Ci |<√/3，对于i=v+1，q√/3，对于i=u，v√, 对于i=1，u- 1 |^Pi-Pi |<√/3，对于i=1。

u√/3，对于i=u+1，v+1√, 对于i=v+2，秦也就是说，有一个，aq+1，这样，（^Ci-Ci）<, （^Pi-Pi）<, 对于i=1，q、 这意味着使L（a，…，aq+1）最小化的（a，…，aq+1）也满足2Q“qXi=1（^Ci-Ci）+qXi=1（^Pi）-Pi）#<从而得出结论。C命题证明4.1自EQt[PTi=1Ri]=PTi=1Ri+PTi=t+1EQt[Ri]，关键部分TXi=t+1EQt[Ri]=TXi=t+1EQt[logSiSi]-1] =TXi=t+1[EQt（对数Si）+EQt（对数Si-1)- 2EQt（对数Si）（对数Si-1） ]=TXi=t+1EQt（对数Si）+TXi=t+1EQt（对数Si-1)- 2TXi=t+1EQt[对数Si-1+对数（SiSi-1） ][日志Si-1] =TXi=t+1EQt（对数Si）+TXi=t+1EQt（对数Si-1)- 2TXi=t+1EQt（对数Si-1)- 2TXi=t+1EQt[对数Si-1] [日志（SiSi-1） ]=EQt[对数ST]- [日志St]- 2TXi=t+1EQt[对数Si-1] [日志（SiSi）-1） ]=EQt[对数ST]- [日志St]- 2TXi=t+1EQt[对数Si-1] EQt[日志（SiSi-1） ]=EQt[对数ST]- [日志St]- 2TXi=t+1[当量对数Si-1EQtlog Si- （EQtlog Si-1） ]然后，可通过将EQt[PTi=1Ri]插入（11）中获得（12）。D第一和第二时刻的线性插值假设交易日为t，到期日为t。我们通过t+n、t+n……终止交易合同的所有可能到期日。假设要插补的时间点为t+n。鉴于t天的所有可用信息，log St可被视为t天的期望值，EQtlog St。因此，我们根据t+n是否在区间[t，t+n]内分别考虑案例，然后应用线性插值获得log St+n的平均值。更具体地说，有两种情况：1。案例1：n∈ 已计算出[0，n]和EQt（对数St+n）。EQt（对数St+n）=EQt（对数St+n）-（n）- n） [EQt（对数St+n）- 对数St]n=nEQt（对数St+n）+（n- n） 对数（St）n2。案例2：n∈ [镍，镍+1]对于某些i=1，2。。

已经计算了期望值EQt（对数St+ni）和Qt（对数St+ni+1）。EQt（对数St+n）=（n- ni）[EQt（对数St+ni+1）- EQt（对数St+ni）]ni+1- ni+EQt（对数St+ni）=（n- ni）EQt（对数St+ni+1）+（ni+1- n） EQt（对数St+ni）ni+1- niVariance插补为了计算t天的方差VQt（log St+n），我们使用了一种基于t天到期t的可用对数回报方差的类似插值。根据现有合同中所有可用差异的散点图（此处未显示），差异趋势与到期天数呈曲线关系。更具体地说，它大致是一条二次曲线。在执行线性插值之前，我们首先执行方差的平方根变换。1、案例1：n∈ [0，n]。已计算VQt（对数St+n）。然后qvqt（对数St+n）=nqVQt（对数St+n）n2。案例2：n∈ [镍，镍+1]对于某些i=1，2。。已计算出VQt（对数St+ni）和VQt（对数St+ni+1）。然后qVQt（log St+n）=qVQt（log St+n）-qVQt（对数St+ni）+qVQt（对数St+ni）=（n- ni）qVQt（对数St+ni+1）-qVQt（对数St+ni）镍+1- ni+qVQt（对数St+ni）=（n- ni）qVQt（对数St+ni+1）+（ni+1- n） qVQt（对数St+ni）ni+1- 镍。然后，二阶矩isEQt（log St+n）=[EQt（log St+n）]+VQt（log St+n）可通过定价公式（11）获得方差交换的公平价格V St，tca。参考Bakshi，G.、Kapadia，N.、Madan，D.：股票回报特征、倾斜定律和个人股权期权的差异定价。金融研究回顾16（1），101–143（2003），Biscamp，L.，Weithers，T.：方差掉期和cboe标准普尔500方差期货。芝加哥贸易公司（2007年）。Euromoney papersBliss，R.，Panigirtzoglou，N.：测试隐含概率密度函数的稳定性。

《银行与金融杂志》26（2-3），381–422（2002）Breeden，D.，Litzenberger，R.：期权价格中隐含的国家未定权益价格。《商业杂志》51（4），621–651（1978）Carr，P.，Lee，R.，Wu，L.：随时间变化的列维过程的方差掉期。《金融与随机》16（2），335–355（2012）Eriksson，A.，Ghysels，E.，Forsberg，L.：近似随机变量函数的概率分布：一种新方法。Cirano（2004）Eriksson，A.，Ghysels，E.，Wang，F.：正态逆高斯分布和导数定价。《衍生物杂志》16（3），23（2009）Ghysels，E.，Wang，F.：矩隐含密度：性质和应用。《商业与经济统计杂志》32（1），88–111（2014）Jarrow，R.，Rudd，A.：任意随机过程的近似期权估值。《金融经济学杂志》10（3），347–369（1982）Lee，S.：《使用带幂尾的四次b样条累积分布函数估计风险中性度量》。《定量金融》14（10），1857–1879（2014）Melick，W.，Thomas，C.：《从期权价格中恢复资产的隐含pdf：海湾危机期间对原油的应用》。《金融与量化分析杂志》32（1），91–115（1997）Monteiro，A.，Tutunco，R.，Vicente，L.：使用三次样条从期权价格中恢复风险中性概率密度函数。《欧洲运营研究杂志》187（2），525–542（2008）Ritchey，R.：离散正态混合物的看涨期权估值。《金融研究杂志》13（4），285–296（1990）Sherrick，B.，Irwin，S.，Forster，D.：基于期权的预期标准普尔500指数期货价格分布非平稳性证据。《期货市场杂志》12（3），275–290（1992）Zhu，S.P.，Lian，G.H.：具有仓促波动性的方差掉期定价的封闭式精确解。数学金融21（2），233–256（2010）