风险中性密度的一种新的非参数估计

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英文标题：
《A New Nonparametric Estimate of the Risk-Neutral Density with
  Applications to Variance Swaps》
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作者：
Liyuan Jiang, Shuang Zhou, Keren Li, Fangfang Wang and Jie Yang
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We develop a new nonparametric approach for estimating the risk-neutral density of asset prices and reformulate its estimation into a double-constrained optimization problem. We evaluate our approach using the S\\&P 500 market option prices from 1996 to 2015. A comprehensive cross-validation study shows that our approach outperforms the existing nonparametric quartic B-spline and cubic spline methods, as well as the parametric method based on the Normal Inverse Gaussian distribution. As an application, we use the proposed density estimator to price long-term variance swaps, and the model-implied prices match reasonably well with those of the variance future downloaded from the CBOE website.
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中文摘要：
我们发展了一种新的非参数方法来估计资产价格的风险中性密度，并将其估计转化为一个双约束优化问题。我们使用1996年至2015年标准普尔500指数市场期权价格评估我们的方法。综合交叉验证研究表明，我们的方法优于现有的非参数四次B样条和三次样条方法，以及基于正态逆高斯分布的参数方法。作为一个应用，我们使用建议的密度估计器为长期方差互换定价，模型隐含价格与从CBOE网站下载的方差未来价格相当匹配。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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关键词：风险中性密度 非参数估计 参数估计 非参数 Applications

风险中性密度的一种新的非参数估计及其在方差交换中的应用Liyuan Jiang、Shuang Zhou、Keren Li、Fangfang Wang和Jie Yangjie伊利诺伊大学芝加哥分校和威斯康星大学麦迪逊分校2月20日，2019年摘要我们开发了一种新的非参数方法来估计资产价格的风险中性密度，并将其估计重新表述为一个双约束优化问题。我们使用1996年至2015年标准普尔500指数市场期权价格评估我们的方法。综合交叉验证研究表明，该方法优于现有的非参数四次B样条和三次样条方法，以及基于正态逆高斯分布的参数方法。作为一个应用，我们使用建议的密度估计器来定价长期方差掉期，模型隐含价格与从CBOE网站下载的方差期货价格合理匹配。关键词和短语：定价、风险中性密度、双约束优化、正态逆高斯分布、方差掉期1简介金融衍生品，如期权、掉期、期货或远期合约，是一种取决于基础资产的资产。其公平价格可以通过计算风险中性概率分布下的预期未来收益来获得。因此，可以通过估计标的资产未来收益的风险中性密度来解决衍生工具定价问题。另一方面，金融市场交易衍生工具的市场价格揭示了风险中性密度的相关信息。Breeden和Litzenberger（1978）是最早使用期权价格来估计基础资产未来收益风险神经概率分布的公司之一。

在可用于恢复风险中性密度的金融产品中，欧洲期权（Europeanoptions）是最常见的金融产品，它赋予投资者在到期日以约定价格（即履约价格）交易资产的权利。在所有期权标的资产中，标准普尔500指数（s&P500）是一种受欢迎的指数，它汇总了在美国证券交易所交易的500家大型公司的股票价值，并为投资者提供了一个可靠的美国股市视图。文献中有大量恢复风险中性密度函数的方法（参见Bliss和Panigirtzoglou（2002）的广泛综述）。参数方法通常指定风险中性密度的统计模型，通过解决优化问题恢复结构参数。例如，Jarrow和Rudd（1982）使用对数正态分布；Melick和Thomas（1997）考虑了Ritchey（1990）提出的对数正态分布的混合；Sherrick et al.（1992）采用了一种三参数Burr分布，称为theBurr族，它涵盖了广泛的形状，包括类似于Gamma、对数正态分布和J形β分布的分布。衍生工具定价文献中另一种常用的概率分布是广义双曲分布，其中包含方差伽马分布、正态逆高斯分布和t分布作为特例（例如，参见Eriksson et al.（2009）和Ghysels and Wang（2014））。相比之下，非参数方法不受基础资产分布假设的影响，因此比参数方法更灵活。例如，Monteiro等人（2008年）使用三次样条函数对未知的风险中性密度进行建模。

通过求解一个具有凸目标函数和非负约束的二次规划问题，用数值方法得到估计密度。他们故意选择更多的结而不是选择打击，以获得更高的灵活性。Lee（2014）使用具有幂尾的四次B样条和满足零买卖价差的最小结数近似风险中性累积分布函数。他们的估值是基于现金期权价格。在本文中，我们提出了一个更简单但更强大的非参数解，使用分段常数函数来估计风险中性密度。这是很容易实现的，因为估计问题被描述为一个加权最小二乘程序。它更强大，因为我们的方法可以更有效地恢复风险中性密度，而无需筛选所有可用的期权市场价格。此外，我们的解决方案通过比较估计价格和相应的市场价格，为探索金融市场中的有利投资机会提供了一种切实可行的方法。本文的其余部分结构如下。第2节在回顾了文献中的三次样条、四次B样条和正态逆高斯（NIG）参数方法之后，介绍了建议的非参数方法。在第3节中，我们使用真实数据进行全面的交叉验证研究，以比较不同的方法。在第4节中，我们将提议的非参数方法应用于价格差异掉期，这在实践中是具有挑战性的朱和廉（2010）；Carr等人（2012年）。我们总结第5节。附录中收集了证明和更多公式。2方法在本节中，我们首先简要回顾了文献中用于恢复风险中性密度（RND）的三次样条、四次B样条和NIG方法。

然后，我们介绍了采用最小二乘法和加权最小二乘法的分段常数（PC）非参数方法。2.1 RND的非负三次样条估计给定欧式期权的当前交易日t和到期日t，设[K，Kq]为市场上交易的所有可用期权的执行价格范围。Monteiro等人（2008年）考虑了k=x<x<x<··<xs<xs+1=Kq的三次样条曲线的s+1等间距节点。这些结不一定是可用打击的子集。然而，这些结离打击越近，他们的解决方案就越好。Monteiro等人（2008年）还声称，结的数量不应远远大于不同打击的数量。为了估计RND的非负性，Monteiro et al.（2008）的解比通常的三次样条估计更复杂，计算成本也更高。为了进行比较，我们在优化过程中只保留确保节点上密度函数非负性的约束。通过评估期权的估计公平价格和市场价格之间的差异，如果我们的方法比三次样条估计具有更高的精度且约束较少，那么我们的方法被认为优于Monteiro等人（2008）。在实际实施方面，Monteiro et al.（2008）建议根据出价askinterval、看跌期权平价、单调性和严格凸性消除导致潜在套利机会的期权价格。

他们还利用看跌期权平价生成“虚假”看涨期权价格，以消除“人为”套利机会。我们在第3节中的综合研究表明，它们的筛选和清理程序可能会导致大量信息丢失。2.2四次B样条估计Lee（2014）采用统一的四次B样条估计风险中性累积分布函数（CDF）。他们利用幂尾推断出了罢工价格范围之外的价格。Lee（2014）建议仅使用现金外期权（以下简称OTM）来估计CDF，包括行使率高于基础资产价格的OTM看涨期权和行使率低于基础资产价格的OTM看跌期权。OTM期权通常比现金期权（ITM）更便宜，而且被认为流动性更高。然而，我们在第3节中的案例研究表明，ITM选项也可能有助于恢复风险中性分布。由于参数较少，四次B样条估计的计算效率高于非负三次样条方法。Lee（2014）选择节点数作为满足零买卖价差的最小数量。他们还建议消除违反单调性和严格凸性约束的选项。2.3 NIG参数方法为了进行比较，我们选择一种参数方法来近似风险中性密度，正如Eriksson et al.（2004）和Eriksson et al.（2009）所建议的那样。它基于正态逆高斯（NIG）分布，属于广义双曲线类，可以通过其前四个矩来表征，即均值、方差、偏度和峰度。根据Bakshi et al.（2003），这四个时刻可以通过OTM欧洲看涨期权和看跌期权进行估计。

NIG密度估计的一个主要问题是，如Ghysels和Wang（2014）所示，随着成熟时间的增加，NIG方法的可行性下降，因为更多估计的基度和峰度对落在NIG分布的可行域之外。2.4提出的分段常数非参数方法本文提出的分段常数（PC）方法本质上是非参数的，它更简单但更有效。让Stand代表t日股票的当前价格和t日的未来价格。为了根据截至第t天的信息估计风险中性密度函数fQof log（ST），我们建议使用分段常数函数或阶跃函数来近似fQ，所有distinctstrike价格均为节。在一定的约束条件下，通过求解非优化问题来估计阶跃函数中的常数。通过强制常数为非负，保证了估计的风险中性密度的非负性。准确地说，假设我们有一组在t日交易并在t日到期的欧洲看涨期权的市场价格。让{K，K，…，Kq}以升序表示不同的行权，C是看涨期权指数和看跌期权指数P的集合。然后是C∪P={1，2，…，q}。设m=| C |和n=| P |分别为调用数和put数。然后m+n≥ q在风险中性密度fQ下，看跌期权和看涨期权的公允价格与TRIKE KiarePi=EQte-RtT（Ki- ST）+=e-RtT^log Ki-∞（千- ey）fQ（y）dy，Ci=EQte-RtT（ST- Ki）+=e-RtT^∞日志Ki（ey- Ki）fQ（y）dy，其中rtt代表从t到t的累计无风险利率；也就是说，t天的1美元肯定会以t天的eRtTdollars结束。

我们用RtT表示[t，t+1]期间的无风险利率，这是从无风险零息票债券中获得的，显然RtT=PT-1j=trj。为了说明范围[K，Kq]之外的风险中性密度，我们添加了K=K/cK和Kq+1=cKKq，其中cK>1是一个预定常数，可以通过交叉验证或先验知识进行选择（详见第3节）。然后我们使用分段常数函数f近似fQ；也就是f（y） =al，对于对数Kl-1<y≤ 对数Kl，l=1，2，q+1，（1），其他地方为零。在这里 = {log K，…，log Kq}表示对数标度中distinctstrikes的集合，{al，l=1，…，q+1}是满足q+1Xl=1allogklk的非负常数-1=1（2）由于条件'+∞-∞f（y） dy=1。给定近似风险中性密度f, 用Strike Kiare^Pi=e估计的看跌期权和看涨期权价格-RtT^log Ki-∞（千- ey）f（y） dy，（3）^Ci=e-RtT^∞日志Ki（ey- Ki）f（y） dy，（4）分别是a，…，的基本线性函数，aq。提案2.1。给定al≥ 0，l=1，q+1满足（2），预计价格为行使基萨蒂夫耶特（Pi=aX（P）i，1+·········································································································································-对数（千升/千升-1） （对数cK）-1X（p）i，q+1，X（C）i，l=X（C）i，l-对数（千升/千升-1） （对数cK）-1X（c）i，q+1，l=1，2，qX（P）i，q+1=X（P）i，q+1（对数cK）-1，X（C）i，q+1=X（C）i，q+1（对数cK）-1.X（p）i，l=[千克（Kl/Kl-1) - （吉隆坡- 吉隆坡-1） ]·1（Ki≥ Kl），X（c）i，l=[（Kl- 吉隆坡-1) - 千克（千升/千升-1） ]·1（Ki<Kl），l=1，2，q+1。命题2.1的证明被归入附录A。未知参数A，aq+1通过最小化以下最小平方（LS）目标函数L（a，…，aq+1）=m+n“Xi来估计∈C（^Ci）-Ci）+Xi∈P（^Pi-Pi）#（7）根据al≥ 0，l=1，2。

，q+1和等式（2），其中，分别为看涨期权和看跌期权的市场价格，以及行使Ki。如果存在风险中性密度fQ，我们有Ci=~Ci，i∈ C和Pi=~Pi，i∈ P、 也就是说，如果金融市场没有套利，那么市场价格是公平的。从投资的角度来看，由于更昂贵的期权往往流动性较低，因此，确定，aq+1是最小化加权最小二乘（WLS）目标函数W（a，…，aq+1）=m+nxi∈C^Ci-~Ci ~~Ci+xi∈P^Pi-~Pi ~Pi！. （8） WLS的估计结果支持OTM选项而非ITM选项，因为OTM选项通常更便宜，流动性更高。3欧洲期权定价在本节中，我们使用标准普尔500欧洲期权来评估各种RND估值器的性能。3.1标准普尔500欧洲期权数据我们考虑1996年1月2日至2015年8月31日期间美国标普500指数的欧洲看涨期权和看跌期权。到期日期为交付月份的第三个星期六。继Carr等人（2012年）之后，我们仅保留表1中的选项：不同到期时间类别（到期天数）#第7天的看涨期权、看跌期权和（t，t）对的数量~14 17~31 81~ 94 171~199 337~393 502~592 670~790#致电72535 136019 34764 17367 13465 7985 5869#投递112862 205863 53648 27906 18982 14535 10104#（t，t）2411 4206 2548 2306 2747 2536 1739积极的投标价格，积极的交易量，在我们的分析中到期时间超过七天。与Ghysels和Wang（2014）相似，我们将期权分为7组，7组到期~ 14天，17~ 31天，81~ 94天，171~ 199天，337~ 393天，502~ 592天，670天~ 分别为790天，用于检查到期时间对定价的影响。

表1.3.2列出了考虑中的期权和（t，t）对的数量，与现有方法的综合比较我们使用标准普尔500欧洲期权来评估以下方法的性能：参数NIG估计、四次B样条（Bspline）估计、，使用最小二乘准则（三次+最小二乘）或加权最小二乘准则（三次+WLS）的非负三次样条估计，以及仅使用OTM选项（PC+LS+OTM或PC+WLS+OTM）或使用所有可用选项（PC+LS+all或PC+WLS+all）使用最小二乘或加权最小二乘目标函数的拟议分段常数估计。所有的比较都是基于他们恢复期权市场价格的能力。对于表1中列出的七个到期时间类别中的每一个，我们随机选择200对（t，t）。对于每一对，收集看涨期权和看跌期权的市场价格。上述方法用于估计标的资产的净资产负债率。然后，我们使用估计的RND来获得^Ciand^Pi。市场价格和估计价格之间的差异通过绝对误差La进行评估，相对误差Lr定义如下：A=| Ct |+| Pt |“Xi∈Ct（^Ci-Ci）+Xi∈Pt（^Pi-Pi）#，Lr=| Ct |+| Pt |“Xi∈Ct（^Ci/^Ci- 1） +Xi∈Pt（^Pi/^Pi- 1） #，其中Ct（或Pt）指用于测试目的的看涨期权（或看跌期权）指数的集合。在表2和表3中，我们选择CTA和PTT作为所有可用的OTM选项或ITM选项。我们报告了每种估计方法的200对随机选择的（t，t）的平均La和Lr。标有“200”的列显示产生有效RND估计的实际对数。计数越高，该方法越有效。如第2.3节所述，NIG方法在选择调用和put时非常挑剔。