基于情景的风险评估

概率测度P∈ 本文应选择P作为参考概率测度，在某些应用中可将其解释为真实世界的概率测度。在本文中，我们使用概率测度Q的术语情景∈ P、 这种术语选择背后的原因是从场景分析的角度来看的，如以下示例所示。本示例将在本文中多次引用。例2.1设Θ为随机经济因子，取s中的值s，qθ[·]=P[·|Θ=θ]，θ∈ K、 是引用到Θ的正则条件概率。集合{Θ=θ}∈ F表示e achθ的可能经济事件∈ K、 分析每种情况下风险X的行为Θ=θ，θ∈ K、 在概率测度Qθ下，X的相应分布是o。假设有一组感兴趣的场景。正如导言中所提到的，对集合Q可能有不同的解释。在下文中，我们收集了一些感兴趣的场景IO，我们将不区分这些解释。如果一个风险（随机损失）X和另一个风险Y在Q中的所有相关场景下具有相同的分布，那么它们应该被分配相同的风险，无论我们所说的风险程度如何。这导致了以下基于Q的映射的定义。定义2.2：方案Q的非空集合 P、 a映射ρ：Y→ (-∞, ∞] 如果X，Y的ρ（X）=ρ（Y），则是基于Q的∈ 当Xd=qy时，Y表示所有Q∈ Q、 基于情景的风险评估7为了将上述概念应用于风险管理，我们重点关注基于Q的风险度量。风险度量是从Y到(-∞, ∞], ρ（X）<∞对于有界X，我们使用广义的风险度量，因为它还包括偏差度量（如方差）和其他风险函数。

为了简洁起见，我们的主要示例是传统的风险度量，如sVaR和ES，尽管我们的框架包括偏差度量s。关于后者，请参见Rockafellar等人【39】。在本文中，我们采用McNeil等人[33]中的符号约定：对于风险X∈ Y、 损失由X的正值s表示，利润由X的负值表示。基于Q的风险度量的一个直接例子是依赖于风险和经济因素的联合法则的风险度量，如例2.1所示。通过写入q={P[·|Θ=θ]：θ∈ K} ，ρ是基于Q的当且仅当ρ（X）由（X，Θ）的联合分布确定。该设置包括系统风险度量COVAR和CoES，它们是根据给定事件风险的条件分布进行评估的（s e e Adrian和Brunnermeier[2]）。对于固定随机变量S（系统）和p∈ （0，1），机构损失X的系统性风险度量CoVaR∈ Y定义为：CoVaRSp（X）=VaRPp（S | X=VaRPp（X）），其他系统风险度量COE定义为：CoESSp（X）=EP[S | S>CoVaRSp（X）]，X∈ Y、 由于Co VaR和COE由（X，S）的联合分布确定，因此它们是Q={P[·| S=S）]：S的基于Q的风险度量∈ R} 。显然，基于Q的风险度量是基于法律的（基于单一情景的）风险度量的重新推广，其由给定概率空间中的随机变量定律确定。因此，基于Q的风险通过注意关系（假设P∈ Q） {P}{z}基于定律 基于Q{z}Q的 P{z}泛型。下面总结了一些基于Q的风险度量的即时事实。（i） Y上的所有风险度量均基于P。事实上，如果Xd=QY for all Q∈ P、 然后X=Y。（ii）如果Q Q P、 然后，基于Q的风险度量也是基于Q的。（iii）对于Q，Qn公司 P、 设Q=∪ni=1qindρi:Y→ R基于Qi，i=1，n

对于任何f:Rn→ R、 映射fo （ρ，…，ρn）：Y→ Ris基于Q。为了证明这个断言（i）成立，让ω∈ Ohm 和定义Q:F→ R、 A 7→ 1A（ω）。可以验证Q定义了一个概率度量。Q下X和Y的分布分别是X（ω）和Y（ω）处的点质量。因此，Xd=QY意味着X（ω）=Y（ω）。接下来，我们将介绍一种特殊类型的概率度量集合，它自然适用于示例2.1.8 Ruodu Wang，Johanna F.ZiegelDe定义2.3概率度量集合Q 如果存在相互不相交的集合AQ，则P是相互奇异的∈ F、 Q∈ Q、 使得Q[AQ]=1对于Q∈ Q、 这种类型的一个例子是，取Qi[B]=P[B | Ai]表示B∈ Fwhere A，Anis是Ohm 对于i=1，…，当P[Ai]>0时，n、 也就是说，每一个QI都说明了常见的感兴趣事件的概率。g、 重要性抽样。在示例2.1中，Q={Qθ：θ∈ K} 是相互的语言。我们说一个元组（Q，…，Qn）∈ 如果{Q，…，Qn}是相互奇异的，并且Q，…，中的任意两个是相互奇异的，Q不相同。备注2.4在本文中，场景是在一般意义上处理的。他们在不同的语境中可能有不同的解释。在统计背景下，它们可能代表风险模型中估计参数的不同值。在基于仿真的模型中，它们可能表示仿真动力学中的不同参数，或在重要采样中使用的不同概率。在监管框架中，它们可能代表监管机构关注的不同经济状况。

在金融市场中，为了评估或有报酬，可能需要将其分布纳入定价措施和实物措施、多重定价措施或关于实物概率措施的不同意见中；这些情况自然需要通过不同措施下的风险分布来确定风险措施。2.2风险度量的初步研究我们采用Artzner等人[4]、Kusuoka[3 1]、F¨ollmer和Schied[21]中的术语。风险度量ρ：Y→ (-∞, ∞] 如果保持ρ（X+c）=ρ（X）+c表示c，则为现金不变性∈ R和X∈ Yρ是单调的，如果ρ（X）6ρ（Y）对于X，Y∈ Y带X 6 Y；如果ρ（λX）=λ的λρ（X），则ρ是正齐次的∈ (0, ∞) 和X∈ Y、 如果ρ（X+Y）6ρ（X）+ρ（Y）forX，Y，ρ是次可加的∈ Y、 如果风险度量是单调的和现金流的，则称其为货币风险度量。如果风险度量是货币性的、正均质性的和次加性的，则称其为一致性的。两个随机变量X和Y in(Ohm, F） 非单调if（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）>0表示所有ω，ω′∈ Ohm. 当X和Y为共单调时，如果ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y），则风险度量ρ为共单调加法。让我们根据单个场景Q确定一些ic类风险度量∈P、 银行和保险监管中最常用的风险度量是在固定概率度量Q下计算的风险价值（VaR）和预期缺口（ES）∈ P、 我们将它们分别称为Q-VaR和Q-ES。对于这些风险度量s，其域Y可以选择为包含X的随机变量的任何凸锥，可能是整个随机变量集。对于p∈ （0，1），变量：Y→ (-∞, ∞] 定义为varqp（X）=inf{X∈ R:Q（X 6 X）>p}=F-1X，Q（p），X∈ Y、 （2.1）基于情景的风险评估9和p∈ （0，1），ESQp:Y→ (-∞, ∞] 定义为SQP（X）=1- pZpVaRQq（X）dq，X∈ Y

（2.2）自-∞ < VaRQp（X）6 VaRQq（X）<∞ 对于p6q<1，积分（2.2）定义良好。此外，我们让ESQ（X）=VaRQ（X）。对于特定场景Q，Q-VaR和Q-ES属于失真风险度量的类别。定义以下函数集g={g:[0，1]→ [0，1]：g随g（0）=0和g（1）=1}增加，g+={g∈ G:G是凹的}。本文中，术语“递增”、“递减”和“集合包含”是非严格意义上的。Q-扭曲风险度量定义为ρQg（X）=Z-∞（g）o Q[X>X]- 1） dx+Z∞g级o Q[X>X]dx，X∈ Xg。（2.3）其中g∈ G称为ρQg的畸变函数，Xgis是一组随机变量，因此（2.3）中的第一个积分是有限的。那么，ρQg:Xg→ (-∞, ∞]是一个定义明确的风险度量。集合X包含X。Q-谱风险测度是具有凹畸变函数的Q-畸变风险测度。Q-失真风险度量通常是货币、正同质和共单调的加性。此外，Q-sp中央风险度量是一致的。VaRQphas扭曲函数g（x）=1{x>1-p} ，x∈ [0，1]和ESQphas畸变函数g（x）=（1/（1- p） ）最小值{x，1- p} ，x∈ [0, 1]. 有关失真风险度量的上述属性，请参见F¨ollmer和Schied[22，第4.7节]。3公理化特征在本节中，我们建立了基于Q的共单调加性风险测度以及基于Q的一致性风险测度的公理化特征。我们关注有限集合Q和有界随机变量集，即Y=X。关注有界随机变量集并不是公理化表征结果的限制，因为Y上的属性 X意味着X。在整个过程中，n是一个正整数，Q=（Q，…，Qn）是度量向量，其中Q，Qn公司∈ P是（预先分配的）概率测量(Ohm, F） ，和Q={Q。

，Qn}是这些测量值的集合。Q的维数和Q的基数只有当Q中的一些，Q相同。如果Q，Q是不同的，则Q的相互奇点等价于Q的相互奇点。写入0=（0，…，0）∈ Rnand 1=（1，…，1）∈ 注册护士。我们说P∈ P支配Q，如果Q<< P代表所有Q∈ Q、 也就是说，如果所有Q∈ Q、 Q相对于P是绝对连续的。我们说Q（或Q）是atomlessif(Ohm, F、 Qi）对于每个i=1，…，都是无电的，n、 回想一下概率空间(Ohm, F、 Q）是无原子的，如果存在均匀随机变量U(Ohm, F、 Q）。10 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegel3.1框架的新颖性和挑战我们首先说明了我们的框架与文献中其他结果的区别，因为这种区别在数学上非常微妙。主要信息是Q，…，和，Qn（例如，它们是否相互独立）关系到我们工作中的风险度量公理，而这与基于场景的泛函的文献中的结果无关（例如Cerreia Vioglio et a l【8】、Kou和Peng【28】）。下面的简单示例展示了基于情景的风险度量的一个有趣特性，与经典的基于法律的风险度量形成鲜明对比。示例3.1对于P、Q∈ P、 我们将基于{P，Q}的风险度量ρ定义为ρ（X）=2 EP【X】- 等式[X]，X∈ 十、注意2P- Q∈ P当且仅当2P>Q时，在此条件下，ρ是概率测度2P下的期望值- Q、 如果2P>Q不能保持，则ρ不是单数。因此，当且仅当2P>Q时，ρ是相干的。为了理解示例3.1的含义，我们研究随机序的概念。对于Q∈ P和两个随机变量X，Y，we writeX如果所有x的FX，Q（x）>FY，Q（x），则为QstY∈ R、 我们说ρ是Q-单调的如果ρ（X）6ρ（Y），对于所有X，Y满足X所有Q的QstY∈ Q

自X 6年以来，简化了X所有Q的QstY∈ Q、 如果风险测度ρ是Q-单调的，那么它是单调的。众所周知，在Q={P}是单态的情况下，基于{P}的风险测度是单调的当且仅当它是{P}单调的。然而，示例3.1中的风险度量ρ通常不是Q-单调的（参见第3.6节），但如果2P>Q，则它是单调且一致的。这与基于{P}的风险度量的情况形成鲜明对比。上述观察表明，P和Q之间的关系对ρ的性质至关重要。为了确定ρ是一个一致的风险度量，我们需要说明两件事：首先，ρ如何结合每个场景下的风险分布（即映射（FX，Q）Q∈问题7→ ρ（X））；其次，这些场景如何相互作用。在基于{P}的风险度量的情况下，映射外汇，P7→ ρ（X）仅确定风险度量的属性，而度量P的选择是无关的。例如，无论P的选择如何，ESPpand EPare总是一致的风险度量。上述讨论与Anscombe和Aumann[3]框架内流行的结果论优柔寡断理论有关。在结果论的框架下，通过一个偏好模型比较了两个随机结果X和Y（称为AnscombeAumman行为），该模型将分布（FX，Q）Q的倍数归为g∈Qand（FY，Q）Q∈Qe、 g.著名的Gilboa和Schmeidler的robustpreference【23】。在上述工作中，公理是建立在分布元组集上的（例如，单音性是根据Q-随机顺序定义的），而不是建立在随机变量集上的。作为一个序列，度量值Q集合在偏好模型中不起作用。这与我们的框架形成了鲜明对比。

例如，Gilboa和Schmeidler【23】不允许将示例3.1作为单调偏好，而其基于场景的风险评估11是Artzner等人【4】的经典意义上的一致风险度量。假设2p>Q。对于风险管理相关性，对随机变量集施加经济相关公理是很自然的。稍后，我们将看到上述讨论在基于塞纳里奥的风险度量的公理化描述中起着重要作用。3.2共单调-加性风险度量和Choquet积分如第2.2节所述，实践中最流行的风险度量类别是共单调风险的加性度量。我们选择这门课作为起点，建立基于Q的风险度量的雄学理论。众所周知，基于法律的货币风险度量与Cho quet积分的概念密切相关；例如，Yaari的双重效用泛函[45]和K Usooka表示[31]基于Choquet积分。定义3.2 A集合函数c:F→ R、 如果c（A）6 c（B）为 B、 A、B∈ F、 如果c增加且满足c，则为标准() = 0和C(Ohm) = 1，它是子模ifc（A∪ B） +c（A∩ B） 6 c（A）+c（B），A，B∈ F、 s标准集函数c和X的定义3.3∈ X，Choquet积分xdc定义为zxdc=Z-∞（c（X>X）- 1） dx+Z∞c（X>X）dx。（3.1）（3.1）中的积分rxdc也可以在大于有界随机变量集合X的集合上定义。通常，根据c的不同选择，可以为Choquet积分选择不同的域。通过选择c=g，（2.3）中的Q-扭曲风险度量正好是Choquet积分o Q、 现在，我们准备介绍基于共单调加法的风险度量的特征，这是基于一个著名的结果，可以追溯到施梅德勒[41]。因为一些Q的重复出现。

，Q在Q Matterf理论3.4中，但不适用于定义2。2，我们将同时使用向量Q和集合Q。定理3.4 X上的风险度量ρ是货币的（分别是相干的）、协单调加法和基于Q的当且仅当ρ（X）=ZXdψo Q、 X个∈ X（3.2）对于某些函数ψ：[0，1]n→ [0，1]使得ψo Qis标准（分别为ψo Qis标准和子模块）。12 Ruodu Wang，Johanna F.ZiegelProof总结了F¨ollmer和Schied[22]中的定理4.88和4.94，X上的r iskmeasureρ是货币和共单调加法，当且仅当ρ是某些标准集函数c的aChoquet积分。此外，ρ是相干的，仅当c是子模。首先假设ψo Qis是标准设置功能。然后，根据上述结果，（3.2）的右侧定义了一个共同的加性和货币风险度量ρ。它是相干的当且仅当ψo Qis附加子模块。根据xdψ的定义o Q、 ρ（X）=Z-∞(ψ o Q[X>X]- 1） dx+Z∞ψ o Q[X>X]dx，（3.3），因此ρ是基于Q的。相反，根据上述表示结果，ρ可以写成一些标准集函数c的Choquet积分。如果ρ被假定为相干的，则c是额外的子模。取X=1A，A∈ F、 我们有c（A）=ρ（1A）。由于ρ是基于Q的，ρ（1A）由1A在Q下的分布决定，Qn。让RQ [0，1]nbe Q的范围，即RQ={（Q[A]，…，Qn[A]）：A∈ F} 。由于ρ（1A）仅取决于Q【A】，我们可以定义ψ：RQ→ R乘以ψ（x，…，xn）=ρ（1A），其中（x，…，xn）=Q【A】。因此，c（A）=ρ（1A）=ψo Q【A】对于所有A∈ F、 我们可以很容易地将ψ的域扩展到[0，1]，而这并不影响c=ψ的说法o QIS标准。我们将（3.2）中的风险度量称为Q-失真风险度量，根据定理3.4，这正是一种货币、辅音和基于Q的风险度量。

相干Q失真风险度量称为Q谱风险度量。对于（3.2）中的Q-畸变风险度量ρ，ψ被称为Q-畸变函数，它在Q的范围内是唯一的，因为ρ（1A）=ψo Q【A】对于所有A∈ F、 对Q的依赖是至关重要的。例如，取P，Q∈ P和定义ρ（X）=（1/3）EP【X】+（2/3）等式【X】，X∈ 那么ρ有一个不同的（P，Q）-畸变函数和一个（Q，P）-畸变函数。Q-失真和Q-谱风险度量的类别将是基于Q的风险度量理论的基石。显然，如果n=1，则Q-失真风险度量、Q-谱风险度量和Q-失真函数的概念与第2.2节中针对单个场景定义的概念一致。在这种情况下，（3.2）中的表示减少到ρ（X）=ZXdψo Q、 X个∈ Xwhereψ∈ G（和ψ∈ G+如果ρ是相干的）。ψ的条件o Q为标准或ψo Q是子模可能不容易在g e ne ral中验证，因为它涉及ψ和Q的联合性质。接下来，我们建立了仅基于ψ的简单有效条件。如果Q是相互单数且无原子的，则这些条件是必要且有效的。回想一下函数f：[0，1]n→ 如果R对所有x，y都成立，则称为子模∈ [0，1]n在f（min（x，y））+f（max（x，y））6 f（x）+f（y）处，其中基于情景的风险评估13min（x，y），max（x，y）分别表示组件的最小值和最大值。根据M¨uller和Stoyan[36，定理3.12.2]，函数f是凹模和子模的组合当且仅当所有x，y，w，z∈ [0，1]n当w 6 x，y 6 z，w+z=x+y时，我们有f（x）+f（y）>f（w）+f（z）。（3.4）此外，如果f是两倍连续可微分的，则（3.4）仅当其Hessian的条目均为非正时，才适用于I。